Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Вятский государственный гуманитарный университет
Математический факультет
Кафедра математического анализа и методики преподавания математики
Выпускная квалификационная работа
Методика преподавания темы: «Элементы логики»
в курсе математики 5-6 классов
Выполнила: студентка V курса математического факультета
Попова Элина Николаевна
Научный руководитель:
кандидат педагогических наук, старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ З. В. Шилова
Рецензент:
кандидат педагогических наук, доцент кафедры математического анализа и МПМ И. В. Ситникова
Допущена к защите в государственной аттестационной комиссии
«___» __________2005 г. Зав. кафедрой М.В. Крутихина
«___»___________2005 г. Декан факультета В.И. Варанкина
Киров
2005
ВВЕДЕНИЕ
В наше время очень часто успех человека зависит от его способности четко мыслить, логически рассуждать и ясно излагать свои мысли. Именно поэтому развитие мышления является основной задачей школьного курса обучения. Перед учителем математики стоит задача – не просто давать знания, предусмотренные программой, а способствовать формированию высокого уровня логической культуры учащихся. При этом математика имеет огромные возможности для реализации этой цели.
Но сейчас математика необходима не только как вспомогательное орудие. Ломоносов говорил: «Математику уже, зачем учить следует, что она ум в порядок приводит, она – школа мышления».
Изучение курса математической логики способствует воспитанию культуры логического мышления. Основа логики – это осознание структуры математической науки, ее фундаментальных понятий: аксиомы, доказательства, теории. При построении теории нужно всякий раз отчетливо осознавать, какие утверждения приняты за аксиомы в данном случае, каковы условия и заключения той или иной доказываемой теоремы. За осознанием структуры математической теоремы должно прийти понимание методов ее доказательства. Специальное рассмотрение и уточнение всех этих понятий с привлечением логической символики и примеров способствует ясности мысли по этим вопросам, повышение требовательности к себе, обоснованности аргументации в доказательствах. Ясность мысли приводит к ясности изложения.
Основное приложение логики состоит в использовании ее методов для проведения и проверки рассуждений. Умение правильно рассуждать необходимо в любой человеческой деятельности: науке и технике, юстиции и дипломатии, планировании народного хозяйства и военном деле.
Вторым возможным применением логики является использование ее средств для уточнения языка в электронно-вычислительной технике.
Третий аспект приложений логики условно можно назвать «техническим». Аппарат математической логики используется для анализа и синтеза переключательных схем, имеющих разнообразное применение в технике.
Школьная математика – основа всей математики. Чтобы изучение шло успешно, необходимо усвоить азы. Для этого необходимо, прежде всего, научить решать задачи, особенно логические. Задачи, которые кажутся на первый взгляд простыми, могут потребовать остроумия, смекалки при ее решении. Например, арифметика целых чисел, которую изучают ученики 5-6 классов.
Цель уроков по логике не заучивание правил, а развитие способностей умения рассуждать и делать правильные выводы. Мудрецы в Древнем Китае говорили: «Дай человеку рыбу – он будет сыт один день. Научи человека ловить рыбу – он будет сыт всю жизнь.».
Только решение трудной, нестандартной задачи приносит радость победы. При решении логических задач ученикам предоставляется возможность подумать над необычным условием, рассуждать. Это вызывает и сохраняет интерес к математике. Обдумывание идеи задачи и попытка рассуждать, сконструировать его логически обоснованное решение – лучший способ раскрытия творческих способностей учеников.
Очень важно уже с раннего возраста учить ребят мыслить логически, то есть мыслить последовательно, связно. Прежде всего, это важно для их дальнейшего успешного обучения.
Включение элементов логики в обучение математике способствует естественному расширению математических идей, методов и языка на новые логические объекты, и это расширение способствует лучшему усвоению этих идей, методов и языка.
Предметом исследования этой работы является содержание учебного материала по математике.
Цель
– выяснить, каковы возможности и особенности изучения элементов логики учащимися 5-6 классов на уроках математики.
Задачи
: 1. Проанализировать учебно-методическую литературу по теме работы;
2. Ознакомиться с особенностями познавательной деятельности учащихся 5-6 классов;
3. Разработать методику формирования некоторых понятий логики у учащихся 5-6 классов.
4.Выявить дидактические особенности обучения математике в 5 классе.
Проблема
проводимой работы состоит в необходимости представления универсальных рекомендаций по теме.
Объектом исследования
является обучение математике в 5 классе.
Предмет исследования
– изучение элементов логики в курсе математики 5 класса.
Гипотеза:
использование предложенных в данной работе рекомендаций усиливает подготовку по теме; способствует развитию различных форм мыслительной деятельности, общих интеллектуальных умений и творческих способностей учащихся; ориентирует их на самостоятельную работу в практической деятельности, как на уроках, так и на факультативных занятиях.
Исторический очерк.
Термин «логика» происходит от греческого слова логос, что означает «мысль», «разум», «слово», «понятие».
Основоположником логики как науки является древнегреческий философ и ученый Аристотель (384-322 гг. до н. э.). Он впервые разработал теорию дедукции, то есть теорию логического вывода. Именно он обратил внимание на то, что в рассуждениях мы из одних утверждений выводим другие, исходя не из конкретного содержания утверждений, а из определенной взаимосвязи между их формами, структурами.
Уже тогда в Древней Греции были созданы школы, в которых люди учились дискутировать. Ученики этих школ учились искусству поиска истины и убеждения других людей в своей правоте. Они учились из множества фактов отбирать нужные, строить цепочки рассуждений, связывающие отдельные факты между собой, делать правильные выводы.
Уже с этих времен было принято считать, что логика есть наука о мышлении, а не о предметах объективной истинности.
Древнегреческий математик Евклид (330-275 гг. до н. э.) впервые предпринял попытку упорядочить накопившиеся к тому времени обширные сведения по геометрии. Он положил начало осознанию геометрии как аксиоматической теории, а всей математики – как совокупности аксиоматических теорий.
На протяжении многих веков различными философами и целыми философскими школами дополнялось, усовершенствовалась и изменялась логика Аристотеля. Это был первый, доматематический, этап развития формальной логики. Второй этап связан с применением в логике математических методов, начало которому положил немецкий философ и математик Г. В. Лейбниц (1646-1716 гг.). Он пытался построить универсальный язык, с помощью которого разрешались бы споры между людьми, а затем и вовсе все «идеи заменить вычислениями».
Важный период становления математической логики начинается с работы английского математика и логика Джорджа Буля (1815-1864 гг.) «Математический анализ логики» (1847) и «Исследования законов мышления» (1854). Он применил к логике методы современной ему алгебры – язык символов и формул, составление и решение уравнений. Им была создана своеобразная алгебра – алгебра логики. В этот период она оформилась, как алгебра высказываний и была значительно развита в работах шотландского логика А. де Моргана (1806-1871 гг.), английского – У. Джевонса (1835-1882 гг.), американского – Ч. Пирса и др. Создание алгебры логики явилось заключительным звеном в развитии формальной логики.
Значительный толчок к новому периоду развития математической логики дало создание в первой половине XIX века великим русским математиком Н. И. Лобачевским (1792-1856 гг.) и независимо от него венгерским математиком Я. Бояи (1802-1860 гг.) неевклидовой геометрии. Кроме того, создание анализа бесконечно малых подвело к необходимости обоснования понятия числа как фундаментального понятия всей математики. Довершали картину парадоксы, обнаруженные в конце XIX века в теории множеств: они отчетливо показали, что трудности обоснования математики являются трудностями логического и методологического характера. Таким образом, перед математической логикой встали задачи, которые перед логикой Аристотеля не возникали. В развитии математической логики сформировались три направления обоснования математики, в которых создатели по-разному пытались преодолеть возникшие трудности.
Основоположником первого направления явился немецкий математик и логик Г. Фреге (1848-1925 гг.). Он стремился всю математику обосновать через логику, применил аппарат математической логики для обоснования арифметики, построив первую формальную логическую систему. Кроме того, им и независимо от него Ч. Пирсом были введены в язык алгебры логики предикаты, предметные переменные и кванторы, что дало возможность применить этот язык к вопросам оснований математики. Задачу аксиоматического построения арифметики, геометрии и математического анализа ставил перед собой итальянский математик Дж. Пеано (1858-1932 гг.)
Немецкий математик Д. Гильберт (1862-1943 гг.) предложил другой путь преодоления трудностей в основаниях математики, путь, имеющий в своей основе применение аксиоматического метода. Открытие австрийским логиком К. Геделем (1906-1978 гг.) в 1930-1931 годах неполноты формализованной арифметики показало ограниченность гильбертовской программы обоснования математики. Тем не менее, работы Гильберта и его последователей привели к глубокой разработке аксиоматического метода и окончательному осознанию его фундаментальной роли в математике.
Представители направления, основанного голландским математиком Л. Брауэром (1881-1966 гг.) в начале XX века, предложили отказаться от рассмотрения бесконечных множеств как завершенных совокупностей, а также от логического закона исключенного третьего. Ими признавались только такие математические доказательства, которые конструктивно строили тот или иной объект, и оспаривались чистые доказательства существования. Они построили специфическую математику, имеющую специфические особенности, еще раз подчеркнули различие между конструктивным и неконструктивным в математике.
XX век стал веком бурного развития математической логики, формирования многочисленных новых ее разделов. Были построены различные математические теории множеств, выработано несколько формализаций понятия алгоритма, а сама теория алгоритмов была настолько развита, что ее методы стали проникать в другие разделы математической логики, а также в другие математические дисциплины. Так, на стыке математической логики и алгебры возникла теория моделей. Были созданы многочисленные новые неклассические логические системы. Немалый вклад в развитие математической логики внесли и советские математики Н. А. Васильев, И. И. Жегалкин, А. Н. Колмогоров, П. С. Новиков, А. А. Марков, А. И. Мальцев, С. А. Яновская. Кроме того, в XX веке началось глубокое проникновение идей и методов математической логики в технику, кибернетику, вычислительную математику, структурную лингвистику.
Анализ учебной литературы.
В процессе обучения школьников математике большую роль играет учитель, но немаловажное значение имеет и учебник или то учебное пособие, с которым ученик имеет возможность самостоятельно поработать, либо повторить пройденное.
В настоящее время не все учебники содержат материал, который познакомил бы учеников с элементами логики в полной мере. В ныне существующих учебниках рассматриваются вопросы, связанные с высказываниями и их равносильными преобразованиями. В основном, это одно или двуместные высказывания. Здесь изучаются уравнения, тождества, тождественно равные выражения, неравенства, системы уравнений и неравенств, а также их свойства. Этот материал дается с целью использования его при решении текстовых задач. Проанализируем некоторые из учебников.
1) Дорофеев, Г. В. Математика. 5 класс. В двух частях. Л. Г. Петерсон// М.: «Баласс», «С-инфо», 1998.
Учебник [5] состоит из двух частей, каждая из которых поделена на главы.
В первых двух параграфах первой главы автор предлагает изучить математические выражения и математические модели. Здесь ребята смогут научиться записывать, читать, составлять выражения и находить их значения, что несомненно поможет в изучении последующих тем, а именно в переводе условия задачи на математический язык, в работе с математическими моделями.
Но больше интересует пункт – «Язык и логика».
Здесь автор предлагает изучить следующие темы:
1. Высказывания.
2. Общие утверждения.
3. «Хотя бы один».
4. О доказательстве общих утверждений.
5. Введение обозначений.
В этом параграфе рассматривается понятие высказывания или утверждения и связанные с ним простейшие понятия. При этом автор отмечает, что вместо слов «верное» и «неверное» часто говорят истинное
и ложное
. Автор также дает понятие темы
(то, о чем говорится) и ремы
(то, что сообщается). Во втором пункте автор знакомит ребят с общими утверждениями. Определяются утверждения, в которых все элементы некоторого множества обладают данным свойством, то есть общие утверждения, и утверждения, в которых хотя бы один элемент в заданном множестве обладает определённым свойством, то есть утверждения о существовании. В четвертом пункте автор рассказывает о доказательстве общих утверждений методом перебора, который был уже изучен ранее. Но метод перебора не может быть применен для бесконечных множеств. В связи с этим в следующем пункте автор вводит обозначения, то есть предлагает использовать математический язык.
Материал рассмотренного параграфа применяется в темах, которые автор рассматривает далее. Например, автор рассматривает делимость натуральных чисел. Уже с самого начала, когда он знакомит ребят с основными понятиями, говорится об истинности утверждения: число 27 делится на 3.
В номере 377 нужно из букв, соответствующих истинным высказываниям, составить математический термин.
Во многих заданиях применяется нестандартная формулировка. Например, в 400 номере нужно проверить истинность
высказывания:
В пункте «Делимость суммы и разности» в номере 497 ученикам предлагается привести контрпример, опровергающий утверждение:
Если ни одно слагаемое не делится на данное число, то сумма не делится на это число.
В первых четырех параграфах второй главы автор дает понятие делителя и кратного, знакомит с простыми и составными числами, рассматривает делимость произведения, суммы и разности, признаки делимости и возвращается к простым числам, рассматривая их делимость.
Уже в последнем параграфе автор возвращается к логике, где рассматривает равносильность предложений и определения. Автор не дает явного определения равносильным предложениям. Идея такая, что одну и ту же мысль можно выразить по-разному. Автор дает много примеров различного характера и дает к ним пояснения. Также, он применяет ранее изученное, а именно признаки делимости. Далее равносильность предложений используется при изучении признаков делимости.
В учебнике [5] ребята познакомились со многими понятиями. Во втором пункте пятого параграфа автор отмечает, что одно определение можно сказать и записать в разных формах, но всегда определение объясняется через уже известные «старые» слова. Ребята учатся писать на математическом языке уже известные им понятия. Таким образом автор уже сейчас вводит основные кванторы, не делая на них строгий акцент.
2) Дорофеев, Г. В. Математика. класс. В трех частях. Л. Г. Петерсон// М.: «Баласс», «С-инфо», 1998.
Учебник [2] начинается с главы «Язык и логика». В этой главе автор рассматривает понятие отрицания. Явного определения здесь также не дается. Отрицание рассматривается на примере спора двух людей, которые отрицают
друг друга. Далее автор приводит не сложные примеры отрицаний, которые оформлены в виде таблицы, что очень удобно для учеников. Автор отмечает, что необходимо культурно и грамотно формулировать отрицание.
Далее автор формулирует закон исключенного третьего
.
В следующих двух параграфах рассматривается отрицание общих высказываний и отрицание высказываний о существовании. Здесь ученики учатся формулировать отрицание не только грамотно с точки зрения русского языка, но и для дальнейшего использования в рассуждении. Рассмотренный материал используется уже в следующем параграфе при построении отрицаний утверждений с кванторами, а также часто будет использоваться при построении цепочки рассуждений при доказательстве утверждений и теорем.
Во втором параграфе автор рассматривает понятие переменной, выражения с переменными, предложения с переменными, переменные и кванторы. Здесь он явно дает понятие переменной, выражений с переменной. Здесь же автор знакомит ребят с понятием квантора. Это позволяет ребятам уже сейчас записывать высказывания в компактной, легко обозримой форме. В этом параграфе ученики узнают математический язык как точный язык. Например, ученики имеют возможность узнать о таком факте, что истинное высказывание вообще высказыванием не является. Материал, изученный в рассмотренном параграфе, используется при изучении главы «Арифметика». Здесь во многих задачах необходимо найти значение переменной.
В третьей главе рассматривается понятие логического следования. Понятие дается на примерах из жизни и из математики. В следующих пунктах ученики знакомятся с понятием отрицания логического следования и понятием обратного утверждения.
На данном этапе ученики уже знакомы с понятием равносильности. В следующем пункте автор связывает понятие равносильности с понятием логического следования.
И в последнем пункте автор рассматривает следование и свойства предметов. Рассмотрение данной темы упрощает изучение следующей главы «Геометрия», где при введении различных понятий и утверждений используется логическое следование. Рассматриваются обратные утверждения и отрицание утверждений, их истинность.
Хотелось бы отметить то, что учебник содержит много нестандартных задач с интересными формулировками, много задач на доказательство. Многие задачи даются в виде схем, алгоритмов, таблиц, что развивает зрительное восприятие учеников. Учебник содержит задания для самостоятельной работы, повторения, выделено домашнее задание и задания для работы на уроке. Материал изложен в доступной форме. В конце изученного материала ученики могут проверить свои знания с помощью тестов, «Блиц турниров», игр.
3) Дорофеев, Г. В. Математика. 5 класс . Г. В. Дорофеев, И. Ф. Шарыгин, С. Б. Суворова// Под ред. Г. В. Дорофеева, И. Ф. Шарыгина. – 3-е изд.- М.: Просвещение, 2000. –С. 368.
4) Дорофеев, Г. В. Математика. 6 класс . Г. В. Дорофеев, И. Ф. Шарыгин, С. Б. Суворова// Под ред. Г. В. Дорофеева, И. Ф. Шарыгина. – 2-е изд.- М.: Дрофа, 1997. –С. 416.
Материал учебника разделен на 8 глав, которые подразделены на параграфы и пункты. Упражнения, которые сопровождают теоретический материал, поделены на уровни А и В. В конце каждой главы даны «Задачи для самопроверки», которые включают в себя упражнения отвечающие обязательным требованиям.
Содержание материала богато и разнообразно, позволяет выйти за рамки круга обязательных вопросов. Упражнения разнообразны по форме содержанию и сложности, причем нижний уровень усвоения материала обозначен явно. Это дает возможность учителю дифференцировать обучение.
Очень важная особенность данного учебника – это линейно-концентрическое построение содержания. То есть ко всем важным вопросам учащиеся возвращаются неоднократно, двигаясь по спирали.
Виленкин
Учебник разработан для средней общеобразовательной школы. Авторы придерживаются традиционной формы изложения.
Учебник поделен на главы, каждая из которых имеет несколько параграфов. Параграф начинается с объяснительного текста, затем идут вопросы к нему. Далее даны упражнения для работы в классе по теме данного пункта. Также даны упражнения для домашней работы и упражнения для повторения ранее пройденного материала.
В учебнике выделены сведения, на которые надо обратить внимание, хорошо запомнить, знать наизусть. Также выделена рубрика, где ребята смогут найти рассказы об истории возникновения и развития математики, что заметно повышает интерес к предмету.
В специально выделенной рубрике находятся примеры и пояснения, с помощью которых ребята могут научиться говорить правильно. Также ребята смогут развивать такие качества как внимательность и сообразительность, умение хорошо и быстро запоминать, обладать силой воли с помощью игр и упражнений.
Данный учебник не содержит элементов логики.
1. Согласны ли вы с утверждением:
а) равные фигуры имеют равные площади;
б) неравные фигуры имеют различные площади;
в) любой квадрат есть прямоугольник;
г) некоторые прямоугольники являются квадратами;
д) если периметры прямоугольников равны, то равны и эти прямоугольники?
2. В номере 1494 Ребятам рассказывается о двоичной системе счисления, затем дается следующее задание:
Попробуйте записать в десятичной системе счисления числа, которые в двоичной системе пишутся так:
10; 100; 101; 110; 1110.
Запишите в двоичной системе все натуральные числа от 1 до 15 включительно.
Подумайте, почему двоичная система широко используется в вычислительной технике, но она неудобна в повседневной практике.
3.Цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 расставьте в клетки так, чтобы равенства были верными.
_ _ * _ = _ _ _ =_ *_ _
5) Ончукова, Л. В. Введение в логику. Логические операции. Л. В. Ончукова // Учебное пособие для 5 класса. – 2-е изд.- Киров: Изд-во ВятГГУ, 2004. – С. 124.
Учебное пособие [7] предназначено для работы по программам Открытого лицея и ориентировано на развитие творческих способностей и повышения культуры мышления школьников. Овладение основами логики поможет учащимся в изучении школьных предметов, в том числе на расширенном и углубленном уровне в профильных, гимназических и лицейских классов.
Материал дается в доступной фор
В этом пособии рассматриваются следующие темы: отрицание высказываний, понятие отрицания, решение задач с помощью отрицания, свойства отрицания, отрицание отрицания, поиск противоречия, утверждения, одинаковые по смыслу, умозаключения. А так же такие темы как логические операции и признаки делимости, свойства импликации, конъюнкция высказываний, дизъюнкция высказываний, отрицание конъюнкции и дизъюнкции. Здесь много нестандартных задач, и на многие дается решение.
К каждой теме даны задачи, решения некоторых задач подробно рассмотрены, во многих задачах рассматривается не один способ решения. Почти в каждой теме присутствуют тесты, на каждый тест отводится определенное количество времени. В конце пособия даны ответы к задачам и тестам.
Знакомясь с логикой с помощью данного пособия, ребята научатся логически правильно мыслить, составлять таблицы истинности, а в конце ответив на вопросы теста, смогут оценить свои успехи.
Проведенный анализ учебников показывает, что количество задач содержащие элементы логики намного меньше ожидаемого и недостаточно для формирования логической культуры у учащихся. Обучение математике сводится к проработке отдельных частей курса элементарной математики, к решению типичных задач и обучению, основным приемам их решения.
Учитель вынужден идти по пути решения задач заданного типа с последующим формированием и развитием навыков подведения под тип. Такое преподавание является одной из причин того, что, за редким исключением, учащиеся не умеют решать задачи. Они с трудом выделяют из задачи данные и искомые величины, плохо анализируют их взаимосвязь, неудачно строят логические цепочки и делают выводы, то есть говоря более широко, у них отсутствуют навыки логического конструирования.
Многолетний опыт показал, что чаще всего добиваются хороших результатов в учебе, успешно поступают в ВУЗы те, кто в среднем звене школы овладел умением самостоятельно мыслить, творчески подходить к выполнению любого задания, искать различные варианты решения и отбирать среди них наиболее оптимальный. И целиком успех зависит от учителя, от его умения и желания подойти к обучению творчески, не зацикливаясь на учебнике, предусмотренном учебным планом.
Равносильность предложений
Цель:
сформировать понятие равносильности, научиться применять на практике полученные знания.
Эту тему дают обычно уже в конце 5 класса, когда ученики уже знакомы со знаком равносильности, который они использовали для краткой записи свойств делимости.
Следует отметить, что понятие равносильности предложений относится не столько к математике, сколько к естественному языку. Как в обычном, так и в математическом языке одну и ту же мысль можно выразить несколькими разными способами. Например:
1) 32 < 64, 64 > 32.
2) Саша – брат Кати, Катя – сестра Саши.
3) 5x
+ 10 = 15, x
= 1.
Обратите внимание на знак равносильности, который употребляется для краткой записи утверждения и обозначает, что два предложения означают одно и то же. Например:
3 < 5 5 > 3
Обратите внимание на то, что если убрать из него стрелки слева и справа, то останется знак равенства. Знак равенства между двумя числовыми выражениями показывает, что эти выражения имеют одно и то же значение. Точно так же, как при преобразованиях числовых выражений мы пишем цепочку равенств:
Так же следует отметить, что равносильные высказывания одновременно истинны или ложны. Например, высказывания «Некоторые цветы бывают синими» и «Встречаются синие цветы» истинны. Но даже очень похожие по виду выказывания могут быть одно истинным, а другое ложным. Например, высказывания «Все кошки четвероногие» и «Все четвероногие - кошки», не являются эквивалентными, так как первое высказывание истинное, а второе ложное.
На этом этапе следует закрепить материал. Задания могут быть следующего содержания:
2) Выяснить, какие из приведенных пар высказываний являются эквивалентными:
а) Число x
делится на 2.
Число x
оканчивается на 2.
б) Хищники не едят траву.
Нет хищников, которые не едят траву.
в) Не все металлы тонут в воде.
Есть металлы, которые не тонут в воде.
3) Используя знак равносильности, записать решение уравнений:
а) 2а –
3 = 25
б) 34 + 18 * в =
43
3) Записать в виде равенств утверждения, равносильные следующим:
а) Число m
на 5 больше числа р.
б) При делении числа а
на число b
получается в частном с
.
4) Какие из следующих утверждений верны:
а) Число x
в 2 раза больше y
x
=
y
+
2
б) Число m
составляет 30 % числа n
m
=
n
/ 100 * 30
в) Углы А и В смежные Сумма углов А и В равна 180 градусов.
Отрицание высказываний
Эту тему можно ввести в начале 6 класса, т. к. здесь ученики начинают решать более сложные задачи, которые требуют правильности в рассуждениях.
Цель:
сформировать понятие отрицания, научиться строить отрицание высказываний, изучить закон исключенного третьего, научиться применять на практике полученные знания.
Мотивация:
нередко в жизни людям приходится спорить. Каждый в споре, доказывая свою правоту, убеждает собеседника, что тот не прав. Но всегда в споре кто-то прав, а кто-то ошибается. Тогда говорят, что их утверждения отрицают
друг друга. Каждое из них называется отрицанием
другого.
Приведем примеры предложений, в которых в каждой паре высказываний одно является отрицанием другого.
| № | Высказывание
|
Отрицание
|
| 1.
|
У Маши есть котенок. | У Маши нет
котенка. |
| 2.
|
100 больше, чем 50. | 100 не
больше, чем 50. |
| 3.
|
Верно, что все птицы летают. | Неверно,
что все птицы летают. |
| 4.
|
10 делится на 4. | 10 не
делится на четыре. |
| 5.
|
Щенок Миши спит на кресле. | Щенок Миши не
спит на кресле. |
Вывод: из таблицы ясно, что как высказывание, так и отрицание может быть ложным. Если высказывание – истина (ложь), то его отрицание - ложь (истина).
Далее необходимо переключить внимание учеников на математику, отметив, что в математике также нередко встречаются задачи, в которых приходится строить отрицания. Это необходимо для того, чтобы отбросить все лишние, «ненужные» случаи и получить единственно правильное решение.
Так как с отрицаниями нам приходится встречаться и в математике, и в жизни, очень важно научиться правильно формулировать отрицание любого заданного предложения. И на этом этапе необходимо дать определение отрицанию.
Отрицание
есть логическая операция, превращающая истинное высказывание в ложное, а ложное высказывание в истинное.
Символически отрицание записывается как , где – сложное или простое высказывание, а символы означают операцию отрицания. Читается: неверно, что А. Например:
В нашем доме живет белая кошка.
Его отрицание будет звучать следующим образом:
Неверно, что в нашем доме живет белая кошка.
Делаем вывод о том, что для формулировки отрицания сначала «мысленно» присоединяем к предложению слова «Неверно, что», а затем «обрабатываем» полученное отрицание так, чтобы оно звучало грамотно. Для этого рассмотрим таблицу:
| № | Предложение
|
Первая формулировка отрицания
|
Вторая формулировка отрицания.
|
| 1.
|
Полуостров Таймыр – родина апельсинов. | Неверно
, что полуостров Таймыр – родина апельсинов. |
Полуостров Таймыр не
является родиной апельсинов. |
| 2.
|
У бабушки в деревне живут только куры. | Не верно
, что у бабушки в деревне живут только куры. |
У бабушки в деревне живут не
только куры, но и гуси. |
| 3.
|
Оля и Вася учатся в одной школе. | Не верно
, Оля и Вася учатся в одной школе. |
Оля и Вася учатся в разных
|
| 4.
|
Все спотрсмены ловкие. | Не верно
, что все спотрсмены ловкие. |
Не
все спотрсмены ловкие. |
| 5.
|
Есть дома, которые имеют больше десяти этажей. |
Не верно
имеют больше десяти этажей. |
Нет
имеют больше десяти этажей. |
Необходимо сформулировать закон исключенного третьего
: если данное предложение истинно, то его отрицание ложно, и наоборот, если данное предложение ложно, то его отрицание истинно.
Примерные задания:
1. Скажите то же самое по-другому:
а) Неверно, что все млекопитающие живут на суше.
б) Неверно, что 5 делится на 2.
в) Неверно, что некоторые рыбы летают.
2. Построить отрицание предложений с помощью слова неверно
и в более простой форме.
а) Сегодня будет солнечно.
б) Все собаки любят кошек.
в) Курица – домашняя птица.
г) Весной снег всегда тает.
д) 150 меньше 200.
е) Математика – точная наука.
3) Придумать свои предложения и построить их отрицание.
4) Доказать, что высказывание является ложным и построить его отрицание:
а) Число 0 является натуральным.
б) Между числами 4 и 5 нет натуральных чисел.
в) Неправильная дробь меньше единицы.
Логическое следование
Так как эта тема не входит в минимум содержания обучения, ее следует давать на кружках в 6 классе.
Цель:
сформировать понятие логического следования, научиться применять на практике полученные знания.
Мотивация:
Вспомните такие знаменитые высказывания:
Тише едешь – дальше будешь.
Подальше положишь – поближе возьмешь.
Или совсем простой пример из жизни:
Если вода нагревается, то она испаряется.
Что объединяет эти предложения?
Во всех трех предложениях мы из чего-то делаем вывод.
Рассмотрим следующее высказывание:
Если прошел дождь (А), то асфальт мокрый (В).
1) Если дождь на самом деле прошел, то асфальт действительно будет мокрым. В этом случае высказывание будет истинным.
2) Допустим, что А - ложное, т.е. дождя не было, но асфальт сырой. Сырым он мог оказаться после того как прошла поливочная машина. В этом случае высказывание А истинно.
3) Если дождя не было, то асфальт остался сухим. Высказывание истинно.
4) Представьте, что дождь прошел, а асфальт остается сухим. Это не возможно. Высказывание ложно.
Составим таблицу истинности:
| № | А | В | А-В |
| 1 | и | и | и |
| 2 | и | л | л |
| 3 | л | и | и |
| 4 | л | л | и |
Исходя из таблицы, можем дать определение логического следования.
Логическое следование
– это логическая операция, которая объединяет два высказывания в такое новое высказывание, которое является ложным при истинности первого высказывания и ложности второго, во всех остальных случаях высказывание истинно.
В математике есть специальный знак следования , который соединяет два предложения с переменными и делает из них новое высказывание общего вида: из первого предложения следует второе. Первое предложение называют условием
, а второе – заключением
, или следствием первого.
«Если Р, то Q» или «Из Р следует Q».
Примерные задания:
1) Сформулировать предложения, используя глагол «следует»:
а) если животное млекопитающее, то оно кормит детей молоком;
б) если вода превратилась в лед, то ее температура отрицательная.
2) Назови условие и заключение:
а) Если число оканчивается на 0, то оно кратно 5.
б) Если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3.
в) Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то их сумма тоже делится на это число.
3) Прочитай высказывания и определи, истинны они или ложны. В каких высказываниях условие и заключение поменялись местами?
а) n
кратно 8 n
кратно 4;
б) n
кратно 4 n
кратно 8;
Конъюнкция высказываний АВ
Так как данная тема не входит в минимум содержания обучения, то ее можно дать ученикам на кружках в 6 классе.
Цель:
сформировать понятие конъюнкции, отработать на практике полученные знания, научиться применять на практике.
Мотивация:
Представьте себе такую ситуацию:
Ваша бабушка ходила в магазин и купила пряники и конфеты. На ваш вопрос, что она купила, она ответила: «Я купила пряники и конфеты.»
В этом случае бабушка сказала правду и ее высказывание – истина. Если бы бабушка солгала, она бы могла ответить следующим образом:
1) Я купила пряники, а конфет не было.
2) Я не купила пряники, но купила конфеты.
3) Я не купила ни конфет, ни пряников.
В этих высказываниях хотя бы одно составляющее ложно, и поэтому бабушка сказала неправду.
Конъюнкция
– это логическая операция «и», объединяющая высказывания в такое новое высказывание, которое является истинным, если каждое из составляющих истинно, и является ложным, если хотя бы одно из составляющих его высказываний ложно.
Высказывание, полученное при помощи конъюнкции, называется конъюнктивным или соединительным.
Символическая запись соединительн6ого высказывания: АВ.
Знаком конъюнкции можно объединить два или более высказываний.
Построим таблицу для уже рассмотренного случая.
Бабушка купила в магазине пряники и конфеты.
| № | Высказывание А | Высказывание В | Конъюнкция АВ | Истинность (ложность) конъюнкции |
| 1. | Бабушка купила пряники. | Бабушка купила конфеты. | Бабушка купила пряники и конфеты. | И |
| 2. | Бабушка купила пряники. | Бабушка купила макароны. | Бабушка купила пряники и макароны. | Л |
| 3. | Бабушка купила яблоки. | Бабушка купила конфеты. | Бабушка купила яблоки и конфеты. | Л |
| 4. | Бабушка купила яблоки. | Бабушка купила макароны. | Бабушка купила яблоки и макароны. | Л |
Таблицу истинности можно составить в краткой форме:
| № | А | В | АВ |
| 1 | и | и | и |
| 2 | и | л | л |
| 3 | л | и | л |
| 4 | л | л | л |
Примерные задания:
1) Заполните пропуск так, чтобы полученное предложение было
а) истинно;
б) ложно.
Число 15 делится 3 и на ...
2)Сформулируйте с помощью союза и
утверждения.
а) Белый пушистый снег покрыл все дороги.
б) Сегодня солнечный, теплый день.
Дизъюнкция высказывания АВ
Т. к. данная тема не входит в минимум содержания обучения, то ее можно дать ученикам в качестве факультатива в 6 классе.
Цель:
сформировать понятие дизъюнкции высказывания, научиться применять на практике.
Мотивация:
Для того, чтобы дать новое понятие, рассмотрим такую ситуацию.
Турист хочет добраться до Красной площади, но он не знает на чем ему лучше поехать: на метро или на автобусе.
В этом случае возможны 4 случая:
1) Если турист поедет сначала на метро, а затем на автобусе. В этом случае утверждение:
Турист поедет на метро или на автобусе.
является истинным.
2) Если турист поедет на метро, но не поедет на автобусе, то утверждение будет выглядеть так:
Турист поехал на метро или на автобусе.
В этом случае турист все-таки поехал на метро, поэтому утверждение истинно.
3) Если турист поехал на автобусе. В этом случае турист все-таки поехал на автобусе. Утверждение также истинно.
4) Если же турист решил идти пешком, то утверждение будет ложным.
Дадим определение:
Дизъюнкция
– это логическая операция «или», объединяющая высказывания в такое новое высказывание, которое является истинным, если хотя бы одно его составляющее является истинным, и является ложным, лишь когда обе его составляющие ложные.
Символическая запись дизъюнктивного объединения: А В. Читается А дизъюнкция В.
Знаком дизъюнкции можно объединить два или более высказывания.
Вернемся к высказыванию. Все рассуждения оформим в виде таблицы.
| № | Высказывание А | Высказывание В | Дизъюнкция АВ |
Истинность (ложность) дизъюнкции |
| 1. | Турист поехал на метро. | Турист поехал на автобусе. | Турист поехал на метро или на автобусе. | И |
| 2. | Турист поехал на метро. | Турист не поехал на автобусе. | Турист поехал на метро или не поехал на автобусе. | И |
| 3. | Турист не поехал на метро. | Турист поехал на автобусе. | Турист не поехал на метро или поехал на автобусе. | И |
| 4. | Турист не поехал на метро. | Турист не поехал на автобусе. | Турист не поехал на метро или не поехал на автобусе. | Л |
Таблицу истинности можно составить в краткой форме.
| № | А | В | АВ |
| 1 | и | и | и |
| 2 | и | л | и |
| 3 | л | и | и |
| 4 | л | л | л |
Примерные задания:
1) Заполните пропуск так, чтобы полученное предложение было
а) истинно;
б) ложно.
Число 8 делится 3 или на ...
2)Истинно или ложно предложение?
Значение выражения 5-2 равно 3 или 4.
Библиографический список
1) Ненашев, М. И. Введение в логику. М. И. Ненашев // г. Киров. Кировская областная типография, 1997-240с.
2) Дорофеев, Г. В. Математика. 6 класс. Часть 1. Л. Г. Петерсон// М.: «Баласс», «С-инфо», 1998. –С. 112.
3) Дорофеев, Г. В. Математика. 6 класс. Часть 2. Л. Г. Петерсон// М.: «Баласс», «С-инфо», 1999. –С. 128.
4) Дорофеев, Г. В. Математика. 6 класс. Часть 3. Л. Г. Петерсон// М.: «Баласс», «С-инфо», 2002. –С. 176.
5) Дорофеев, Г. В. Математика. 5 класс. Часть 1. Л. Г. Петерсон// М.: «Баласс», «С-инфо», 1996. –С. 176.
6) Дорофеев, Г. В. Математика. 5 класс. Часть 2. Л. Г. Петерсон// М.: «Баласс», «С-инфо», 1997. –С. 240.
7) Ончукова, Л. В. Введение в логику. Логические операции. Л. В. Ончукова // Учебное пособие для 5 класса. – 2-е изд.- Киров: Изд-во ВятГГУ, 2004. – С. 124.
8) Ончукова, Л. В. Элементы логики. Логические операции. Л. В. Ончукова // Учебное пособие для 6 класса.- Киров: Изд-во ВятГГУ, 2002. – С. 88.
9) Игошин, В. И. Математическая логика и теория алгоритмов. В. И. Игошин //Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1991. – С. 256.
10) Дорофеев, Г. В. Математика. 5 класс . Г. В. Дорофеев, И. Ф. Шарыгин, С. Б. Суворова// Под ред. Г. В. Дорофеева, И. Ф. Шарыгина. – 3-е изд.- М.: Просвещение, 2000. –С. 368.
11) Дорофеев, Г. В. Математика. 6 класс . Г. В. Дорофеев, И. Ф. Шарыгин, С. Б. Суворова// Под ред. Г. В. Дорофеева, И. Ф. Шарыгина. – 2-е изд.- М.: Дрофа, 1997. –С. 416.
12) Никольская, И. Л. Учимся рассуждать и доказывать. И. Л. Никольская, Е. Е. Семенов // Книга для учащихся 6 – 10 кл. сред. шк.-М.: Просвещение, 1989. –С. 192.