А. Е. Медведев Институт теоретической и прикладной механики им. С. А. Христиановича со ран 630090, Новосибирск

УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ КРОВИ ПРИ ТЕЧЕНИИ

В МЕЛКИХ СОСУДАХ

А.Е. Медведев

Институт теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича СО РАН 630090, Новосибирск,
e-
mail:
medvedev@
itam.
nsc.
ru

Введение.
Течение крови имеет ряд особенностей – в крупных кровеносных сосу­дах (более 1000 микрон) кровь ведет себя как ньютоновская вязкая несжимаемая жид­кость, для более мелких сосудов необходимо учитывать реологические неньюто­новские свойства течения крови [1]. Поэтому для математического описания течения крови в круп­ных сосудах обычно используется модель вязкой несжимаемой ньютоновской жид­кости, а для мелких кровеносных сосудов – различные реологические модели ненью­то­новской жидкости.

Особенности течения крови.
Кровь (с точки зрения механики) представляет собой суспензию, состоящую из плазмы (вязкая несжимаемая жидкость) и эритроцитов (двоя­ковогнутые деформируемые диски размером 8 мкм на 2.5 мкм, заполненные гелем). Од­ной из основных характеристик крови является показатель гематокрита – объем­ное содержание эритроцитов в крови. Течение крови в сосудах отличается особенностями (эффектами): I) зависи­мость показателя гематокрита от диаметра сосуда (эффект Фаре­уса); II) существование пристеночного слоя плазмы без эритроцитов; III) тупой (по срав­нению с профилем те­чения Пуазейля) профиль скорости крови; IV) вязкость крови па­дает с уменьшением размера сосуда (эффект Фареуса-Линдквиста.

Модель течения крови.
Рассмотрим кровь как суспензию, состоящую из двух несжимаемых фаз. Первая фаза – плазма крови, вторая – эритроциты. Относительная вязкость суспензии зависит от концентрации и, согласно формуле Эйнштейна, имеет вид

(1)

где – объемная доля эритроцитов (локальный показатель гематокрита), , – динамическая вязкость крови и плазмы, соответственно.

Известно ([2]), что эритроциты неравномерно распределены по сечению сосуда, то есть объемная доля эритроцитов зависит от радиуса. Решение уравнений, аналогичных уравнениям Пуазейля, но с переменной вязкостью, дает скорость крови

(2)

где – безразмерный радиус, – максимальная скорость течения Пуазейля.

Скорость крови имеет более тупой профиль, по сравнению с параболическим решением Пуазейля . Это связано с тем, что концентрация эритроци­тов имеет максимум на оси сосуда и минимум на стенке. В силу этого относительная вязкость (1) имеет максимум на оси и минимум на стенке сосуда. Тогда в центре со­суда (при ) имеем , отсюда получим ; на стенке сосуда (при ) скорость течения крови . Таким образом, профиль скорости тече­ния крови тупой, по сравнению с профилем ско­рости Пуазейля.

Для простоты примем, что распределение объемной доля эритроцитов по сече­нию сосуда задается ступенчатой функцией:

(5)

где – относительная толщина пристеночного слоя плазмы, – объемная доля эритро­цитов на оси сосуда.

Эффект образования пристеночного слоя связан с поперечной миграцией эритроци­тов при движении по сосуду. В механике суспензий это явление называется эффектом Сегре-Зильберберга. Толщина пристеночного слоя зависит от диаметра трубы, свойств несущей жидкости и частиц. Поведение эритроцитов во время движения карди­нально отличается от твердых частиц – эритроциты могут деформироваться и слипаться, обра­зую “монетные столбики”. Для нахождения уравнения состояния крови были взяты экс­перименталь­ные данные по зависимости показателя гематокрита от диаметра сосуда (рис. 1a
).

Задача нахождения уравнения состояния крови сводится к решению алгебраиче­ского уравнения на толщину пристеночного слоя и объемной доли эритро­цитов :

(5)

где , – функция, аппроксимирующая экспери­ментальные данные на рис. 1a
.

Выводы.
Проведено сравнение с известными эксперимен­тальными данными [1-3] по относительной наблюдаемой вязкости (рис. 1a
), по толщине пристеночного слоя (рис. 2a
) и профилю продольной скорости крови (рис. 2‍b
). Как видно из рис. 1 и 2, несмотря на грубое приближение профиля локального гема­токрита ступенчатой функцией (5), результаты расчета по модели находятся в рамках погрешности экспери­ментальных измерений.

Получена зависимость вязкости крови от диаметра сосуда для описания течения в сосудах диаметра больше 4.5 микрон. Данные зависимости имеют единые вид для сосудов всех размеров и переходят в формулы течения Пуазейля при больших диа­метрах сосудов.

Работа выполнена при поддержке междисциплинарного интеграционного проекта СО РАН № 91.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.
Левтов В.А., Регирер С.А., Шадрина Н.Х.
Реология крови. М.: Медицина, 1982. 272 с.

2.
Pries A.R., Secomb T.W.
In: Handbook of Physiology: Microcirculation. Ed. Tuma R.F., Dura W.N., Ley K. 2nd
ed. Academ Press. 2008. P. 3–36.

3.
Sharan M., Popel A.S.
A two-phase model for flow of blood in narrow tubes with increased effective viscosity near the wall // Biorheology. 2001. V. 38. P. 415–428.

4.
Long D.S., Smith M.L., Pries A.R. et al.
Microviscometry reveals reduced blood viscosity and altered shear rate and shear stress profiles in microvessels after hemodilution // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 2004. V. 101. N. 27. P. 10060–10065.