Министерство образования Республики Беларусь
«Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины»
Математический факультет
Кафедра МПМ
Реферат
Математические предложения и методика их изучения
Исполнитель:
Студентка группы М-31
Селиканова А.Ю.
Научный руководитель:
Канд. физ-мат. наук, доцент
Лебедева М.Т.
Гомель 2007
Введение
Процесс доказательства теорем и геометрии выражает связь единичных суждений (чертеж) и общих (использование общих свойств фигур) поэтому при обучении доказательствам для формирования правильного представления о проблематичном характере того или иного суждения следует применять на каждом шаге вопросы “Почему?”, “На каком основании?”
В курсе планиметрии обучение доказательствам проводится конкретно-индуктивным методом. Так как ученики в курсе геометрии, по мнению Шохор-Троцкого, занимаются преимущественно решением задач. Теоремы они доказывают только такие, которые не принадлежат к числу очевидных для них и которые не требуют слишком тонких рассуждений. Поэтому целесообразно в некоторых случаях предлагать учащимся для решения задачи абстрактного характера, подготавливающие самостоятельное формирование или доказательство теорем.
1. Суждение, умозаключение, высказывание
Суждение
– это такая форма мышления, в которой отражается наличие или отсутствие самого объекта, наличие или отсутствие его свойств, связей.
Суждение
– это форма связей понятий друг с другом, которая обладает двумя свойствами: 1) что-либо утверждает или отрицает; 2) является или истинным, или ложным.
Например:
1) любой параллелограмм есть ромб – ложно; 2) любой ромб есть параллелограмм – истинно; 3) “ есть функция” – суждение выражает связь понятий по объёму, т.е. - составная часть класса функций; вместе с тем ей присуще всё то, что свойственно функциям; 4) многочлен непрерывен при всех значениях независимой переменной – истинно.
Каждая наука есть определенная система суждений об объектах , являющихся предметом ее изучения.
Например
: "Сумма углов каждого треугольника равна 180 градусов" – это суждение сформулировано в виде геометрического предложения, принадлежащего евклидовой геометрии , т. к. а) состоит из геометрических (сумма углов, треугольник 180 градусов) и логических (всякого, равна) терминов или символов; б) истинно т.к. доказывается в рамках евклидовой геометрии.
Суждения образуются в мышлении 2 способами: непосредственно и опосредовано.
Например
: 1. Эта фигура – круг
- суждения выражает результат восприятия.
2. x2
=-2 – не имеет действительных корней суждений опосредованное, оно возникло в результате особой мыслительной деятельности, называемой умозаключением.
Умозаключение
– процесс получения нового суждения – вывода из одного или нескольких данных суждений.
Например:
1) x2
=-2 – уравнение;
2) квадрат действительного числа больше или равен нулю;
3) корень обращает уравнение в верное числовое равенство.
Из этих трех суждений получаем новое: уравнение x2
=-2 не имеет действительных корней.
В математической логике используют термин “высказывание”, имеющий смысл, близкий к понятию “суждение”. Под высказываниями производятся следующие операции: а) отрицание высказывания; б) конъюнкция; в) дизъюнкция; г) импликация.
Математическая логика, исходя из основных законов формальной логики, исследует закономерности логических процессов на основе применения математических методов.
Для нее характерна формализация логических операций, полное абстрагирование от конкретного содержания предложений.
Например
: (все растения красные)´(все собаки – растения) =>(все собаки красные).
2. Основные виды математических предложений
Математическое суждение принято называть предложением.
Например
: “S есть P” - S - логическое подлежащее или субъект мысли (то, о чем идет речь в предложении); Р – логическое сказуемое или предикат мысли. Суждения часто даются в условной форме: “если есть А, то есть и В”.
Раскрыть логическую структуру составного предложения, – значит, показать, из каких элементарных предложений сконструировано данное составное предложение и как оно составлено из них, т.е. с помощью каких и в каком порядке применяемых логических связок “не”, “и”, “или”, “если…,то…”, “тогда, и только тогда”, “для всякого”, “существует”, обозначающих логические операции, с помощью которых из одних предложений образуются другие. Например
:
Элементарные предложения:
дан DАВС; (x) АВ=ВС; (y) АД=ДС; (z) ВДДС.
Составные предложения:
1. Если АВ=ВС и АД=ДС, то ВДДС – истинное.
2. Если АВ=ВС, то АД=ДС и ВДДС – ложное.А
3. Если ДВ=ВС и ВД не перпендикулярно АС,
то АДДС – истинное.
Логические структуры для 1. и 3. выглядят так: 1) Если x и y, то z. 3) Если x и не z, то не y.
Например:
1. Если число целое и положительное, то оно натуральное;
2. Если число целое и не натуральное, то оно не положительное.
Аксиома
– предложение, принимаемое без доказательства. Определенное число аксиом образует систему исходных положений некоторой научной теории, лежащую в основе доказательств других положений (теорем) этой теории, в границах которой каждая аксиома принимается без доказательства.
Постулат
– это предложение, в котором выражается некоторое требование (условие), которому должно удовлетворять некоторое понятие или некоторое отношение между понятиями.
Например,
понятие а||b определяется двумя постулатами:
1. (a)(b);
2. (a=b)(ab=0).
Теорема
– математическое предложение, истинность которого устанавливается посредством доказательства (рассуждения), логического следствия других предложений, принимаемых за достоверные.
Можно отметить два подхода к пониманию теоремы:
А.В. Погорелов (геометрия “7-11”) “Правильность утверждения о свойстве той или иной геометрической фигуры устанавливал путем рассуждения. Это рассуждение называется доказательством. А само утверждение, которое доказывается, называется теоремой. … Формулировка теоремы обычно состоит из двух частей. В одной части говорится о том, что дано. Это часть называется условием теоремы. В другой части говорится о том, что должно быть доказано. Эта часть называется заключением теоремы”.
Структура теоремы, предполагаемая В.П. Болтянским: а) разъяснительная часть; б) условие; в) заключение.
Например,
“если сумма цифр числа n делится на 3, то само число n делится на 3”.
Условие: сумма цифр числа n делится на 3
Заключение: само число делится на 3.
Разъяснительная часть: n – любое натуральное число.
Используя логическую символику, теорема представляется так:
- импликация (если …, то …).
Имея прямую теорему (), можно образовать новые теоремы:
1. - обратная;
2. - противоположная;
3. -обратная противоположной или контрапозитивная.
Эти теоремы обладают следующими свойствами:
а) () и () - одновременно истинны или ложны;
б) () и () - одновременно истинны или ложны.
Высказывание p называется необходимым условием
для q, если импликация () есть истинное следствие. Например,
чтобы число делилось на 6, необходимо (не недостаточно), чтобы оно было чётным.
p – четное число, q – число кратно 6. Þ () – и.
Высказывание p называется достаточным условием
для q, если импликация () есть истинное следствие. Например,
чтобы число было кратно 5, достаточно, чтобы оно было кратно 25. (р: кратно 25; q: кратно 5) Þ(pÞq)
Замечание:
Для определения необходимо условие следует подобрать контр пример, опровержение данного утверждения.
Условие р называется необходимым и достаточным
для q, если истины одновременно обе импликации: (pÞq) и (qÞp), т.е. имеет место эквивалентность.
Характеристическое свойство наиболее полно определяет объект, выделяя его из некоторого множества сходных объектов, позволяет его сконструировать.
Например,
характеристическое свойство арифметической прогрессии:
начиная со второго члена, все члены прогрессии удовлетворяют свойству: - быть средним арифметическим двух соседних с ним членов (или отстоять от него на равных расстояниях)
Пример необходимого и достаточного условия:
3 Методика изучения теорем
Процесс доказательства теорем и геометрии выражает связь единичных суждений (чертеж) и общих (использование общих свойств фигур) поэтому при обучении доказательствам для формирования правильного представления о проблематичном характере того или иного суждения следует применять на каждом шаге вопросы “Почему?”, “На каком основании?”
В курсе планиметрии обучение доказательствам проводится конкретно-индуктивным методом. Так как ученики в курсе геометрии, по мнению Шохор-Троцкого, занимаются преимущественно решением задач. Теоремы они доказывают только такие, которые не при
Например:
установить зависимость между сторонами в треугольнике; или свойства биссектрисы угла при вершине равнобедренного треугольника эмпирически.
В процессе обучения у школьников должно быть сформировано следующее понимание термина “доказательство”:
1)допускаются истинными некоторые отношения и факты (которые составляют условие теорем);
2)от условия к заключению строится логическая последовательная цепочка предложений, каждое из них должно быть обосновано с помощью суждений, выраженных в условии, определений известных понятий, аксиом или ранее доказанных утверждений;
3)заключение является последним звеном в цепочке этих логически расположенных предложений.
Например:
в курсе математики 5-6 классов этому способствуют задачи с таким содержанием: “Дополнить приведённое доказательство математических утверждений, выполняя указанные выше требования, предъявляемые к математическим доказательствам”.
“Если a:b=c, то a=bc. Доказать”
Условие: a:b=c. Заключение: a=bc.
| Предложение | обоснование |
1)a:b=c 2)a=bc |
1) условие 2) почему? |
В школьном обучении некоторые фрагменты математической теории излагаются содержательно (неформально), поэтому доказательство также содержательны, т.е. в них используются обычные рассуждения, а правила логического вывода не фиксируются. Среди таких правил можно выделить:
1)правило заключения: P; “если P, то Q” - вывод: “Q”.
2)правило введения конъюнкции: P; Q – вывод “P и Q”.
3)правило силлогизма: “если P, то Q”; “если Q, то R” - вывод “если P, то R”.
4)правило отрицания: “если A, то B”, “не B” - вывод “не А”.
5)правило контрапозиции: “если A, то B” - вывод “если не B, то не A”.
6)правило расширенной контрапозиции: “если A и B, то C” - вывод “если A и не С, то не B”.
7)Сведение к абсурду – “если Г, А=>B”, “Г, А=>не B” - вывод “Г=> не А”, где Г – список посылок.
Правило контрапозиции и сведение к абсурду широко применяется в косвенных доказательствах, примером которого может служить доказательство от противного.
Косвенное доказательство
некоторой теоремы Т состоит в том, что исходит из отрицания Т, называемого допущением косвенного доказательства и выводят из него ложное заключение применением правила сведения к абсурду.
Например:
если а||с, и b||с, то a||b. Допущение: a||c и b||c, но a не|| b. Согласно определению параллельных прямых получаем: если a не|| b => $с (сÎа Ù сÎb), поэтому по правилу введения конъюнкции: из а||c и b||c. $с (сÎа Ù сÎb) имеем: a||c и b||c и $с (сÎа Ù сÎb). Но по аксиоме параллельных прямых (из Т) неверно, что: a||c и b||c и $ с (сÎа Ù сÎb), т.е. из наших допущений вывели противоречие, которое и доказывает теорему.
Специальные формы косвенного доказательства:
1)доказательство методом исключения
: надо доказать предложение: “если B, то Q1
”, иначе: Г, Р=>Q1
: наряду с Q1
рассматриваются все остальные возможности, которые являются: аксиомой, определением, ранее доказанной теоремой или следствием из них. Затем доказывается, что каждая из остальных возможностей, кроме Q1
, ведёт к противоречию.
Например:
если каждая плоскость, пересекающая прямую а, пересекает и прямую b, то эти прямые параллельны.
Требуется установить следование: “Г,Р” ®Q не ||; “Г” и "a (если a´a, a´b) Þa||b.
Исходим из предложений: Q1
:a||b; Q2
:a´b; Q3
: a-b – скрещиваются.
Допущение Q2
:a´b даёт $a (a´a и ) (достаточно провести произвольную плоскость α через b, отличную от плоскости определяемой пересекающимися прямыми a и b) или: так как $a (a´a и ) <=> не для всякой плоскости a (если a´a, то a´b), получаем “если Q2
, то ”: если a´b, то не для всякой a если a´a, то a´b).
Из “если Q2
, то ” и “Р” по правилу отрицания имеем: :.
Аналогично допущение Q3
: “a-b скрещиваются” приводит к не любой плоскости a (если a´a, то a´b) (достаточно через b и какую-нибудь точку прямой a провести плоскость). Получаем из: “если Q3
, то ” и “Р” по правилу отрицания :.
Итак, получаем и, т. е. Q2
и Q3
– неверно, поэтому верно Q1
: a||b.
2)Метод математической индукции
– специальный метод доказательства, применяемый к предложениям типа: “"xÎNP(x)”, т.е. к предложениям, выражающим некоторое свойство, присущее любому натуральному числу.
Схематически полная логическое доказательство теоремы можно составить так: 1) точное понятие; 2) включаем все посылки; 3) не опускают никаких промежуточных рассуждений; 4) явно указывающее правила вывода.
В практике школьного обучения математики наиболее часто используется прямое доказательство, основанное на содержательном доказательстве в свернутом виде: 1) интуитивное понятие; 2) опускают некоторые в частности, общие посылки; 3) опускают отдельные шаги; 4) не фиксируют использование логики.
Например:
Диагонали прямоугольника равны.
Теорему можно доказать: а) с помощью осевой симметрии; б) с помощью равенства прямоугольников. Отметим, что различные доказательства теоремы отличаются как математическими посылками, (используемыми в них истинными предложениями данной теории), так и логикой (используемыми правилами).
Доказательство 1.
“Если четырёхугольник – прямоугольник, то его диагонали равны” или “Если ABCD – прямоугольник, то AC=BD”.
Точка D симметрична A; B – симметрична C относительно MN (это непосредственно следует из ранее доказанной теоремы: “Серединный перпендикуляр и сторона прямоугольника являются осью симметрии). Значит, отрезок AC и DB симметричны относительно оси MN. Поэтому AC=BD.
Доказательство 2.
, т.к. они прямоугольные (), AB=CD как противоположные стороны прямоугольника; AD – общая сторона. Следовательно, AB=CD.
Методика введения теорем предполагает подготовку учащихся к восприятию ее доказательства.
1) Для того, чтобы учащиеся поняли логические части доказательства, применяют метод целесообразных задач.
Например:
При доказательстве того факта, что угол между боковым ребром призмы и ее высотой равен углу между плоскостями основания и перпендикулярного сечения, необходимого предварительно решить по готовым чертежам следующие задачи:
1. По данным на рисунке найти и угол между прямыми BO и OC.
Замечание: угол между двумя прямыми (двумя плоскостями) острый.
2. Угол между плоскостями и равен , прямая OA перпендикулярна плоскости , ; прямая OB перпендикулярна плоскости , . Найти угол между прямыми OA и OB.
2) Для подготовки учащихся к восприятию доказательства теоремы можно использовать прием многократного доказательства
(например, тройная прокрутка).
а) учитель излагает схему (идею, канву) доказательства. Возможно, при этом использование эвристической беседы, которая может быть или аналитико-синтетический или синтетический. Вопросы должны быть сформулированы четко, отражая наиболее важные логические этапы доказательства. После каждого вопроса необходима пауза для того, чтобы учащиеся смогли самостоятельно найти ответ:
б) учитель излагает доказательство теоремы в виде краткого рассказа, обосновывая каждый шаг;
в) повторение доказательства в полном объеме.
Еще один прием обучения доказательством – обучение учащихся составленного плана доказательства теоремы
, при котором выполняются следующие этапы:
· даётся готовый план доказательства новой теоремы и учащимся предлагается самим доказать ее с помощью плана.
Преимущества
: 1) план разбивает доказательство теоремы на ряд простых, элементарных задач, которые учащиеся могут решить; 2) у учащихся появляется уверенность в том, что они смогут доказать новую теорему; 3) план позволяет охватить все доказательство в целом, у учащихся возникает чувство полного понимания;
· учащихся учат составлять план уже изученной теоремы
. Сначала эта работа выполняется коллективно, а затем самостоятельно.
Заключение
Раскрыть логическую структуру составного предложения, – значит, показать, из каких элементарных предложений сконструировано данное составное предложение и как оно составлено из них, т.е. с помощью каких и в каком порядке применяемых логических связок “не”, “и”, “или”, “если…,то…”, “тогда, и только тогда”, “для всякого”, “существует”, обозначающих логические операции, с помощью которых из одних предложений образуются другие.
Литература
1. К.О. Ананченко «Общая методика преподавания математики в школе», Мн., «Унiверсiтэцкае»,1997г.
2. Н.М. Рогановский «Методика преподавания в средней школе», Мн., «Высшая школа», 1990г.
3. Г. Фройденталь «Математика как педагогическая задача»,М., «Просвещение», 1998г.
4. Н.Н. «Математическая лаборатория», М., «Просвещение», 1997г.
5. Ю.М. Колягин «Методика преподавания математики в средней школе», М., «Просвещение», 1999г.
6. А.А. Столяр «Логические проблемы преподавания математики», Мн., «Высшая школа», 2000г.