Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки
Федеральный институт педагогических измерений
| согласовано: Председатель научно-методического совета ФИПИ по математике, к.ф.-м.н., профессор Г.Г.Канторович подпись
_________________________ 2007 г. |
УТВЕРЖДЕНО: Директор Федерального института педагогических измерений А.Г.Ершов подпись
__________________________ 2007 г. |
Методическое письмо
«Об использовании результатов единого государственного экзамена
2007 года в преподавании математики в средней школе»
Научный руководитель: Г.С. Ковалева, к. п. н., заместитель директора ФИПИ.
Письмо подготовлено членами федеральной предметной комиссии по математике к. п. н. Л.О. Денищевой, к. п. н. Н.Б. Мельниковой, к. п. н. К.А. Краснянской на основе аналитического отчета «Результаты единого государственного экзамена 2007 года», размещенного на сайте ФИПИ (http://www.fipi.ru).
Методическое письмо
«Об использовании результатов единого государственного экзамена
2007 года в преподавании математики в средней школе»
Единый государственный экзамен как форма аттестации, которая введена в практику российского образования в 2002 году, с 2009 года переходит из экспериментального в штатный режим. И все это время не утихают споры о значимости ЕГЭ для системы образования в целом. Общепризнанными можно считать следующие доводы, высказываемые в пользу единого экзамена:
1 обеспечение объективной оценки образовательных достижений учащихся, не зависящей от их личностных взаимоотношений с педагогами;
2 создание равных условий для различных категорий выпускников образовательных учреждений для продолжения образования;
3 достаточная открытость контрольных-измерительных материалов и, как следствие, наличие у каждого выпускника реальной возможности качественной подготовки к итоговой аттестации и вступительному экзамену в вузы;
4 высокая степень прозрачности зачисления в высшие учебные заведения по итогам единого экзамена и, как следствие, широкий выбор образовательного учреждения для продолжения обучения в случае успешной сдачи ЕГЭ.
Все вышеперечисленные доводы подтверждают закономерность введения единого государственного экзамена.
В 2007 году ЕГЭ по математике сдавали 6057571
выпускников из 77 регионов России, что составило 52, 9% всех выпускников средней (полной) школы в 2007 году. По сравнению с 2006 г. (участвовало около 48% выпускников) количество учащихся, которые проходили итоговую аттестацию в форме ЕГЭ, в 2007 увеличилось.
Для проведения ЕГЭ-2007 было разработано более 100 вариантов КИМ. В каждом из них было по 26 заданий разного уровня сложности, направленных на проверку усвоения материала, представленного в минимуме содержания математического образования старшей школы. Каждый вариант охватывал значительную часть основных элементов содержания этого минимума, что обеспечивало получение достоверных данных о состоянии подготовки участников экзамена как по курсу алгебры и начал анализа, так и по курсу математики в целом.. Это позволило выставить участникам экзамена объективные аттестационные отметки по курсу алгебры и начал анализа 10-11 классов и тестовые баллы, оценивающие состояние общей математической подготовки. На основе сравнения тестовых баллов, выставленных при сдаче экзамена, были выявлены наиболее подготовленные абитуриенты для поступления в вузы и ссузы.
При подготовке к экзамену полезно иметь представление о результатах ЕГЭ 2007 года.
Результаты единого государственного экзамена в 2007 году
Данные, представленные в таблице 1, позволяют составить общее представление о состоянии математической подготовки
2
участников экзамена в 2007 году и тенденциях её изменения за 2005-2007 гг.
Таблица 1
Процент участников экзамена, показавших различные уровни
математической подготовки в 2005 - 2007 г.г.
| Годы
|
Неудов-летв.
«2»
|
Удовлетв.
«3»
|
Хороший
«4»
|
Отличный
«5»
|
100
баллов
|
Число
участников
|
| 2005
|
21,6 % |
40,2 % |
31,3% |
6,9% |
0,02% (163 чел.) |
680154 |
| 2006
|
19,4% |
39,5% |
34,0% |
7,1% |
0,017% (109 чел.) |
623493 |
| 2007
|
20,9% |
41,9% |
29,6% |
7,6% |
0,018% (100 чел.) |
605757 |
Отметим, что в 2007 г. норма выставления положительной отметки «3» была повышена на 1 балл: в 2005-2006 гг. для её получения надо было выполнить верно не менее 6 заданий, в 2007 г. – не менее 7 заданий. При этом условии процент неудовлетворительных отметок по математике уменьшился по сравнению с 2005 г. на 0,7% и незначительно увеличился на 1,4% по сравнению с 2006 г., примерно на 2% увеличился процент положительных отметок «3». С учетом повышения нормы выставления отметки «3» можно констатировать, что наблюдается некоторая тенденция повышения уровня подготовки у части учащихся, входящих в группу слабо подготовленных выпускников. На 2%-3% уменьшился процент учащихся, показавших хороший уровень общей математической подготовки, а процент учащихся, продемонстрировавших высокий уровень подготовки, незначительно, но постепенно повышался за 2005-2007 гг.
Ниже по отдельности приведены результаты, показанные при выполнении заданий по курсу алгебры и начал анализа и по курсам геометрии старшей и основной школы.
Курс алгебры и начал анализа
В 2007 году проценты учащихся, продемонстрировавших различные уровни подготовки по курсу алгебры и начал анализа
, распределились следующим образом1
: «неудовлетворительный» – 21,1% (2006 г. – 19,6% и 2005 г. – 22,1%); «удовлетворительный» – 35,7% (34,1% и 35,0%); «хороший» – 33,5% (34,3% и 32,1%); «отличный» – 9,7% (12,0% и 10,9%). Отметим, что по сравнению с 2005-2006 гг. нормы выставления отметок «2», «3», «4» по алгебре были повышены на 1 балл. При этом в 2007 году процент неудовлетворительных отметок несущественно (примерно на 1%) уменьшился по сравнению с 2005 г. и увеличился на 1,5% по сравнению с 2006 г. В то же время в 2007 г. незначительно увеличился процент учащихся, показавших удовлетворительный уровень подготовки, и, соответственно, уменьшился процент учащихся, показавших качественную подготовку (получили отметки «4» и «5»). Таким образом, даже незначительное повышение норм выставления аттестационных отметок привело к некоторому изменению соотношения между положительными отметками. Это наблюдение указывает на нестабильный уровень математической подготовки выпускников по курсу алгебры и начал анализа 10-11 классов.
Результаты 2007 года, как и в 2001 – 2006 г.г., показали значительные различия в достижении учащимися проверявшихся требований стандарта 2004 года. Так, с большинством заданий базового уровня, характеризующих достижение обязательных требований стандарта по курсу алгебры и начал анализа, в 2007 г. справились – 51%-85% ,
с заданиями повышенного уровня
с кратким справились 12%-38%.
С алгебраическими задачами повышенного уровня (С1 и С2) и высокого уровня (С3 и С5), требующими записи решения, в целом справились:
С1 – 13,0%; С2 – 10,3%; С3 – 1,8%; С4 – 0,79%; С5 – 0,55%.
Курс геометрии основной и старшей школы
В каждый вариант работы было включено три задания по геометрии: два повышенного уровня (по планиметрии и по стереометрии) и одно высокого уровня сложности (по стереометрии). С задачами по планиметрии в 2007 году в среднем справились 8,7% выпускников, по стереометрии – 10,3%. Задачу по стереометрии высокого уровня (С4) в 2007 году в среднем выполнили 0,79% .
Как и в предыдущие годы, участники экзамена 2007 года в целом показали невысокие результаты при решении геометрических задач повышенного уровня сложности. При интерпретации этих данных следует иметь в виду, что часть учащихся с хорошей подготовкой, не предполагающих поступать в учебные заведения, где требуется сдача экзамена по математике, вообще не приступает к выполнению заданий по геометрии, включенных в варианты КИМ.
Не удивительны низкие результаты выполнения заданий по геометрии, показанные в 2005-2007 гг. учащимися, имеющими неудовлетворительный и удовлетворительный уровень математической подготовки, так как не только задачи высокого, но и повышенного уровня на таких выпускников не рассчитаны.
В то же время обращают на себя внимание невысокие результаты выполнения геометрических заданий у учащихся, показавших «хороший» уровень математической подготовки. Из них в среднем около 13% продемонстрировали возможность справляться с задачами, составленными на материале курса планиметрии, и около 14% – со стереометрическими задачами повышенного уровня. Совсем мало учащихся в этой группе выпускников (0,3%) справились с задачами высокого уровня сложности, которые на них не рассчитаны. По сравнению с 2005 и 2006 гг. существенных изменений в количестве учащихся этой категории, успешно справляющихся с задачами по геометрии, не наблюдается.
По сравнению с другими категориями участников экзамена учащиеся с высоким уровнем математической подготовки демонстрируют и более высокий уровень геометрической подготовки. С рассчитанной на этих учащихся задачей высокого уровня (С4) в 2007 году в целом справились 10%. При этом следует отметить, что даже в этой группе наиболее продвинутых выпускников с задачами по планиметрии справляются меньше учащихся (59%), чем справляются с задачами по стереометрии (67%).
Остановимся на более полном описании характерных особенностей подготовки учащихся по курсу алгебры и начал анализа и по курсу геометрии основной и старшей школы, уделяя особое внимание выявленным недочетам и рекомендациям по их преодолению.
Алгебра и начала анализа
Включение в варианты КИМ большого числа алгебраических заданий (22 из 26) различной сложности позволило составить более детальное описание состояния алгебраической подготовки выпускников, продемонстрировавших различные уровни математической подготовки. (см. таблицу 2)
Таблица 2
Описание алгебраической подготовки участников экзамена в 2007 году, показавших различные уровни общей математической подготовки
| Уровень математической подготовки участников экзамена
|
Описание алгебраической подготовки
|
| «Неудовлетворительный
тестовый балл 1-35 – оценка «2»., Процент выпускников 20,9% |
В целом выпускники этой группы фактически не овладели ни одним из элементов содержания, проверявшихся на базовом уровне. |
| «Удовлетворительный»
тестовый балл 36-54 – оценка «3». Процент выпускников 41,9% |
В целом эта группа выпускников овладела 9-11 элементами содержания из 13, которые контролировались с помощью заданий базового уровня сложности в вариантах КИМ. Эта категория выпускников на базовом
При этом значительная часть учащихся не усвоила: преобразования тригонометрических выражений, решение иррациональных уравнений и нахождение области определения сложной функции. В целом, эта группа выпускников не справилась ни с одним заданием повышенного уровня. |
| «Хороший
тестовый балл 55-73 – оценка «4». Процент выпускников 29,6% |
В целом эта группа выпускников овладела всеми элементами содержания, проверявшимися на базовом
Эта группа выпускников овладела 3-4 элементами содержания из 7-ми, освоение которых проверялось на повышенном
– преобразовывать выражения и находить их значения; – применять понятие периодичности для нахождения значений периодической функции; применять геометрический смысл производной для решения задач; – решать системы двух уравнений с двумя неизвестными. |
| «Отличный
тестовый балл 74-100 –оценка «5». Процент выпускников 7,6% |
Эта группа выпускников успешно овладела всеми элементами содержания на базовом и повышенном
Они овладели не только методами решения всех математических задач повышенного уровня, включенных в варианты КИМ-2007, но и показали умение математически грамотно и обоснованно записать свое решение при выполнении заданий повышенного уровня с развернутым ответом. |
Данные, приведенные в таблице 2, показывают наличие положительной динамики в овладении алгебраическим материалом выпускниками, имеющими различный уровень математической подготовки.
Так, выпускники, получившие на экзамене отметку "3", овладели 9 – 11 основными умениями из 13, которые контролировались заданиями базового уровня сложности. В связи с этим удалось поднять "планку" выставления минимальной положительной отметки "3" до 7 заданий, тогда как в 2005-2006 гг. – для получения этой отметки требовалось выполнить верно не менее 6 заданий.
Большинство учащихся, показавших хороший уровень математической подготовки, как и в прошлом году, справились с 3 – 4 алгебраическими заданиями из 7 заданий повышенного уровня сложности. Вместе с тем значительный процент (30% – 40%) выпускников этой группы выполнили ещё 1 – 2 из остальных заданий. При этом от 16% до 29% сумели решить и грамотно записать полученное решение при выполнении заданий повышенного уровня с развернутым ответом (С1 и С2). Результаты, показанные этой группой выпускников, свидетельствуют о значительном потенциале, которым они обладают, и позволяют предполагать, что целенаправленная работа в процессе обучения с этой группой учащихся будет способствовать повышению качества их математической подготовки.
Как и в 2006 году, выпускники 2007 года, имеющие отличный уровень подготовки, справляются со всеми заданиями базового уровня сложности, а также со всеми заданиями повышенного уровня сложности.
Остановимся теперь на недостатках, которые выявились в математической подготовке выпускников 2007 г.
Как и в предыдущие годы, типичными при выполнении заданий базового уровня сложности (Часть 1 КИМ) являются ошибки, связанные с незнанием основных формул, правил, свойств алгоритмов действий и методов решения уравнений или неравенств. Заметим, что эти ошибки, в основном, встречаются у тех выпускников, которые показали неудовлетворительный уровень математической подготовки. В этом году наиболее трудными, в том числе и для тех, кто получил удовлетворительную оценку, оказались задания, в которых проверялось умение проводить тождественные преобразования тригонометрических выражений и находить их значение (например, найдите значение выражения ) и умение решать иррациональные уравнения (например, ). В первом из примеров учащиеся затрудняются в применении основного тригонометрического тождества, одной из первых формул тригонометрии. Во втором примере выпускники забывают выполнять проверку найденных корней уравнения – следствия, и в ответе появляются «посторонние корни».
Как неоднократно отмечалось, при проверке усвоения раздела "Тригонометрия" выпускники показывают самые низкие результаты:
– при выполнении тождественных преобразований тригонометрических выражений, с которыми справляются только 44,7% - 54,1%,
– при работе с простейшими тригонометрическими уравнениями, которые решают 67,7% – 70%.
Как показывает опыт преподавания, успеха добиваются те учителя, которые в первую очередь заботятся о понимании учащимися изучаемого материала. В методике математики для обеспечения понимания пользуются различными интерпретациями понятий, «переводами» с одного языка на другой (например, с «алгебраического» языка на «геометрический» и наоборот), а также – математическими моделями. В тригонометрии появляеются новые для учеников модели – числовая окружность и числовая окружность на координатной плоскости (в различных учебниках для 10-11 классов имеется различная терминология). Эта модель обеспечивает понимание не только вводимых определений (синуса числа и косинуса числа), но и облегчает прочное усвоение основных формул.
Подробнее остановимся на тех затруднениях, которые возникли у учащихся при выполнении заданий повышенного уровня сложности. Анализ содержания этих заданий показывает, что при их выполнении не нужно проводить сложных преобразований или вычислений, не нужно изобретать новых методов решения. Вместе с тем при их выполнении зачастую нужно соотнести
известный стандартный метод решения с условием задачи,
что может помочь найти более рациональный способ решения. Возможно, что для выполнения необходимых для решения действий потребуется самостоятельно определить,
на каком множестве чисел будут выполняться эти действия.
Анализ ответов участников экзамена показывает, что даже хорошо подготовленные учащиеся часто выполняют задания, используя "шаблонные" методы решения, которые приводят к громоздким преобразованиям и вычислениям.
Например, при выполнении задания "Решите уравнение " выпускники преобразовывали это уравнение к виду и рассматривали два случая, привычно раскрывая знак модуля. Хотя внимательный анализ условия задания показывает, что на промежутке , на котором следует искать корни уравнения, выражение принимает только положительные значения.
Другой пример. При решении иррационального уравнения применение стандартного приема "возведение в квадрат" обеих частей уравнения, очевидно, приводит к громоздкому уравнению 4-ой степени. Однако при анализе левой части исходного уравнения легко (даже с помощью устных вычислений) заметить, что x
= 4 является корнем многочлена , а значит, при его разложении на множители в левой части уравнения появится множитель (x
– 4). Это несложное преобразование, известное ещё из основной школы, сводит исходное уравнение к простейшей совокупности уравнений
Особое затруднение и даже вопросы во время проведения экзамена вызвало задание на нахождение значения выражения: «Найдите значение выражения, , если 4=0,7». Заметим, что преобразования выражения здесь не представляют никаких проблем для хорошо подготовленных выпускников, так как в явном виде под корнем записан квадрат двучлена ().
Основная проблема возникла при раскрытии модуля и определении знака значения выражения, стоящего под знаком модуля ( или ). Затруднение вызвало применение условия для ответа на поставленный вопрос.
Очевидно, что при выполнении приведенных выше заданий хорошо подготовленный выпускник должен был показать не только знание известных методов решения уравнений или преобразования выражений, но и умение проанализировать условие, соотнести данные и требования задания, вывести из условия различные следствия и т.п., то есть показать определенный уровень развития математического мышления.
Таким образом, при обучении хорошо успевающих учащихся нужно не только позаботиться об усвоении базовой составляющей курса алгебры и начал анализа, (усвоение изученных правил, формул, методов), но и о реализации одной из главных целей обучения математике – развитию мышления учащихся, в частности, математического мышления.
Отдельные критики проведения итоговой аттестации в форме ЕГЭ были серьёзно озадачены тем, что именно эта составляющая математической подготовки почти не проверяется заданиями, включенными в варианты КИМ. Однако опасения оппонентов явно не оправданны. Анализ вариантов КИМ, неоднократно выполненный представителями школьного математического сообщества (учителями, методистами, преподавателями педагогических вузов и т.п.), убедительно показывает, что задания повышенного (а тем более высокого) уровня сложности в полной мере проверяют такие качества мышления учащихся, как глубину, гибкость, самостоятельность и т.п. Но именно в этом и состоят проблемы в организации обучения школьных «хорошистов» и «отличников». Для их решения учителям нужно организовать целенаправленную работу на уроках математики. Очевидно, что учителям математики не отведут специального времени (или специальных уроков) на формирование математического мышления, поэтому данную проблему нужно решать на каждом уроке.
Как отмечают специалисты, одним из основных путей развития мышления является решение проблемных задач. В этой связи встают два вопроса, какие
– предполагается перестройка знакомых (изученных) способов решения,
– проводится выбор рационального способа решения из возможных способов,
– применяются известные методы для решения новых задач,
– применяются изученные факты для решения реальных жизненных проблем и т.п.
Как видно из приведенных выше признаков проблемных задач, на уроках математики при изучении любой темы имеется реальная возможность включать такие задачи в учебный процесс, разрабатывая индивидуальный вектор подготовки (процесса обучения) учащихся, претендующих на хорошую или отличную оценку.
Приведем несколько примеров, используя задания, представленные в КИМ–2007. В разделе «Тригонометрия» рассматривается решение систем двух уравнений, одно из которых - тригонометрическое уравнение. В учебниках и пособиях для подготовки к экзаменам имеется много трудных, содержащих громоздкие преобразования и вычисления заданий, где требуется решить подобные системы. В КИМ-2007 в Части 2, где расположены задачи повышенного уровня сложности, была предложена следующая система:
«Найдите значение выражения , если известно что ».
Очевидно, что по своему внешнему виду система, вполне «привлекательна» для выпускников, поскольку она решается стандартным способом. Вместе с тем, если выпускник обратит внимание на необычное (нестандартное) требование задания, то для ответа на поставленный вопрос (при рациональном способе решения) он должен перестроить изученный способ решения. Таким образом, данную задачу с полным основанием можно отнести к проблемной.
Заметим, что такие задания учитель может составить самостоятельно и активно включать в учебный процесс, так как они органично ложатся в канву изучаемого материала, а решение подобного задания способствует формированию гибкости мышления.
Рассмотрим другой пример: «Функция определена на промежутке . На рисунке изображен график производной этой функции. Укажите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции имеет наименьший угловой коэффициент».
Очевидно, что это задание проверяет понимание геометрического смысла производной, т.е. элемента содержания, который обычно контролируется в школе. Однако оно сформулировано в несколько необычной форме: производная и ее характеристики (значения) представлены графически. Ученик, выполняя это задание, должен по графику увидеть наименьшее значение производной (наименьший угловой коэффициент касательной) и определить соответствующее значение аргумента. Обычно подобное задание предлагают выполнить аналитически: с помощью формулы задается функция, находится ее производная и значение в заданной точке. В рассмотренном «графическом» формате выпускнику не нужно знать формулу производной, вычислять ее значение в некоторой точке и т.д. В таком контексте задание менее сложно, чем представленное аналитически. Здесь в явном виде проверяется владение геометрическим смыслом производной (). Однако с подобным заданием справляется менее трети выпускников, т. е. задание оказывается более трудным.
Если задуматься над тем, можно ли отнести предложенную задачу к проблемным, то ответ, по-видимому, будет однозначным.
Таким образом, очевидно, что при подборе соответствующих задач уроки математики обладают большими потенциальными возможностями для развития мышления учащихся, а целенаправленная работы в этом направлении будет способствовать повышению качества математической подготовки учащихся, получающих школьные оценки «4» и «5».
Геометрия
Как и в предыдущие годы, по геометрическим заданиям повышенного уровня сложности в 2007 году получены низкие результаты – от 2% до 27% верных ответов по вариантам КИМ. Интересно отметить, что с этими задачами справляется лишь категория учащихся с «высокой» математической подготовкой. По подавляющему большинству задач правильные ответы получили более 60% таких учащихся. Из учащихся с хорошей математической подготовкой (годовая оценка по предмету «4») менее 20% успешно решали эти задачи.
Отсюда очевидно, что при сдаче ЕГЭ геометрические задачи дают возможность отобрать самых подготовленных по математике учащихся. С другой стороны, такие низкие результаты могут говорить о неблагополучном положении с геометрической подготовкой учащихся в средней школе. Проанализируем причины таких результатов.
Следует отметить, что в экзаменационной работе задачи по геометрии предназначены даже не для школьных пятерочников, а для абитуриентов тех вузов, где в состав приемных экзаменов входит математика. Результаты выполнения геометрических заданий не учитываются при выставлении аттестационной оценки. Поэтому, как показывает опыт проведения ЕГЭ, учащиеся с «низкой» математической подготовкой, а также многие учащиеся с «хорошей» подготовкой, которым не нужно сдавать математику для поступления в вуз, даже не приступают к решению геометрических задач. Кроме того, из тех учащихся, кто приступает к решению, только около трети получают верный ответ по большинству стереометрических задач, а по планиметрии доля верных ответов еще меньше.
Чтобы выдвинуть обоснованные предположения о причинах неуспеха при решении задач, надо принять во внимание характерные особенности геометрических задач, включавшихся в варианты ЕГЭ.
1. Все эти задачи – вычислительные. Это значит, что для успешного решения должен быть отработан аппарат стандартных вычислений. В большинстве задач применяются теорема Пифагора, определения синуса, косинуса и тангенса острого угла, теорема косинусов (реже – синусов), требуется вычислить элементы подобных треугольников.
2. Несмотря на то, что задачи вычислительные, для их решения важно владение теоретическим материалом. Хотя от учащихся и не требуется умение грамотно записывать решение и приводить обоснования, но необходимо владеть свойствами заданных плоских и пространственных фигур на уровне применения этих свойств для проведения вычислений и, что очень важно, для распознавания различного вида фигур.
3. Решение задач требует комплексного применения нескольких геометрических фактов. Это значит, что для успешного решения нужно суметь выделить стандартные конфигурации и применить в них изученные свойства, относящиеся к разным разделам курса геометрии. Например, в 2007 году при решении планиметрических задач нужно было в данном параллелограмме распознать и применить свойства равнобедренного треугольника и подобных треугольников или в данном правильном шестиугольнике выявить равнобедренные и прямоугольный треугольники и применить их свойства. В решении стереометрических задач применение свойств заданной пространственной фигуры (цилиндр или конус) сочеталось с выявлением углов или отрезков, величины которых определяют данные или искомые углы или расстояния в пространстве. Кроме того, для вычисления искомых элементов геометрических фигур нужно было применить знания и умения из планиметрии.
4. Характерной особенностью задач, включавшихся в варианты ЕГЭ, является использование в качестве «ключевого момента решения» применения определения или свойства фигуры в нестандартной ситуации. Поэтому для успешного решения задачи учащийся должен владеть достаточно широким спектром различных ситуаций применения геометрических фактов, либо обладать гибким мышлением, позволяющим осуществлять перенос стандартных умений в измененную ситуацию. Наличие такого рода шага в решении играет именно «ключевую» роль. Действительно, если ученик использует этот шаг, то решение сводится к применению 2-3 типичных приемов вычисления и задача решается очень быстро. Если же этот шаг ученик не может выполнить, то либо решение значительно усложняется, либо становится невозможным.
Рассмотрим в качестве примеров одну планиметрическую и одну стереометрическую задачи из вариантов 2007 года. «В правильном шестиугольнике АВСDEF диагональ АС равна . Найдите площадь шестиугольника».
Типичные задачи на правильные многоугольники, используемые в школьных учебниках геометрии, связаны с соотношениями между сторонами, радиусами вписанной и описанной окружностей. Причем, часто сначала выводятся в общем виде соответствующие формулы (весьма трудные для прочного запоминания), а затем решаются задачи. При таком подходе вырабатывается стандартный прием формального применения выведенных формул. Для решения приведенной выше задачи такого стандартного подхода явно недостаточно. Здесь нужно увидеть (или знать), что DАСD – прямоугольный, а DАОС и DСОD – равнобедренные с углами при вершине 120° и 60°, что DСОD еще и равносторонний, что шестиугольник состоит из шести треугольников, равных треугольнику СОD (рис. 1). Ключевым моментом здесь является именно мысленное разбиение данного правильного шестиугольника на шесть равных равносторонних треугольников, откуда и следуют все перечисленные выше свойства данной конфигурации. После этого вычисления будут связаны с применением теоремы Пифагора и формулы площади правильного треугольника (возможен, конечно, и другой способ решения).
Если правильные шестиугольники еще более или менее знакомы учащимся, то правильные пяти-, девяти-, двенадцатиугольники им знакомы намного меньше. Учащиеся при решении задач на такие многоугольники испытывают большие трудности именно из-за попыток применить стандартные приемы. Но в этом случае соответствующие формулы оказываются «неудобными» для решения, да и ненужными. Например, если рассматривается правильный девятиугольник, то указанные соотношения имеют вид: а
9
= 2R
9
·sin 20°, r
9
= R
9
·cos 20°. Вместе с тем, если в задаче речь идет об элементах треугольника, угол которого содержит три центральных угла (каждый центральный угол равен 360°: 9 = 40°), то решение сводится к рассмотрению равнобедренного треугольника с углами 120°, 30° и 30°.
Рассмотрим ещё одну задачу из вариантов КИМ: «Радиус основания цилиндра равен 1, а высота равна . Отрезки АВ и CD – диаметры одного из оснований цилиндра, а отрезок АА1
– его образующая. Известно, что AD = . Найдите косинус угла между прямыми А1
С и BD».
Здесь ключевым моментом решения является выявление угла АСА1
, равного углу между заданными скрещивающимися прямыми, и прямоугольного треугольника, содержащего этот угол (рис. 2). Понятия углов и расстояний в пространстве не отрабатываются в должной мере в ходе решения задач на вычисление элементов пространственных фигур. Менее других отрабатываются углы и расстояния между двумя скрещивающимися прямыми и еще менее – ситуация, когда эти углы и расстояния рассматриваются в цилиндре или в конусе.
При ежегодном анализе результатов ЕГЭ, к сожалению, невозможно увидеть, какие типичные ошибки допускают учащиеся при решении геометрических задач повышенного уровня, поскольку это задачи с кратким ответом: решение задачи учащимися не записывается. По имеющимся данным можно говорить лишь о том, что задачи различной тематики выполняются примерно одинаково, хотя небольшие различия в результатах иногда наблюдаются. В 2007 году более низкие результаты получены только по одной серии планиметрических задач, в решении которых нужно было применить свойство биссектрисы треугольника. Необходимо заметить, что эти задачи можно было решить без применения свойства биссектрисы, но тогда решение становится существенно длиннее. Поэтому знание этого свойства играет ключевую роль в решении задачи. Однако практика проведения ЕГЭ и других испытаний учащихся говорят о том, что большее влияние на результаты выполнения заданий оказывает не тематика проверяемого материала, а степень узнаваемости ситуации, в которой он применяется. Так, в указанной выше серии задач основную трудность для достаточно подготовленных учащихся, знающих свойство биссектрисы треугольника, скорее всего, представляет необходимость увидеть «спрятанный» в заданной конфигурации треугольник, в котором нужно применить свойство биссектрисы.
Из всего сказанного выше следует, что для успешного выполнения геометрических заданий повышенного уровня чрезвычайно важным является решение в процессе обучения геометрии следующих дидактических проблем:
1) овладение базовыми знаниями, умениями применять их в стандартной ситуации;
2) формирование системных знаний об изучающихся в школьном курсе фигурах;
3) знакомство с достаточно широким спектром ситуаций применения геометрических фактов;
4) формирование гибкости мышления, способности анализировать предлагаемую конфигурацию и вычленять в ней части, рассмотрение которых позволяет найти путь решения задачи.
Первая из указанных проблем – это обязательное требование к математической подготовке школьников. На решение этой проблемы в первую очередь должны быть направлены усилия учителя независимо от того, будут ли сдавать его ученики какие-либо экзамены, включающие проверку геометрической подготовки. О том, как более эффективно решать задачу систематизации знаний учащихся, много говорилось в методическом письме 20061
года. При этом подчеркивалась большая роль повторения материала, систематизированного по изученным фигурам.
Третья и четвертая задачи довольно тесно связаны, поскольку рассмотрение различных вариантов применения одного и того же геометрического факта не только работает на создание в памяти «банка» возможных ситуаций, но и способствует формированию потребности и способности анализировать особенности предлагаемой в задаче ситуации. Остановимся более подробно на возможных мерах, направленных на решение этих задач.
1. Отработку умения применять некий геометрический факт в различных ситуациях можно обеспечить, решая много различных задач на его применение. Этому мешает дефицит учебного времени, отводимого на изучение курса геометрии в массовой школе (несколько больше возможностей в классах, где на изучение геометрии выделяется больше часов). Например, изучив теорему Пифагора, хорошо было бы, помимо применения её для вычислений в заданном прямоугольном треугольнике, решить задачи, где дана другая фигура, а вычленение в ней прямоугольного треугольника является отдельным шагом решения. При недостатке времени можно не решать полноценные задачи, требующие много времени на записи и вычисления, а выполнять задания на рассмотрение разных фигур с требованием записать теорему Пифагора для имеющихся внутри заданной конфигурации прямоугольных треугольников. Подобных примеров за небольшой промежуток времени может быть рассмотрено довольно много:
– прямоугольник с проведенной диагональю или биссектрисой одного из углов;
– квадрат с проведенной диагональю или двумя диагоналями;
– треугольник (произвольный, равнобедренный, равносторонний) с проведенной высотой;
– параллелограмм, ромб или трапеция с проведенной высотой;
– ромб с проведенными диагоналями;
– касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания;
– радиус окружности, проведенный через середину хорды.
Подобные конфигурации могут быть рассмотрены при изучении темы «Решение прямоугольных треугольников».
Таким же образом можно поступать и при изучении другого материала, применяющегося в вычислениях (решение косоугольных треугольников, подобие треугольников и т. д.). Например, при изучении признака подобия треугольников по двум углам рассматриваются конфигурации, связанные:
– с трапецией и параллелограммом, в которых проведены прямые, пересекающие параллельные стороны (том числе диагонали или прямые, выходящие за рамки данной фигуры;
– другие конфигурации, связанные с параллельными прямыми;
– треугольники, сторонами которых являются отрезки пересекающихся хорд одной окружности;
– треугольники, возникающие при проведении высот в треугольнике (разностороннем, равнобедренном);
– треугольники, в которых условием задано равенство определенных углов.
Такой же подход можно применить и в ходе обучения стереометрии. Если, например, говорить об углах и расстояниях в пространстве – материале, который из года в год используется в задачах вариантов ЕГЭ (и вступительных экзаменов многих вузов) и традиционно вызывает трудности у учащихся, то можно рекомендовать при изучении каждого конкретного многогранника или тела вращения рассматривать различные расстояния и углы между элементами этих фигур (прямыми и плоскостями). Например, говоря об угле между плоскостью основания пирамиды и плоскостью ее боковой грани, можно обсудить и показать на рисунке различия этих углов в правильной и произвольной пирамидах, треугольной и четырехугольной пирамидах, в пирамиде, у которой в основании лежит правильный многоугольник, но сама пирамида не является правильной и т.п. Такая работа может быть проведена достаточно быстро. Например, на доске изображаются несколько пирамид разного вида. Учащиеся должны изобразить линейный угол искомого двугранного угла и кратко записать построения, продумать обоснования. Затем несколько учеников на доске выполняют соответствующие дополнительные построения и проводится фронтально обсуждение необходимых обоснований. Подобная работа будет способствовать развитию гибкости мышления и формированию представлений о различных ситуациях, связанных с углом между рассматриваемыми плоскостями, и принесет больше пользы, чем решение полноценной задачи, посвященной одной нестандартной конфигурации.
2. При изучении фигур (треугольников, многоугольников, многогранников, тел вращения) можно идти от обратного: анализировать конфигурацию и отвечать на вопрос о том, какие геометрические величины здесь можно вычислить и какими способами. Например, если в трапеции провести две высоты, то появятся прямоугольные треугольники, гипотенузами которых являются боковые стороны, а если провести высоту и диагональ, – то прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является диагональ. В этих треугольниках можно применять теорему Пифагора и определения тригонометрических функций острых углов. Если в трапеции провести две диагонали, то появятся два подобных треугольника и два равновеликих треугольника и т. п. Для равнобедренной трапеции все эти треугольники будут обладать дополнительными свойствами.
Заметим, что в зависимости от того, в какой последовательности соответствующий материал изучается, такую работу можно проводить или непосредственно в ходе изучения материала, или только при повторении, когда уже изучены все необходимые факты. Так, указанные выше свойства трапеции, как правило, в момент прохождения темы «Трапеция» еще не изучены, и здесь речь может идти только об итоговом повторении.
3. Введение определений расстояний и углов в пространстве происходит, как правило, до изучения свойств пространственных фигур. Поэтому при введении этих понятий ограничены возможности их иллюстрации в различных ситуациях, связанных с вычислениями в многогранниках и телах вращения. В свою очередь, при изучении фигур времени на детальную отработку всех фактов, используемых для решения задач на изучающуюся фигуру, конечно недостаточно. Как правило, учащиеся успевают решить несколько типичных задач и некоторое число нетипичных. Например, при изучении пирамиды более или менее можно успеть отработать применение понятий угла между плоскостью основания и плоскостью боковой грани, угла между плоскостью основания и боковым ребром в правильной пирамиде. На экзамене другие углы и расстояния в пирамиде и другие виды пирамид представляют в лучшем случае встречавшиеся в этих ситуациях, а в худшем – совсем незнакомые. Поэтому даже несложные, но нестандартные задачи такого рода посильны только самым подготовленным учащимся. В связи с этим при изучении углов и расстояний можно рекомендовать усилить внимание к этим вопросам в двух направлениях. Во-первых, можно предлагать учащимся задания на их распознавание в пирамидах общего вида, параллелепипедах, конусах и цилиндрах, так как в 5-6 классах, а затем в 9 классе в курсе геометрии рассматривались эти виды фигур, и учащиеся имеют о них представление. Но больший эффект, конечно, дадут подобные задания при изучении каждой конкретной фигуры и ее разновидностей, а также при итоговом повторении.
При повторении, кроме того, можно рассмотреть и отдельную тему «Углы и расстояния в пространстве». При этом в ходе повторения следует решать не те задачи, которые предлагались учащимся при первоначальном изучении этих понятий, а задачи, в решении которых используются все сведения о пространственных фигурах, изученных в курсе стереометрии. Здесь уже задачи концентрируются не вокруг фигуры, а вокруг повторяемого определения из данной темы. Например, при повторении понятия угла между прямой и плоскостью – это углы между различными прямыми и плоскостью основания, плоскостью боковой грани или плоскостью сечения рассматриваются в пирамидах (разных видов), призмах, конусе и цилиндре.
4. Об организации учебного процесса в пояснительной записке к Программе по математике для средней школы говорится, что учебный процесс должен быть организован так, чтобы все учащиеся освоили материал курса на обязательном уровне и, кроме того, чтобы обучение способствовало «удовлетворению потребностей и запросов школьников, проявляющих интерес, склонности и способности к математике. Такие школьники должны получать индивидуальные задания (и в первую очередь нестандартные математические задачи), их следует привлекать к участию в математических кружках, олимпиадах, факультативных занятиях; желательно рекомендовать им дополнительную литературу». Поскольку овладение геометрическим материалом на повышенном уровне не относится к обязательным требованиям, но для части учащихся является весьма желательным результатом обучения, то роль индивидуального подхода при обучении геометрии весьма велика. Поэтому большое значение приобретают все известные в методической науке приемы дифференциации и индивидуализации обучения.
Для всевозможных дополнительных занятий (факультативов, кружков, практикумов, курсов и т.п.) и индивидуальных заданий (на уроке, в домашнем задании) полезно использовать пособия, содержащие задачи из вариантов ЕГЭ2
. Отдельные задачи можно включать и в общую работу на уроке. Знакомство с ними расширит область нестандартных ситуаций применения изученных геометрических сведений. Однако при этом важно продумать и систему проверки решения этих задач, а также организацию консультативной помощи учащимся по решению дополнительных задач.
***
Итоги ЕГЭ 2007 г. позволяют высказать некоторые рекомендации, направленные на совершенствование процесса преподавания математики и уровня подготовки учащихся.
1. Анализ результатов ЕГЭ 2007 г. показал положительную динамику в овладении большинством выпускников требованиями стандарта 2004 г. на базовом уровне. Это позволило поднять границу выставления положительной отметки «3». В 2007 году эта отметка выставлялась при верном выполнении не менее 7-ми заданий работы (ранее было 5-6 заданий). Наряду с этим обращаем внимание администрации школ и учителей математики, что, как и в 2005-2006 гг., около 20% выпускников получили неудовлетворительную отметку, которая свидетельствует о том, что они не усвоили требования стандарта на базовом уровне. В связи с этим, учитывая опыт работы в рамках уровневой дифференциации, представляется продуктивным, чтобы в старшей школе учителя математики для учащихся со слабой подготовкой разрабатывали индивидуальную стратегию подготовки к итоговой аттестации по математике, ориентированную на достижение требований стандарта, действительно доступных большинству старшеклассников. Поэтому целесообразно для этой категории учащихся составить не только перечень доступных для усвоения требований стандарта, но и открытые для них образцы заданий, конкретизирующих эти требования.
2. Анализ решений, предложенных участниками экзамена к заданиям с развернутым ответом, позволил выявить некоторые недочеты в подготовке выпускников, продемонстрировавших хорошую и отличную подготовку по математике. Одним из основных недочетов является жесткое следование изученным алгоритмам без обращения внимания на особенности условия поставленной задачи, позволяющие использовать более рациональный метод решения. В процессе обучения необходимо больше внимания уделять развитию самостоятельности мышления учащихся. Реализация этой задачи в практике работы школы является одним из путей повышения качества математического образования.
Письмо подготовлено членами федеральной предметной комиссии по математике к. п. н. Л.О. Денищевой, к. п. н. Н.Б. Мельниковой, к. п. н. К.А. Краснянской на основе аналитического отчета «Результаты единого государственного экзамена 2007 года», размещенного на сайте ФИПИ (http://www.fipi.ru).