Методическое наследие Ф.В. Филипповича

Министерство Образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина

Физико - математический факультет

кафедра математического анализа и элементарной математики

Методическое наследие Ф.В. Филипповича

Выпускная квалификационная работа

Студентки 4 курса

Научный руководитель:

Допущена к защите

«____» __________________20____г. (протокол №___________)

Зав. кафедрой_______________________________

Елец – 2010

Оглавление

Введение

Глава
I
. Математическое образование России на рубеже
XIX
–
XX
веков

§1. Характеристика математического образования России на рубеже XIX – XX веков

§2. Развитие методики преподавания математики в России во второй половине XIX — начале XX века

Глава
II
. Научно – методическое наследие Ф.В. Филипповича

§1. Биографические сведения о Ф.В. Филипповиче

§2. Обзор работ Ф.В. Филипповича по педагогике

§3. Научно – методические идеиФ.В. Филипповича

Заключение

Список литературы

Введение

В связи с грядущими новациями в образовании необходимо изучать и помнить традиции истории становления учебного предмета математики как в России, так и за ее пределами.

Особе внимание в последнее время привлекает персоналистический компонент истории математического образования. Изучению методического наследия педагогов-математиков посвящены работы Т.К. Авдеевой, Ю.М. Колягина, Т.С. Поляковой, О.А. Саввиной, О.В. Тарасовой и других.

В этом году исполняется ровно 100 лет со дня выхода первого учебного пособия по методике преподавания математики в России, содержащего как общую методику, так и частную. Авторами этой знаковой в истории отечественного образования книги были Ф.В. Филиппович и В.Р. Мрочек.

Вместе с тем, Филипп Васильевич Филиппович - чистая страница в методико - математических исследованиях, его имя редко упоминается в историко-математических работах. Объяснение данной ситуации можно найти в особенностях биографии педагога-математика, который с одной стороны, оказался между двумя странами - Россией и Сербией, а с другой стороны, между двумя областями деятельности преподаванием математики и политикой.

Целью
данной работы является изучение методико-математического наследий Ф.В. Филипповича и выявление вклада этого ученого в развитие отечественного математического образования.

Объект исследования
– математическое образование в России во второй половине XIX — начале XX в.

Предмет исследования
– биография и научно – методические идеи Ф. Филипповича в контексте истории математического образования в России.

В соответствии с целью, объектом и предметом исследования были поставлены следующие задачи:

1. Дать общую характеристику развития школьного математического образования в России во второй половине XIX — начале XX века.

2. Рассмотреть биографические сведения о Ф.В. Филипповиче.

3. Охарактеризовать основные методические идеи Ф.В. Филипповича, высказанные им преимущественно в работе «Педагогика математики».

В ходе работы мы опирались на исследования Ю.М. Колягина, Т.С.Поляковой, О.А.Саввиной, А.В.Ланкова, в которых подвергнуто осмыслению развитие и становление системы образования России в период конца XIX – начала XX в.

Источником исследования явились работы Ф.В. Филипповича:

1) Мрочек В., Филиппович Ф. «Педагогика математики. Исторические и методические этюды».

2) Филиппович Ф.В. «К реформе обучения математике».

3) Мрочек В., Филиппович Ф. «Реформа преподавания математики»

Работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы.

Глава
I
. Становление математического образования

§1. Характеристика математического образования на рубеже
XIX
–
XX
веков

Общее состояние математического образования во второй половине XIX - начале XX в. можно охарактеризовать следующим образом:

• преподавание математики в начале рассматриваемого периода носило контекстный (а точнее - практико-ориентированный) характер;

• к концу XIX века произошло осознание необходимости определения математики как учебного предмета и на этой основе выделение в качестве основных школьных курсов арифметики, алгебры, геометрии и тригонометрии, а также придание содержанию изучаемого материала этих учебных дисциплин теоретического характера, выделение высших разделов математики;

• почти полностью отсутствовали в начале второй половины XIX века учебные планы, учебные программы и т.д. И лишь к концу XIX века появились первые учебные пособия по методике преподавания математических дисциплин;

• математическое образование оказалось востребованным на всех уровнях системы в подавляющем большинстве образовательных учреждений лишь к концу рассматриваемого периода, и относительно других дисциплин оно было доминантным;

• к началу XX века установилась тесная связь математической науки с содержанием школьных математических дисциплин и методикой их преподавания в различных типах образовательных учреждений, при главенствующей роли науки. [4,35]

В развитии отечественного школьного математического образования условно можно выделить следующие основные этапы:

- первый этап (1860-1890 гг.) — период активных научных изысканий в области математики, издания научных трудов и создание научных школ, которые так или иначе способствовали определению содержания школьного математического образования и решению проблем преподавания математических дисциплин в различных типах учебных заведений; создания сети государственных школ, увеличения числа учащихся и учебных заведений, готовящих педагогические кадры; появления первых авторских учебников по арифметике для начальных и средних школ;

- второй этап (1890-1910 гг.) - период сближения математической науки и практики математического образования, становления отечественной теории и методики преподавания математики, подъема научно-математической мысли и проведения большой работы по учебно-методическому обеспечению процесса ее обучения в разных типах учебных заведений, разработке учебных планов и программ, продолжению работы по изданию авторских учебников и учебных пособий, подготовке дидактических средств и т.п.;

- третий этап (1911-1917 гг.) — период проведения всероссийских съездов преподавателей математики и создания в крупных городах научно-методических центров, внесших свой вклад в обобщение и распространение накопленного к тому времени отечественного опыта преподавания математики; привлечения ученых и практиков к обсуждению накопившихся в этой области проблем и поиску путей их решения; появления новых течений в методике преподавания математики (прежде всего арифметики и геометрии), пересмотра содержания изучаемого в школе материала и др. [4, 36]

§2.Развитие методики преподавания математики в России во второй половине XIX — начале XX века

Исследователем А.В. Ланковым установлено: «Во второй четверти XIX века произошли резкие изменения в соотношении крепостного и вольнонаёмного труда, вызванные ростом промышленности и рабочего класса. Крепостническое производство вытесняется производством капиталистическим. В недрах крепостного хозяйства нарождается капиталистический способ производства, возникают буржуазные производственные отношения. Усиливается классовая борьба: наряду с продолжающимися восстаниями крестьян против помещиков начинаются выступления рабочих против крепостнических порядков на предприятиях, и затем на сцену выступает демократически настроенная разночинная интеллигенция.

Прогрессивным силам страны стало ясно, что Россия под гнётом царизма и крепостного права отстала от передовых стран Запада. Ликвидация крепостного права, изменение формы государственного управления стали знаменем борьбы за свободу.

Основоположником русской педагогической науки является Константин Дмитриевич Ушинский (1824—1870), которого по праву называют «учителем русских учителей».

Высоко оценивая роль учителя, Ушинский в 1861 г. разработал проект учительской семинарии, его взгляды по этому вопросу осуществлялись в лучших учительских семинариях России. Ему принадлежит мысль о создании педагогических факультетов для подготовки преподавателей средней школы.[4,37 - 40]

Первый этап (60-е годы XIX века) в развитии отечественного школьного математического образования характеризуется расцветом педагогической журналистики. В 1857г. возникает «Журнал для воспитания» и «Русский педагогический вестник». В 1861—1862 гг. Л. Н. Толстой издаёт журнал «Ясная Поляна». В этот же год начинает выходить «Учитель». В 1864г. появляется «Педагогический сборник». Журналы объединяют лучших педагогов того времени и оказывают большое влияние на постановку вопросов народного образования. Педагогические проблемы находят отражение и в общественно-политических журналах, например, в «Современнике», выходившем при участии Н. А. Некрасова, Н. Г. Чернышевского и Н. А. Добролюбова.

В эти же годы возникают и общественные педагогические организации: Петербургское педагогическое общество, Комитет грамотности при Вольном экономическом обществе и другие.

В 1864г. вводятся земские учреждения, и в том же году утверждается положение о начальных народных училищах.

Школьная реформа делает шаг вперёд по пути развития светской общеобразовательной народной школы с трёхгодичным курсом обучения. Несмотря на то, что земским учреждениям законом отводится очень скромная роль («участие преимущественно в хозяйственном отношении... в попечении о народном образовании»), некоторые земства оказывали большое влияние на развитие школьного дела. Они не только принимали участие в финансировании школы, но и конкретно поставили вопрос о подготовке учителей. Одновременно начинается организация учительских курсов и съездов. Наряду с светской школой сохраняется и церковно-приходская школа (духовного ведомства).

В 1869г. для надзора за школой учреждается должность инспектора народных училищ.

В 1871г. был утверждён новый устав средней школы.

По новому уставу сохраняются лишь классические гимназии. На математику вместе с физикой, математической географией и кратким естествознанием отводится очень мало времени. Перед математикой ставится исключительно формальная цель обучения.

В 1895г. Россия имела 9 университетов (13 976 студентов), 225 гимназий и прогимназий (64 711 учащихся), 107 реальных училищ (26 002 учащихся) и 68 029 начальных школ (1937 076 учащихся).[4,40 - 42]

В математической науке в эту эпоху происходят большие сдвиги. В 1858г. в Петербурге занимает профессорскую кафедру П. Л. Чебышев. Его работы по теории чисел, теории вероятностей, теории механизмов и машин приобретают мировую известность. В Москве в 1864 г., по инициативе Н.Д. Брашмана, возникает Московское математическое общество и через год начинает выходить «Математический сборник». Начинают свою блестящую деятельность Л.Н. Коркин (1837—1908 гг.) и И.Я. Сонин (1897—1915 гг.). В 1874г. получила степень доктора первая женщина — профессор С.В. Ковалевская.

Выразителем идей новой методики арифметики является Василий Алексеевич Латышев. В 1880 г. он основывает журнал «Русский начальной учитель», издававшийся им до конца жизни (по 1911 г. включительно). Журнал, издаваемый В. А. Латышевым, явился источником распространения массового опыта работы школ. Одной из задач журнала редактор считал борьбу с «промышленниками педагогического дела», авторами учебников, которые в погоне за доходами мало заботились об изучении дела. В журнале помещались исчерпывающие рецензии на учебную и методическую литературу и книги для чтения учащихся, обзоры литературы. [4, 45 - 47]

В начале 90-х годов XIX века в России ставится вопрос о реформе преподавания всего курса математики в средней школе. Начало этому было положено рефератом В.Е. Сердобинского и статьями В.П. Шереметьевского. Оба автора высказались за развитие идеи функциональной зависимости в каждом из предметов школьного курса математики.

С этой точки зрения, как отмечал В.Е. Сердобинский, задачи на построение в геометрии должны иметь особо важное образовательное значение. Некоторые дидактические требования реформы были высказаны Д.Д. Галаниным, который боролся за устранение догматизма в преподавании, за необходимость введения пропедевтического курса геометрии в гимназиях.

Методологическая основа рассматриваемой реформы (как и всей методики преподавания математики) складывалась под влиянием развития русской прогрессивной общественной мысли, математической науки и передовой школьной практики. Материалистическая основа методики математики была определена прежде всего в выступлениях русских революционеров-демократов Чернышевского, Добролюбова и Писарева, подвергших острой критике формализм и схоластику в преподавании математики, требовавших органической связи преподавания ее с практической жизнью и естествознанием, боровшихся за воспитание у юношества активного математического мышления. Значительную роль сыграли в этом деле передовой опыт и творческая деятельность рядовых преподавателей .математики средней школы, указания М.В. Остроградского и П.Л. Чебышева о путях развития русской методики преподавания математики «в реальном» направлении, признание научных идей Н.И. Лобачевского, выяснение их педагогического значения.

В результате совместных усилий ученых, педагогов-математиков и учителей - практиков к началу XX века в России были выработаны положения, которые легли в основу международного движения за реформу преподавания математики в XX веке. Эти Положения, в основном, сводились к следующему:

1.Обучение математике должно быть подчинено развитию науки и требованиям жизни, программы школьного курса математики — соответствовать современному состоянию науки, а основное содержание курса — строиться вокруг идеи числа, функции, графического изображения функциональной зависимости, включать элементы высшей математики и способствовать развитию пространственных представлений у учащихся.

2.Из программы и учебников должен быть исключен ряд вопросов, не имеющих первостепенной научной и практической ценности.

3.Требовалось уделять больше внимания практическим приложениям в школьных учебниках математики и усилить связь между математикой и другими дисциплинами.

4.Методы преподавания математики в средней школе должны находиться в полном соответствии с новейшими данными педагогики и психологии. При этом необходимо учитывать возрастные особенности детей. Отсюда на ранних ступенях обучения математике следовало отказаться от неоправданной отвлеченности и дедуктивных выводов и, наоборот, усилить наглядность обучения и конкретность истолкований математических понятий.

Таким образом, в конце XIX века передовые ученые-математики и педагоги выступили за коренной пересмотр содержания, системы и методов преподавания математики в средней школе и, следовательно, за соответствующую переработку учебной литературы. [1, 3 - 5]

Рассматривая второй этап в развитии отечественного школьного математического образования (1890 – 1910 гг.) можно выделить следующее: во второй половине 1899 г. министерство народного просвещения предложило созвать при учебных округах особые совещания, посвященные вопросам реформы средней школы. К участию были привлечены широкие круги педагогической общественности. Так, например, в Москве в работе приняли участие до 200 чел. Из математиков присутствовали профессора: Н.А. Андреев, Н.Е. Жуковский, Б.К. Млодзеевский; выдающиеся педагоги: А.М. Воронец, В.Я. Гебель, Ф.И. Егоров, К.К. Мазинг, Н.А. Рыбкин и др. Составлены были учебные планы и программы по следующим типам школ: гимназия с двумя древними языками, гимназия с одним древним языком, реальная гимназия, средняя школа нового типа. Широко дебатировался вопрос о цели преподавания математики.

Одним из объяснений роста педагогической активности является то, что к концу XIX века в области математического образования во многих странах Запада так же, как и в России, обнаружились определенные недостатки, которые касались как содержания учебного предмета «математика», так и организации его преподавания. Во многих школах действовали учебные планы, в которых преобладали гуманитарные предметы.

В это время широкая педагогическая общественность выступает с критикой существующей системы образования, среди прочих указывая следующие недостатки: крайняя сухость и безжизненность преподаваемых в школе предметов; многопредметность и излишняя обширность школьного курса; направленность на развитие памяти ученика в ущерб уму и чувству; оторванность от действительной жизни и ее потребностей; излишняя регламентация, бюрократизм и формализм и пр.

Стремление улучшить школьное преподавание математики постепенно приобретало международный характер.

В 1899 году министр народного просвещения Н.П. Боголепов (1846-1901) издает циркуляр, в котором говорится о необходимости создания «Комиссии по вопросу об улучшениях в средней школе». Весь 1900 год Комиссия занимается активной деятельностью, вырабатывает свои предложения, которые, к сожалению, из-за трагической гибели Н.П. Боголепова так и не были внедрены в школьную практику. [4, 125 - 129]

По справедливому мнению Ю.М. Колягина и О.А. Саввиной: «Начало XX века в России характеризуется подъемом педагогической активности. Этот период насыщен организацией всевозможных комиссий и проведением различных съездов. В 1901-1902 гг. проходит съезд директоров и попечительных советов коммерческих училищ, в 1904 гг. Третий Съезд русских деятелей по техническому и профессиональному образованию, в 1905-1907гг. - нелегальные учительские съезды, в 1909г. - Второй Всероссийский съезд по педагогической психологии и Первый Всероссийский съезд учителей городских училищ, в 1911-1912гг. и 1913 -1914гг. - I и II Всероссийские съезды преподавателей математики, 1912 - 1913гг. - Первый Всероссийский съезд по образованию женщин и Первый Всероссийский съезд по семейному воспитанию, 1913-1914гг. - Всероссийский съезд преподавателей физики, химии, космографии, Всероссийский съезд по вопросам народного образования.

В апреле 1908 года на IV Международном математическом конгрессе в Риме создается Международная Комиссия по вопросам преподавания математики (МКПМ) во главе с известным немецким математиком и педагогом Ф. Клейном (1849-1925). Русскую национальную подкомиссию возглавил академик Н.Я. Сонин (1849-1915).

Активное участие в МКПМ, а также работа по реализации тех реформ, которые проводились в России, привели отечественных педагогов к мысли о проведении Всероссийских съездов преподавателей математики. Первый такой съезд открылся 27 декабря 1911 года в Санкт – Петербурге. Через два года в Москве прошел Второй съезд. Проведению третьего съезда помешала война.

В материалах МКПМ и в выступлениях на обоих съездах видное место заняло обсуждение проблем формирования «функционального мышления», а также целей, принципов и методов введения в курс средней школы элементов высшей математики.

Под влиянием Международного реформаторского движения и настойчивых требований отечественных педагогов программы по математике средних учебных заведений России были обновлены. В 1907г. начала аналитической геометрии и анализа бесконечно малых составили специальный курс реальных училищ, в 1911г. анализ бесконечно малых стал завершающим разделом курса кадетских корпусов, в 1914г. аналитическая геометрия вошла в программу коммерческих училищ. Готовились серьезные реформы и в гимназическом образовании.»[3, 12 -14]

Активизация педагогической мысли на рубеже XX века проявилась в создании во многих городах России новых педагогических организаций, кружков и обществ, взявших на себя миссию разработки и пропаганды передовых идей математического просвещения. В 1898 году при Московском университете организуется Педагогическое общество, в этом же году возникает Варшавский кружок преподавателей математики и физики, в 1900 году при Обществе распространения технических знаний — Московский преподавательский кружок, в 1905 году — Московский математический кружок. Общества математики и физики, а также педагогические общества были организованы в Тифлисе, Орле, Полтаве, Новочеркасске; Педагогические общества — в Калуге, Твери, Риге и в некоторых других городах. Эти организации дополнительно вовлекли в активную работу видных ученых-математиков и рядовых преподавателей средних школ.

На заседаниях кружков и обществ, кроме чисто научных докладов, повышающих культурный уровень его участников, обсуждались и многие методические вопросы преподавания (проекты программ по математике, разбор и анализ принципиальных вопросов преподавания, изложение наиболее трудных тем школьного курса, рецензирование учебников и т. п.).

Работа, проводимая в этих педагогических объединениях, благотворно влияла на практику преподавания, на общий качественный уровень выходящих в то время учебников.

В связи с интенсивной работой методической мысли в этот период активизируется деятельность методико-математической журналистики. Возникают специальные журналы по методике математики: «Математическое образование» (Москва, 1912—1917 гг.), «Математический вестник» (Москва, 1914—1917 гг.), специальный журнал для учащихся «Математический листок» (Ревель, 1915—1917 гг.).[1, 6 – 9]

Прогрессивные русские математики и педагоги продолжали борьбу за научно-педагогическую реформу преподавания математики.

В среде русских педагогов все более нарастает движение за обновление преподавания математики в свете новых требований жизни, математики и данных педагогики и психологии.

Тенденции сближения курса школьной математики с жизнью и производством, облегчения восприятия математических истин, комплекс мероприятий, направленных на сознательное и прочное усвоение ее основ, на соответствие школьного курса современным идеям математики порождали новые направления в русской методике математики. Русские педагоги объективно и строго подошли к различным западным течениям в методике преподавания математики, принимали активное участие в решении этих вопросов.

Вопросам методики преподавания математики в России уделялось немалое внимание. В этот период прошли такие крупнейшие педагогические форумы, как первый и второй съезды директоров и председателей попечительских советов коммерческих училищ в Петербурге в 1901 и 1902 годах; Варшавский съезд преподавателей физики и математики (27—30 декабря 1902г.); III съезд русских деятелей по техническому и профессиональному образованию (Петербург, 26 декабря 1903г. — 6 января 1904г.).

I Всероссийский съезд преподавателей городских училищ (Петербург, 1909г.) высказался за внедрение идеи функциональной зависимости в курс математики средней школы. В докладе Ф.В. Филипповича «Наглядная геометрия и систематический курс геометрии в связи с элементами тригонометрии» отмечалось: «Через весь курс геометрии, в правильной методической последовательности, красной нитью должна проходить идея закономерности (функциональная зависимость) между геометрическими элементами. В экспериментальной геометрии — соединенное изложение планиметрии и стереометрии; в планиметрии систематического курса, где это возможно, поддерживать живую связь с трехмерным пространством, прибегая при этом к конкретным примерам из действительности».

Поиски усовершенствования методов преподавания находят отражение в практике работы школ. Обсуждаются и внедряются различные методы и приемы преподавания математики, активизирующие работу учеников, направляющие их учебную деятельность на доступное и сознательное усвоение материала.

С октября 1907 года вновь оживает работа математического отдела Педагогического музея военно-учебных заведений. На заседаниях его активно обсуждаются вопросы, касающиеся содержания курса математики в средних учебных заведениях, программы преподавания, рассматриваются и дискутируются методические разработки по отдельным разделам школьной математики, рецензируется учебная литература.

В связи с новым подъемом революционного движения в России в среде ученых-математиков и учителей укрепляется сознание необходимости общественной борьбы за проведение подлинной реформы математического образования в стране. [1, 10 -16]

Съезды возбудили живое внимание к методике математики не только представителей педагогического мира, но и широких общественных кругов. Интенсивный рост учебной и методической литературы в 1912—1915гг., новой по содержанию и идеям, в значительной степени объясняется влиянием съездов.

Большое оживление в области методики арифметики начинается в 1910г. Появляется новая оригинальная литература, пропагандирующая принципиально новое направление в преподавании начальной арифметики — лабораторное направление.

В том же году вышла книга «Педагогика математики» В. Мрочека и Ф. Филипповича. Авторы на первый план в данном издании выставляют лабораторный метод.

Вместе с лабораторным методом большое применение начинают приобретать в арифметике иллюстрации и графические упражнения. Появляется большое количество задачников с картинками и различными графическими задачами.

Как пишет исследователь Ю.М. Колягин: «С начала XX в. до революции 1917 г. в России постоянно увеличивалось количестве средних и высших учебных заведений и число учащихся. К 1917г. количество народных школ в России превышало 130 тысяч, а число учащихся в них доходило до 10 миллионов.

Получила дальнейшее развитие и система женского образования. В XXв. (до революции 1917 г.) в России было создано 91 высшее учебное заведение, в том числе 38 специальных женских высших учебных заведений. По числу женщин, обучавшихся в высших учебных заведениях, Россия занимала первое место в мире.

Особое место в системе образования России отводилось народным университетам, которые были общедоступными просветительными учреждениями, предназначенными для повышения общей культуры и профессионального мастерства всех желающих, независимо от возраста и образования.

В начале XX в. возникли специальные общественные организации для создания народных университетов. Среди народных университетов особо выделился Московский городской народный Университет А.Л. Шанявского, основанный в 1908 г. С началом войны 1914 г. большинство народных университетов закрылось. [2, 122-133]

Выдающееся значение в развитии методико - математических идей в России имели I (Петербург, 27 декабря 1911 - 3 января 1912 г.) и II (Москва, 26 декабря 1913 - 3 января 1914 г.) Всероссийские съезды преподавателей математики, на которых были подведены итоги по многим общим и некоторым частным проблемам методики преподавания математики и последняя узаконена как наука.

Как в программе работы I Всероссийского съезда преподавателей математики, так и в тематике его докладов сказалась деятельность математического отдела Педагогического музея военно-учебных заведений.

Материалы и постановления съездов, опубликованные в печати, а также пропаганда и дальнейшее обсуждение в печати их итогов способствовали широкому распространению прогрессивных идей среди широких кругов преподавателей математики. Все это отразилось на качестве литературы по математике, новой по содержанию и идеям, а также повлияло соответствующим образом на практику преподавания математики в средних школах. Следствием этого явилась исключительная по своей активности творческая работа рядовых преподавателей. [1, 19-20]

Влияние несостоявшихся реформ системы народного образования России (реформ начатых в начале XX в. Н.П. Боголеповым и П.С. Ванновским, а также реформы, начатые П.Н. Игнатьевым в 1915г.) сказалось на настроении и намерениях педагогической общественности, увидевшей после Февральской революции 1917 г. возможность осуществить реальную реформу школы.

Весной и летом 1917 г. были проведены Всероссийские съезды учителей и преподавателей,
которые показали серьезность намерений их участников осуществить давно на зревшую, по их мнению, реформу, причем по весьма радикальному пути. В резолюции апрельского съезда говорилось о необходимости:

– децентрализации школьного управления,

– построения единой общеобразовательной школы,

– освобождения школы от государственной опеки,

– приближения школьного обучения кжизни,

– учета школой культурных потребностей всех народностей России и т.д.

В мае 1917г. (по инициативе педагогов Н.В. Чехова, В.И. Чарнолусского, В.П. Вахтерова и др.) Временное правительство учредило Государственный комитет по народному образованию. С мая по октябрь 1917 г. в комитете было подготовлено несколько десятков различных законопроектов (о всеобуче, о доступности начального обучения, о религии в школе, об управлении образованием и др.).

Ни один из разработанных законопроектов так и не был принят. Тем более эта деятельность оказалась не ко времени и после октября 1917 г. Прав оказался император Николай II, говоря о несвоевременности радикальных образовательных реформ в период политических потрясений. Столь же несвоевременными и потому заведомо неудачными оказались и намечавшиеся реформы в 1915–1917 гг.

Начинался период разрушения старой системы образования и построения новой советской школы (1917 – 1930гг.). [2, 135-139]

математический образование филиппович методика преподавание

Глава
II
. Научно – методическое наследие Ф.В. Филипповича

§1. Биографические сведения о Ф.В. Филипповиче

Филипп Васильевич Филиппович родился в сербском городке Чачак 9(21) июня 1878 года, примерно в 200 км от Белграда.

В метрическом свидетельстве отражено, что Филипп появился на свет 9 июня 1878 г. в семье преподавателя местной гимназии Василия Филипповича, и через несколько дней был крещен в православной церкви Чачакского храма Св. Вознесения Господня.

В 1897 г. он весьма успешно закончил восьмой класс Второй Белградской гимназии.

После окончания гимназии Филипп поступил на технический факультет Белградской высшей школы, где сразу же был втянут в революционную деятельность в социалистической студенческой организации. [21,56]

В 1899 г. в связи с наступлением реакции в Сербии Ф. Филиппович эмигрирует в Россию. Сразу по прибытии в Россию он поступил в Санкт-Петербургский Императорский университет на физико-математический факультет. Обучение в то время было платным, а материальное положение сына простого учителя гимназии было тяжелым. В 1902 г. Ф. Филиппович не смог внести очередную плату за обучение и был отчислен. Через год он восстановился и успешно завершил все восемь семестров. Столь необходимую материальную помощь сербскому студенту оказало Санкт-Петербургское славянское общество, которое выплачивало ему стипендию.

После окончания университета, с 1904 г., Ф. В. Филиппович трудился в различных учебных заведениях Петербурга. Почти восемь лет прослужил он в Демидовской женской гимназии, часто совмещая работу в ней с преподавательской деятельностью в других учебных заведениях. Так, он преподавал математику в женской гимназии «Новая школа», Учительском институте, женской гимназии Е. И. Песковской, на курсах при высшей школе Лесгафта, на курсах электромонтеров. Он одним из первых начал обучать дифференциальному и интегральному исчислению воспитанниц женской гимназии.

В это время Ф. Филиппович активно сотрудничает с петербургскими социал-демократами, увлекается чтением марксисткой литературы, его любимыми писателями становятся Н. Г. Чернышевский и А.. М. Горький. По поручению Петербургского социал-демократического комитета РСДПР Филиппович проводил пропагандистскую работу среди жителей Василеостровского района Петербурга ив 1905 г. был арестован за пропаганду среди моряков в Кронштадте. На его квартире было обнаружено более трех тысяч листовок, Филипповича посадили в камеру-одиночку в «Кресты». В связи с выходом «Царского манифеста» Филипповича вскоре освободили, но свою революционную деятельность он не прекратил.

Начало XX века в России характеризуется подъемом педагогической активности. Этот период насыщен организацией всевозможных комиссий и проведением различных съездов, различными событиями, идеями, явлениями и фактами в области математического просвещения как в России, так и за рубежом. Энергичный Ф.В. Филиппович не мог остаться в стороне от этих событий. Он выступил с докладами и сообщениями на Первом Всероссийском съезде учителей городских училищ, на Втором Всероссийском съезде по педагогической психологии, а в работе Первого Всероссийского съезда преподавателей математики принял активное участие в качестве секретаря съезда и докладчика.

Период 1901-1914 годов был весьма насыщен всевозможными событиями, идеями, явлениями и фактами в области математического просвещения как в России, так и за рубежом. Энергичный Ф.В.Филиппович не мог остаться в стороне от этих событий. Он выступил с докладами и сообщениями на Первом Всероссийском съезде учителей городских училищ, на Втором Всероссийском съезде по педагогической психологии, а в работе Первого Всероссийского съезда преподавателей математики принял активное участие в качестве секретаря съезда и докладчика.

Открытию съезда предшествовала кропотливая и обстоятельная подготовительная Организационного комитета, тщательно был продуман круг проблем, подлежащих обсуждению, приняты необходимые меры по информированию педагогической общественности о предстоящем мероприятии.

По окончании работы съезда В.Р. Мрочек и Ф.В. Филиппович подготовили сборник «Трудов». Благодаря этой книге до нас дошла живая картинка того, что происходило на съезде. Ведь в эту книгу было включено точное воспроизведение всех докладов и прений по ним. Современники высоко оценили работу, проделанную составителями «Трудов».

Помимо того, на одном из самых первых заседаний Ф. Филиппович сам выступил с интересным и содержательным докладом о проблемах преподавания начал анализа. В своем выступлении убедительно и последовательно он доказывал целесообразность внедрения элементов математического анализа в среднюю школу, определилприоритетные направления и способы конструирования содержания новых идей в школьном курсе.

В 1912 г Филиппович вернулся в Сербию. В прощальном письме, адресованном директору Демидовской гимназии, Филиппович высказывает благодарности и обращается с просьбами о выдаче канцелярского удостоверения о преподавании математики в гимназии и о выдачи денежного пособия для переезда.

Администрация гимназии без промедления откликнулась на просьбы сербского подданного, и вскоре ему было отправлено удостоверение и единовременное пособие в размере «двухмесячного оклада получаемой поурочной платы в сумме семьдесят рублей». Таким образом, царская Россия не только встретила, но и проводила Филипповича на Родину с отеческой заботой. Не менее теплые чувства испытывал он к России, в одном из писем к своей матери Филиппович писал «что Россия стала для него второй Родиной». [8, 9]

На этом этапе, можно сказать, заканчивается педагогическая деятельность Филипповича и все ярче проявляется его второе жизненное кредо - известного политического деятеля.

Вернувшись на Родину, он становится одним из руководителей социал-демократической партии. В 1919 г. состоялся Первый, а в 1920 г. - Второй съезд коммунистической партии Югославии, на которых Филиппович избирается секретарем ЦК (Центрального партийного вече). На следующих съездах -Третьем (1926 г.) и Четвертом (1928 г.) его избирают членом ЦК. Стремительный взлет его политической карьеры приходится на 20-е годы. В 1920 г. - он мэр Белграда, депутат от КГПО в Учредительной скупщине. [32, 394]

В 1924 г. Ф.В. Филиппович вновь приезжает в Россию (теперь уже в СССР), где продолжает заниматься политической деятельностью - работает в Международном аграрном институте (ответственным референтом) и в кузнице политических кадров из представителей западных национальностей, населяющих СССР, - Коммунистическом университете национальных меньшинств Запада. Активно участвует в международном социал-демократическом движении: входит в руководство Балканской коммунистической Федерации, избирается членом ИККИ.

В середине 30-х гг. XX века в СССР своего пика достигают политические репрессии. В это время Филиппович был арестован и приговорен ВКВС СССР к расстрелу по обвинению в участии в контрреволюционной террористической организации. В списках, опубликованных Обществом «Мемориал» и Архивом Президента РФ, среди иностранных подданных встречается и Ф. Филиппович (под псевдонимом Бошко Бошкович). 8 апреля Филиппович был расстрелян и похоронен на «Коммунарке». Сравнительно скорая реабилитация (3 октября 1957 г.) позволяет сделать вывод, что все эти обвинения, как и сам приговор, явились роковой ошибкой.[25]

Таковы основные вехи, включающие в себя педагогическую деятельность, политическую карьеру и трагическую кончину этого удивительного человека. [3, 18]

§2. Обзор педагогических трудов Ф.В. Филипповича

Исследователями Ю.М. Колягиным и О.А. Саввиной установлено, что«Самым значительным трудом Филипповича явилась книга «Педагогика математики», написанная им в соавторстве с В. Р. Мрочеком и вышедшая в 1910 г.»

Изданию «Педагогики математики» предшествовала кропотливая и длительная подготовка. Поскольку тогда еще не было опыта издания работ такого рода на русском языке, авторы были вынуждены в основном обращаться к зарубежным источникам. С этой целью они в течение двух лет использовали разные отделы Санкт – Петербургской библиотеки и библиотеку из коллекции Педагогического музея. Мрочек и Филиппович не предполагали скоро издать книгу, а тщательно собирали материал.

Авторы надеялись продолжить работу над вторым томом, в котором предполагалось рассмотреть дополнительные вопросы алгебры и тригонометрии, а также аналитическую геометрию, дифференциальное и интегральное исчисления, начала теории вероятностей, систематический курс геометрии (критика основ, логика и аксиоматика, содержание научного и школьного курса, начала синтетической и начертательной геометрии) и, наконец, методы математики и их роль. Однако второй том так и не вышел. [12, 374]

В.Р. Мрочек и Ф.В. Филиппович не сочли нужным уточнять личное авторство каждой из глав. Однако ряд косвенных фактов позволяют сделать некоторые предположения, например, о том, что авторский вклад Филипповича в главы, посвященные методике изучения геометрии, значительно выше, чем Мрочека, и напротив, очевидно, что над главой по методике тригонометрии («Решение треугольников») преимущественно потрудился Мрочек. К сожалению, в отношении авторства других разделов книги нельзя высказать столь однозначного мнения, поэтому в дальнейшем часто речь будет идти о совместном вкладе Мрочека и Филипповича в развитие методики преподавания математики.

В книге «Педагогика математики» авторы одними из первых в русской литературе указывают на необходимость деления педагогики математики на теорию и методику. Книга явилась самой первой среди теоретико-методических работ на русском языке, поскольку в ней рассматривались вопросы как общей, так и частной методики математики, как ее исторические, психологические и философские стороны, так и конкретные практические (рецептурные) аспекты. Значимость этого труда для отечественной методической мысли очень велика.

Отдавая явное предпочтение лабораторному методу обучения математике, развитию самодеятельности учащихся, Филиппович подкреплял свои идеи конкретными практическими разработками. Он составил целый ряд наглядных и лабораторных пособий по математике: «Наглядная геометрия в развертках. Тетрадь для классного и домашнего пользования с развертками, задачами ирисунками»; «Дробный счетчик. Наглядно-лабораторное пособие при изучении действий над простейшими дробями»; «Начальная геометрия в развертках». Вместе В. Мрочеком Ф. Филиппович изготовил несколько коллекций геометрических тел. [9]

Ф. Филиппович являлся автором ряда статей по реформе математического образования в периодической печати.

В 1909 г. В. Мрочек и Ф. Филиппович выступили с докладом «Реформа преподавания математики, ее причины и история» на Первом российском съезде учителей Городских училищ. Этот доклад вызвал, большой интерес у слушателей и вскоре был опубликован отдельной брошюрой. Через год доклад был переработан и уже в обновленном варианте появился в журнале «Русская школа». Основные идеи работы получили развитие в книге «Педагогика математики». Статья Ф. Филипповича «К реформе обучения математике», опубликованная в 1911 г. в журнале «Техническое и коммерческое образование» имела помимо хорошего аналитического обзора хода реформ, но и тексты новых программ по математике, разработанных в духе веяний времени. Одна программа предназначена для взрослых «применительно к нуждам народных университетов», другая — для восьмиклассной гимназии. Более того, Филиппович сопроводил программы своими методическими замечаниями.

Нельзя не отметить кропотливую и своевременную работу Филипповича над составлением библиографий. Почти все свои сочинения Филиппович сопровождал детальными списками литературы. А в 1912 г. по поручению Выставочной комиссии при Организационном комитете Первого Всероссийского съезда преподавателей математики Филиппович составил «Указатель учебной математической литературы». Эта работа отличалась как от русских, так и иностранных изданий подобного рода тем, что за основу распределения материала автор принял «исключительно педагогические соображения». Иначе говоря, Филиппович составил первый в России библиографический указатель именно по теории и методике обучения математике.

В этом же, 1912 году, выходит перевод Филипповича книги «Методика геометрии», написанной в духе идей Ф. Клейна известным в то время немецким математиком П. Трейтлейном. Издание этой книги для России, действительно, было своевременным, книга имела популярность и была переиздана в 1916 г.» [3, 20-23]

§3. Научно – методические идеи Ф.В. Филипповича

Обратимся к вопросам методики преподавания математики, изложенных в трудах Ф. Филипповича.

Ф. Филиппович и В. Мрочек указывают на узость распространенного то время понимания смысла методики математики как «сборника готовых рецептов, опирающегося на личный опыт того или иного практика-учителя». Они определяют истоки педагогики математики и ее связи с другими областями знаний. Это - история математики история культуры и школы, история обучения математике, философия и методология познания. Спектр перечисленных связей весьма оригинален, хотя и недостаточно полон. Мрочек и Филиппович еще не дают пока четкого определения педагогики математики, но в самых первых строках указывают, что перед педагогикой встал новый вопрос «как делать?». Таким образом, авторы огласили один из глобальных вопросов классической триады.

Вообще, вся первая часть «Педагогики математики» содержит общие положения исторического, психологического и методологического плана. Прослеживая эволюцию педагогики математики (VI ст. до н.э. - начало XX ст.), авторы демонстрируют, как менялись цели обучения, «как эволюция преподавания зависела от условия окружающей среды и насколько медленно эволюционировали приемы обучения, начиная с первой греческой школы» [12, 2]

Школа Греции до реформы V в. до н. э. преследовала цель - подготовить патриотов-граждан. Последующая демократизация Греции привела к приоритету практических целей в обучении (исключение – Платон, который указывал на громадное практическое значение математики и астрономии, подчеркивал их воспитательное значение для мира идей.)

Средневековая школа имела целью образование хорошего духовенства: «культ памяти – единственная цель обучения и вместе с тем его метода».

В Германии в XVIIстолетии главная цель заключается в подготовке офицеров, а в XVIIIстолетии - придворных, гражданских и военных чинов.

Начало XIX в. в Пруссии - конечная задача учебных учреждении развивать в питомцах чувство преданности, верности и покорности государю и государству, поэтому практические цели уходят на второй план.

Основная концепция повествования заключалась в иллюстрации «беспомощности программ самих по себе» и демонстрации важности влияния на них политических и социальных условий. [12, 51]

Авторы серьезно задумываются и над другим вопросом «Зачем учить математике?». Отвечая на этот вопрос, они приходят к идее дифференциации целей на три группы: практические, образовательные и воспитательные. Именно такой подход к дифференциации целей был взят за основу и развит советскими педагогами. [15, 14]

Горячо и последовательно Ф.В. Филиппович отстаивает позицию согласно которой учитель математики должен обладать глубокими познаниями в области педагогики и психологии. Он констатирует: «Мы педагоги, очень много грешим, не зная хорошо психологии детского возраста, и часто смешиваем науку в чистом ее виде с учебным предметом» [12,
17].
Недопустимость смешения понятий математики - науки и математики - учебного предмета обоснована с разных позиций, ряд из которых и выявлен в книге «Педагогика математики». Разграничение указанных понятий здесь проиллюстрировано через разные характеристики: содержание, объем, цели, систему, пути, адепты.

Основываясь на том, что всякое познание начинается с чувственных восприятий, а «для математики особенно восприимчивой оказывается
3
рительно-моторная и зрительно-слуховая память»,
авторы делают вывод о большой роли «наглядной методы именно в обучении математике». [12,
105]
Вообще наглядному и лабораторному методам придается здесь большое значение, выявляются корни специфики отмщения к наглядной методе у греков, индусов, арабов, европейцев.Наглядный и лабораторный методы, по мнению авторов, приводят к самостоятельным навы

кам.

Практику изучения определений в школе авторы считают «больным вопросом учебных предметов». Одними из первых в русской методической литературе они классифицируют определения по трем типам: диалектико-догматические, генетические и генетически-психологические ( речь идет не сколько о виде определения, а скорее о способе формулировки определения). На сегодняшний день методисты – математики различают следующие виды определений: родо-видовые, генетические, индуктивные, аксиоматические и т.д. [
3, 27-29]

О преподавании арифметики.

Несомненный интерес представляют методические замечания авторов по поводу изучения конкретных разделов, тем и понятий. Они обращают внимание на два способа формирования представленияо числе: «под видом кардинального числа, если мы обращаем внимание на количество, и под видом ординарного числа, определяющего порядок или положение данного предмета»
[12,
138]

Сделаем пояснения к приведенной цитате. Для этого используем конкретное число 2. В первом случае 2 - это некоторое общее свойство у групп множеств (глаза, руки, ноги человека и т.п., т.е., характеристика множеств, состоящих из двух элементов), а во втором случае 2 — это число, следующее за единицей.

В данной работе можно встретить ряд неожиданных и интересных идей по поводу изучения дробей. Методика изучения дробей, по мнению авторов распадается на три основных аспекта, заключающихся в ответах на вопросы:

1. что называть дробью,

2. в каком порядке изучать дроби,

3. как строить курс дробей.

Приведем рассуждения В. Р. Мрочека и Ф. В. Филипповича:

«Во-первых, в настоящее время установлены термины: десятичное число обыкновенная дробь. Они приняты даже Ученым Комитетом нашего Министерства народного просвещения. Этим, в сущности, предрешаются дальнейшие вопросы, так как для методики исчисления важно лишь связать понятия о десятой, сотой, тысячной с понятиями о десятке, сотне, тысяче и связать возможно теснее.

Во-вторых, необходимо изучать раньше обыкновенных дробей. Этого требуют соображения:

Исторические - шестидесятеричные дроби существовали раньше обыкновенных, записывались без знаменателя и были заменены в 1585г. десятичными так как система нумерации стала десятичной; между тем теория обыкновенных дробей развивалась очень медленно;

психологические - прямая связь с метрической системой, с распространением нумерации вправо от разряда единиц, непосредственный переход от целых чисел к десятичным при делении - все это вместе взятое заставляет учащихся смотреть на десятичные числа как на числа, а не дроби, т.е. не требуется усвоения новых понятий.

методические - несравненно легче производить действия над обыкновенными дробями если же рассматривать затем десятичную дробь, как первый этап и простой переход к обыкновенной дроби, то этим соблюдается индукция в обучении;

логические - понятие «дробь» есть понятие двузначное. Если мы имеем дело с четвертью аршина или половиною яблока, то такие конкретные дроби суть только части целого, в свою очередь, тоже целые: в тех пределах, в каких мы можем конкретно «дробить» индивидуумы, мы всегда получаем лишь относительные дроби; это - лишь способ выражения. Совершенно иное понятие связано с представлением об отвлеченной дроби. Так, - это пара чисел целых, 3 и 4, над которыми мы должны произвести действие деления, но на самом деле мы его не выполняем; желая однако ввести результат требуемого деления в дальнейшие выкладки, мы условно обозначаем этот результат символом , сохраняя за собой право выполнить деление потом, если это окажется нужным. Таково положение этого вопроса в науке. Ясно, что излагать теорию дробей детям, по меньшей мере, напрасный труд.

В-третьих, из изложенного видно, что курс «дробей» должен распадаться на три цикла. В первом - надо познакомить детей с простейшими случаями дробления конкретных «единиц», эти четвертушки. Половинки, восьмушки свободно усваиваются детьми, также как и простые выкладки над ними. Во втором - научить производить действия над десятичными конечными числами. В третьем- изложить не теорию обыкновенных дробей, а лишь условные определения оперирования с символами и на числовых, а затем и буквенных примерах, поскольку эти операции необходимы в курсе уравнений». [12, 246-248]

Как видим, авторы в схеме изучения темы склонны придерживаться последовательности: сначала десятичные дроби, затемобыкновенные. Это предложение являлось в те времена весьма смелым высказыванием, - достаточно указать на официальные программы и популярные учебники А.П. Киселева, в которых был реализован другой порядок - раздел, посвященный обыкновенным дробям, предшествовал разделу «Десятичные дроби». Поэтому понятно, почему авторы так много внимания уделяют обоснованию порядка изучения дробей и детально описывают методику изучения десятичных дробей.

Вопрос об иррациональных числах излагается здесь весьма доступным образом, сопровождается рядом полезных пояснений. Изложение ведется с опорой на геометрические представления, дается пропедевтика аксиомы непрерывности множества действительных чисел, разъясняется суть несоизмеримости с методологической точки зрения. [3, 32]

Проиллюстрируем эти замечания подробной цитатой:

«Лучше всего начать с исторического примера, . Построив прямоугольный треугольник с катетами по 1, откладываем гипотенузу на оси абсцисс, ее конец лежит, как видно, между 1 и 2, т.е. 1<<2.

Разделив теперь промежуток между 1 и 2 на 10 частей, мы видим, что 1,4<< 1,5.

Проверка: 1,4 2
= 1,96; 1,5 2
= 2,25. Теперь разделив еще на 10 частей промежуток между 1,4 и 1,5 мы видим, что конец гипотенузы лежит между 1,41 и 1,42, следовательно, 1,41 << 1,42.

Действительно, 1,41 2
=1,9881 и 1,42 2
=2,0104. Дальнейшие деления промежутка между 1,41 и 1,42 при нашем масштабе невозможны; но если воспользоваться лупой и при ее помощи нанести такие деления, то мы получим следующие приближения, а именно, 1,414 < < 1,415.

Проверка: 1,4142
= 1,999396 и 1,415 2
=2,002225 показывает, что значение 1,414 точно до 0,1%.

Пользуясь лупой. Или же взяв покрупнее масштаб, мы можем продолжить наши вычисления, но наступит момент, когда учащиеся спросят: как долго это может продолжаться? Предложите им тогда убедиться аналитически в бесконечности такого процесса, а именно, докажите им, что не существует такого дробного числа, квадрат которого равнялся бы 2. Пусть = , где а
и b
целые взаимно – простые числа. Тогда 2 = , но дробь тоже несократима, и мы пришли к нелепости: целое число равно несократимой дроби. Следовательно, предположение, что есть дробное число, невозможно. Остается допустить, что это число особого рода, пока нам неизвестного. Теперь выступает на сцену аксиома Кантора: надо показать, что такие числа действительно возможны, что они соответствуют реальным объектам. Лучше всего взять непрерывную кривую и показать, что проекции всех ее точек на ось Х
-ов должны выражаться числами; одни из перпендикуляров попадут на целые деления, другие - на дробные, но будут и такие, для которых необходимо допустить существование особых чисел - несоизмеримых. Таким образом, непрерывность геометрической области будет связана с непрерывностью арифметической области.

После этого полезно указать учащимся, что несоизмеримость - свойство нашей системы счисления, а не тех величин, какие мы рассматриваем: абсолютной несоизмеримости нет. Возьмем пример. Отношение длины окружности к длине диаметра есть величина постоянная, но число , ее выражающее, в нашей системе счисления является несоизмеримым. Если бы у нас была иная, например, такая система, где единицы писались бы на своем месте, а на втором месте тот же знак выражал бы число не в 10 раз, а в раз больше, и т.д., то тогда в такой системе числа, кратные , были бы соизмеримы, а все соизмеримые числа нашей системы стали бы несоизмеримыми». [12, 369-370]

О преподавании геометрии

Особый интерес Ф. В. Филиппович проявляет к методике обучения геометрии. Этот интерес вполне объясняется спецификой предмета геометрии, позволяющей в большей степени, чем в других разделах математики, использовать разнообразные средства наглядности. А как уже было отмечено выше, Филиппович испытывал постоянную тягу к наглядным и лабораторным (практическим) методам обучения. Согласно его концепции, предполагается изучение геометрии в два цикла. «В первом цикле,- пишет автор, - должна преобладать интуиция, наглядность. Второй цикл геометрии содержит только необходимое число теорем и задач, составляющих неразрывную логическую цепь
».[12, 369] По сути, автор говорит о наглядном курсе геометрии и курсе, в определенной степени, систематическом.

Убедительно доказывает Ф.В. Филиппович целесообразность начального (основного) курса геометрии (для младших классов - средней, старших - народной школы, и даже для взрослых – слушателей в народных университетах), сопоставляются разные способы построения начального курса геометрии, выявляются требования к такому курсу и его содержание. Филипповича постоянно интересовала проблема определения оптимального объема содержания начального курса геометрии. Краткое содержание курса было приведено в книге «Педагогика математики», идеи наглядного курса геометрии получили развитие в программах для народных университетов и восьмиклассной женской гимназии, в составлении которых участвовал Ф. Филиппович. Данный курс построен на принципе фузионизма стереометрии и планиметрии. Содержание этого курса подкреплено разработанной методикой изучения конкретных разделов, в которой в высшей степени раскрыты возможности использования наглядности и лабораторного метода в обучении математике. Более того, к данному разделу математики Филипповичем были составлены наглядные и лабораторные пособия «Наглядная геометрия в развертках», «16 геометрических разборных тел из 55 частей», «10 разверток геометрических тел» и др. (последние два пособия составлены вместе с В.Р. Мрочеком).

В трудах Филипповича описано огромное количество лабораторных и практических работ по наглядной геометрии, среди которых есть и такие, которые и сегодня используются учителями средних школ (лабораторная работа по определению длины окружности и выявлению численного значения числа ). Но есть и работы забытые, хотя они могли бы быть не менее полезными и интересными для современной школы.

Для вывода формулы площади круга рекомендуется провести опыт. Сначала им предлагается вырезать из цветного картона круг и провести диаметр. Затем оба получившиеся полукруга разделить на возможно большее число равных секторов так, чтобы можно было принять за треугольники (ввиду того, что дугу в силу ее малости можно принять за хорду). Если эти полукруги растянуть, то получатся две фигуры напоминающие пилы. Теперь, если вкладывать зубцы одной фигуры между зубцами другой, получится параллелограмм (или почти прямоугольник). Основание параллелограмма равняется половине
длине окружности, а высота - ее радиусу. Применяяформулу для отыскания площади параллелограмма, получим . Это и есть формула для отыскания площади круга. [3, 33-37]

Филиппович разработал методику введения формулы для вычисления объема пирамиды лабораторным методом. Он предлагает пять различных способов измерения объема пирамиды. Приведем описание первых трех способов:

«Первый, чисто эмпирический способ, состоит в том, что нужно взять полую призму, основание и высота которой соответственно равны основанию и высоте полой пирамиды. Пересыпая песок или переливая воду находим, что объем ирамиды составляет третью часть объема призмы, т.е. объем пирамиды = площади основания X [умножить на высоту]

Второй - также наглядный - способ: возьмем куб, состоящий из шести пирамид с вершиною в центре куба; каждая из них основанием имеет одну из граней.

Все полученные пирамиды равны между собою, это очевидно. Но мы знаем, что объем куба измеряется произведением площади основания на высоту, а так как каждая из полученных пирамид составляет куба, то и объем каждой пирамиды будет равняться произведению площади основания на высоты куба, или, что все равно, на высоты пирамиды, потому что высота каждой из пирамид составляет высоты куба.

Третий способ: возьмем опять тот же куб из 6 пирамид и проведем через его центр плоскость, параллельно основанию; тогда наш куб разделится на два прямоугольных бруса (параллелепипеда). В каждом из брусов будет заключаться одна полная пирамида, покоящаяся на основании куба, и четыре боковые, составляющие половины первой. Если получившиеся четыре боковые пирамиды сложим по две, то у нас будут - вместе с оставшейся целой пирамидой –три совершенно равные пирамиды, заключенные в одном брусе. Следовательно, объем каждой из них составляет объема бруса. Так как объем бруса равен произведению площади основания и высоты, то объем четырехугольной пирамиды измеряется произведением площади ее основания на высоты, т.е.

.[12, 194-197]

Без сомнения, самым удачным следует признать первый способ. Именно этот способ выбрал Филиппович для лабораторных работ в своем учебном пособии «Начальная геометрия». Сначала он предлагает измерить опытным путем объем треугольной пирамиды и треугольной призмы, а затем произвести аналогичный опыт с четырехугольной пирамидой и параллелепипедом. Вообще, по теме «Треугольная пирамида» Филиппович разработал следующий цикл практических упражнений. Первые пять заданий заключаются в том, чтобы по данной развертке треугольной пирамиды определить ее апофему, сторону правильного треугольника и его высоту, боковую и полную площадь пирамиды. [3, 37-38]

Далее Филиппович пишет:

«Для того, чтобы узнать, как измеряется объем треугольной пирамиды, изготовь из картона треугольную пирамиду и треугольную призму, имеющие одинаковые основания и высоты. После этого, наполняя пирамиду, например, мелким песком, удостоверься, сколько раз надо брать содержимое пирамиды для наполнения призмы. Стало быть,

Объем треугольной пирамиды =………..объема треугольной призмы.

Обьем треугольной пирамиды =…………..куб. см.

Сделай из картона брус и квадратную пирамиду, имеющие одинаковые основания и высоты, и таким же способом покажи, как измеряется объем квадратной пирамиды (см.рис.).

Объем пирамиды …….= ..... объема призмы.

Если обозначить высоту квадратной пирамиды через Н
см., а длину стороны квадрата а
см., то

Объем пирамиды ….... = куб. см.» [29, 15 ]

О преподавании алгебры

Учение о прогрессиях является традиционным разделом в современном школьном курсе математики. Заметим, что сведения о прогрессиях были включены еще в самую первую официальную программу для гимназий в 1845 году и стабильно сохранялись как в до революционной, так и в советской средней школе. Включение этого раздела в курс математики средней школы оправдано сразу из нескольких соображений. Во-первых, арифметическая и, особенно геометрическая, прогрессии имеют широкие применения в экономике и в самой математике (при помощи бесконечной геометрической прогрессии можно изложить учение о периодических десятичных дробях, вычислять пределы интегральных сумм (уделенные интегралы) и т.п.). Во-вторых, здесь школьники получают первые элементарные представления об очень важном магического анализа - теории рядов (арифметическая и геометрическая прогрессии являются примерами простейших числовых последовательностей, а их частичные и бесконечные суммы – примерами частичных сумм и просто сумм числового ряда и т.п.) Изучение данной темы не вызывает принципиальных затруднений у школьников.

Методика изучения прогрессий, описанная В.Р. Мрочеком и Ф.В. Филипповичем, широко использует символическую наглядность и, поэтому способствует более прочному сохранению в памяти информации о прогрессиях.

Отличительной особенностью «Педагогики математики» является также наличие большого набора задач практически по всем рассматриваемым разделам. [3, 39-42]

Пример задачи к разделу об арифметической и геометрической прогрессиях: «Бедняк предложил богачу жить у него на следующих условиях. Бедняк будет платить своему квартиранту ежедневно на 1 р. Больше, чем накануне, в первый же день уплатит ему 1р. богач, напротив, должен платить так: в первый день – копейку, во второй – две, в третий – четыре, в четвертый – восемь и т.д. В виде опыта они заключили двухнедельное условие. Кто из них отказался от продолжения условия? (Ответ: богач, т.к. ему пришлось доплатить бедняку 58р.63к.)» [12, 241]

Всюду, где это только возможно, авторы стараются выявить существующие методические подходы к изучению темы и построению курса, глубоко и всесторонне анализируют эти подходы, пытаясь установить наиболее целесообразный. Так, после критического анализа трех главных систем построения школьного курса алгебры (в основе первой - учение о тождественных преобразованиях, согласно второй системе материал группируется около двух главных моментов: уравнений первой и уравнений второй степени», в третьей же системе доминирующую позицию занимает функциональная идея) педагоги приходят к следующим выводам:

«В алгебре, как и в других отделах математики, материал должен быть распределен по циклам. Если иметь в виду интересы учащихся, то содержание первого цикла должно ограничиваться вопросами об уравнениях первой и второй степени, решаемых аналитически и графически, и знакомством с практикой логарифмических вычислений. Построение курса должно быть таково, чтобы арифметика и алгебра развивались нераздельно и непрерывно». [12, 241]

Вопрос о введении общего понятия уравнения, также как и общего понятия функции,пока еще в дореволюционной методике обучения математике не ставится. Однако поповоду изучения конкретных видов функций (линейной функции (в т.ч. прямой пропорциональности) и квадратичной функции) сделан ряд перспективных предложении. Так в зародышевом виде здесь высказана идея о методической схеме изучения конкретной функции.

Описанная схема (конкретные задачи - графическая интерпретация - аналитическая запись — исследование) реализована Мрочеком и Филипповичем в методике изучения линейной функции. Похожие идеи были высказаны, развиты и окончательно сформулированы советскими педагогами, которые предложили следующую схему изучения конкретных функций:

1) рассмотрение конкретных ситуаций (или задач), приводящих к данной функции;

2) формулировка определения данной функции, аналитическая запись функции; исследование входящих в эту формулу параметров;

3) ознакомление с графиком функции;

4) исследование свойств функции;

5) использование изученных свойств функций при решении различных задач, в частности уравнений и неравенств.

Эта схема получила всеобщее признание, о чем свидетельствует хотя бы то, что ее придерживаются практически вес учебники алгебры для девятилетней школы. [3, 44]

Последовательность изучения квадратичной функции почти такая же: сначала дается понятие о параболе на основе графического описания процесса свободного падения, затем указывается что «эту же кривую можно получить и аналитическим путем»
и без всякихпояснений говорится, что дано уравнение у=х
, а учащимся предлагается составить таблицу для некоторых значений х
и у
, затем построить график. На следующих страницах выясняется положение параболы на плоскости в зависимости от параметров, входящих в описываемое эту параболу уравнение. Надо уточнить, что всякий раз здесь рассматриваются конкретные числовые значения параметров, а не общий случай.

В данной главе заслуживает внимания раздел, в котором описываются приближенные приемы извлечения квадратного корня. Авторы предлагают пять приемов. «Извлечение квадратного (и вообще корня) есть действие, обратное возведению в степень, поэтому на первых порах лучше всего пользоваться таблицей квадратов чисел. Так как при решении геометрических вопросов в большинстве случаев получаются иррациональные числа, то учащиеся скоро будут поставленыперед необходимостью интерполировать свою таблицу; таким образом, они познакомятся с различными приемами приближенного извлечения квадратных корней. Эти приемы указаны в книге.

Таким образом, Ф. В. Филиппович (преимущественно в соавторстве с В.Р. Мрочеком) выявил связи методики математики с другими областями знаний, сделал решительные шаги вперед в определении круга вопросов, которыми занимается методика математики, выделил отличительные признаки математики – учебного предмета и математики - науки, заложил теорию целеполагания в обучении математике, развил идею о наглядности в обучении математике.

В частной (и специальной) методиках он развил методические идеи наглядной геометрии, числовой линии (рационального числа, положительного и отрицательного числа), квадратных уравнений первой степени в связи с учением о функция и т.д.

В теоретической части В. Р. Мрочек и Ф. В. Филиппович увлекаются цитированием американских и английских мыслителей — Литца, Сивера, Демолена, Холла и др., но в тоже время в практической части, что показательно, есть немало упоминаний о трудах русских педагогов - А.И. Гольденберге, В.П. Ермакове, К.Ф. Лебединцеве, А.Н. Страннолюбском, Н.А. Томилине и др. [3, 44-47]

О преподавании начал анализа

Особенно ценным представляется вклад Ф. В. Филипповича в развитие методики преподавания начал математического анализа в средней школе. Элементы высшей математики тогда в России делали самые первые шаги в школьные программы, только начинали создаваться учебники по анализу бесконечно малых и аналитической геометрии для средней школы, поэтому предложения Филипповича были не только смелыми, но и весьма своевременными.

Просто удивительно, как грамотно, убедительно автор раскрывает узловые моменты методики преподавания математического анализа: доказывает целесообразность внедрения элементов математического анализа в среднюю школу, раскрывает приоритетные направления, идеи и пути конструирования содержания.

Следует также отметить, что развернувшиеся в начале XX века споры о целесообразности введения в школьный курс математики новых идей свидетельствует о знакомстве оппонентов с мировой и отечественной педагогикой и психологией.

Среди тех, кто в этот период приветствовал преподавание высшей математики в средней школе, были видные отечественные ученые, известные гражданские и военные педагоги: П.А. Некрасов, Б.Б. Пиотровский, М.Г.Попруженко, В.Е.Сердобинский, В.Шидловский, С.И. Шохор-Троцкий, В.П.Шереметевский.

Свою позицию имел и Ф.Филиппович, который одним из первых наиболее четко и ярко обозначил основные аргументы в пользу введения анализа бесконечно малых в среднюю школу.

Филиппович доказывает, что введение высшей математики вызвано необходимостью воплощения принципа научности. Ведь именно принцип научности требует, «чтобы содержание обучения знакомило учащихся с объективными научными фактами, теориями, законами, отражало бы современное состояние наук». Также Филиппович высказывает свои соображения в пользу начал дифференциального и интегрального исчисления в школьном курсе. Целесообразность этого нововведения, как он справедливо считает, продиктована необходимостью «удовлетворить запросы жизни» («утилитарная» функция математики).

Реализация принципа связи обучения с жизнью и практикой, особенно в старших классах, бывает осложнена тем, что в силу своей специфики (абстрактности) математика имеет опосредованное отношение к действительности. Но для решения практических задач естествознания и техники математический аппарат (в том числе и идея функциональной зависимости и аппарат производной) просто необходим. Ведь именно математический анализ занимается разработкой методов построения и изучения динамических моделей в математике, моделей, описывающих движения, текущие процессы, непрерывно меняющиеся состояния, широко распространенные в природе. [3,47 – 51]

Идея концентризма в последовательности изложения начал математического анализа в средней школе Ф. В. Филиппович резко критикует методику изложения элементов математического анализа в русских учебниках, предназначенных для средней школы, призывает позаимствовать все полезное у французов и пытается доказать целесообразность идеи концентризма в последовательности изучения темы:

«В связи с введением анализа бесконечно малых в среднюю школу возникают разногласия по поводу построения самого курса. Новые французские учебные планы, «Меранская» программа в Германии и другие настаивают на введении идеи функциональной зависимости. Реформаторы всех направлений присоединяются к этому требованию. Действительно, объяснить какое-нибудь явление в природе - это значит выяснить его генезис и связь с другими явлениями. Ввиду этого лучше всего развивать идею функциональной зависимости (закономерности) в математике. Учение о функциях есть центральное учение всей математики, потому что функциональная зависимость есть математическое выражение великого закона изменяемости соотношения всех явлений; установление ее есть сущность и конечная цель всей науки. Поэтому мы, сторонники реформы, требуем, чтобы весь курс математики был сконцентрирован около идеи функциональной зависимости и расширен первоначальными понятиями анализа бесконечно малых. Стало быть, начала дифференциального и интегрального исчислений не должны составлять самостоятельного отдела - «учения о функциях» - и являться какой-то «надстройкой» над школьным курсом, так называемой элементарной математики. Практика показала, что такая метода (надстройки) преподавания анализа бесконечно малых теряет свою воспитательную и общеобразовательную ценность. Анализ бесконечно малых в таком роде не только не возбуждает и не поддерживает интерес к математике у учащихся, но даже и усваивается очень трудно.

Раньше еще, до начала анализа бесконечно малых, должны мы подготовлять почву для ясного, отчетливого и возбуждающего новые идеи преподавания элементов дифференциального и интегрального исчислений. Некоторые способности у учащихся поддаются развитию только в известном возрасте, раз этот момент будет упущен, тогда довольно трудно наверстать пропущенное. Ввиду этого, еще с младших классов средней школы на уроках арифметики, геометрии, алгебры, ... следует проводить красной нитью в течение всего курса школьной математики идею функциональной зависимости. В этом-то и заключается точное понимание аналитической геометрии и начал дифференциального и интегрального исчислений.

В самом начале [преподавания] анализа бесконечно малых мы должны исходить из более конкретных и простых задач. Целесообразно подобранными примерами из естествознания следует проиллюстрировать учащимся, что исследование какого-нибудь явления сводится к достижению двух результатов: а) найти общий закон, выражающий ход этого явления (функцию) и b
) определить скорость изменения этого явления природы в каждый произвольно взятый момент (производную).

Целью преподавания высшей математики в средней школе ни в каком случае не должно быть только усвоение механизма, техники дифференцирования и интегрирования. При такой методе начала дифференциального и интегрального исчислений потеряли бы всю свою общеобразовательную и воспитательную ценность. Тоже самое можно было бы сказать, если бы весь курс анализа состоял из доказательств теорем и применений их к дифференциалам и интегралам.

По моему мнению, мы должны воспользоваться задачами из физики, химии, техники и др., чтобы на них выяснить происхождение основных понятий дифференциального и интегрального исчислений. Например, какая-нибудь задача из естествознания дает нам возможность составить функцию, изобразить ее графически, затем исследовать и под конец найти ее производную. Подходя таким образом к понятию о производной, мы всегда должны выяснять, в чем сущность задачи дифференциального исчисления и давать наглядное представление (графическое изображение). После графического изображения идет идея и понятие производной, а под конец - термин и символ производной.

При такой системе преподавания ученики вникают в математичность жизни природы и видят наглядно, какое колоссальное значение математики со стороны ее метода. Далее, при изучении анализа, ученикам предоставляется большой простор, чтобы проявить свою самостоятельную работу, самодеятельность и постоянно делать умозаключения. Кроме того, такой порядок вещей не сводит начала дифференциального и интегрального исчислений к собранию непонятных значков и символов, как утверждают некоторые Противники введения анализа бесконечно малых в среднюю школу. Но в этом-то и состоит задача педагогики - сделать науку понятной, заставить ее говорить простымj
обыкновенным языком. «Нет мысли, которую нельзя было бы высказать просто и ясно», [говорил] А.И.Герцен. В самом деле, кто следил за учебной заграничной литературой в течение последних 25-30 лет, тот может констатировать что всюду замечается стремление к упрощению изложения материала. Достаточно сравнить новейшие учебные книги со старыми. То же самое можно утверждать и относительно школьных программ и учебных планов. Что касается русских учебников по анализу бесконечно малых, то в этом отношении дело обстоит довольно плохо. Все эти учебники для средней школы построены приблизительно по одному типу. Сначала идет сухое изложение понятия о функции, затем подразделение функций, теоремы о пределах, непрерывность функций, Производная и дифференциал и т.д. Такое построение курса анализа навряд ли может вызывать интерес у учащихся. Некоторые французские и немецкие учебники могли бы послужить хорошим примером, как надо составлять учебное руководство по анализу бесконечно малых для средней школы.

Как всякий отдел математики, анализ бесконечно малых должен быть построен концентрически. Еще с V класса при графическом изображении эмпирических функций мы должны подготовлять почву для дифференциального исчисления. А в VI и VII классах при проведении идеи функциональной зависимости на уроках алгебры следует учащихся знакомить с понятием о производной, а на уроках геометрии - с понятием об интеграле.

В VIII классе - связный обзор изученных в предыдущих классах функций и элементы дифференциального и интегрального исчислений».[31, 104-107]

Рассматривая методику введения понятия производной Ф. В. Филиппович высказал ряд интересных методических замечаний по поводу изучения конкретных понятий. Так, для введения понятия производной, автор считал необходимым широко привлекать сведения из геометрии, физики, химии и т.п.:

«Учение о производной должно быть разрабатываемо с различных точек зрения. Прежде всего, рассматривая равномерное и неравномерное движение, мы подводим учащихся к понятиям о постоянной скорости, средней скорости в определенный промежуток времени и скорости для некоторого момента t. Таким образом, вводя понятие о скорости изменения в учение о функциях, мы устраиваем аналогию с механическими процессами движения. Сначала скорость есть производная пути по времени, на другом примере у нас получится, что скорость химической реакции есть производная количества реагирующего тела по времени, далее, по известной формуле расширения от теплоты, мы можем определить коэффициент расширения как меру скорости, с которой идет процесс расширения при равномерном нагревании. Конечно, и другие примеры должны показать учащимся, какие разнообразные задачи приводят нас к понятию о производной.

При помощи таких конкретных задач можно одолеть и другие методические трудности в начале учения о производной, вроде, например, того, что: 1) отношение двух бесконечно малых может быть равно конечному; и 2) предел отношения при приближении Δх к нулю для данной зависимости между у и х может быть вычислен.

Аналогично выше приведенному [изложению] и задача о направлении касательной к параболе и т.п. должна показать учащимся, как можно подойти к производной с геометрической точки зрения. Графически изображая какую-нибудь математическую функцию (например, у=х2
) и определяя направление касательной при помощи тангенса угла, образуемого касательной с осью х, ученики приходят к заключению, что истинная скорость изменения ординат кривой в какой-нибудь точке равна угловому коэффициенту касательной.

Сравнивая на частных случаях и числовых примерах полученные результаты: угловой коэффициент

т.е.,

мы должны из этого извлечь в чистом математическом виде понятие о производной. Следовательно, после разнообразных частных примеров и применений производных, мы обобщаем понятие о производной в виде формулы

Авторы русских учебников начинают антипедагогично понятие о производной, т.е., с конца: дают определение производной при помощи отношения , а потом следуют примеры на отыскание производной и дифференциала.

Итак, общее методическое положение, по моему мнению, целесообразно и здесь, при прохождении учения о производной: «Сначала применение, а затем уже правило».[31, 107-108]

Что касается последовательности изложения элементов интегрального исчисления и целесообразности включения в школьный курс понятия определенного интеграла, то автор книги обуславливает это хотя бы тем, что интегральное исчисление дает более эффективные и экономичные методы для подсчета объемов и площадей: «Усилие, требующееся для того, чтобы ознакомиться с производной и интегралом и с тем, как при помощи этих удивительных орудий можно вычислять поверхности и объемы, будет не столь значительным, как те усилия, которые приходится делать для установления равновеликости прямой и наклонной призм или двух пирамид, и затем эти невыносимые объемы тел вращения. По сей день я не знаю выражения объема тела, получающегося при вращении сегмента круга около его диаметра...

Уже и теперь во многих новых немецких и французских учебниках по геометрии убраны громоздкие и схоластические теоремы об объемах пирамид, тел вращения и т.д. Вместо них включены в геометрию метод истощения или закон Кавальери. Так, например, в новом учебнике геометрии Бореля-Штеккеля теоремы об объемах пирамид изложены методом истощения. На русском языке в элементарном курсе геометрии Д. В. Ройтмана измерения объемов некоторых тел проходятся при помощи закона Кавальери. В самом деле, «закон Кавальери», обогативший математику и начинающий собою новую эпоху величайших открытий, сделанных в новейшее время, также удобный для определения площадей и объемов тел. Он заменял собою в течение 50-ти лет с большим успехом интегральное исчисление и поэтому тоже может в курсе геометрии сослужить роль пропедевтики для интегрального исчисления».[31, 109]

В результате автор приходит к выводу, что в первую очередь следует познакомить учащихся с понятием определенного интеграла, а затем неопределенного. Причем, он считает, - с введением строгой дефиниции определенного интеграла на первых порах спешить не стоит.

«С педагогической точки зрения не будет никакой ошибки, если в самом начале не давать точного определения интеграла. Я придерживаюсь того взгляда, что сначала надо определять интеграл как площадь, и лишь когда учащиеся познакомятся с ним побольше, надо дать более точное определение. На основании своей практики позволю сообщить вам, как я подхожу к определенному интегралу.

Сначала ученики чертят прямоугольник с основанием (а-
b
)
на оси X
и высотой с
на оси У
. Разбивая этот прямоугольник на большое число прямоугольников с основанием δх
и высотой с
, мы получаем, что площадь его выражается следующей формулой:.

2) После прямоугольника переходим к площади трапеции. Чертим прямую у=тх
и после некоторых суммирований и нетрудных преобразований получаем формулу для площади трапеции:

Обобщая все эти частные случаи, мы, в конце концов, получаем известную формулу интегрального исчисления:

и т.д.

Таким образом «от частного к общему» и от «конкретного к абстрактному» доходим и до других интегралов

А несколько таких интегралов достаточно будет для установления всех объемов и площадей элементарной геометрии.

В VIII классе я излагаю второй цикл интегрального исчисления. Но и здесь я считаю целесообразным подчеркивать все время на частных примерах, задачах из естествознания сущность задачи интегрального исчисления: зная бесконечно малые изменения одной переменной величины, которые соответствуют бесконечно малым изменениям другой (производную), найти функциональное отношение, которое имеет место между этими двумя величинами, т.е., найти закон, управляющий общим ходом явления (интеграл).

Что касается понятия о дифференциале, я не могу согласиться с авторами русских учебников по анализу, что дифференциал следует определять сразу после производной. Помня общее дидактическое положение - «по одной трудности зараз», - я откладываю понятие о дифференциале до тех пор, пока он нам не понадобится. А это как раз наступит тогда, когда мы подойдем к изучению неопределенных интегралов.

Так как цель анализа бесконечно малых в средней школе не только формальная - расширение кругозора наших учащихся, но и материальная, то необходимо, чтобы учащиеся на конкретных примерах из естествознания и техники усвоили и верно поняли идеи, методы и некоторые навыки, необходимые для изучения явлений природы и современной техники. В зависимости от этого и определяется содержание и методика анализа бесконечно малых в средней школе.

По дифференциальному исчислению: производные простейших функций, встречаемых в естествознании и технике, maximum и minimum в связи с исследованием функций, уравнение касательной. По интегральному исчислению: понятие об определенном интеграле, основные формулы интегрирования

понятие о дифференциале функции и неопределенном интеграле, простейшие приемы интегрирования.

Под конец - понятие о дифференциальном уравнении как высшее обобщение в анализе функций одного независимого переменного. Дифференциальные уравнения дают верное представление «о необъятной приложимости основных построений анализа бесконечно малых, составляющего, без сомнения, самую возвышенную из абстракций, до которых когда-либо поднималась мысль человека», [говорил] О.Конт.

Относительно методики анализа могу сказать, что я в своей практике не останавливался детально ни на теории пределов, ни на непрерывности функций. Я добивался отчетливых понятий у учащихся, а механическая часть, относящаяся к дифференцированию и интегрированию, имела у меня второстепенное значение. Строгих аналитических доказательств я избегал и их заменял графическими иллюстрациями.

С таким небольшим содержанием курса анализа бесконечно малых можно решать массу трудных и важных задач как в научном, так и в практическом отношении. Интерес, возбуждаемый в учениках этими задачами, отражается и на их успешности по другим отделам математики». [31, 109 – 111]

Таким образом, Ф.В.Филиппович предвосхитил идеи о концентрическом изложении материала, интеграции элементов математического анализа с курсом алгебры и геометрии. Как известно, все эти идеи были реализованы в советское время, а особенно активно в период колмогоровских реформ. В своих исследованиях Ф.Филиппович иногда ошибался, некоторые положения его работ неполны и устарели, но большинство из них, несомненно, составляют золотой фонд отечественной педагогической мысли.[3, 47-57]

Заключение

Методика математики в России развивалась в трудные времена общей экономической отсталости страны.

Вклад русского народа в методику математики является неоспоримым и представляет большую ценность.

Иностранная учебная литература в XIX в. была вытеснена из школы. Выдающиеся русские педагоги-математики с большим талантом подходили к критике иностранных источников, причём наступление велось против той базы идеалистической философии, на которой основывались эти источники.

Прогрессивные идеи и методы преподавания перерабатывались в соответствии с условиями развития русской школы.

XIX век и начало XX в. заложили фундамент методики математики в России. Большая творческая работа в этом направлении страдала, однако, и существенными недостатками. В создании методики не принимали участия массы рядовых учителей, почти не был использован опыт лучших учителей, недостаточны были наблюдения над живой работой школы, отсутствовала экспериментальная основа, почти не подчёркивалась идейная сторона математики. Уникальность личности Филипповича состоит в его разноплановости. Более 300 наименований статей, монографий, выступлений, писем, речей составляет творческое наследие ученого. К сожалению, преимущественно эти работы посвящены истории Югославии, политическим проблемам, и лишь, незначительная часть - методике обучения математике. Но даже, если бы это была только одна работа - «Педагогика математики», которую он написал в соавторстве с В. Р. Мрочеком, уже и тогда следовало бы дать полный и всесторонний анализ его научно-методической деятельности.

«Педагогика математики» - монументальный труд, который затрагивает почти все аспекты математического образования, имеющие неоспоримую ценность для математического образования в России.

Филипп Васильевич Филипповия высказал ряд ценных методических идей. Многие из которых нашли реализацию в современной школе. Например, идея о последовательности изучения добей, об изучении интегрального исчисления (предпочтение необходимо отдать изучению определенного интеграла), об изучении элементарных функций. Но, к сожалению, некоторые из его идей преданы забвению: идея о широком применении лабораторного метода при изучении математики (лабораторная работа об отыскании площади круга, о вычислении объема конуса). На наш взгляд эти идеи остаются интересными и сегодня.

Все работы Филипповича, за исключением его выступления на Первом Всероссийском съезде преподавателей математики, в большим тиражом и не переиздавались ни в советское, ни в постсоветское время. Являясь сегодня большой библиографической редкостью, они в то же время не потеряли своей актуальности.

Список литературы

1. Гольтиков В.Ф. Развитие методики преподавания математики. Челябинск, Южно-Уральское кн. изд., 1966 год,

2. Колягин Ю.М. Русская школа и математическое образование: Наша гордость и наша боль. М.: Просвещение, 2001. - 318с.

3. Колягин, Ю.М. Математики-педагоги России. Забытые имена. Книга 1. Филипп Васильевич Филиппович [Текст]: монография / Ю.М. Колягин, О.А. Саввина. – Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2006. – 90с.

4. Ланков А.В. К истории развития передовых идей в русской методике математики. Пособие для учителей. – Москва, 1951. – 151с.

5. Методика обучения высшей математике в средней школе России: история становления. Хрестоматия /Сост. Р. 3. Гушель, В.П. Кузовлев, О.А. Саввина. Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2002. 144с.

6. Мовчан С.П. Филипп Филиппович - исследователь новейшей истории Югославии. Автореф. ... к. ист. н. Львов, 1971.- 27с.

7. Мрочек В.Р., Филиппвович Ф. В. 16 геометрических разборных тел из 55 частей, в деревянном ящике с гнездами на все тела. Коллекция рекомендована Гл. Упр. В.-Уч. Зав. и В. Уч. И. М.

8. Мрочек В.Р., Филиппович Ф.В. 10 разверток геометрических тел большого формата (красный картон на коленкоре с металлическими застежками). На развертках написаны геодезические линии. В коробке.

9. Мрочек В.Р., Филиппович Ф.В. К первому съезду преподавателей математики // Техническое и коммерческое образование. 1911. №5.

10. Мрочек В.Р., Филиппович Ф.В. Педагогика математики. Исторические и методические этюды. Т. 1.1910. – 380с.

11. Мрочек В.Р., Филиппович Ф.В. Реформа преподавания математики// Русская школа. 1910. № 1.

12. Начальная геометрия в развертках. СПб. Издание Российской фабрики учебных пособий и детских занятий.

13. Оганесян В.А., Колягин Ю.М., Луканин Г.Л., Саннинский В.Я. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика. М.: Просвещение, 1980.

14. Очак И.Д. Неизвестное письмо Филиппа Филипповича // Советское славяноведение. М. 1966. № 1.

15. Резолюции I-го Всероссийского Съезда по Просвещению25-го августа – 4 сентября 1918г. – 13 с.

16. Рыбников К.А. История математики часть 2. Издательство московского университета, 1963. – 335с.

17. Саввина О.А. Исторические очерки о преподавании высшей математики в средних учебных заведениях России. Часть 2 (вторая половина XIX - первые семнадцать лет XX вв.): Монография. Елец: ЕГУ, 2002. - 246с.

18. Сайт: Математическое образование: прошлое и настоящее:[Электронный ресурс]// http://mathedu.ru/index/php.

19. Сумарокова М.М. Новые данные о началереволюционной деятельности Филиппа Филипповича //Советскоеславяноведение. М.: Наука. № 1. 1967.

20. Сумарокова М.М. Новые данные о начале революционной деятельности Филиппа Филипповича// Советское славяноведение. М. №1. 1967.

21. Трейтлен П. Методика геометрии. Перевод с немецкого и под редакцией- Ф.В. Филипповича. СПб: Новая школа, 1912.

22. Трейтлен, П. Методика геометрии [Текст] / П. Трейтлен / Пер. с нем. и под ред. Ф.В. Филипповича. – СПб: Новая школа. – 1912.

23. Филипп Филиппович [Электронный ресурс] // http://stalin.memo.ru/spravki/7-199.htm

24. Филиппович Ф.В. К реформе обучения математике (с приложениями новых примерных программ) // Техническое и коммерческое образование. 1911. № 3.

25. Филиппович Ф.В. Постановка преподавания начал анализа в средней школе // Труды Первого Всероссийского съезда преподавателей математики. СПб., 1913. T.I.

26. Филиппович Ф.В. Указатель учебной математической литературы. /Сост. Ф.В. Филиппович при ближайшем участии А.П. Беляниной и Ю.Г. Шиперко. СПб. Тип. «Север», 1912.

27. Филиппович Ф. Начальная геометрия в развертках. СПб., 1912.

28. Филиппович Ф.В. К реформе обучения математике (с приложениями новых примерных программ) // Техническое и коммерческое образование. 1911. № 4.

29. Филиппович Ф.В. Постановка преподавания начал анализа в средней школе//Труды I всероссийского съезда преподавателей математики. СПб., 1913. Т.1.

30. Филиппович Филипп // Большаясоветская энциклопедия. М.: Советская энциклопедия, 1977. Т. 27.
С. 394

31. Филиппович, Ф.В. Постановка преподавания начал анализа в средней школе [Текст] / Ф.В. Филиппович // Труды Первого Всероссийского съезда преподавателей математики. – СПб., 1913. – Т.I.

32. Филиппович, Ф.В. Реформа преподавания математики [Текст] / В.Р. Мрочек, Ф.В. Филиппович // Русская школа. – 1910. – № 1.

33. Шемянов Н.Н. У истоков русской методики математики. Ученые записки Ярославского пединститута. Педагогика. Вып.5. Ярославль 1945г.– 19с.