Оглавление.
Введение.................................................................................................................................. 2
§1. Классификация ошибок по их психологической природе...... 4
1.1 Анализ................................................................................................................................. 4
1.2 Синтез.................................................................................................................................. 9
1.3 Сравнение и аналогия................................................................................................... 10
1.4 Абстракция, конкретизация и обобщение................................................................. 13
§2. Ошибки школьников ВЗМШ и их анализ................................................... 19
Комбинаторика. Задания №1, №2...................................................................................... 19
Целые числа. Задания №3, 4............................................................................................... 27
Метод координат на прямой и плоскости....................................................................... 35
§3. Общие рекомендации по проверке работ учеников 8 класса ВЗМШ........................................................................................................................................................ 38
Литература........................................................................................................................... 38
Введение.
Любая самостоятельная работа ученика по изучению материала предполагает его работу с учебными текстами. В процессе чтения у него появляются те или иные проблемы с пониманием смысла прочитанного. Преодолевать их помогает учитель. При очном обучении он может оказать эту помощь в любой момент. В заочном обучении диалог выглядит иначе: чаще всего учитель может позволить себе лишь одну письменную реплику по поводу каждой ошибки. Понятно, что это значительно увеличивает "цену" каждой реплики, и они должны быть особенно обдуманными и содержательными, чтобы с их помощью обучаемый мог понять ошибку и исправить ее без дальнейшего вмешательства преподавателя.
Проблемы, которые возникают у ученика в процессе работы с учебным текстом, можно разделить на типичные и индивидуальные. Индивидуальные — это те, которые связаны с особенностями данного ученика. Типичные носят массовый характер. Их в свою очередь можно разделить на два вида: 1) ошибки, спровоцированные изъянами учебного текста; 2) ошибки, связанные с психологией ученика. Ошибки первого рода перестают составлять проблему после соответствующей корректировки пособия. Ошибки же второго рода учителю приходится исправлять и комментировать снова и снова каждому новому ученику. В такой ситуации возникает потребность в типовых комментариях, которые учителю достаточно было бы лишь адаптировать к различным конкретным ситуациям. Предназначенные для постоянного использования, они должны быть как можно более качественными. Это подразумевает выявление психологической природы каждой типичной ошибки с последующим поиском наиболее убедительного способа не просто объяснить ученику, что была сделана ошибка, но и "развенчать" спровоцировавшие ее мотивы, чтобы ученик не допускал подобных ошибок впредь. Соответствующее исследование на примере заданий курса 8 класса Всероссийской заочной многопредметной школы, занимающейся дополнительным образованием одаренных школьников, и составляет основную цель настоящей работы. При составлении рецензий по ошибкам будем руководствоваться следующими принципами: задача, поставленная перед учеником, должна быть доступной (иначе она приведет к задержке процесса обучения или совсем отобьет интерес ученика к решению задач); доля самостоятельной работы ученика максимальна (при такой форме наиболее быстрые темпы развития мышления, да и материал усваивается прочнее); обучение общим теоретическим принципам, а не работе с частными примерами; применение учеником методов при решении задач должно быть осознанным.
Работа состоит из трех параграфов. В первом из них мы дадим обзор некоторых типичных видов ошибок, взяв за основу мыслительные операции, совершаемые при решении задач. Второй параграф посвящен разбору ошибок, наиболее часто встречающихся в работах учащихся 8 класса ВЗМШ. Наконец, в третьей главе эти ошибки группируются по их психологической природе и обсуждается возможная реакция проверяющего на ошибки каждой из групп. Полученные результаты могут быть использованы проверяющими ВЗМШ при рецензировании работ учащихся.
§1
. Классификация ошибок по их психологической природе.
В процессе мыслительной деятельности ученик познает новые объекты и связи между ними с помощью особых умственных операций. Основными мыслительными операциями являются анализ, синтез, сравнение, абстракция, конкретизация и обобщение. Эти операции составляют различные взаимосвязанные, переходящие друг в друга стороны мышления, поэтому четкого разделения ошибок на классы сделать невозможно. Тем не менее, можно выделить ошибки, которые могут возникнуть при определенном типе мыслительного процесса.
1.1
Анализ.
Анализ
– это мысленное разложение целого на части или мысленное выделение из целого его сторон, действий, отношений [2]. Анализ применяется при изучении понятий, предложений и при доказательстве утверждений.
Одним из видов анализа является следующая процедура: разложение множества рассматриваемых объектов A
на несколько подмножеств B
1
,
B
2
, …,
Bn
("случаев") по какому-то определенному критерию и работа с каждым из них отдельно. При этом должны выполнятся следующие условия: 1) объединение всех подмножеств должно совпадать с самим множеством ; 2) пересечение любых двух подмножеств пусто
Впрочем, выполнение второго свойства необходимо лишь в задачах на подсчет объектов. В задачах на доказательство это условие необязательно.
Исходя из вышесказанного, при решении задач методом разложения класса на подмножества могут возникнуть ошибки двух видов:
1) существуют объекты, которые не были рассмотрены: (неполный перебор).
Задача А1:
В математическом кружке занимается 20 учеников. Им задали на дом 20 задач. Оказалось, что каждый член кружка решил ровно 2 задачи, и каждая задача решена ровно двумя учениками. Докажите, что руководитель кружка сможет так организовать разбор всех задач, что каждый ученик расскажет решение задачи, которую он сам решил. Если сможет, то сколькими способами? [6]
Решение: Начертим граф, в котором вершины – ученики, ребра – задачи. Если две вершины (ученика) соединены ребром (задачей), значит ученики решили одну и ту же задачу. От каждой вершины отходит ровно два ребра, так как каждый решил ровно две задачи. Если этот граф развернуть, то получится замкнутый контур (см. рисунок).Наглядно понятно, что существует два способа распределения задач. Они строятся следующим образом. Первый: ученик «1» рассказывает задачу «з1», ученику «2» остается рассказать лишь задачу «з2», ученику «3» - «з3»и так далее, ученик «20» рассказывает задачу «з20». Второй: ученик «1» рассказывает задачу «з20», ученик «20» - «з19», …, ученик «2» - рассказывает задачу «з1». Получается, что преподаватель сможет организовать разбор задач двумя способами.
Анализ ошибки. Не рассмотрен случай, когда граф состоит из нескольких замкнутых частей, например такой граф (см. рисунок). В этом случае разбор может быть осуществлен 2n
способами, где n
– количество контуров. Причина в том, что при составлении цепочки от какого-то ученика школьник не рассматривает случай ее замыкания раньше, чем на 20 звене. Таким образом, ученик произвел неполный перебор: не рассмотрел случай несвязного графа.
2) в разложении существует два подмножества
Bi
и
Bk
такие, что .
Рассмотрим задачи, в которых требуется сосчитать количество объектов, удовлетворяющих данному условию.
Задача А2:
Сколько существует положительных чисел, меньших 100, которые делятся на 2 или на 3.
Решение: Чисел, делящихся на 2 – 49. Чисел, делящихся на 3 – 33. Чисел, делящихся на 2 или на 3: 49 + 33 = 82.
Ответ: 82.
Анализ ошибки: При решении данной задачи не было учтено существование чисел, которые делятся на 6 (на 2 и на 3). В результате такие числа были подсчитаны два раза: первый – как делящиеся на 2, второй – как делящиеся на 3.
При решении такого рода задач (задач на подсчет количества элементов, удовлетворяющих условию задачи), следует разделять множество всех объектов на попарно непересекающиеся множества или каким-то образом учитывать их пересечения.
Другое дело, если мы проводим отдельно для каждого множества, объединение которых дает весь класс, какое-либо построение, нахождение (скажем, корней уравнения) или доказательство. Пересечение множеств при этом может быть и не пустым, на результат это не влияет. Главное, чтобы каждый из объектов принадлежал хотя бы одному из рассматриваемых множеств. В противном случае решение будет неполным. Приведем пример:
Пример А3:
Все треугольники равновелики.
Решение: Пусть стороны треугольника D равны a
,
b
,
c
,
соответствующие высоты ha
,
hb
,
hc
,
площадь равна S
.
Для обозначения треугольников будем использовать те же обозначения только с соответствующим числом штрихов.
Так как S
=
ah
/2
, то:
| ; | (1) |
| . | (2) |
Из (1) и (2) следует:
| ; | . |
Следовательно,
,
или:
| . | (3) |
Умножив обе части равенства (3) на и раскрыв скобки, получим:
| . | (4) |
Прибавив к обеим частям равенства (4) разность , получим:
| . | (5) |
Из (5) следует, что
| . | (6) |
Анализ ошибки: В данном случае переход от (5) к (6) не равносильный, так как равенство (5) выполняется в двух случаях:
1) , тогда не обязательно, чтобы .
2) , тогда обязательно .
Заметим, что всегда. Поэтому, отбросив первый случай, ученик по сути дела пошел по неверному пути. Все ученики хорошо знают, что на ноль делить нельзя. Тем не менее они часто делят на выражения без проверки равенства последних нулю.
Приведем еще один пример, когда рассмотрены не все возможные случаи.
Пример А4:
Дан треугольник ABC
. Проведена высота BH
, равная 4. Найдите площадь треугольника ABC
, если известно, что AH
=6,
BC
=5.
Решение: Так как треугольник BCH
прямоугольный, то
CH
= =
3.
Значит AC
=
AH
+
HC
=
6 +
3 =
9.
Площадь треугольника ABC
соответственно равна:
.
Анализ решения: В рассуждениях ошибок нет, но не рассмотрен случай, когда треугольник ABC
– тупоугольный. Рассуждения будут аналогичными, а ответ другой. Очевидно, ученик бессознательно использовал в решении особенности своего чертежа, не вытекающие из условия задачи.
1.2 Синтез.
Синтез
– это мысленное объединение частей, свойств, действий в единое целое. Синтез не является механическим соединением частей и поэтому не сводится к их сумме [2].
Главное в процессе синтеза – учесть все условия, все данные, чтобы получить адекватный результат. Всем известно, что бывает, если не учесть одно из уравнений системы; как трудно иногда решить задачу по геометрии, позабыв про какие-то данные; построить график функции, не исследовав ее производную и т. п. Рассмотрим примеры, когда одно из условий не учтено.
Задача С1:
Решить неравенство .
Решение: так как знаменатель дроби всегда положителен, то он не влияет на знак. Получаем, что решением неравенства будет промежуток (–3; 3).
Анализ ошибки: Знаменатель действительно не влияет на знак неравенства, но при равенстве последнего нулю дробь не имеет смысла, поэтому x
= 0
следует исключить из множества решений.
Таким образом, от того, в какой степени учтены свойства исследуемого объекта, зависит конечный результат синтеза.
1.3 Сравнение и аналогия.
Сравнение
– это установление сходства или различия между предметами или их отдельными признаками . Сравнение приводит к правильному выводу, если выполняются следующие условия: сравниваемые понятия однородны и сравнение осуществляется по таким признакам, которые имеют существенное значение.
Процесс сравнения и аналогия тесно связаны. Можно сказать, что сравнение подготавливает почву для применения аналогии
. С помощью аналогии сходство предметов, выявленное в результате их сравнения, распространяется на новое свойство. Рассуждения по аналогии можно представить следующей схемой:
Объект A
обладает свойствами c
1
,
c
2
, …,
cn
.
Объект B
обладает свойствами c
1
,
c
2
, …,
cn
-1
.
Предполагается, но не утверждается, что B
обладает свойствомcn
. Именно поэтому аналогию нельзя считать доказательным методом, ее еще надо обосновать. Тем не менее, рассуждения по аналогии полезны в процессе обучения, так как подразумевают самостоятельную формулировку новых теоретических фактов. Основная ошибка школьников при применении аналогии – это отсутствие рассуждений, которые бы полностью ее обосновывали. Без них решение является неполным или просто неверным.
Рассмотрим наиболее часто встречающиеся в решениях школьников виды необоснованных аналогий:
1) Расширение сферы применения теоремы.
Появление такого рода ошибки, как правило, связано с формальным знанием теоремы или свойства. В сознании ученика четко не выделены условия применимости теоремы, и в результате некоторые из них остаются за пределом его рассмотрения. Следствием этого является незаконное использование теоремы. По сути ученик применяет не теорему, а ее аналог, который нередко оказывается неверным. Рассмотрим пример:
Пример
A
н1
: Хорда, не проходящая через центр окружности, равна диаметру.[5]
Доказательство: Дана окружность с диаметром AB
. Выберем на ней произвольно точку C
. Середина AC
– точка D
. Проведем через точки B
и D
хорду BE
. Теперь соединим точки C
и E
.
Рассмотрим треугольники ADB
и DCE
. Они равны по стороне и двум углам
:AD
=
DC
по построению; ÐB
=
ÐC
как вписанные, опирающиеся на одну дугу AE
; ÐADB
=
ÐCDE
как вертикальные. Значит соответствующие стороны AB
и EC
равны.
Анализ ошибки: «Равенство треугольников по стороне и двум углам» – именно такую условную формулировку часто дают признаку равенства треугольников по стороне и прилежащим к ней углам. В результате школьники просто ищут пары равных элементов: AD
=
DC
, ÐB
=
ÐC
,
ÐADB
=
ÐCDE
. При этом условие, что углы должны быть прилежащими соответственно к сторонам AB
и DC
, забывается. Буквальное восприятие условной формулировки признака равенства треугольников приводит к замене его совсем другим. Произошло расширение сферы применения признака. Ученик воспользовался им без выполнения надлежащих условий, он заменил их на более общие. Это и привело к противоречивому факту – равенству хорды, не проходящей через центр, диаметру. В этом случае лучше всего будет, если ученик самостоятельно, просмотрев предварительно точную формулировку признака равенства треугольников, найдет у себя ошибку.
2) Использование вместо теоремы обратного к ней утверждения.
Смысл рассуждений при этом заключается в следующем: если у нас верно A
Þ
B
, то верным будет и B
Þ
A
. Понятно, что это выполняется не всегда. Приведем простой пример, когда обратная теорема не верна, и ее применение приводит к противоречивому результату.
Пример Ан2:
Докажем, что все числа равны.
Для этого возьмем два произвольных числа a
и b
. Докажем, что a
=
b
.
0 = 0
Þ
a2
– 2ab +b2
= b2
–2ab + a2
Þ
(a – b)2
= (b – a)2
Þ
a – b =
= b – a
Þ
2a = 2b
Þ
a = b.
Переход(a – b)2
= (b – a)2
Þ
a – b = b – a
неверен. Дело в том, что из равенства чисел следует равенство их квадратов, но из равенства квадратов не следует равенство чисел (будут равны лишь их модули).
3) Ошибки при попытке обобщения.
Пусть у нас имеется класс A
и класс B
. Для элементов класса A
выполняется свойство CA
. Делается предположение, что для элементов класса B
будет выполняться условие CB
, которое построено по аналогии со свойством CA
в соответствии с особенностями класса B
. Например:
Задача Ан3:
В прямом параллелепипеде ребра равны a
,
b
,
c
.
Найдите длину главной диагонали.
Решение: Так как в прямоугольнике квадрат диагонали равен сумме квадратов его сторон, то квадрат главной диагонали в прямом параллелепипеде будет равен сумме квадратов его ребер, то есть a
2
+
b
2
+
c
2
.
В данном случае утверждение, полученное по аналогии, верно, но не доказано.
Другой пример: в плоскости любая прямая задается уравнением вида Ax
+
By
+
C
= 0
. Предположение, что в пространстве любая прямая будет задаваться уравнением вида Ax
+
By
+
Cz
+
D
= 0
не верно.
Задача учителя – объяснить ученику, что утверждение, полученное по аналогии с верным, может оказаться неверным. Поэтому оно требует отдельного доказательства.
1.4 Абстракция, конкретизация и обобщение.
Абстракция
состоит в том, что субъект, вычленяя какие-либо свойства, признаки изучаемого объекта, отвлекается от остальных [2]. Абстрагирование, процесс применения абстракции, обычно осуществляется в результате анализа. При этом признак, отделяемый от объекта, становится самостоятельным объектом мышления.
Конкретизация
предполагает возвращение мысли от общего и абстрактного к конкретному с целью раскрыть его содержание [2].
Обобщение
– мысленное объединение предметов и явлений по их общим и существенным признакам [2].
Эти три процесса тесно взаимосвязаны между собой. Абстрагирование, как правило, происходит лишь после обобщения, когда объект абстрагирования выделен. Конкретизация – процесс, обратный к абстрагированию.
Обобщение можно определить, как переход от единичного к общему. Рассматриваются конкретные объекты класса. У этих объектов замечается выполнение определенного свойства, делается предположение, что для всех объектов класса это свойство будет выполняться. На самом деле есть определенная схожесть с аналогией, но есть и отличие: при обобщении мы можем с помощью абстрагирования работать с классом, как с одним объектом. Например, любое число, делящееся на 5 можно представить в виде 5k
. Доказав какое-то свойство для этого объекта, мы тем самым докажем это свойство для всего класса. Обратное происходит при конкретизации: если свойство верно для всего класса, то для конкретного объекта этого класса свойство будет выполняться.
Рассмотрим ошибки, которые могут возникать при этих процессах.
Одна из распространенных ошибок – необоснованность обобщений. Свойство класса при этом просто замечается, но не доказывается, оно, как правило, проверяется лишь для нескольких элементов класса. Рассмотрим классический пример, принадлежащий Л. Эйлеру:
Пример О1:
Верно ли, что при любом натуральном n
n
2
+
n
+41
– простое число?
Доказательство: при n
= 1:
n
2
+
n
+ 41 = 43 –
простое число;
при n
= 2:
n
2
+
n
+ 41 = 47 –
простое число;
при n
= 3:
n
2
+
n
+ 41 = 53 –
простое число;
при n
= 4:
n
2
+
n
+ 41 = 61 –
простое число;
при n
= 5:
n
2
+
n
+ 41 = 71 –
простое число;
и т. д. При остальных n
выражение n
2
+
n
+ 41
также будет простым числом.
Обобщение в этом случае не только не обосновано, но и опровергается конкретным примером: при n
= 41
имеем n
2
+
n
+ 41 = 412
+ 41 + 41 = 41
×
(41+2) = 41
×
43.
В жизни обычно на основе проверки свойства у нескольких объектов класса делается вывод, что данное свойство выполнимо для всего класса в целом. Примерно так строилось большинство физических законов; на ограниченном числе опытов выводились биологические и химические закономерности. Конечно, обобщение – это неотъемлемая часть построения гипотез. Но именно гипотез, из которых лишь впоследствии вырастают логически обоснованные теории. Из рассмотренного выше примера видно, что проверенное даже на многих конкретных примерах утверждение (для натуральных чисел, меньших 41, оно выполняется) может оказаться ложным. Подобные ситуации и вынуждают приводить полные доказательства полученных обобщений, независимо от степени уверенности в справедливости данной гипотезы.
Ошибочность полученной с помощью обобщения гипотезы нередко бывает связана с нереферентностью неосознанно проведенной выборки рассмотренных для ее выдвижения объектов. Они в таких случаях обычно подбираются по принципу «что ближе лежит (или лучше знаем), то и берем». В результате предполагаемый ответ может оказаться неверным для объектов, которые "лежат дальше".
Рассмотрим конкретный пример.
Пример О2: Найдите множество всех решений неравенства
x
3
–
x
³
0
(х
ÎR
).
Ответ: [0,+¥].
Анализ ошибки: Ученик просто подобрал ответ, подставляя в неравенство только целые числа. Поэтому-то промежуток (0,1) он также включил в ответ (ведь в нем нет ни одного целого числа, а 0 и 1 удовлетворяют неравенству). Изучив нецелые числа, ученики тем не менее стараются по возможности обходится без них. Такой разрыв между теоретическими знаниями и обыденным сознанием зачастую ведет к неверным выводам вроде сделанного выше. В данной ситуации лучше всего посоветовать ученику решить неравенство методом интервалов, сравнить полученный ответ с первым и попытаться понять, почему его первоначальная гипотеза оказалась неверной.
Решения, в которых доказательство свойства для всего класса необоснованно заменяется проверкой лишь для одного или нескольких конкретных объектов этого класса, вообще встречаются в работах школьников достаточно часто. Рассмотрим еще один пример.
Задача О3:
Докажите, что сумма любых десяти подряд идущих нечётных чисел делится на 20.
Решение: 1 + 3 + 5 + 7 + … + 19 = 100, делится на 20. Остальные суммы тоже делятся на 20.
Анализ решения: Из того, что свойство выполняется для одной последовательности чисел, еще не следует выполнение свойства для любой другой последовательности. Например, почему 1333 + …+ 1351 делится на 20? От ученика требуются пояснения, которые бы доказывали свойство для всех последовательностей, а не проверка свойства на конкретном примере. Поэтому и оценка решения должна вестись прежде всего на основе того, проверяет ученик свойство для частных случаев или он проводит свои рассуждения для всего класса рассматриваемых объектов. В нашем случае видно, что ученик просто подсчитал сумму, никакой предпосылки для обобщения он не выделяет.
Рассмотрим пример, когда строгого доказательства нет, но все-таки его можно считать верным.
Задача О4:
Число при делении на 5 дает остаток 2. Какой может быть остаток при делении на 10?
Решение: 2 = 5×0 + 2
= 10×0 + 2
, 7 = 5×1 + 2
= 10×0 + 7
, 12 = 5×2 + + 2
= 10×1 +2
и так далее, при увеличении числа на 5 никаких других остатков, кроме 2 и 7 не будет.
В этом случае более строгих пояснений не требуется, так как действия с оставшимися объектами достаточно ясны.
В отличие от обобщения, при конкретизации происходит переход от общего к частному: от понятия к объекту, который этим понятием характеризуется; от теоремы к применению этой теоремы. В связи с этим возникают ошибки следующего вида: 1) неточное понимание определения; 2) неправильное применение теоремы, свойства.
В понимание структуры определения входит:
1) понимание смысла определения (раскрытие содержания понятия).
2) понимание строения определения (родовой и видовой признаки).
3) знание условий, которым должно удовлетворять правильное определение (указываются только основные признаки, не должно быть “порочного круга”).
Ученики могут понимать определение более узко (множество объектов, подходящих под определение, меньше действительного) или более широко (множество объектов, подходящих под определение, шире действительного).
Примеры:
· по определению делимости 5 делится на 2, так как существует число 2,5 такое, что 5 = 2×2,5. Множество объектов шире действительного, так как оба множителя должны быть целыми числами.
· многие школьники четырехугольник понимают как выпуклый, понятия о существовании невыпуклого четырехугольника нет, так как в школьной практике ученики работают почти исключительно с выпуклыми фигурами. Множество объектов, удовлетворяющих определению, ýже действительного.
Ученики в рассуждениях иногда используют предложения, которые к рассматриваемому объекту применять нельзя. Например:
Задача О5:
Основание призмы имеет площадь S
. Ее боковое ребро длиной k
наклонено к основанию под углом a. Найдите объем призмы.
Решение: Объем призмы равен произведению площади основания на длину бокового ребра, поэтому V
=
S
×
k
.
Анализ ошибки:
В данном случае ученик воспользовался формулой вычисления объема для прямой призмы. Для наклонной призмы эта формула не верна, следовательно, применять ее нельзя. Единственный способ искоренить ошибку – показать ученику наглядно, что его рассуждения противоречивы. Для этого возьмем прямую призму. Разделим ее на две равные части так, как показано на рисунке. Составим из этих частей наклонную призму. Понятно, что их объемы должны быть равны. Если же действовать подобно ученику при вычислении объемов, то объем наклонной призмы будет больше, чем объем прямой призмы.
§2. Ошибки школьников ВЗМШ и их анализ.
Эта часть основана на конкретных работах учащихся ВЗМШ. Здесь мы выделили типичные ошибки, которые допускаются школьниками при выполнении заданий по пособиям [8] – [10], входящих в программу 8 класса Кировского отделения ВЗМШ. Анализ причины и соответствующие комментарии по ее исправлению, приведенные ниже по каждой из задач, могут быть использованы проверяющими при рецензировании работ учащихся. Кроме того, анализ причин основан на классификации ошибок, которая нами уже рассмотрена в §1. На ее основе мы и будем составлять соответствующие комментарии по задачам. Номера всех задач совпадают с их номерами в пособиях [8] – [10], которые приложены к настоящей работе.
Комбинаторика. Задания №1, №2.
Задача 1-7.
A
È
B
содержит 25 элементов, A
Ç
B
– 10 элементов, B
содержит 15 элементов. Найти количество элементов в A.
Рассуждения ученика:
Так как множество B
содержит 15 элементов, то множество A
будет содержать 25 – 15 = 10 элементов.
Анализ ошибки:
Следует заметить, что, выполняя задание “Комбинаторика”, большинство учеников впервые знакомятся с теорией множеств. В связи с этим они пытаются найти свойства, схожие со свойствами уже знакомых им объектов. Так операцию объединения двух множеств школьники часто связывают с операцией сложения двух чисел. Это вполне логично, ведь в свою очередь числа еще в младшем возрасте они изучали при помощи подручных предметов, к примеру, тех же счетных палочек, то есть, фактически, с помощью операций над множествами. При решении задачи ученик действовал с множествами, как с числами. Это было бы верно, если бы пересечение множеств было пустым, как при работе со счетными палочками. Но если это не так, то число элементов в объединении и сумма количеств элементов в каждом из множеств – это разные величины. Но ученик действовал по уже сформированному стереотипу, поэтому в ответе он получил не количество элементов множества A
, а количество элементов, принадлежащих только A
. Исходя из классификации, данной в §1, эту ошибку следует отнести к классу необоснованных аналогий
. Причина ошибки состоит в том, что ребенок при решении задачи неосознанно работает с любыми двумя множествами как с непересекающимися. Проверяющему следует помочь ученику разобраться в понятиях пересечения и объединения, сделав упор на том, что отличает объединение множеств от сложения чисел. Это можно сделать, разобрав конкретную задачу. Целесообразно использовать круги Эйлера, так как графические иллюстрации помогают ученику лучше воспринимать информацию. Рассмотрим конкретный пример.
Задача
. Множество A
содержит 7 элементов, множество B
– 10, объединение множеств A
и B
– 15.Сколько элементов содержит пересечение множеств A
и B
(c
)?
Объединение множеств A
и B
можно разделить на три подмножества: 1) элементы, принадлежащие только множествуA
; 2) элементы, принадлежащие пересечению множеств A
и B
; 3) элементы, принадлежащие только множеству B
. Сложив количество элементов трех групп, мы получим количество элементов в объединении множеств A
и B
. Это видно и на кругах Эйлера. Обозначим за x
– количество элементов пересечения. Тогда в первой группе 7 – x
элементов, во второй x
, в третьей 10 – x
. В объединении (7 – x
) + x
+ (10 – x
) = 17 – x
= 15 Þx
= 2. Можно предложить ученику решить данную задачу в общем виде, заменив числа 7, 10 и 15 на a
,
b
и с.
Тем самым он получит выражение с =
a
+
b
– х
, характеризующее количественное отношение двух множеств.
Задача 1-14.
Записать формулами множества, заштрихованные на диаграммах (приведено несколько диаграмм, из которых мы рассмотрим одну).
Рассуждения ученика:
Интересующее нас множество можно записать как A
Ç
C
+
B
Ç
C
.
Анализ ошибки:
Ученик отождествляет сложение с объединением. Надо убедить его, что между этими двумя операциями есть разница.
Не так важно, как называет ученик объединение (“объединение первого и второго множеств” или “прибавим к первому второе множество”, как-то иначе), важно то, что он подразумевает под ним, понимает ли он суть операции объединения. Поэтому нельзя считать, что ученик действовал при решении данной задачи неправильно. Надо указать, что при оперировании с числами употребляется знак “+”, а с множествами – “È”. Разделение этих операций исключает из рассуждений ненужную путаницу.
Рассуждения ученика:
Интересующее нас множество можно записать формулой A
Ç
C
+
B
Ç
C
– A
Ç
B
Ç
C
.
Анализ ошибки:
ученик множествами оперирует, как числами. Он решает совсем другую задачу: сколько элементов содержит заштрихованное множество. Задача проверяющего – разъяснить разницу между множеством и количеством элементов в этом множестве. Ошибка напрямую связана с формальным знанием определений операций над множествами. По классификации она относится к разделу неправильное понимание определения
(неверная конкретизация). Поэтому в данной ситуации проверяющему рекомендуется дать кроме приведенных в методическом пособии определений на диаграммах, словесные определения:
AÈB – множество всех элементов, которые принадлежат либо A либо B.
AÇB – множество всех элементов, которые принадлежат и A иB одновременно.
A
B
– множество всех элементов, принадлежащих A
, но не принадлежащие множеству B
.
– множество всех элементов, не принадлежащих A
.
Рекомендуется также сказать, что при объединении одинаковые объекты сливаются в один. Именно из таких объектов, которые
Задача 2-6.
Сколько существует семизначных чисел, цифры которых идут в убывающем порядке?
Рассуждения ученика:
всё решение сводится к указанию того факта, что семизначных чисел столько же, сколько трехзначных с соответствующим убывающим порядком цифр. Отсутствует доказательство этого факта.
Анализ ошибки:
Стоит упомянуть то, что перед данной задачей разобрана следующая : сколько существует восьмизначных чисел, цифры которых идут в убывающем порядке? Подробно рассмотрено решение, суть которого состоит в установлении взаимнооднозначного соответствия между восьмизначными и двузначными числами. Количество двузначных чисел нам уже известно. Авторы хотели тем самым дать образец решения. Хорошо выделили этапы доказательства: каждому двузначному сопоставлено ровно одно восьмизначное; каждому восьмизначному сопоставлено ровно одно двузначное; установлено взаимноооднозначное соответствие, следовательно, и тех и других чисел одинаковое число. Предполагалось, что школьники будут действовать аналогично. Действительно, многие ученики привели полностью обоснованное решение, но есть и те, кто не написал его, посчитав излишним приводить обоснования, аналогичные изложенным в методическом пособии. Необязательно требовать от ученика полностью приводить все доказательство, но в чем отличие рассуждений с семизначными числами от рассуждений с восьмизначными и почему действия будут аналогичными – ученик должен написать. Иначе это – необоснованная аналогия
и решением не является. Одного ответа в данной задаче недостаточно, ученик должен понимать суть подсчета и уметь его осуществлять в подобных ситуациях. Ссылаться на соответствующий результат можно лишь после того, как показано, что решение при этом будет действительно аналогичное. Для убедительности надо привести задачу, в которой действия по аналогии приводят к неверному ответу. Можно привести задачу на поиск количества девяток в числах от 1 до 100. Рассуждаем следующим образом. От 1 до 10 – одна девятка, от 11 до 20 также – одна, получается в каждом десятке по одной девятке. Так как десятков десять, то девятка в числах от 1 до 100 встречается 10 раз. Все вроде бы верно, за исключением того, что в каждом числе от 90 до 99 включительно девятка встречается еще и в разряде десятков (в других десятках она встречается лишь в разряде единиц), поэтому аналогия на этот десяток неверная. В результате вместо верного результата 20 мы получили всего лишь 10.
На таких, очевидных с виду задачах, подобных задаче 2-6, и нужно развивать умение строго обосновывать каждый шаг в рассуждениях.
Задача 3-5.
б) Четыре футбольных команды A,
B,
C
и D
, провели друг с другом несколько тренировочных матчей. Известно, что команда A
участвовала в 6 матчах, команда B
– в 5, C
– в 7,D
– в 10. Сколько всего состоялось матчей?
в) Три футбольных команды, A,
B
и C
провели друг с другом несколько тренировочных матчей. Известно, что команда A
участвовала в 6 матчах, команда B
– в 7 матчах, а команда C –
в 11 матчах. Сколько матчей сыграли друг с другом команды A
и C
?
Рассуждения ученика
сводятся к рассмотрению конкретных графов, иллюстрирующих турнир. Подсчитав количество матчей, он дает ответ.
Анализ ошибки:
Нет гарантий, что при построении другого графа ответ будет таким же. Это необоснованное обобщение
в многих случаях приводит к неполному ответу. Приведем конкретный пример.
Возьмем 4 команды. A
сыграла одну игру, B
– две, C –
три,
D –
две.
Сколько игр сыграли между собой команды B
и C
? Понятно, что ответ неоднозначен. Может быть две игры, может быть одна.
Пусть теперь ученик докажет, что в его задаче такая ситуация не возникнет. Это подтолкнет его к рассуждениям в общем виде, и не стоит на этом этапе писать подсказки, которые лишают ученика возможности самостоятельного решения задачи. Ученик должен сам дойти до сути, в этом состоит один из главных принципов обучения в ВЗМШ.
Задача 3-6.
Можно ли устроить такой турнир, чтобы в нем:
а) участвовало 13 команд, и каждая команда сыграла ровно 5 матчей;
б) участвовало 10 команд, и каждая команда сыграла бы ровно 5 матчей;
в) участвовало 9 команд, и каждая команда сыграла бы 4 матча?
Рассуждения ученика:
а) так как каждая команда сыграла 5 матчей, то всего было игр, то есть не целое число. Но в любом турнире всегда количество игр – целое число. Приходим к противоречию. Следовательно турнир устроить нельзя.
б) Подсчитаем количество игр: – целое число. Значит турнир устроить можно.
в) Подсчитаем количество игр: – целое число. Значит турнир устроить можно.
Анализ ошибки:
В рассуждениях пункта а) никаких замечаний нет. Действительно, в любом турнире число игр целое
(*). Есть сомнения в пунктах б) и в). Ученик использует утверждение, обратное (*): если при подсчете количества игр мы получаем целое число, то турнир можно устроить.
На самом деле это утверждение не такое уж и очевидное и требует доказательства. Ошибка: использование вместо теоремы обратного к ней утверждения
. Приведем пример того, что при выполнении прямого утверждения обратное ему не всегда выполняется:
Можно ли для пяти команд устроить турнир в один круг так, чтобы четыре из них сыграли бы по четыре игры, а одна – две?
Понятно, что такой турнир устроить нельзя. Если четыре команды сыграют по четыре игры, то и пятая при этом должна будет сыграть тоже четыре. Число игр при этом – целое число. Этот пример ясно показывает, что обратное утверждение не всегда верно.
Задача 3-8а.
На окружности выбраны 10 точек. Сколько существует выпуклых четырехугольников с вершинами в этих точках?
1) Рассуждения ученика:
У нас имеется десять точек, пронумеруем их от 0 до 9. Тогда каждому четырехзначному числу будет соответствовать ровно один четырехугольник. Значит четырехугольников столько же, сколько четырехзначных чисел с различными цифрами, а их 10×9×8×7=40320.
Анализ ошибки:
Школьник хотел использовать для решения задачи взаимнооднозначное соответствие, но при этом установил его неправильно. Верно замечено, что каждому четырехзначному числу соответствует ровно один четырехугольник. Для взаимнооднозначного соответствия еще требуется, чтобы каждому четырехугольнику соответствовало ровно одно число, а их 4!=24. О биекции и речи быть не может. К примеру, числам 1234, 2341, 3412, 4123, 4321, 3214, 2143, 1432 соответствует один и тот же четырехугольник «1234». Мало того, кроме выпуклых четырехугольников были подсчитаны самопересекающиеся «1342» и «1324» (это причина действия стереотипа, формирующегося в школе, так как школьники в основном работают только с выпуклыми фигурами), каждый из которых может быть представлен восемью различными четырехзначными числами.
Причина ошибки: ученик просмотрев лишь несколько четырехугольников, сопоставив ему четырехзначное число, сделал вывод о взаимнооднозначности двух множеств. Данная ошибка – своего рода аналог ошибки «замена прямой теоремы обратной
». Если проверена однозначность соответствия в одну сторону, то в обратную сторону соответствие автоматически считается однозначным. Это не верно. Примеры хорошо опровергают такие рассуждения.
Целые числа. Задания №3, 4.
§1.
Задача 1.
Выяснить, какие из следующих утверждений верны, а какие – нет:
б) если a
и b
не делятся на 6, то a+
b
не делится на 6;
г) если a
делится на 6,b
не делится на 6, то ab
не делится на 6;
д) если a
делится на 6, b
делится на 10, то ab
делится на 60.
Рассуждения ученика:
в решениях всех пунктов используется один и тот же метод. Утверждение проверяется лишь для конкретной пары чисел, удовлетворяющей условиям задачи. Результат проверки служит ответом.
Анализ ошибки:
Выделим три случая: 1) при проверке для конкретной пары чисел утверждение неверно; 2) при проверке для конкретной пары чисел утверждение верно, но существуют пары чисел, при которых утверждение ложно; 3) при проверке для конкретной пары чисел утверждение верно и для остальных пар чисел оно также выполняется. Получается, что в первом и втором случаях утверждение неверное, а в третьем – верное. Ученики лучше всего действуют в первом случае, так как им легче оперировать конкретными числами. От них требуется лишь подобрать опровергающий пример. Если же все рассмотренные примеры подтверждают утверждение, но перебраны не все возможные случаи, что для бесконечного их множества просто невозможно, то нет гарантии, что это третий случай, а не второй. Поэтому требуются работать с классом чисел, в связи с этим возникают трудности представления в общем виде.
Все выше сказанное подтверждается в решениях школьников.
В пунктах б) и г) ученик находит пару чисел, при которых условие не выполняется, и делает правильный вывод, что утверждение не верно. В пункте д) также рассматривается одна или две пары a
и b,
для которых конечно же все справедливо. Делается вывод о выполнении утверждения для всех остальных чисел, то есть производится незаконное обобщение.
Стоит отметить следующий момент: в отличие от пунктов б) и г), где приводится одна пара чисел, в пункте д) ученики, как правило, рассматривают несколько пар чисел. Они понимают, что недостаточно рассмотрения конкретных чисел. Но рассмотреть все пары чисел невозможно, и они ограничиваются несколькими. Значит основная проблема состоит в переходе от конкретных чисел, обладающих определенным свойством, к классу, как объекту. Школьник не может представить класс в алгебраическом виде. Задача проверяющего – помочь ему в этом. На самом деле в методическом пособии приведено определение делимости, из которого можно понять, как представить класс чисел, делящихся на конкретное число, в общем виде. Конкретных примеров представления нет. Поэтому можно дать такой комментарий: «В пункте д) Вами был рассмотрен лишь частный случай. Выполнимость утверждения для всех оставшихся пар чисел (а их достаточно много) остается под вопросом. Чтобы проверить ее, необходимо рассуждать в общем виде. Скажем, число a
, которое делится на 6 можно записать, как 6
k
, где k
– некоторое целое число.»
Задача 2.
Докажите утверждения:
г) если и , то .
д) если , то .
г) Рассуждения учеников:
Так как , то либо либо . Дальше рассматриваются эти варианты и отдельно для каждого доказывается, что .
Анализ ошибки:
Это типичный неполный перебор, рассмотрены не все варианты, а конкретно – не рассмотрен вариант, когда a
и b
не делятся на c.
Ученик не учел случай, когда c
представляется в виде произведения двух множителей, на один из которых делится a
, на другой делится b
. Причина ошибки – отождествление в сознании ученика делителя с простым числом и использование соответствующих свойств. Это обобщение
свойств простого числа на все числа легко опровергается контрпримером: a=3,
b=6,
c=9.
Понятно, что при этом , но ни a
и ни b
на c
не делятся.
д) Рассуждения учеников:
Так как и , то .
Анализ ошибки:
В методическом пособии выделено несколько свойств делимости целых чисел. Одно из них формулируется следующим образом: если a
и b
делятся на c
, то a+
b
и a-
b
делятся на c
. Ученик воспользовался этим свойством, но неправильно, он его изменил: если c
делится на a
и на b
, то c
делится на a+
b
и на a-
b (*)
. Причина в следующем: делимость – антисимметричное бинарное отношение. В школе ученики встречались лишь с равенством (симметричным отношением) и только начинают подробно изучать отношение порядка. Не удивительно, что они путают числа, которые делятся, и числа, на которые делятся. Единственное правило на первых этапах изучения делимости – внимательно применять свойства при решении задач. Для опровержения данного свойства (*) достаточно привести контрпример: 10 делится на 5 и на 2, но на 3 число 10 не делится. Для того, чтобы ученики лучше понимали суть делимости чисел и свойств, рекомендуется самостоятельно доказать некоторые из них, приведенные в пособии.
Задача 5-в.
При каких n
3
n2
+2
n+2
делится на 4
n+3
.
Рассуждения ученика:
Так как , то и или ÞÞ.
Если n =
– 1, то 4n
+3 = – 1, и .
Если n =
0, то 4 – n
не делится на 4n
+3.
Если n=
1, то 4 – n
не делится на 4n
+3.
Если n =
4, то .
Ответ: n = –
1.
Анализ ошибки:
В рассуждениях нет логики, ученик рассматривает лишь некоторые n
. Как обстоит дело с оставшимися числами – неизвестно. Это неполный перебор. Школьник пытался рассуждать по аналогии с примером, разобранном в методическом пособии ([9], с. 5), но не довел решение до конца, не сделав последний шаг: ÞÞ. Сейчас остается рассмотреть четыре случая 4n
+3 = 19; 1; –1; –19. Других вариантов нет.
Задача 3.
Докажите, что сумма 2
n
+1
последовательных натуральных чисел делится на 2
n
+1
.
Рассуждения ученика:
1+2+3+…+(2n
+1)=(1+2n
+1)(2n+
1)/2=(n
+1)(2n
+1) делится на 2n
+1.
Анализ ошибки:
Рассмотрен частный случай. На его основе проведено необоснованное обобщение
выполнения свойства для всех остальных последовательностей. Хотя в данном случае рассуждения и будут аналогичные, но ведь это надо еще показать. Тем более, что можно привести пример, когда для нескольких частных случаев свойство выполняется, а в общем не верно.
Например: (
n+1)(
n+2)(
n+3)(
n+4)
делится на 120 при n=1, 2, 3, 4,
а вот при n=5
выражение (
n+1)(
n+2)(
n+3)(
n+4) = 6
×7
×8
×9
на 120 уже не делится.
Задача 4.
Остаток от деления нечетного числа на 7 равен 2. Найдите остаток от деления этого числа на 14.
Рассуждения ученика:
9 = 7 × 1 + 2. 9 = 14 × 0 + 9. Остаток равен 9.
Анализ ошибки:
Это типичная ошибка при решении задач на делимость: необоснованное обобщение
. Ученик рассмотрел лишь одно число, удовлетворяющее условиям. При каком-то другом числе может получиться остаток, отличный от 9. Недостаточно найти правильный ответ, надо еще доказать , что все остальные будут неправильными.
В задачах на делимость есть два наиболее часто употребляемых метода решения:
1) разбиение общей задачи на несколько частных (дизъюнкция).
При этом нужно следить за тем, чтобы все случаи (задачи) были разобраны. Если какой-то из них не рассмотрен, то метод теряет свою суть и решение считается неверным. Неполный перебор часто встречается в работах школьников.
2) решение в общем виде.
Нелегко дается учениками, так как им легче оперировать с конкретными объектами. Этот метод хорош тем, что исключает потерю части решения. Большинство свойств доказывается именно в общем виде. При его использовании происходит абстрагирование, частные характеристики объектов не учитываются, рассуждения опираются на общие свойства данного класса объектов. Красота метода в том, что, работая с одним объектом, мы тем самым охватываем весь класс. Но это одновременное оперирование всеми объектами сразу и отталкивает детей с их конкретным мышлением. В действительности же, представив число в общем виде, он работает с ним, как с конкретным числом, ничего принципиально нового нет. Задачи на делимость – это благодатная среда для обучения абстрагированию: рассуждения в общем виде здесь не очень сложны и в то же время достаточно ярко показывают эффективность данного метода.
Чтобы ученик действительно понял преимущество решения в общем виде, разберем решение конкретной задачи двумя методами.
Задача
: При делении на 5 число дает остаток 3. Какой остаток дает число при делении на 15?
1) Решение перебором.
При делении на 15 могут получиться следующие остатки: 0, 1, …, 14. Если остаток равен
0: то при делении на 5 будет остаток 0 ¹ 3;
1: то при делении на 5 будет остаток 1 ¹ 3;
2: то при делении на 5 будет остаток 2 ¹ 3;
3: то при делении на 5 будет остаток 3 = 3;
4: то при делении на 5 будет остаток 4 ¹ 3;
5: то при делении на 5 будет остаток 0 ¹ 3;
6: то при делении на 5 будет остаток 1 ¹ 3;
7: то при делении на 5 будет остаток 2 ¹ 3;
8: то при делении на 5 будет остаток 3 = 3;
9: то при делении на 5 будет остаток 4 ¹ 3;
10: то при делении на 5 будет остаток 0 ¹ 3;
11: то при делении на 5 будет остаток 1 ¹ 3;
12: то при делении на 5 будет остаток 2 ¹ 3;
13: то при делении на 5 будет остаток 3 = 3;
14: то при делении на 5 будет остаток 4 ¹ 3;
Получается, что существует три варианта остатка: 3, 8, 13.
2) Решение в общем виде.
Так как при делении числа a
на 5 остаток равен 3, то его можно записать в виде а = 5
k + 3
. Пусть остаток от деления числа a
на 15 равен b
, тогда a = 15
n +
b,
где 15
³
b > 0.
Значит 15
n +
b = 5
k + 3
Ûb – 3 = 5
k – 15
n = 5(
k – 3
n).
Получается, что 12
³
b – 3 > – 3
и b – 3
делится на 5.
Возможны три варианта:
| b – 3 = 0
|
b = 3
|
| b – 3 = 5
|
b = 8
|
| b – 3 = 10
|
b = 13.
|
Трудно не согласиться, что решение в общем виде красивее и короче.
§3.
Задача 2.
Докажите, что число 111…1(восемьдесят одна единица) делится на 81.
Рассуждения ученика:
Так как сумма цифр числа 111…1(восемьдесят одна единица) делится на 9, то само число делится на 9. Сумма цифр делится на 9 два раза, значит и число делится два раза на 9, значит оно делится на 81.
Анализ ошибки:
По сути дела, ученик сформулировал признак делимости на 81 по аналогии с признаком делимости на 9. В этом ничего плохого нет. Но ученик не проверил, верен ли этот признак. Это необоснованная аналогия
. Что касается признака делимости на 81, то он ошибочен (хотя для чисел, составленных из одних единиц, он все-таки выполняется). Достаточно привести контрпример: 81818181818181819=81×1010101010101010 + 9, сумма цифр равна 81.
Задача 3.
Найдите какое-нибудь целое число, записываемое одними единицами, которое делится на 33…3 (сто троек).
1) Рассуждения ученика:
ответ 11…1(триста единиц).
Анализ ошибки:
в данной задаче ответ получить не так уж и сложно. Главное – обосновать его. Этого этапа у многих школьников нет. Нужно разъяснить, что в тех задачах, где требуется найти какое-то число: первое – надо его указать; второе – надо доказать, что оно удовлетворяет всем условиям задачи.
2) Рассуждения ученика:
111 делится на 3 (сумма цифр равна трем, значит, число делится на три); 111111 делится на 33 (на 3 делится, так как сумма цифр делится на 3; на 11, так как 111111 = 11 × 10101); …;11…1(триста единиц) делится на 33…3(сто троек).
Анализ ошибки:
Рассмотрены частные случаи и на их основе делается незаконное обобщение
на все множество объектов. Ученик предполагает, что 11…1 (3n
единиц) делится на 33…3 (n
троек). Это верное предположение, но ее еще надо обосновать. Либо описать доказательство в общем виде либо доказать конкретно для числа 11…1 (триста единиц). Для убедительности необходимо привести пример подобной задачи, в которой свойство не обобщается:
| 1 | 1 |
| 112
|
121 |
| 1113
|
12321 |
| 11114
|
1234321 |
| … | … |
| 123…(n-1)n(n-1)…21 |
Понятно, что в этом случае обобщение неверное, начиная с n=10.
Метод координат на прямой и на плоскости.
Задача 1–4.
Подумайте, какая из двух точек правее:
б) A
(
c
)
или B
(
c
+ 2)
;
в) A
(
x
)
или B
(
x
2
)
;
г) A(x)
илиB(x – a)
.
б) Рассуждения ученика:
Рассмотрим три случая: 1) c
> 0.
Если к положительному числу прибавить положительное число, то оно увеличится. Значит c
<
c
+ 2
и точка B
правее точки A
; 2) c
= 0
. Так как 2 > 0, то точка B
правее точки A
; 3) c
< 0
. Если к отрицательному числу прибавить положительное, то оно станет больше. Значит c
<
c
+ 2
и точка B
правее точки A
.
Обсуждение:
Это не ошибка, это скорее недочет. Даже по тексту решения видно, что три выделенных учеником случая по сути ничем не отличается. Ведь любое число увеличится, если к нему прибавить положительное число. Ученик просто воспроизводил решение подобно тексту, изложенному в методическом пособии. Отчасти эта ошибка спровоцирована не совсем уместным примером. Разобранный в пособии пример (что правее: A
(2
x
)
или B
(
x
)
?) действительно требовал рассмотрения трех случаев, действия же ученика излишни. Безусловно следует обратить на это внимание ученика, спросить, «чем отличаются его действия в каждом из случаев?»
Стоит задать ученику следующий вопрос: 1) что происходит с точкой, если ее координату увеличить на 1, на 2? 2) попробуй решить задачу теперь, пользуясь геометрическим смыслом увеличения координаты точки.
в) Рассуждения ученика:
часто приводятся следующий ответ: точки совпадают при x
= 0
и x
= 1
, во всех остальных случаях точка B
(
x
2
)
лежит правее точки A
(
x
)
.
Анализ ошибки:
Можно лишь догадываться, как рассуждал ученик. Понятно, что x
2
– неотрицательное число, а значит при x
< 0
точка B
правее A
. Почему он не обратил внимание на промежуток (0; 1)? Потому что в этом промежутке нет ни одного целого числа. Подобная ошибка уже была нами рассмотрена в §1, с. 15.. Комментарии проверяющего будут в этом случае аналогичными: «Вы дали неправильный ответ. Например при x
= ½
, точка лежит все-таки правее, а не левее точки B
. Подумайте, какие еще точки вы определили неправильно. Кроме того, перебор не является достоверным источником ответа. Чтобы в ответе действительно не было никаких сомнений, решите эту задачу алгебраически. Для этого вам надо понять: какое неравенство должно выполняться, чтобы точка A
была правее точки B
. И наоборот: какое неравенство должно выполняться, чтобы точка B
была правее точки A
».
г) Рассуждения ученика:
Рассмотрим 9 случаев:
1) x > 0, a > 0
: A
правееB
.
2) x > 0, a = 0
: A
иB
совпадают.
3) x > 0, a < 0
: B
правееA
.
4) x = 0, a > 0
: A
правееB
.
5) x = 0, a = 0
: A
иB
совпадают.
6) x = 0, a < 0
: B
правееA
.
7) x < 0, a > 0
: A
правееB
.
8) x < 0, a = 0
: A
иB
совпадают.
9) x < 0, a < 0
: B
правееA
.
Анализ ошибки:
опять же, от x
ничего не зависит. Координаты отличаются на a
,
поэтому все зависит лишь от a
. Если a
– положительное, то точка B
получается из A при помощи сдвига вправо на a
единиц, если a
= 0
, то точки совпадают, если a
– отрицательное, то делаем сдвиг влево. Пояснения к подобной ошибке были написаны выше в пункте 1).
Задача 2–6.
Запишите без знака модуля выражение , если a
– отрицательное число?
Рассуждения ученика:
= a
.
Анализ ошибки:
Поскольку в данном случае –а > 0
, верный ответ: –а. Ошибку спровоцировал нечастый в математике случай синонимии. Знак "–" может выполнять три разные функции: 1) признака отрицательности числа (–2, –5, –2003 и др.) ; 2) символа операции вычитания (a–b и др.); 3) символа операции перемены знака (–a и др.). Ученик в данном случае принял операцию перемены знака за символ отрицательности, не приняв в расчет, что эту роль знак минус может играть только перед числом, а не перед выражением. Хорошо отражает операцию смены знака соответствующая функция на калькуляторе (+/–). Так как большинству школьников он доступен, то есть возможность привести пример, с которым ребенок может непосредственно поработать и лучше понять суть операции.
§3. Общие рекомендации по проверке работ
учеников 8 класса ВЗМШ.
В данном параграфе мы постараемся дать общие рекомендации по написанию указаний к наиболее часто встречающимся видам ошибок.
Опираясь на анализ работ учеников 8 класса заочной школы ВЗМШ, проведенный во втором параграфе, можно выделить следующие группы типичных ошибок:
1) Необоснованное обобщение.
В общем случае ошибку этого вида можно охарактеризовать следующим образом. Имеется класс объектов. Ученик проверил, что некоторые из них обладают определенным свойством, и на этом основании утверждает, что этим свойством обладают все объекты данного класса. Наша задача – дать такие указания, которые бы убедили ученика в необходимости доказательства данного свойства для каждого объекта этого класса. При решении данной проблемы возникает два случая.
а) Утверждение, полученное при обобщении, неверно.
Тогда достаточно привести контрпример, опровергающий доказательство ученика. Подобные ошибки рассмотрены в §2: задачи 2–6 (Комбинаторика) и 2 (Целые числа, §3).
б) Утверждение, полученное при обобщении, верно.
Это более сложная ситуация. Контрпримера нет. Голословное требование доказать утверждение, справедливость которого интуитивно ясна, зачастую кажется ученику неубедительным. Чтобы подкрепить его, необходимо наглядно показать ученику, что в иной ситуации его действия могли бы
привести к неверному результату. Для этого нужно подобрать соответствующий пример как можно более похожей задачи (лучше просто поменять условия в данной задаче). Примеры подобных ошибок и соответствующие комментарии к ним рассмотрены в §2: задачи 3–5 (Комбинаторика), 3 (Целые числа, §2) и 3 (Целые числа, §3).
С другой стороны, существуют ситуации, когда рассуждения, по форме проведенные учеником только для некоторых конкретных примеров, по сути проходят и для общего случая. Тогда не стоит заострять внимание ученика на строгости доказательства, тем более, что часть восьмиклассников еще не готова перейти на такой уровень строгости. Для этого требуется время и соответствующие задачи, в которых действия в общем случае не так очевидны.
2) Ошибки при использовании аналогии.
а)При изучении новых понятий
мы пытаемся встроить их в уже имеющуюся систему знаний. При этом происходит поиск «схожих» с данным понятием структур и автоматическое присваивание понятию тех или иных свойств. К примеру, покоординатное сложение векторов определяется с помощью сложения чисел. Таким образом происходит некий перенос уже изученного материла на новый, что безусловно сокращает время и придает знаниям более системный вид. С другой стороны, раз появляется новое понятие, значит у него есть что-то новое, свойственное только ему. Очень часто у школьников аналогия переходит в отождествление, они не чувствуют разницу между новым и уже изученным понятием. К примеру, операции объединения множеств и сложения чисел имеют общую природу, но при объединении важно то, из каких элементов состоит множество, а при сложении – нас уже будет интересовать лишь количественная сторона. Ученики часто этой разницы не замечают. Данная ошибка разобрана в §2, задача 1–7 (Комбинаторика). Задача проверяющего – показать эту разницу ученику. Сделать это можно при помощи графических иллюстраций, хорошо подобранных примеров, тех же самых аналогий.
б) Синонимия.
Иногда в математике одним и тем же символом обозначаются различные понятия. Такое явление называют синонимией. Определить значение данного символа помогают объекты, вместе с которыми он применяется. Скажем, если мы говорим про отрезки и пишем , то в данном случае – это конгруэнция. Если же мы работаем с группами, то символ будет обозначать изоморфизм групп. В математике много таких символов, но их значение однозначно определяются «средой» их применения. Существует такие примеры и в школьном курсе математики. Например, знак «–» имеет три значения (см. задачу 2–6, §2, Метод координат на плоскости).
В решениях школьников встречаются ситуации, когда они неверно определяют значение данного символа. В этом случае: 1) указывается, что символ употреблен не в том значении; 2) приводятся все значения данного символа, а также ситуации, в которых он эти значения принимает.
в) Подмена теоремы обратным к ней утверждением.
Ошибки данного типа возникают в основном из-за того, что формулировки теоремы и обратного ей утверждений похожи. Действительно: если прямая теорема имеет структуру A
Þ
B
, то обратная – B
Þ
A
. Ученики как правило обращают внимание лишь на содержание A
и B
. Поэтому они отождествляют эти два утверждения. Примером может служить всем известная теорема Пифагора. Очень часто ученики ссылаются на нее, используя на самом деле обратную теорему. Все бы было хорошо, если бы у всех теорем обратные к ним утверждения были также верными. Но это на так. Поэтому необходимо требовать доказательства обратного к теореме утверждения. Как и при обобщении возникают два случая: обратное утверждение неверное; обратное утверждение верное. В первом случае достаточно привести контрпример. Во втором – необходимо подобрать схожее с данным утверждение, обратное к которому было бы неверным. Примеры ошибок данного вида приведены в §2: задачи 3-6 и 3-8а (Комбинаторика).
3) Стереотипы
. При неоднократном выполнении одних и тех же операций формируется набор действий, который с некоторого момента начинает применяться в стандартных ситуациях уже бессознательно. С одной стороны, это экономит силы и время. С другой, если не следить за границами применения стереотипа, может случиться, что он будет использован некорректно, как это случилось, например, в задачах 1-7 и 3-8а (Комбинаторика), разобранных в §2. В такой ситуации, кроме всего прочего, бывает полезно объяснить ученику психологическую природу его ошибки.
Литература
1.
Информация, с сайта ВЗМШ: www.vzms.director.ru.
2.
Общая психология: Курс лекций для первой ступени педагогического образования / Сост. Е.И.Рогов. – М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 1998.
3.
Работы учащихся Кировского отделения ВЗМШ.
4.
Повышение эффективности обучения математике в школе: Кн. для учителя: Из опыта работы./ Сост. Г. Д. Глейзер. – М.: Просвещение, 1989.
5.
В.М. Брадис, В.А. Минковский, А.К. Харчева.
Ошибки в математических рассуждениях. М., 1959.
6.
Поучительные задачи: методические разработки для учащихся ВЗМШ.
7.
Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика / А. Я. Блох, Е. С. Канин, Н. Г. Килина и др.; Сост. Р. С. Черкасов, А. А. Столяр. – М., Просвещение, 1985.
8.
Введение в комбинаторику: методические разработки для учащихся ВЗМШ АПН СССР при МГУ (В.Л. Гутенмахер, Н.Б. Васильев – М.: изд. АПН СССР, 40 с.).
9.
Целые числа: учебные задания для учащихся заочной математической школы при ЛГУ./ Сост.: Б.М. Беккер, В.М. Гольховой.
10.
Метод координат. Часть 1, глава 1. Координаты на прямой. М., 1997. Пособие для учащихся ВЗМШ. Составлено на основе книги И.М. Гельфанда, Е.Г. Глаголевой и А.А. Кириллова “Метод координат” (изд. “Наука”) с использованием методических материалов ВЗМШ./ Сост.: Е.Г. Глаголева, Л.Г. Серебренникова при участии Р.Н. Соловьева и Н.Ю. Вайсман.
11.
Гордин Р.К.
Геометрия. Планиметрия. 7 – 9 классы: Пособие для учащихся – М.: Дрофа, 2001.