ТЕМА УРОКУ:
Похідні елементарних функцій
МЕТА УРОКУ:
формування знань учнів про похідну сталої функції, степеневої функції з цілим показником, тригонометричних функцій.
І Перевірка домашнього завдання
1.
Три учні відтворюють розв’язування вправ № 1 (1,2), 2.
1)
==
2)
Рівняння шуканої дотичної у – у0
=. Оскільки х0
= 1, у = х2
, то і
Отже, у – 1 = 2 (х -1) або у = 2х – 1.
2.
Фронтальна бесіда за запитаннями №№ 11 – 17 із Запитання і завдання до розділу VII.
II
. Сприймання і усвідомлення знань про похідну сталої функції, степеневої функції з цілим показником
На попередньому уроці ми довели, що похідна лінійної функції у = дорівнює , тобто .
Якщо покласти , де С – довільна постійна, то одержимо, що тобто похідна постійної функції дорівнює 0.
Якщо у формулі покласти, то одержимо
Нам уже відомо, що . А як знайти похідну функції у = х5
, у = х20
тощо? Розглянемо функцію у= хn
, де n – .
Знайдемо похідну цієї функції, для цього зафіксуємо значення аргумента х0
і надамо йому приросту , тоді:
1)
2)
(Скориставшись формулою
3)
Звідси
Розглянемо функцію у = хn
-1
, де .
Знайдемо похідну цієї функції, для цього зафіксуємо значення аргумента х0
і надамо йому приросту , тоді
1)
2)
3) =
Отже, , де .
Таким чином виконується рівність: .
Виконання вправ
1.
Знайдіть похідну функції:
а) у = х6
; б) у = х8
; в) у = х2
; г) .
Відповідь:
а) 6х5
; б) 8х7
; в) 7х6
; г) 6х5
.
2.
Знайдіть похідні функцій:
а) у = х-10
; б) у = х2
; в) ; г).
Відповідь:
а) -10х-11
; б) -3х-4
; в) -6х-7
; г) -6х-7
.
ІІІ. Сприймання і усвідомлення знань про похідну тригонометричних функцій
Знайдемо похідну функції у=. Зафіксуємо х0
і надамо аргументу приросту , тоді:
1)
2)
3)
.
Отже
Аналогічно можна довести, що
Знайдемо похідну функції .
Зафіксуємо х0
і надамо аргументу приросту , тоді:
.
.
Отже,
Аналогічно можна довести, що
Виконання вправ № 1 (3), 5 із підручника.
VI
. Підведення підсумків уроку
Провести підведення підсумків уроку з використанням таблиці 4 похідних.
Таблиця
Таблиця похідних
V
. Домашнє завдання
Розділ VІІ § 3. запитання і завдання для повторення розділу VІІ № 19 – 22. вправа №4 (2, 4).
ТЕМА УРОКУ:
Теореми про похідну суми, добутку і частки функцій
МЕТА УРОКУ:
Вивчення теореми про похідні суми, добутку і частки функцій, формування умінь учнів у знаходження похідних.
І. Перевірка домашнього завдання
1.
Усне розв’язування вправ.
1)
Знайдіть похідні функцій
а) у – х10
; б) ; в) ; г) .
Відповідь:
а) 10х9
; б) -9х-10
; в) -4х-5
;ё г) 3х2
.
2)
Знайдіть похідні функцій:
а) в точці ; б) в точці ;
в) в точці ; г) в точці .
Відповідь:
а) 0; б) ; в) 4; г) -1.
2.
Відповісти на запитання, що виникли у учнів під час виконання домашніх вправ.
ІІ. Сприймання і усвідомлення теореми про похідну суми функції
Теорема:
Якщо функції f(x) і g(x) диференційовані в точці х, то їхня сума диференційована в цій точці і
або коротко говорять: похідна суми дорівнює сумі похідних.
Доведення
Розглянемо функцію у = f(x) + g(x).
Зафіксуємо х0
і надамо аргументу приросту . Тоді
,
.
Отже, .
Наслідки
а) Похідна різниці дорівнює різниці похідних.
Нехай у(х) = f(x) - g(x), тоді f(x) = у(х) + g(x) і , звідси.
б) Похідна суми декількох функцій дорівнює сумі похідних цих фукцій, тобто
.
Приклад.
Знайдіть похідну функцій
а) ;
б) ;
в) .
Розв’язання
а) ;
б) .
в)
.
Відповідь:
а) ; б) в) =.
Виконання вправ
1.
Знайдіть похідні функцій:
а)
у = х3
+ х – х4
; б)
;
в)
; г)
.
Відповідь:
а); б); в) ;
г) .
2.
Знайдіть значення похідної функції f(x) в точці х0
:
а)
;
б) ;
в) .
Відповідь:
а)
1; б) ; в)
-1.
3.
При яких значеннях х значення похідної функції f(x) дорівнює 0:
а); б)
; в)
.
Відповідь:
а) ; б) ; в) .
ІІІ. Сприймання і усвідомлення теореми про похідну добутку
Теорема.
Якщо функції f(x) і g(x) диференційовані в точці х, то їхній добуток також – диференційована функція в цій точці і , або коротко говорять: похідна добутку двох функцій дорівнює сумі добутків кожної функції на похідну другої функції
Доведення
. Розглянемо функцію . Зафіксуємо х0
і надамо аргументу приросту , тоді
1)
Оскільки , , то
.
2)
.
Отже, .
Наслідки
а)
Постійний множник можна винести за знак похідної: .
Дійсно,.
б)
Похідна добутку декількох множників дорівнює сумі добутків похідної кожного із них на всі останні, наприклад:
.
Приклад.
Знайдіть похідні функцій:
а) ;
б) ;
в) .
Розв’язування
а) ;
б)
;
в)
.
Виконання вправ.
1.
Знайдіть похідну функцій:
а)
; б)
;
в) ; г) .
Відповідь:
а)
6х-5; б) ;
в) ; г) .
2.
Знайдіть похідні функцій:
а) ; б) ;
в) ; г) .
Відповідь:
а) ; б) ;
в) ; г) .
3.
Знайдіть похідні функцій:
а) ; б) .
Відповідь:
а) ; б) .
IV
. Сприймання і усвідомлення теореми про похідну частки функцій
Теорема.
Якщо функції f(x) і g(x) диференційовані в точці х і g(x), то функція диференційована в цій точці і .
Доведення
Формулу похідної частки можна вивести, скориставшись означенням похідної. Проте це зробити можна простіше.
Нехай , тоді f(x)=у(х). Знайдемо похідну функції f(x), скориставшись теоремою про похідну добутку, . Виразимо з цієї формули
і підставимо замість у(х) значення , тоді будемо мати:
.
Отже, .
Приклад:
Знайдіть похідні функцій
а) ; б) .
Розв’язання
а) .
б) .
Виконання вправ
1.
Знайдіть похідні функцій:
а) ; б) ; в) ; г) .
Відповідь:
а
) ;
б) ;
в) ; г) .
2.
Знайдіть похідні функцій:
а) ; б) ; в) ; г)
Відповідь:
а) ; б) ;
в) ; г) .
V
. Домашнє завдання
Розділ VII § 4. Запитання і завдання для повторення розділу VII № 23 – 27. вправа № 10 (1 -5, 7 - 8).
ТЕМА УРОКУ
: Похідна складеної функції
Мета уроку:
Формування поняття про похідну складеної функції, знань учнів про похідну складеної функції, умінь знаходити похідну складеної функції.
І. Перевірка домашнього завдання
1) ;
2)
;
3) ;
4) ;
5) ;
6) .
2.
Самостійна робота.
Варіант 1.
1.
Знайдіть значення похідної функції f(x) при заданому значенні аргументу х0
:
а) ,
х0
=-1. (2 бали)
б) .
(2 бали)
2.
Знайдіть похідну функцій:
а) .
(2 бали)
б) .
(2 бали)
в) .
42 бали)
Варіант 2.
1.
Знайдіть значення похідної функції f(x) при заданому значенні аргумента х0
:
а) ,
х0
=-1. (2 бали)
б) .
(2 бали)
2.
Знайдіть похідну функцій:
а) .
(2 бали)
б) .
(2 бали)
в) .
42 бали)
Відповідь:
В-1. 1.
а) ; б) -1
2.
а) ; б) ; в)
В-2. 1.
а) ; б) 1
2.
а) ; б) ; в) .
ІІ. Сприймання і усвідомлення поняття складеної функції та її похідної
Розглянемо приклад.
Приклад 1.
Нехай треба обчислити по заданому значенню х значення функції у, яка задана формулою .
Для цього спочатку треба обчислити за даним значенням х значення u=, а потім за значенням u обчислити у=.
Отже, функція g ставить у відповідність числу х число u, а функція f – числу u число у. Говорять, що у є складеною функцією із функції g і f, і пишуть .
Функцію g(х) називають внутрішньою функцією, або проміжною змінною, функцію f(u) – зовнішньою функцією. Отже, щоб обчислити значення складеної функції в довільній точці х, спочатку обчислюють значення u внутрішньої функції g, а потім f(u).
Приклад 2.
Розглянемо функцію .
Вона є складною із функцій , де - внутрішня функція, - зовнішня функція.
Приклад 3.
Запишіть складні функції і , якщо
Розв’язання
Виконання вправ.
1.
Задайте формулою елементарні функції і , із яких побудована складна функція :
а) б)
в) г)
Відповіді:
а)
б) ;
в)
г) .
2.
Дано функції: . Побудуйте функції:
а) ; в) ; в) ;
г) ; в) ; є) .
Відповідь:
а) ; б) ;
в) ; г) ;
д) є)
У складній функції присутня проміжна змінна . Тому при знаходженні похідної скл
– похідна функції у по аргументі х;
– похідна функції у по аргументі u;
– похідна функції u по аргументі х;
Теорема.
Похідна складеної функції знаходиться за формулою , де , або похідна складеної функції дорівнює похідній зовнішньої функції по проміжній змінній, помноженій на похідну внутрішньої функції по основному аргументу.
Доведення
Будемо вважати, що функція має похідну в точці х0
, а функція має похідну в точці u0
=, тобто існують границі , і .
Нехай, аргументу х0
надано приросту , тоді змінна u набуде приросту . Поскільки одержала приріст , то функція у одержить також приріст . Приріст зумовив виникнення приросту і .
Подамо . Перейдемо до границі при (при цьому ).
або .
Приклад 1.
Знайдіть похідну функції у = (3х3
-1)5
.
Розв’язання
у = (3х3
-1)5
– складена функція , де u =3х3
-1, тоді , .
При обчисленні похідної складеної функції явне введення допоміжної букви u для позначення проміжного аргументу не є обов’язковим. Тому похідну даної функції знаходять відразу як добуток похідної степеневої функції u5
на похідну від функції 3х3
-1:
.
Приклад 2.
Знайдіть похідні функцій:
а) ; б) ;
в) ; г) .
Розв’язання
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
Виконання вправ.
1. знайдіть похідні функцій:
а)
у = (3х+2)50
; б)
(6-7х)10
;
в) ; г) .
Відповідь:
а) ; б) ;
в) ; г) .
2. Знайдіть похідні функцій:
а) ; б) ;
в) ; г) .
Відповідь:
а) ; б) ;
в) ; г) .
ІІІ. Підведення підсумків уроку
При підведенні підсумків уроку можна скористатись таблицею.
Таблиця диференціювання
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ,
|
|
IV
. Домашнє завдання
Розділ VII § 4. запитання і завдання для повторення до розділу VII № 23–28. вправа № 10 (6, 10, 14, 22).
ТЕМА УРОКУ:
Похідна показникової, логарифмічної та степеневої функцій
Мета уроку:
Формування знань учнів про похідну показникової, логарифмічної та степеневої функції(з довільним дійсним показником), умінь учнів в знаходженні похідних функцій.
І. Перевірка домашнього завдання
1.Перевірити правильність виконання домашніх вправ за записами, зробленими на дошці.
6) ;
10) ;
11) ;
22) .
2. Виконання усних вправ.
Знайдіть похідні функцій, які подано в таблиці.
Таблиця
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
| 1
|
|
|
|
|
| 2
|
|
|
|
|
| 3
|
|
=
|
|
|
| 4
|
|
|
|
|
ІІ. Сприймання і усвідомлення матеріалу про похідну показникової функції
Перш ніж знаходити похідну показниковїх функції, зробимо два важливих зауваження. Графік функції у=ах
проходить через точку (0; 1). Нехай – величина кута , утвореного дотичною до графіка функції у = ах
в точці (0; 1)з додатним напрямом осі абсцис. Величина цього кута залежить від значення основи а. Наприклад, обчислено, що при а = 2 величина кута приблизно дорівнює 340
(рис.29), а при а = 2, =470
.
у у = ех
якщо основа а показникової функції у = ах
зростає від 2 до 3, то величина кута зростає і приймає значення від 340
до 470
. Отже, існує таке значення , при якому дотична, проведена до графіка функції у = ах
в точці (0; 1) утворює з додатним напрямком осі ОХ кут 450
(рис.31). Таке значення прийнято позначати буквою е, е – число ірраціональне, е = 2,718281828459... 0
Таким чином, дотична до графіка функції у = ех
в точці (0; 1) утворює з додатним напрямком осі абсцис, який дорівнює 450
.
У відповідності з геометричним змістом похідної даний висновок означає, що значення похідної функції в точці х0
дорівнює =1. Отже, .
Знайдемо тепер формулу похідної функції .
Нехай аргумент х0
одержав приріст , тоді:
1)
2)
3) .
Таким чином, похідна функції ех
дорівнює самій функції:
Знайдемо похідну функції , скориставшись основною логарифмічною тотожністю та правилом знаходження похідної складеної функції:
.
Отже,
Похідна показникової функції дорівнює добутку цієї функції на натуральний логарифм її основи.
Приклад 1.
Знайдіть похідну функцій:
а) у = 5х
; б) у = е3-2х
; в) ; г) .
Розв’язання
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
Виконання вправ.
№ 2 (2, 4, 6, 8, 10, 12), №2 (20, 22, 24, 26, 28, 30) із підручника (розділ Х).
ІІІ. Сприймання і усвідомлення матеріалу про похідну логарифмічної функції
Розглянемо функцію . За основною логарифмічною тотожністю: для всіх додатних х.
Диференціюючи обидві частини цієї рівності, одержимо: , або .
Звідси .
Отже,
Знайдемо похідну функції . Так як , то
.
Отже,
Приклад 1.
Знайдіть похідну функцій:
а) ; б) ;
в) ; г) .
а) ;
б) ;
в) ;
г)
=.
Виконання вправ.
№ 2 (14, 16, 18, 32, 34, 36, 38, 40, 42), із підручника (розділ Х).
IV
. Сприймання і усвідомлення матеріалу про похідну степеневої функції , де
Ми довели, що для .
Розглянемо функцію , де .
Знайдемо похідну цієї функції:
.
Отже, для всіх .
ТЕМА УРОКУ:
Розв’язування вправ
Мета уроку:
Формування умінь учнів знаходити похідні функцій.
І. Перевірка домашнього завдання
1 перевірити правильність виконання домашніх вправ шляхом порівняння відповідей.
№ 2.
3) -е-х
; 5) ; 7) ; 9) ; 11)
13) ; 15) ; 17) .
№ 8.
1) 100х99
; 3) ; 5) ; 7) -20х19
; 9) ;
11) .
2. Усне розв’язування вправ.
Знайдіть похідні функцій, поданих в таблиці.
| 1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
| 1 |
|
|
|
|
|
| 2 |
|
|
|
|
|
| 3 |
|
|
|
|
|
| 4 |
|
|
|
|
|
| 5 |
|
|
|
|
|
ІІ. Формування умінь знаходити похідні функцій
1)
Виконання вправ № 10 (12; 11; 13; 17; 19) розділу VІІ підручника.
2)
Виконання вправ № 2 (23; 24; 31; 34; 35; 36) розділу Х підручника.
3)
Знайдіть похідну функції та обчисліть її значення, якщо .
.
.
Відповідь:
4.
4) Тіло рухається за законом .
Знайдіть швидкість точки через 2 секунди після початку руху. (Відстань вимірюється в метрах).
Розв’язання
;
.
Відповідь:
.
ІІІ. Домашнє завдання
Підготуватися до контрольної роботи. Вправи ; 10 (15; 16; 20; 25) розділу VІІ; № 2 (22; 26; 38; 42), 8 (14; 18) розділу Х.
ТЕМА УРОКУ
: Тематична контрольна робота № 1
Мета уроку:
Перевірити навчальні досягнення учнів з теми „Границя, неперервність та похідна функцій”.
Варіант 1
1. Знайдіть похідну функції:
а) . (2 бали
)
б) . (2 бали
)
в) . (2 бали
)
г) . (2 бали
)
2. Знайдіть похідну функції та обчислити її значення, якщо . (2 бали
)
3. Точка рухається за законом . Знайдіть миттєву швидкість точки моменту t=1 с (s вимірюється в метрах). (2бали)
Варіант 2
1. Знайдіть похідну функції:
а) . (2 бали
)
б) . (2 бали
)
в) . (2 бали
)
г) . (2 бали
)
2. Знайдіть похідну функції та обчислити її значення, якщо . (2 бали
)
3. Точка рухається за законом . Знайдіть миттєву швидкість точки моменту t=1 с (s вимірюється в метрах). (2бали)
Варіант 3
1. Знайдіть похідну функції:
а) . (2 бали
)
б) . (2 бали
)
в) . (2 бали
)
г) . (2 бали
)
2. Знайдіть похідну функції та обчислити її значення, якщо . (2 бали
)
3. Точка рухається за законом . Знайдіть миттєву швидкість точки моменту t=5 с (s вимірюється в метрах). (2бали)
Варіант 4
1. Знайдіть похідну функції:
а) . (2 бали
)
б) . (2 бали
)
в) . (2 бали
)
г) . (2 бали
)
2. Знайдіть похідну функції та обчислити її значення, якщо . (2 бали
)
3. обертання тіла навколо осі здійснюється за законом . Знайдіть кутову швидкість точки при t=4 с ( вимірюється в радіанах). (2бали)
Відповідь:
В-1.
1. а) ; б) ;
в) ,; г) .
2. , .
3. 10
В-2
1. а) ; б) ;
в) ,; г) .
2. , .
3. 9
В-3.
1. а) ; б) ;
в) ,; г) .
2. , .
3. 35
В-4.
1. а) ; б) ;
в) ,; г) .
2. , .
3. 20