Методические указания к выполнению лабораторной работе

Это равенство может быть переписано в виде

B

=



Ф-1

FT
Y

где Ф-1

– матрица, обратная нормированной информационной матрице Ф

любого рототабельного плана.

Ввиду того, что подматрицы с линейными факторами, а также с их линейными взаимодействиями диагональные, то они легко обращаются (аналогично ортогональным планам).

В таблице приведена матрица рототабельного n-мерного плана второго порядка, в которой используется обозначение:

Запишем формулы для определения оценок коэффициентов:

Точность вычисленных оценок определяется их дисперсиями. Для определения дисперсий оценок коэффициентов воспользуемся таблицей, в которой представлена матрица Ф-1

,рассмотрев ее диагональные и недиагональные элементы. Поскольку в матрице недиагональные элементы не нулевые, то оценки коэффициентов регрессии квадратичных членов и оценка свободного члена остаются взаимозависимыми.

Исходя из системы оценок коэффициентов с учетом кратности m проведения опытов, получим:

Вторые слагаемые в выражениях оценок и обусловлены наличием корреляционной связи между ними. Найдем эту зависимость:

Поскольку остальные подматрицы нормированной матрицы Фишера Ф

и обратной матрицы Ф-1

диагональные или нулевые, то все остальные корреляционные моменты равны нулю. Из этого следует, что оценки коэффициентов и при факторах и их линейных взаимодействиях независимы. Поэтому их можно проверять независимо от полученных оценок других групп коэффициентов на статистическую значимость на основании t-критерия Стьюдента, как и при ортогональном планировании. Если какой-либо из коэффициентов или окажется статистически незначимым, то его можно исключить из уравнения регрессии, не пересчитывая оценки других коэффициентов. Значимость оценки свободного члена или оценки квадратичных коэффициентов регрессии должна проверяться при фиксированных значениях всех остальных коэффициентов из этой группы с помощью F-критерия. Если какая-либо из оценок коэффициентов или окажется статистически незначимой, то для ее исключения из уравнения регрессии требуется пересчет остающихся оценок данной группы.

Рассмотрим задачу проверки гипотезы адекватности полученной регрессионной модели, содержащей значимые коэффициенты. Вначале будем предполагать, что параллельные опыты не ставятся, т.е. m = 1. Тогда остаточная сумма квадратов может быть записана:

т.е. остаточная сумма разбита на сумму отклонений в точках ПФЭ (или ДФЭ), в «звездных» точках и на сумму отклонений опытных и расчетных значений выходной величины в центре плана. Y'i

Перепишем последнее выражение в виде:

В данном выражении первые два слагаемых связаны с общим рассеянием результатов наблюдений отклика относительно оценки регрессионной модели. Общее рассеяние связано со случайными погрешностями наблюдений, возникающими в результате влияния неконтролируемых факторов и систематическими погрешностями в случае неадекватности регрессионной модели и функции отклика. Третий член остаточной суммы связан с дисперсией, характеризующейся только случайной погрешностью опыта. Следовательно, с дисперсией адекватности (остаточной дисперсией) связана сумма:

Подставим уравнение регрессии в это выражение:

и получим остаточную сумму квадратов, связанную с дисперсией адекватности и имеющую число степеней свободы:

Если в каждой точке рототабельного центрального композиционного плана проводилось m параллельных опытов, то, проделав аналогичные выкладки, можно получить выражение для остаточной суммы, связанной с дисперсией адекватности. Оно будет отличаться заменой результатов единичных наблюдений в точках плана на средние арифметические единичных наблюдений, а среднего арифметического y0
из N0
параллельных наблюдений в центре плана на общее среднее арифметическое из mN0
таких наблюдений, т.е.:

Данная остаточная сумма имеет то же число степеней свободы fад,
что и предыдущая.

Далее для проверки адекватности модели необходимо для отношения дисперсии адекватности и дисперсии воспроизводимости применить F-критерий Фишера, как и в общем случае регрессионного анализа. Полученная адекватная модель позволяет не только предсказать с равной точностью независимо от направления значение величины отклика, но и оценить ординаты точки экстремума. Ввиду свойства рототабельности плана эта задача облегчается – можно от полинома второго порядка, полученного в результате эксперимента, преобразованием системы координат (поворотом координатных осей) перейти к стандартному каноническому уравнению.

ЗАДАНИЕ НА ЛАБОРАТОРНУЮ РАБОТУ

1. Составить матрицу планирования ортогонального центрально-композиционного плана для двух факторов с использованием дополнительного нулевого фактора (Х0
=1).

2. Провести эксперимент, во всех точках факторного пространства, повторив 3 раза опыты во всех точках факторного пространства (найти значения функции отклика Y из таблицы 1 согласно варианту, выданному преподавателем).

3. Проверить однородность дисперсии по критерию Кохрена и, если необходимо, подобрать такое m (m – кратность проведения опытов, не больше 5), чтобы дисперсия была однородной.

4. Найти коэффициенты уравнения регрессии для нормализованной системы координат.

5. С помощью критерия Стьюдента оценить значимость коэффициентов регрессии.

6. Проверить адекватность модели оригиналу с помощью критерия Фишера.

7. Привести уравнение регрессии к натуральному виду.

СОДЕРЖАНИЕ И ОФОРМЛЕНИЕ ОТЧЕТА

1. Титульный лист, содержащий информацию о студенте (группа, фамилия, номер варианта).

2. Результаты подготовки (выбранные по варианту значения экспериментальных данных).

3. Основные теоретические положения (используемые формулы).

4. Результаты подготовки (матрица планирования в виде таблицы).

5. Проверка ортогональности столбцов матрицы.

6. Результат проверки однородности дисперсии по критерию Кохрена.

7. Коэффициенты регрессии bi
.

8. Результат проверки значимости коэффициентов регрессии.

9. Результат проверки адекватность модели оригиналу с помощью критерия Фишера.

10. Уравнение регрессии в натуральном виде.

11. Ответы на контрольные вопросы.

12. Выводы по лабораторной работе.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Почему в планах второго порядка возрастает минимально необходимое количество точек в спектре плана? Как определяется число членов квадратичной модели?

2. В каких случаях используют квадратичную модель объекта?

3. Дайте определение ЦКП.

4. Цель натурализации уравнения регрессии.

5. Чем обеспечивается ортогональность столбцов матрицы F?

6. Определение ОЦКП. Каким образом для ОЦКП выбирается числовое значение a (звездного плеча).

7. Объясните, почему точность оценки коэффициентов регрессии для разных групп неодинакова.

ЛИТЕРАТУРА

1. Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. М.: Наука, 1976.

2. Асатурян В.И. Теория планирования эксперимента: Учеб. пособие для втузов. М.: Радио и связь, 1983.

3. Налимов В.В. Теория эксперимента. М.: Наука, 1971.

4. Планирование и организация измерительного эксперимента / Е.Т. Володаpский, Б.Н. Малиновский, Ю.М. Туз.-К.: В.ш. Головное изд-во, 1987.