Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет
им. Ф. Скорины»
Математический факультет
Кафедра МПМ
РЕФЕРАТ
Начала систематического курса стереометрии в средней школе
Исполнитель:
Студентка группы М-32 ____________ Кольцевая А.Ю.
Научный руководитель:
Канд. физ-мат. наук, доцент ____________ Лебедева М.Т.
Гомель 2007
Содержание
Введение
1. Методика изучения параллельности прямых и плоскостей. Методическая схема изучения теорем и их доказательства (на примере признака параллельности прямой и плоскости)
1.1 Методика изучения аксиом стереометрии
1.2 Методика изучения параллельности прямых и плоскостей
2. Методика изучения перпендикулярности прямых и плоскостей. Методическая схема изучения признака перпендикулярности прямой и плоскости
Заключение
Литература
Введение
При изучении аксиом важно, чтобы учащиеся поняли абстрактный характер геометрических понятий, увидели процесс абстрагирования в действия и научились замечать его в окружающей действительности.
Изучая геометрические понятия “линия”, “точка”, “прямая”, “плоскость” и др., учитель акцентирует внимание учащихся на том, что каждое из них – результат абстрагирования (отвлечения) от реальных объектов.
Например, линия границы на карте – полоса определённой ширины (существенное свойство границы) для пограничников.
Как видно, в зависимости от цели рассмотрения в одном случае существенными свойствами границы являются одни свойства, а в другом – другие. В качестве примеров, позволяющих представить себе плоскость, выбираем ровную поверхность стола, гладкую поверхность озера, участок поля, простирающийся до горизонта.
В данном случае, как и для прямой, плоскость представления неограниченно продолженной во все стороны, т.е. абстрагируемся от свойства ограниченности каждого из перечисленных объектов.
1. Методика изучения параллельности прямых и плоскостей. Методическая схема изучения теорем и их доказательства (на примере признака параллельности прямой и плоскости)
1.1 Методика изучения аксиом стереометрии
Построение системы аксиом стереометрии происходит по двум направлениям: 1) переформулирование аксиом планиметрии для пространства; 2) добавление новых “специфических” аксиом стереометрии.
Первое из них осуществляется через принятие аксиомы: “В каждой плоскости пространства справедливы (выполнимы) все аксиомы планиметрии”. Второе состоит в формулировании нескольких аксиом принадлежности для пространства. В учебнике Погорелова использовано второе направление. Т.к. вводится новый геометрический образ – плоскость, то её основные свойства в пространстве выражают аксиомы:
С1
. Какова бы не была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.
С2
. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.
С3
. Если две различные прямые имеют общую точку. То через них можно провести плоскость, и притом только одну.
Таким образом, система аксиом стереометрии состоит из аксиом планиметрии и группы аксиом С.
Методическая схема изучения аксиом стереометрии
1. Разъяснить абстрактный характер геометрических понятий.
2. Разъяснить сущность аксиом и их роль в построении геометрии, сформулировать аксиомы.
3. Проиллюстрировать аксиомы на моделях.
4. Закрепить аксиомы путём логического анализа их формулировок.
5. Закрепить аксиомы в процессе их применения к выводу первых следствий геометрии принадлежности в пространстве, к решению задач.
Проиллюстрируем схему на аксиомах группы С.
1. Понятие плоскость, точка, прямая – абстрактны, т.к. в каждом из случаев отвлекались от свойств ограниченности, линейных размеров, возможной ширины, которыми обладали эти предметы в окружающей действительности.
2. Перечисленные свойства позволяют строить сечение многогранников, доказывать следствия, вытекающие из аксиом.
3. В качестве иллюстрации аксиом на модели воспользуемся рисунком куба, по которому учащиеся могут ответить на следующие вопросы: перечислить точки, принадлежащие плоскостям: (ABC),(AA1
B1
),(D1
C1
C),(A1
B1
C1
); назвать плоскости, которым принадлежат точки D1
,C,B1
,A,M,N; назвать линии пересечения плоскостей (AA1
D1
) и (ABC), (DD1
C1
) и (BB1
C1
); имеют ли они общие точки; можно ли провести плоскость через следующие пары прямых: AB и AD, A1
B1
и BB1
, A1
D1
и C1
C, BC и AA1
.
4. Аксиома С1
: “Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей”. Её анализ можно направить вопросами: О каких геометрических фигурах говорится в этой аксиоме?
- О плоскости и точках. Что именно говорится о плоскости и точках?
- На каждой плоскости имеются точки, принадлежащие ей; для каждой плоскости можно указать точки, которые ей не принадлежат. Сколько утверждений сформулировано в аксиоме С1
? Сформулируйте их по отдельности.
- Сформулированы два утверждения: 1) какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие ей; 2) какова бы ни была плоскость, существуют точки, не принадлежащие ей. Какими другими словами можно заменить слова “какова бы ни была плоскость”?
5. На рисунке изображены две различные плоскости a и b, имеющие общую точку A. Сколько общих точек имеют плоскости a и b?
Т.к. плоскости – неограниченны и используя аксиому С2
, получаем ответ: бесконечно много точек, расположенных на прямой, являющейся их линией пересечения.
Задача:
Можно ли через точку пересечения двух данных прямых провести третью прямую, не лежащую с ними в одной плоскости? Объясните ответ.
По аксиоме С3
пересекающиеся данные прямые задают положение одной из плоскостей в пространстве. В пространстве найдётся прямая, не принадлежащая данной плоскости (применяем аксиому С1
, по которой выбрав любую точку, не принадлежащую построенной плоскости, и точку пересечения данных прямых, строим искомую прямую). Такую прямую можно
построить.
Роль аксиом в построении геометрии хорошо видна при доказательстве первых следствий, которые в действующем учебнике представлены в виде теорем.
Т.15.1.
Через прямую и не лежащую на ней точку можно построить плоскость, и притом только одну.
Для лучшего выделения всех предложений, используемых при доказательстве следствия, целесообразно доказательство оформить в виде таблицы с двумя колонками “утверждения” и “на основании”.
| Утверждения | На основании |
| Прямая AB, точка С | Аксиома I. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие прямой, и точки, не принадлежащие ей. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну. |
| ABÇAC=A | Если прямые имеют одну общую точку, то они пересекаются |
| плоскость a | Аксиома С3
: Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну. |
| Единственность: $-ет a¢, проходящая через прямую AB и С. ÞaÇa¢ по прямой, которой принадлежат A,B,C. | Аксиома С2
Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. |
| A,B,C не лежат на одной прямой | Условие задачи |
| Противоречие. |
Теорема доказана.
Т.15.2.
Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.
Т.15.3.
Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.
Следствие из Т.15.2.Плоскость и не лежащая на ней прямая либо не пересекаются, либо пересекаются в одной точке.
Выяснить, следствиями из каких аксиом являются сформулированные теоремы? (аксиома 1, аксиома С3
).
Учащимся необходимо объяснить, что доказательство приводится не только с целью убеждения в истинности какого-либо предположения, но и для того, чтобы свести данное предположение к ранее известным, показать, каким образом из аксиом, определений и уже доказанных теорем следует данное предположение.
1.2 Методика изучения параллельности прямых и плоскостей
Содержание:
определения параллельных и скрещивающихся прямых в пространстве, теорема о существовании и единственности прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой, транзитивность параллельности прямых, параллельность прямой и плоскости (определение и признак), параллельность плоскостей (определение и признак), изображение пространственных фигур на плоскости.
Наряду с обычными целями обучения геометрии здесь большую роль играет цель формирования у учащихся пространственного представления и воображения.
Методика изучения определения параллельных и скрещивающихся прямых построена с помощью логической операции отрицания: “Две прямые в пространстве называются параллельными
, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются”. “Прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися
”. Точный смысл понятий: “прямые не пересекаются”, “прямые не лежат в одной плоскости” мо
Методическая схема изучения параллельных и скрещивающихся прямых в пространстве
1.
Сообщить определения;
2.
проиллюстрировать эти понятия на модели куба, классной комнате, рисунке;
3.
провести логический анализ формулировки определения;
4.
выполнить задания на нахождение параллельных и скрещивающихся прямых на модели (рисунке) куба;
5.
сопроводить показ параллельных и скрещивающихся прямых соответствующими обоснованиями.
Для облегчения логического анализа определений и построения отрицания полезно на доске выполнить следующие записи:
1.
прямые a и b пересекаются: имеют общую точку, и притом только одну;
2.
прямые a и b не пересекаются: не имеют общих точек или общих точек более одной.
Понятие параллельного проектирования вводится с помощью генетического определения. В соответствии с общей особенностью генетических определений используется методическая схема изучения параллельного проектирования:
· одновременно проговорить определения и произвести построения (выполняется учителем);
· одновременно проговорить определения и показать соответствующие построения на готовом рисунке (выполняется учеником); стереть имеющийся на доске рисунок;
· одновременно проговорить определение и выполнить новый рисунок (выполняется учеником).
Методику изучения теорем и их доказательств рассмотрим на примере признака параллельности прямой и плоскости: “Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости”.
Методическая схема:
1) подвести учащихся к теореме, сформулировать ее;
2) выполнить рисунок, краткую запись теоремы;
3) сообщать общую идею теоремы;
4) привести план доказательства;
5) предоставить учащимся возможность самостоятельно осуществить док-во;
6) осуществить доказательство (ученик);
7) закрепить доказательство путем его воспроизведения;
8) применить теорему к решению задач.
Подведение учащихся к теореме: на стол положим спицу а1
, вторую спицу положим так, чтобы она была параллельна спице а1
.
Вопрос: что можно сказать о взаимном расположении спицы а
и поверхности стола?
После опыта задается вопрос: Какую теорему можно сформулировать?
Идея доказательства: (после выполнения рисунка и краткой записи теоремы).
Выполним доп. построение: через параллельные прямые а
и а1
проведем плоскость a
1
.
Док-во от противного:
Учтем, что все общие точки плоскостей a
и a
1
должны принадлежать прямой а1
.
План доказательства:
1) проводим плоскость a
1
;
2) делаем допущение, что а
не параллельна a
;
3) рассмотрим точку А
, точку пересечения прямой а
и плоскости a
;
4) приходим к выводу, что прямые а
и а1
пересекаются;
5) противоречие;
6) а
//a
.
После проведения доказательства решим следующую задачу:
Пусть SABC тетраэдр. MKP- середины ребер SA, SB, SC
Как располагаются прямые MK, KP, MP относительно ABC?
MK -средняя линия DASB => MK //AB => MK//ABC. Аналогично для др. прямых.
2. Методика изучения перпендикулярности прямых и плоскостей. Методическая схема изучения признака перпендикулярности прямой и плоскости
Содержание:
определения: перпендикулярных прямых, перпендикулярных прямой и плоскости, перпендикуляра к плоскости, расстояние от точки до плоскости, наклонной, прямоугольной проекции наклонной, перпендикулярных плоскостей, теоремы о перпендикулярных прямых, признак перпендикулярности прямой и плоскости, теорем о связи между параллельностью и перпендикулярностью прямых и плоскостей в пространстве, теорема о трех перпендикулярах, теорема о перпендикулярных плоскостях.
Т.к. в учебнике Погорелова не вводится понятие о перпендикулярных скрещивающихся прямых то: пряма а
, пересекающая плоскость a
,
называетсяперпендикулярной
к плоскости
a
, если она перпендикулярнак любой прямой в плоскостиa
, проходящей через точку пересечения прямой а
с плоскостьюa
.
Определения, приведенные в этой теме, относятся к генетическим (конструктивным), поэтому при их изучении используют методическую схему, определенную в “2” для параллельного проектирования. Согласно определения к плоскости проводим прямую, кот. пересекает ее в некоторой точке А. В этой плоскости найдется прямая, проходящая через точку пересечения.
Если эта прямая перпендикулярнакданной прямой, то ее называют перпендикулярной
к плоскости
. По рисунку куба попросить учащихся обозначить ребра куба, перпендикулярные к плоскостям AA1
BB1
, ABCD, D1
C1
CD, и назвать плоскости, которым перпендикулярны ребра C1
D1
, A1
D1
, BC.
Признак перпендикулярности
:
Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна к
двум прямым в этой плоскости, то она перпендикулярна
к плоскости.
Сформулировать эту теорему учащиеся смогут сами, используя приведенную выше задачу (например, ребро А1
D1
перпендикулярнок плоскости DD1
C1
=> А1
D1
^DD1
и А1
D1
^D1
С1
т.е. двум прямым лежащим в этой плоскости).
Методическая схема изучения признака перпендикулярности прямой и плоскости
1) подвести учащихся к признаку, сформулировать его;
2) выполнить рисунок, краткую запись теоремы;
3) сообщать общую идею доказательства теоремы;
4) выполнить доп. построения;
5) сообщать идею доказательства теоремы в более конкретной форме ;
6) привести план доказательства;
7) изложить доказательство ;
8) закрепить доказательство по частям;
9) воспроизведения доказательства полностью;
Для того чтобы подвести учащихся к теореме можно воспользоваться и др. моделью, состоящей из листа картона и нескольких спиц. С ее помощью показать, что если прямая перпендикулярнатолько к одной прямой, расположенной в плоскости a
, то этого не достаточно, чтобы прямая а
была перпендикулярнакплоскости a
.
В учебнике дано слово “пересекающиеся” прямые. Здесь приведено традиционное доказательство, основанное на применении признаков равенства треугольников. Одно из первых доп. построений- проведение через точку А произвольной прямой Х, что необходимо для того чтобы доказать справедливость определения прямой, пересекающей плоскость, этой плоскости. Вторая часть доп. построений: AА1
=AА2
, произвольная прямая СВ, пересекающая прямые b, х, с. А1
С, А1
Х, А1
В, А2
С, А2
Х, А2
В - для образования треугольников, равенство которых будет доказано.
План доказательства:
| DА1
СА2 |
А1
С= А2 С |
| DА1
ВА2 |
А1
В= А2 В |
| DА1
ВС, А2 ВС |
DА1
ВС=DА2 ВС=> ÐА1 ВХ= ÐА2 ВХ |
| DА1
ВХ, А2 ВХ |
DА1
ВХ=DА2 ВХ=> А1 Х= А2 Х |
| DА1
ХА2 |
х ^ а |
При наличии подробного плана доказательства краткую запись делать не целесообразно. Оставшаяся часть проводится устно.
Пункт 1 плана можно осуществить, направляя учащихся вопросами типа: Какую фигуру надо рассмотреть? Какое ее свойство нужно установить?
После того как доказано, что для DА1
СA2
выполняется равенство А1
С=A2
С?, Почему А1
С=А2
С? Почему А1
В=А2
В? Почему DА2
ВС=DА2
ВС? и т. п.
Заключение
При изучении аксиом целесообразно показать, что многие из них появились в результате наблюдения и абстрагирования различных видов практической деятельности.
Например, при ознакомлении учащихся с аксиомой прямой линии: “Через две различные точки пространства проходит, и притом только одна, прямая” можно рассказать о способе распиловки бревна на доски вручную.
Эффективными для развития пространственного воображения является использование шарнирных моделей, умение учащихся моделировать условия задач с помощью подручных средств. При изучении многогранников полезны каркасные модели тел, изготовленные учащимися.
Литература
1. К.О. Ананченко «Общая методика преподавания математики в школе», Мн., «Унiверсiтэцкае»,1997г.
2. Н.М.Рогановский «Методика преподавания в средней школе», Мн., «Высшая школа», 1990г.
3. Г.Фройденталь «Математика как педагогическая задача»,М., «Просвещение», 1998г.
4. Н.Н. «Математическая лаборатория», М., «Просвещение», 1997г.
5. Ю.М.Колягин «Методика преподавания математики в средней школе», М., «Просвещение», 1999г.
6. А.А.Столяр «Логические проблемы преподавания математики», Мн., «Высшая школа», 2000г.