Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Вятский государственный гуманитарный университет
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Выпускная квалификационная работа
Элементы статистики, комбинаторики и теории вероятностей в основной школе.
Выполнила
студентка V курса
математического факультета
Лысова Инга Геннадьевна
Научный руководитель:
кандидат педагогических наук, доцент кафедры алгебры и геометрии
Шихова А.П.
Рецензент:
Допущена к защите в государственной аттестационной комиссии
«___» __________2005 г. Зав. кафедрой Е.М.Вечтомов
«___»___________2005 г. Декан факультета В.И. Варанкина
Киров
2005
Содержание
Введение ................................................................................................. 3
Глава 1.
§1 Анализ учебно-методической литературы по теме исследования
1. Инструктивные письма....................................................... 6
2. Анализ статей из журналов «Математика в школе»...... 9
3. Анализ вероятностно-статистической линии
в учебной литературе........................................................... 16
§2 О подготовке учителей к обучению школьников стохастике.. 27
§3 Некоторые выводы содержательно-методического характера по реализации стохастической линии в основной школе.................... 32
Глава 2.
Методика изучения стохастики в основной школе
§1. Методика реализации стохастической линии в 5 классе.......... 38
§2. Методика реализации стохастической линии в 6 классе.......... 49
§3. Методика реализации стохастической линии в 7 классе.......... 59
§4. Методика реализации стохастической линии в 8 классе.......... 67
§5. Методика реализации стохастической линии в 9 классе.......... 72
Заключение........................................................................................... 76
Библиография....................................................................................... 77
Введение.
В настоящее время никто не подвергает сомнению необходимость включения стохастической линии в школьный курс математики. О необходимости изучения в школе элементов теории вероятностей и статистики речь идет очень давно. Ведь именно изучение и осмысление теории вероятностей и статистических проблем особенно нужно в нашем перенасыщенном информацией мире. Но внедрение стохастической линии в школьный курс столкнулось с некоторыми трудностями, в первую очередь, это методическая неподготовленность учителей и отсутствие единой методики и школьных учебников.
Современная концепция школьного математического образования ориентирована, прежде всего, на учет индивидуальности ребенка, его интересов и склонностей. Этим определяются критерии отбора содержания, разработка и внедрение новых, интерактивных методик преподавания, изменения в требованиях к математической подготовке ученика. И с этой точки зрения, когда речь идет не только об обучении математике, но и формировании личности с помощью математики, необходимость развития у всех школьников вероятностной интуиции и статистического мышления
становится насущной задачей. Причем речь сегодня идет об изучении вероятностно-статистического материала в обязательном основном школьном курсе «математике для всех» в рамках самостоятельной содержательно-методической линии на протяжении всех лет обучения.
Исследования психологов (Ж.Пиаже, Е.Фишбейн) показывают, что человек изначально плохо приспособлен к вероятностной оценке, к осознанию и верной интерпретации вероятностно-статистической информации. Работы психологов утверждают, что наиболее благоприятен для формирования вероятностных представлений возраст 10-13 лет (это 5-7 классы). Экспериментальная работа в 5 и 6 классах по пропедевтике вероятностных представлений, проведению экспериментов со случайными исходами и обсуждению на качественном уровне их результатов показало, что этот не закрепленный формальными «обязательными результатами» период дает хорошее развитие вероятностной интуиции и статистических представлений детей. [2]
Согласно данным ученых-физиологов и психологов в среднем звене школы заметно падение интереса к процессу обучения в целом и к математике в частности. На уроке математики в основной школе, в пятых-девятых классах, проводимых по привычной схеме и на традиционном материале, у ученика зачастую создается ощущение непроницаемой стены между изучаемыми объектами и окружающим миром. Именно вероятностно-статистическая линия, или, как ее стали называть в последнее время, - стохастическая линия, изучение которой невозможно без опоры на процессы, наблюдаемые в окружающем мире, на реальный жизненный опыт ребенка, способна содействовать возвращению интереса к самому предмету «математика», пропаганде его значимости и универсальности. [2]
Знакомство школьников с очень своеобразной областью математики, где между черным и белым существует целый спектр цветов и оттенков, возможностей и вариантов, а между однозначными «да» и «нет» существует еще и «быть может» (причем это «может быть» поддается строгой количественной оценке), способствует устранению укоренившегося ощущения, что происходящее на уроке математики никак не связано с окружающим миром, с повседневной жизнью. Учащиеся видят непосредственную связь математики с окружающей действительностью, реальной жизнью.
Цель дипломной работы
: на основе исследований, сделать выводы о возможности введения стохастической линии в основную школу, и дать полезные методические рекомендации для ее реализации.
Исходя из этого можно выделить следующие задачи
, реализация которых позволяет достичь поставленную цель.
· Необходимо определить содержание материала по каждому из направлений: комбинаторика, статистика, теория вероятностей.
· Проанализировать связи между этими направлениями и определить последовательность или параллельность их изучения.
· По каждому классу определить содержание и разработать методику обучения учащихся каждому из названных разделов стохастики.
Для реализации данных задач используются следующие средства
.
· Изучение школьных учебников, статей, психолого-педагогической и методической литературы по данной теме.
· Изучение стандартов образования по данной теме.
· Анализ школьных учебников, выявление преимущества тех или иных учебных пособий.
· Изучение имеющегося опыта преподавания в школе данной темы.
Глава 1.
§1 Анализ учебно-методической литературы по теме исследования.
1. Инструктивные письма.
Один из важнейших аспектов модернизации содержания математического образования состоит во включении в школьные программы элементов статистики и теории вероятностей. Это обусловлено ролью, которую играют вероятностно-статистические знания в общеобразовательной подготовке современного человека. Без минимальной вероятностно-статистической грамотности трудно адекватно воспринимать социальную, политическую, экономическую информацию и принимать на ее основе обоснованные решения.
Изучение элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в основной школе станет обязательным после утверждения федерального компонента государственного стандарта общего образования. Но в связи с тем, что внедрение в практику работы этого нового материала требует нескольких лет и нуждается в накоплении методического опыта, Министерство образования РФ рекомендовало образовательным учреждениям начать преподавать курс «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей» в основной школе с 2003/2004 учебного года.
При этом предлагается ориентироваться на следующее содержание:
· Решение комбинаторных задач: перебор вариантов, подсчет числа вариантов с помощью правила умножения.
· Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков. Диаграммы Эйлера. Средние результаты измерений.
· Понятие и примеры случайных событий. Частота события, вероятность. Равновозможные события и подсчет их вероятности. Представление о геометрической вероятности.
Перечисленный круг вопросов представляет собой некоторый минимум, доступный учащимся основной школы и достаточный для формирования у них первоначальных вероятностно-статистических представлений. [25]
Государственным стандартом образования предусмотрен обязательный минимум, и изложены основные требования к уровню подготовки выпускников.
Для основного общего образования, по теме – Элементы логики, комбинаторика, статистика и теория вероятностей на данный момент установлен следующий обязательный минимум:
Множества и комбинаторика
. Множества, элементы множества. Подмножества. Объединение и пресечение множеств. Диаграммы Эйлера. Примеры решения комбинаторных задач: перебор вариантов, правило умножения.
Статистические данные.
Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков. Средние результаты измерений. Понятие о статистическом выводе на основе выборки. Понятие и примеры случайных событий.
Вероятность.
Частота событий, вероятность. Равновозможные события и подсчет их вероятности. Представление о геометрической вероятности.
Требования к уровню подготовки выпускника:
В результате изучения математики ученик должен знать и понимать вероятностный характер многих закономерностей окружающего мира, примеры статистических закономерностей и выводов.
В результате изучения элементов логики, комбинаторики, статистики и теории вероятностей учащийся должен уметь:
· Извлекать информацию представленную в таблицах, на диаграммах, графиках; составлять таблицы, строить диаграммы и графики.
· Решать комбинаторные задачи путем систематического перебора возможных вариантов, а также с использованием правила умножения.
· Вычислять среднее значения результатов измерений
· Находить частоту события, используя собственные наблюдения и готовые статистические данные
· Находить вероятность случайных событий в простейших ситуациях.
Использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:
· Анализа реальных числовых данных, представление в виде диаграмм, графиков, таблиц
· Решение учебных и практических задач, требующих систематического перебора вариантов
· Сравнение шансов наступления случайных событий, оценка вероятности случайного события в практических ситуациях, сопоставление модели с реальной ситуацией
· Понимание статистических утверждений
2. Анализ статей из журналов «Математика в школе».
Журналы «Математика в школе» содержат ряд статей, в которых рассматриваются различные вопросы по данной теме.
О необходимости изучения в школе элементов теории вероятностей и статистики речь идет очень давно. И авторы многих статей говорят о необходимости введения стохастической линии в основную школу.
Бунимович Е.А [2] в защиту этой необходимости приводит следующие аргументы:
1. Социально-экономическая ситуация.
«Нужно научить детей жить в вероятностной ситуации. То есть нужно научить их извлекать, анализировать и обрабатывать информацию, принимать обоснованные решения в разнообразных ситуациях со случайными исходами. Ориентация на многовариантность возможного развития реальных ситуаций и событий, на формирование личности, способной жить и работать в сложном, постоянно меняющемся мире, с неизбежностью требует развития вероятностно-статистического мышления у подрастающего поколения».
2. Универсальность вероятностных законов.
«Они стали основой описания научной картины мира. Современная физика, химия, биология, демография, социология, лингвистика, философия, весь комплекс социально-экономических наук построен и развивается на вероятностно-статистической базе.
Подросток в своей жизни ежедневно сталкивается с вероятностными ситуациями. Игра и азарт составляют существенную часть жизни ребенка. Круг вопросов, связанных с соотношениями понятий «вероятность» и «достоверность», проблема выбора наилучшего из нескольких вариантов решения, оценка степени риска и шансов на успех, представление о справедливости и несправедливости в играх и в реальных жизненных коллизиях – все это, несомненно, находится в сфере реальных интересов подростка».
3. Развивающая роль стохастики.
«Преподавание любого раздела математики благотворно сказывается на умственном развитии учащихся, поскольку прививает им навыки ясного логического мышления, оперирующего четко определенными понятиями. Все сказанное в полной мере относится и к преподаванию теории вероятностей, но обучение «законам случая» играет несколько большую роль и выходит за рамки обычного. Слушая курс теории вероятностей, учащийся познает, как применять приемы логического мышления в тех случаях, когда приходится иметь дело с неопределенностью (а такие случаи возникают на практике почти всегда)».
4. Прикладной характер законов теории вероятностей.
«Выводы теории вероятностей находят применение в повседневной жизни, науке, технике и т.д. В повседневной жизни нам постоянно приходится сталкиваться со случайностью, и теория вероятностей учит нас, как действовать рационально с учетом риска, связанного с принятием отдельных решений. Хорошим примером применения теории вероятностей в повседневной жизни может служить выбор наиболее целесообразной формы страхования. При планировании, например, семейного бюджета зачастую приходится оценивать расходы, носящие в известной мере случайный характер. Знакомство на том или ином уровне с законами случая необходимо каждому. Применение теории вероятностей в науке, технике, экономике и т.д. приобретает все возрастающее значение. Именно поэтому у все большего числа людей в процессе работы возникает необходимость в изучении теории вероятностей. Современный образованный человек независимо от профессии и рода занятий должен быть знаком с простейшими понятиями теории вероятностей. В наши дни, когда прогноз погоды содержит сообщение о вероятности дождя на завтра, каждый должен знать что собственно это означает».
5. Взаимосвязь математики с действительностью.
Помимо значения обучения элементам стохастики, не меньше внимания уделено вопросам о том, что именно и каким образом изучать школьникам.
Возникает много вопросов о содержании, методах, средствах. Разные статьи предлагают различные методические рекомендации.
Бунимович Е.А. делает следующие методические рекомендации при рассмотрении некоторых вопросов теории вероятностей.
«На первом этапе обучения можно отметить, что события достоверные и невозможные лучше не относить к случайным событиям. Опыт преподавания данного материала показал, что школьникам 10-12 лет трудно считать случайными те события, которые происходят всегда, либо не происходят никогда. Понятие случайного события соответственно уточняется на более поздних ступенях обучения. Чтобы доказать, что данное событие – случайное, предлагается привести пример такого исхода, когда событие происходит, и пример такого исхода, когда оно не происходит.
Необходимо развить у учащихся понимание степени случайности различных явлений и событий. Качественная оценка вероятности события приводит к тому, что при обсуждении в классе на один и тот же вопрос может быть дано несколько разных ответов, которые могут считаться верными, что непривычно на уроке математики и для ученика и для учителя. Например, при обсуждении вероятности наступления события «вам подарят на день рождения собаку» ученики в зависимости от личных обстоятельств могут дать ответы:
«это маловероятное событие»,
«это очень возможное событие»,
«это достоверное событие».
При решении таких задач главное – приводимая аргументация, понимание школьником смысла используемых понятий. Если аргументация вполне логична и разумна, ответ следует считать верным». [2]
О формировании первоначальных стохастических представлений в своей статье говорит Селютин В.Д. [31].
«5-6 классы являются подготовительным этапом, перед изучением стохастики, здесь идет процесс «интуитивных накоплений». Как же следует организовать этот процесс? Прежде всего, путем эксперимента, проводимого самими учащимися. Как утверждает А.Плоцки, «из-за своей специфики стохастика может быть математикой, понимаемой каждым учеником как математика, открытая им самим». Одна из важнейших целей обучения школьников элементам стохастики состоит в целенаправленном развитии идеи о том, что в природе наличествуют статистические закономерности. Важно помочь учащимся правильно осознать реальную действительность, открыть для себя вероятностную природу окружающего мира, показать, что в мире случайностей можно не только хорошо ориентироваться, но и активно действовать.
С помощью каких же средств можно организовать формирование первоначальных стохастических представлений школьников? К таковым можно отнести: стохастические игры, эксперименты со случайными исходами, статистические исследования, мысленные статистические эксперименты и моделирование.
Для проведения экспериментов пока возможно использование подручных средств: кубики, пуговицы, кнопки, самодельные вертушки и т.п. С введением стохастической линии в основной курс средней школы, со временем должны появиться и минимальные наборы математического демонстрационного учебного оборудования». [31]
Проводя эксперименты, учащиеся могут заметить, что те или иные события происходят чаще или реже, относительно других. Таким образом, можно перейти к понятию частоты, а затем и к статистическому определению вероятности.
При классическом подходе определение понятия вероятности для некоторых событий сводится к более простому понятию – равновозможности элементарных событий. А это понятие основано на интуитивном воображении человеком тех условий испытания, которые вроде достоверно определяют эту равновозможность. Но не каждое испытание поддается такому воображению. Например, не может быть и речи о равновозможных исходах испытания, состоящего в подбрасывании неправильной игральной кости, центр тяжести которой сознательно смещен с геометрического центра.
Из этого вытекает ограничение применения классической вероятности. Классическое определение вероятности «работает» лишь тогда, когда имеется конечное число равновозможных исходов. На практике мы часто встречаемся с ситуациями, где нет симметрии, предопределяющей равновозможность исходов. В таких случаях приходится определять вероятность частотным путем (статистическая вероятность) [34].
По обучению комбинаторике, тоже нет единого мнения.
В статье Ткачевой М.В. [35] содержатся следующие замечания по обучению комбинаторике.
«На первом этапе при изучении комбинаторики следует выработать у учащихся умение составлять комбинаторные наборы и начать с самого простого – составление комбинаторных наборов методом непосредственного перебора. В возрасте 11-12 лет дети способны решать простейшие комбинаторные задачи на целенаправленный перебор небольшого числа элементов определенного множества и составлять всевозможные комбинации (с повторениями и без повторений) из 2-3 элементов. Операция перебора раскрывает идею комбинирования, служит основой для формирования комбинаторных понятий и хорошей подготовкой к выводу комбинаторных формул и закономерностей.
После того как учащиеся научаться составлять наборы из элементов заданного множества по заданному свойству, на первый план выходит задача по подсчету количества возможных наборов. Такие комбинаторные задачи решаются с помощью рассуждений, раскрывая принцип умножения. Но акцент нужно сделать не на формальном его применении, а на содержательных рассуждениях и понимании сути поставленного в задаче вопроса. Принцип умножения в дальнейшем используется для выведения формул.
Часто подсчет вариантов облегчают графы. Одним из видов графов является дерево возможных вариантов, которое является хорошей наглядной иллюстрацией правила умножения.
Таким образом, построение дерева возможных вариантов является одним из способов решения комбинаторных задач. Такая наглядность помогает лучше понять принципы составления наборов (помогает составлять и упорядочивать наборы). Но такую наглядность возможно использовать в задачах с небольшим количеством возможных вариантов, либо в задачах, для которых дерево возможных вариантов является правильным.
Методом перебора, принципа умножения и построение дерева возможных вариантов – это все методы, которые позволяют решать комбинаторные задачи без использования формул. Отсутствие формул при решении комбинаторных задач позволяет учащимся лучше понять суть решения, лучше освоить способы составления и подсчета возможных наборов. Уже после этого можно вывести или ввести некоторые формулы, которые учащийся должен применять осознанно и понимать принцип их действия». [35]
Спорным остается вопрос и о введении основных комбинаторных понятий: сочетания, перестановки и размещения. Все ли вводить, нужно ли вводить их определения, или достаточно описания.
На данный момент можно говорить о наличии некоторого опыта по рассматриваемой теме. Так как этим вопросом занимаются уже давно, то естественно, что были предприняты некоторые попытки введения этого материала или хотя бы его элементов. Некоторые статьи содержат информацию о различных опытах и экспериментах по данным вопросам.
В статье Бунимовича Е.А. [2] рассказывается об экспериментах проведенных автором на базе московской гимназии №710, ярославской гимназии №20 и калужской гимназии №2. В них исследовались вероятностные представления школьников старших профильных классов, которые еще не изучали вероятностный раздел. Результаты исследования показали, что даже хорошее знание и понимание других разделов математики само по себе не обеспечивает развития вероятностного мышления. Также опыт показал , что в возрасте начальных классов еще многое в представлениях ученика о мире недостаточно сформировано, не хватает и математического аппарата для объяснения представлений о вероятности. В то же время основы описательной статистики, таблицы и столбчатые диаграммы, а также основы комбинаторики возможно и даже необходимо вводить в курс начальной школы. А начинать изложение основ теории вероятности в старших классах – малоэффективно. [2]
Ткачевой М.В., Васильковой Е.Н. и Чуваевой Т.В. был проведен эксперимент о готовности учащихся к изучению стохастики, результаты представлены в их статье, [37] На основе проведенных экспериментов были сделаны следующие выводы. в 5 классе у детей достаточно высокий уровень комбинаторного мышления, а затем если в течение 6-7 классов его не развивать, то навыки решения комбинаторных задач существенно снижаются. Большинство учащихся 5-6 классов готовы к восприятию понятия вероятность в классическом и геометрическом истолковании. Желательно обучать детей 5-6 классов самостоятельному целенаправленному сбору информации о явлениях окружающей их жизни, подсчету данных в небольших выборках.
3. Анализ вероятностно-статистической линии в учебной литературе.
При введении любой новой темы, любого нового вопроса в основной курс школы встает проблема изложения данного вопроса в школьных учебниках.
К реализации нового содержания в действующих учебниках авторы подошли по-разному. В одних учебниках элементы стохастики включены в основное содержание отдельными параграфами. Авторы же других учебников издают новое содержание в форме вкладышей – дополнительных глав к своим пособиям.
Попытка построения вероятностно-статистической линии в базовом курсе математики основной школы предпринята в учебниках
Под редакцией Г.В Дорофеева и И.Ф Шарыгина
[18,19,20,21,22]
«Математика5», «Математика6», «Математика7», «Математика8» и «Математика 9».
5 класс
начинается с комбинаторики, где на конкретных задачах и примерах рассматривается решение комбинаторных задач методом перебора возможных вариантов. Этот метод иллюстрируется с помощью построение дерева возможных вариантов. Примеры и задачи очень простые, позволяющие на этапе знакомства с комбинаторными задачами, усвоить принцип простого, упорядоченного перебора возможных вариантов.
В пункте «Случайные события» рассматривается понятие случайное событие, достоверные, невозможные и равновероятные события. Тут же приводятся реальные, понятные примеры, позволяющие учащимся лучше усвоить эти понятия.
В последней главе учебника рассматриваются таблицы и диаграммы (как способ представления информации). Учащихся учат пользоваться таблицей, извлекать из нее и анализировать необходимую информацию, также учат самих строить таблицы. В пятом классе рассматриваются столбчатые диаграммы, в одной из задач рассмотрена круговая диаграмма. Также рассматривается пункт «Опрос общественного мнения», где составление таблиц по данным опроса позволяет решить те или иные классные вопросы, возникающие в реальной жизни
6 класс
начинаем с повторения таблиц и диаграмм. Повторяют уже изученные столбчатые диаграммы и более подробно рассматривают круговые (для представления соотношения между частями целого).
Далее идут 2 параграфа по комбинаторике: логика перебора и правило умножения. Здесь рассматриваются задачи, которые решаются уже известным им способом перебора и предлагается упростить его, используя, так называемое кодирование. Также рассматривается новый способ решения комбинаторных задач с помощью правила умножения.
Завершается учебник главой - «вероятность случайных событий». Учащимся предлагается провести ряд экспериментов, зафиксировав результаты в таблицах. После чего, используя полученные результаты, вводится понятие частота и вероятность случайных событий
7 класс
начинается с рассмотрения основных статистических характеристик: среднее арифметическое, мода, размах, опять же с множеством примеров из жизни. В одном из параграфов снова обращаемся к решению комбинаторных задач, которые решаются с помощью рассуждений. Рассматриваются перестановки. И заключительная глава продолжает рассматривать вероятность и частоту случайных событий.
В 8 классе
сначала повторяются статистические характеристики, изученные в 7 классе, и вводится новая характеристика – медиана. Рассматриваются таблицы частот. Приводятся примеры, показывающие связь с практикой, описываются различные жизненные ситуации. В 8 классе вводится классическое определение вероятности, данное Лапласом.
Рассматриваются геометрические вероятности.
В учебнике 9 класса
рассматриваются статистические исследования, вводится определение статистики. В главе рассматриваются доступные учащимся примеры статистических исследований, в ходе которых используются полученные ранее знания о случайных экспериментах, способах представления данных и статистических характеристиках. Вводятся новые понятия выборка, репрезентативность, генеральная совокупность, ранжирование, объем выборки. Рассматривается новый способ графического представления результатов – полигоны. Вводятся понятия выборочной дисперсии и среднее квадратичное отклонение.
В учебнике рассматриваются 3 примера статистических исследований, это реальные примеры близкие школьнику. Это вопросы: «Как исследуют качество знаний школьников», «Удобно ли расположена школа?», «Куда пойти работать?». Учащийся видит применение знаний по статистике в реальных жизненных ситуациях.
Изучив, данный комплект учебников, можно отметить несколько моментов. Во-первых, курс рассчитан на 5- 9 классы, в то время, как большинство других учебных пособий предлагает рассматривать эти вопросы лишь с 7 по 9 классы. Во-вторых, что тоже отличает предложенный в этих учебниках курс от других, это параллельное изложение линий.
Зубарева И.И., Мордкович А.Г. «Математика 5», «Математика 6»
.
[9.10]
В 5 классе
последняя глава «введение в вероятность» содержит 2 параграфа. В одном параграфе рассматриваются достоверные, невозможные и случайные события. И даны задачи на определение характера события (достоверное, невозможное или случайное). Во втором параграфе рассматриваются комбинаторные задачи, решаемые методом перебора возможных вариантов.
В 6 классе
авторы знакомят с понятием вероятность. Даны упражнения на определение степени вероятности того или иного события, выполнять которые учащиеся должны с опорой на интуицию. В следующем пункте вводится классическое определение вероятности. Рассматриваются задачи, в которых для вычисления вероятности используют комбинаторное правило умножения.
По-моему мнению, рассматриваемые комбинаторные задачи, решаемые методом перебора возможных вариантов, взяты не совсем удачно. Для первого знакомства с задачами на перебор возможных вариантов лучше взять более простые задачи.
Еще одним недостатком, на мой взгляд, является то, что авторами вводится лишь классическое определение вероятности и абсолютно не рассматривается понятие частоты. А более логично и целесообразно вводить классическое определение на основе частотного.
Некоторые учебные комплекты пополнились дополнительными учебными пособиями, содержащими материал по стохастике.
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г.
[14]
«Алгебра: элементы статистики и теории вероятностей».
Под редакцией Теляковского С.А.
Это учебное пособие предназначено для учащихся 7-9 классов, оно дополняет учебники: Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. «Алгебра 7», «Алгебра 8», «Алгебра 9», под редакцией Теляковского С.А.
Книга состоит из четырех параграфов. В каждом пункте содержатся теоретические сведения и соответствующие упражнения. В конце пункта приводятся упражнения для повторения. К каждому параграфу даются дополнительные упражнения более высокого уровня сложности по сравнению с основными упражнениями.
В 7 классе
(§1) материал объединен в параграф «статистические характеристики», который знакомит с простейшими статистическими характеристиками (среднее арифметическое, мода, медиана, размах). Упражнения к параграфу можно разделить на 2 группы. Первую группу составляют задания на отыскание рассматриваемых характеристик и истолкование их практического смысла. Ко второй группе относятся задания, которые требуют не только знания определений изучаемых статистических характеристик, но и умений проводить необходимые рассуждения, использовать ранее введенный алгебраический аппарат.
Материал, изучаемый в 8 классе
(§2) также объединен в один параграф «Статистические исследования», где рассматриваются вопросы организации статистических исследований и наглядного представления статистической информации (таблицы частот). Сначала повторяются основные статистические характеристики. Вводятся новые понятия: интервальный ряд, сплошное и выборочное исследования, выборка, генеральная совокупность, репрезентативность. Знакомство с новыми видами наглядной интерпретации результатов статистических исследований – полигонами и гистограммами
Наибольший объем материала приходится на 9 класс.
Здесь есть 2 параграфа.
§3 «Элементы комбинаторики» содержит 4 пункта:
1. Примеры комбинаторных задач
. На простых примерах демонстрируется решение комбинаторных задач методом перебора возможных вариантов. Этот метод иллюстрируется с помощью построение дерева возможных вариантов. Рассматривается правило умножения.
2. Перестановки
. Вводится само понятие и формула подсчета перестановок.
3. Размещения
. Понятие вводится на конкретном примере. Выводится формула числа размещений.
4. Сочетания
. Понятие и формула числа сочетаний.
§4 «Начальные сведения из теории вероятностей».
Изложение материала начинается с рассмотрения эксперимента, после чего вводят понятие «случайное событие» и «относительная частота случайного события». Вводится статистическое и классическое определение вероятности. Параграф завершается пунктом «сложение и умножение вероятностей». Рассматриваются теоремы сложения и умножения вероятностей, вводятся связанные с ними понятия несовместные, противоположные, независимые события. Этот материал рассчитан на учащихся, проявляющих интерес и склонности к математике, и может быть использован для индивидуальной работы или на внеклассных занятиях с учащимися.
В данном пособии некоторые элементы вводятся таким же образом, как и в учебном комплекте Дорофеева. Но материал сокращен, за исключением комбинаторики, которая содержит больше и теории и практических упражнений. По моему мнению, комбинаторика и начальные сведения из теории вероятностей предлагается изучать слишком поздно. Как уже отмечалось выше, начинать обучать комбинаторике и формировать первые вероятностные представления лучше как можно раньше.
Методические рекомендации к данному учебнику даны в ряде статей Макарычева и Миндюка [15],[16],[17]. А также некоторые критические замечания по данному учебному пособию содержатся в статье Студенецкой и Фадеевой [33], которая поможет не допустить ошибок при работе с данным учебником.
Ткачева М.В.
[36]
«Элементы статистики и вероятность».
Это учебное пособие для 7-9 классов и оно дополняет учебники Алимова Ш.А. «Алгебра 7,8,9».
1 Глава «Введение в комбинаторику» (7 класс) начинается с исторических комбинаторных задач о магических и латинских квадратах и другие. Затем рассматриваются пункт различные комбинации из трех элементов, где рассматриваются сочетания, перестановки и размещения, но вводить сами термины не обязательно. Рассматривается таблица подсчета вариантов, которая подводит к правилу умножения. Также рассматриваются графы, но лишь как средство подсчета возможных вариантов. Эта глава имеет и дополнительные параграфы – перестановки и разбиение на две группы, выдвижение гипотез.
2 Глава «Случайные события» (8 класс).
Сначала рассматриваются события: достоверные, невозможные, случайные, совместные и несовместные, равновозможные. В следующем пункте вводится сразу классическое определение вероятности, после чего рассматривается решение вероятностных задач с помощью комбинаторики. Дальше как дополнительный пункт рассматривается геометрическая вероятность. Вводится понятие противоположных событий и их вероятность. Понятие относительной частоты и статистическое определение вероятности вводится уже в конце главы. И завершается дополнительным пунктом - тактика игр.
3 глава «Случайные величины» (9 класс).
Вводятся понятия случайной величины – дискретной и непрерывной. Рассматриваются таблицы распределения значений случайной величины и его графическое представление (полигоны). Далее рассматриваются такие понятия как генеральная совокупность и выборка, мода, медиана, размах. А завершается глава дополнительными параграфами, в которых рассматриваются отклонение от среднего, дисперсия, среднее квадратичное отклонение и правило трех сигм
На мой взгляд, изложение некоторых вопросов в этом учебном пособии не совсем удачно. Во-первых, классическое определение вероятности вводится до того как рассматривается понятие частоты и статистическое определение вероятности, что, по моему мнению, как я уже отмечала не совсем логично. Во-вторых, в главе о случайных величинах с простейшими статистическими характеристиками знакомят уже в последнюю очередь, а ведь именно их учащийся может использовать при анализе статистической информации. В-третьих, в учебнике вообще мало внимания уделено работе со статистическими данными.
В конце учебника содержатся краткие методические рекомендации для учителя. Также методические рекомендации к первой главе данного учебного пособия можно найти в статье Ткачевой [38].
На данный момент одним из действующих учебников в школе является учебник Мордковича, к нему также имеются дополнительные главы для 7-9 классов:
Мордкович А.Г., Семенов П.В.
[23]
«События, вероятности, статистическая обработка данных».
Первые два параграфа посвящены комбинаторике. Начинается с рассмотрения простых комбинаторных задач, рассматривается таблица возможных вариантов, которая показывает принцип правила умножения. Затем рассматриваются деревья возможных вариантов и перестановки. После теоретического материала идут упражнения по каждому из подпунктов.
Следующий параграф – выбор нескольких элементов, в котором рассматриваются сочетания. Сначала выводится формула для 2-ух элементов, затем для трех, а потом общая для п
элементов.
Третий параграф – случайные события и их вероятность. Вводится классическое определение вероятности.
Четвертый параграф посвящен статистике. Рассматривается группировка информации в виде таблиц. В этом разделе вводится много новых терминов, и авторы, оформили их в виде таблицы, где кроме определений идет еще и описание этих терминов. Дальше рассматривается таблица распределения и ее графическое представление (многоугольник распределений), нормальное распределение. Числовые характеристики выборки (среднее арифметическое, мода, медиана). Следующий пункт – экспериментальные данные и вероятности событий, в котором говорится о связи между вероятностью и экспериментальными статистическими данными, после чего вводится определение статистической вероятности.
И завершает учебник параграф, содержащий материал по следующим вопросам: схема Бернулли (при рассмотрении двух возможных исходов)., вычисление вероятности с помощью функции φ, закон больших чисел.
В этом учебном пособии очень мало внимания уделено теории вероятностей. Этот учебник напоминает учебник Ткачевой. В нем также первым делом вводится классическое определение вероятности, и уже намного позднее вводится статистическое определение, связанное с экспериментальными статистическими данными. Статистические характеристики вводятся для выборки, и после рассмотрения вопроса о распределении значений случайной величины. По комбинаторике материал изложен более удачно. замечания по данному учебному пособию содержатся в статье Студенецкой и Фадеевой [32].
Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. и др.
[39]
«Теория вероятностей и статистика».
Это пособие для учащихся 7-9 классов, в котором исследуемая линия реализуется в следующем порядке. Первые две главы посвящены таблицам и диаграммам. Рассматриваются статистические данные в таблицах, идет обучение работе с таблицами (поиск информации, вычисления в таблицах, занесение результатов подсчетов и измерений в таблицы). Рассматриваются столбиковая, круговая и диаграмма рассеивания.
В третьей главе кроме основных статистических характеристик вводятся также понятия: отклонения и дисперсии.
Четвертая глава – случайная изменчивость, содержит ряд примеров изменчивых величин (температура воздуха каждый день, рост или вес человека и т.п.). А затем в 5 главе переходим к изучению случайных событий и их вероятностей. Вероятность случайного события определяется здесь, как числовая мера его правдоподобия. После определения вероятности рассматривается частота и эксперименты с монетой и игральной костью. Дальше вероятностная линия продолжается, и рассматриваются элементарные события, их равновозможность, противоположные события, диаграммы Эйлера, объединения и пересечения событий, сложение и умножение вероятностей.
После этого идет блок комбинаторики, где рассматривается правило умножения, перестановки, сочетания, формулы числа перестановок и сочетаний, а затем с их помощью решаются задачи на вычисление вероятностей. В отдельных главах рассматриваются геометрические вероятности и испытания Бернулли (о двух возможных исходах).
Следующие несколько глав посвящены случайным величинам: примеры случайных величин, распределение вероятностей случайных величин, их числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсия), случайные величины в статистике. Дается определение частоты, и теорема, утверждающая, что частота приближенно равна вероятности при большом числе опытов.
Приложение включает в себя вопросы: формула Бинома-Ньютона, треугольник Паскаля, также имеется несколько самостоятельных и контрольных работ, по предложенному материалу.
Плюсом данного пособия является то, что оно одно из немногих содержит пункты, в которых рассматриваются таблицы и диаграммы. Этот пункт необходим, так как именно таблицы и диаграммы учат учащихся представлению и первоначальному анализу данных.
Не мало внимания уделено случайным величинам и вероятностям, но, я считаю, что некоторые пункты можно рассматривать как дополнительные. А понятия дисперсии и математическое ожидание лучше перенести для изучения в старшие классы. Комбинаторные формулы в данном пособии рассматриваются, как средство для подсчета вероятности и даются после определения вероятности. Но основной целью изучения комбинаторики является развитие мышления, и ее нельзя рассматривать только как средство для подсчета вероятности.
Бунимович Е.А., Булычев В.А.
[3]
«Вероятность и статистика. 5-9 классы».
Начинается учебник с рассмотрения случайных событий и сравнения их вероятности (что вероятнее). Затем, опираясь на эксперимент, вводим понятие частоты (тут же рассматриваются таблицы частот и гистограммы). После чего идет пункт с названием «Куда стремятся частоты?», где вводим статистическое определение вероятности, а затем и классическое.
В пункте «вероятность и комбинаторика», рассматриваются правило умножения, правило вычитания и сочетания и их число. Все эти формулы используются для вычисления вероятности. А в пункте «точка тоже бывает случайной» речь идет о геометрическом определении вероятности.
В последнем пункте «сколько изюма в булке и сколько рыб в пруду?» рассматривается вопрос статистического оценивания и прогнозирования.
Я считаю, что в данном пособии удачным является введение понятия вероятности. Последовательность изложения вопросов по данной линии вполне логична.
Последний пункт имеет практическое значение, так как показывает практическую пользу из подсчета вероятности. Содержит ряд интересных задач, непосредственно связанных с реальной жизнью.
§2 О подготовке учителей к обучению школьников стохастике.
Анализ учебно-методической литературы по теме исследования показывает, что введение вероятностно-статистического материала в базовый школьный курс математики породило немало проблем. К его появлению в школьном курсе оказались не готовы буквально все – от учителей до авторов школьных учебников.
Обладая одной из наиболее известных и признанных во всем мире академических школ теории вероятностей, мы до сих пор не имеем ни общей концепции преподавания этого раздела математики в школе, ни достаточного количества учебных пособий для школьников, содержащих соответствующий материал.
Остро встают проблемы методической готовности учителей к успешной реализации этой линии. Школьников нельзя ориентировать на вузовские варианты построения курса теории вероятностей. Вузовский материал должен быть переосмыслен и перенесен в школу. Учитель обязан владеть специфической методикой, направленной на развитие особого типа мышления и формирование особых, недетерминированных представлений у учащихся.
Курс теории вероятностей и математической статистики традиционно присутствовал в программах всех математических факультетов университетов и педагогических вузов, входил в обязательном порядке в подготовку инженеров, экономистов и т.д.
Если в высшей школе основной акцент делается на изучение математического аппарата для исследования вероятностных моделей, то в школе учащихся
, прежде всего, необходимо ознакомить с процессом построения модели, учить их анализировать, проверять адекватность построенной модели реальным ситуациям, развивать вероятностную интуицию
. [11]
Вопрос о подготовке учителей рассмотрен в статье Селютина В.Д. [30]
Одно из главных отличий школьного изучения стохастики состоит в тесной связи отвлеченных понятий и структур с окружающим миром. Поэтому математическая деятельность школьников не должна ограничиваться изучением только готовых вероятностных моделей. Напротив, процессы построения и истолкования моделей рассматриваются как ведущие формы ученической деятельности. Учитель призван правильно направлять такую деятельность, а для этого он сам должен владеть методами формализации и интерпретации. Выполнение учащимися заданий, связанных с принятием решений в реальных (в нематематических) ситуациях, играет здесь очень важную роль и требует умелого управления со стороны учителя.
Преподаватель должен владеть особой методологией с использованием специфических стохастических умозаключений. Владение искусством стохастических рассуждений – непременное условие успешной деятельности учителя математики. Нужен взгляд на стохастику не только как на систему понятий, фактов и утверждений, а как на специфическую методологию, охватывающую вероятностные и статистические умозаключения в их взаимосвязи. Анализ тех ситуаций, где для решаемой проблемы не оказывается однозначного или определенного ответа, не должен вызывать растерянности учителя. Нужно быть гибко мыслящим человеком, лишенным догматической веры в абсолютную истинность чужих выводов.
Особенность стохастических умозаключений проявляются, прежде всего, в ходе интерпретаций результатов решения математической задачи, возникшей на базе статистической информации. По этой причине во многих случаях одну и ту же статистическую информацию разные люди могут трактовать по-разному. Примером может служить следующая ситуация:
Владелец одного частного предприятия уволил большую часть рабочих, а оставшимся снизил зарплату на 20% (табл. №1). После этого он заявил, что средний заработок рабочих на его предприятии повысился. Так ли это?
Таблица №1.
| Заработок до увольнения | Заработок после увольнения | |||
| 1000 р. | 400 р. | 800 р. | 320 р. | |
| Число рабочих | 200 | 800 | 200 | 120 |
Если вычислить средние характеристики: моду, медиану и среднее арифметическое, то получим, что их значения после увольнения части рабочих будут больше, чем до увольнения. Но в данном случае, если внимательно посмотреть на таблицу, то можно заметить, что жизнь рабочих не улучшилась, а только ухудшилась, не говоря уже о тех, кто вообще потерял работу. Видимость повышения зарплаты создается из-за увольнения значительной части низкооплачиваемых рабочих. Здесь итоги решения математической задачи противоречат здравому смыслу. Математическая модель, как видно из данного примера, не всегда адекватна практической ситуации.
Выступая в качестве дирижера и помощника учащихся, учитель призван прививать им критическое отношение к статистическим выводам и обобщениям, умение правильно истолковать статистическую информацию, самостоятельно разоблачать различного рода фальсификации, кажущиеся на первый взгляд «правдоподобной» информацией.
Учитель должен глубоко понимать причины появления опасности принятия неправильных решений в ходе анализа явлений, происходящих под воздействием случая. Обманчивое впечатление, например, может возникать из-за неполноты статистической информации. Например, рассматривая сведения о числе женщин, занятых в промышленности и в системе образования, можно прийти к выводу, что женский труд преобладает в промышленности:
| Где работают | В промышленности | В образовании |
| Число женщин | 129 483 | 41 769 |
Однако мнение меняется, после того, как дополнительно становится известным, что в образовании работает 57 218 человек, а в промышленности – 264 251 человек. В результате получается, что число женщин составляет примерно 73% от всех работников образования, и только примерно 49% от всех работников занятых в промышленности.
К неправильным или противоречивым выводам может привести также неадекватный выбор критериев, по которым интерпретируются статистические данные. Здесь примером может служить следующая ситуация: каждая из двух фирм по изготовлению обуви послала в некоторую африканскую страну своего агента для выяснения возможности продажи своей продукции. Агент первой фирмы телеграфировал: «прекрасный рынок для обуви – здесь 90% жителей не носят ботинок». Агент второй фирмы сообщил: «Для обуви здесь нет рынка – 90% жителей не носят ботинок».
Специфика стохастической линии требует от учителя умений так организовать математическую деятельность школьников, чтобы изучение понятий и методов происходило в форме открытия новых инструментов познания окружающего мира. При обучении стохастике создается благоприятная почва для эвристической деятельности учащихся. У педагогов появляется возможность использования новых, непривычных для уроков математики, подходов к обучению. Учитель, определяя уровень усвоения учениками тех или иных стохастических умений, может столкнуться со следующей трудностью: при решении задач учащемуся чаще приходится опираться на свой здравый смысл, а не действовать строго по алгоритму, поэтому ответы разных учащихся на один и тот же вопрос могут звучать по-разному. В данном случае задачей учителя является оценка «права на ошибку» учащегося, поскольку сама такая оценка носит вероятностный характер.
Следует учитывать, что дети с опережающими темпами общего развития раньше начинают самостоятельно осуществлять деятельность, связанную с проведением статистических экспериментов и исследований, организуют других ребят, раньше переходят от использования эмпирических характеристик к построению вероятностных моделей. Поэтому особое значение имеет разграничение уровня умений и навыков самостоятельного получения выводов об изучаемых явлениях.
Приступая к обучению школьников стохастике, учитель должен себе ясно представлять, чем обусловлена необходимость введения в школу новой содержательно-методической линии. Осознание учителем целей обучения стохастике в школе, видение их соотношений с общими целями обучения математике и места стохастики в ряду других тем, знание итоговых требований к стохастической подготовке учащихся составляют важнейший общезначимый компонент методической готовности учителя математики к реализации новой линии.
§3 Некоторые выводы содержательно-методического характера по реализации стохастической линии в основной школе.
На основе всего рассмотренного и изученного материал по предложенной теме, можно сделать некоторые выводы и дать рекомендации по реализации стохастической линии в школе.
Анализ учебной литературы по исследуемой теме показал, что разные авторы подошли к реализации нового содержания в учебниках по-разному. Я считаю, что более преемственен для школы учебник под редакцией Дорофеева [18,19,20,21,22], который, на мой взгляд, имеет ряд преимуществ.
Во-первых, материал включен непосредственно в сам учебник, и работа по всем направлениям ведется параллельно, каждая линия проходит через все классы. Материал, предложенный в учебном пособии, рассчитан на 5-9 классы. Это в свою очередь позволяет уже в 5-6 классах начать формировать вероятностные представления, что, по мнению психологов, считается удачным.
С самого начала ведется работа по анализу данных (сбор, представление и анализ информации). Работа с таблицами и диаграммами.
Авторами учебника в качестве упражнений предлагается провести ряд экспериментов, что необычно для уроков математики, и призвано вызвать у учащихся неподдельный интерес. И затем, опираясь на результаты проведенных опытов, учитель вводит понятие частоты, после чего вводит частотное определение вероятности.
В большинстве учебников комбинаторные формулы рассматривается лишь как средство для подсчета вероятности, это сказывается на содержании этого материала в учебниках, и места его изучения. Но комбинаторика ставит и другие цели: в первую очередь – это развитие мышления, и использование комбинаторных знаний для решения задач прикладного характера.
Реализация любой темы в школьном курсе сталкивается с рядом проблем. Одной из них является проблема содержания материала, что именно и в каких количествах изучать в школе. Так как школьный курс строго ограничен временными рамками, то приходится выбирать необходимый минимум, но чтоб он был достаточным, для достижения поставленных целей обучения по данной линии и математике вообще.
Опираясь на государственные стандарты образования, анализ учебной и методической литературы можно выделить следующие моменты о содержании и последовательности изложения материала по данной линии.
Во-первых, необходимо изучать этот материал на протяжении всего курса средней школы. Весь курс условно можно разбить на несколько этапов (5-6 классы (подготовительный); 7-8 классы; 9 класс), причем на каждом этапе формируются одни и те же виды деятельности, но на разных уровнях и различными средствами. На каждом этапе материал усложняется, дополняется, отрабатываются ранее усвоенные и формируются новые умения и навыки.
Важным элементом стохастической линии является работа с данными: сбор данных, обработка, представление, анализ, практические выводы. Всем этим занимается наука, которая называется статистика.
На первом (подготовительном) этапе обучения - это работа с таблицами и диаграммами. Необходимо обучать учащихся не только работе с уже готовыми данными, но и самостоятельно собирать информацию и представлять ее в различных формах. Ежедневно нам необходима разнообразная информация, которая может быть представлена в различной форме, и одним из самых распространенных способов представления информации являются таблицы. Учащиеся в своей жизни часто сталкиваются с различного рода таблицами – это расписание уроков, страница классного журнала, программа телепередач, турнирные таблицы и т.п.
Учащиеся должны уметь анализировать данные, используя таблицы и диаграммы. Это позволяет в дальнейшем при изучении статистики не останавливаться на обучении учащихся работе с табличными данными и позволяет сконцентрировать внимание именно на обучении учащихся делать статистические и практические выводы.
Можно показать практическую значимость таблиц, построенных по результатам опроса общественного мнения (в классной жизни такие таблицы могут быть использованы, например, для организации досуга).
Для представления различных данных также очень удобно использовать диаграммы. Диаграмма является очень наглядным способом представления информации и различных данных и позволяет легче анализировать полученные результаты.
Одним из направлений стохастической линии является теория вероятностей, где одной из важных задач на первом этапе является формирование понятия - вероятность случайного события
.
Сначала необходимо познакомить учащихся с понятием случайное событие, сформировать у них представление о том, какое событие называется достоверным, какое невозможным и какие события называются равновероятными. Все эти понятия нужно вводить, опираясь на понятные примеры, и просить детей самих приводить такие примеры. Учитель должен все время фиксировать внимание учащихся на случайных явлениях в быту, в природе и технике.
Необходимо развить у учащихся понимание степени случайности различных явлений и событий. При этом учитель сам должен качественно оценивать ответ, так как часто ответ является субъективным.
Перед введением самого понятия - вероятность случайного события полезно провести эксперименты со случайными исходами. После проведения экспериментов можно познакомить учащихся с результатами экспериментов, которые неоднократно проводились на протяжении нескольких столетий и сравнить cрезультатами, полученными учащимися. Сравнивая их, учащиеся с удивлением замечают, что результаты очень похожи. Проведение экспериментов должно возбудить у учащихся неподдельный интерес. Эксперимент является эмпирическим методом обучения, используемый в частности, в экспериментальных естественных науках, а математика не является экспериментальной. Поэтому этот метод в математике применяется редко, так как опыт не является достаточным основанием истинности того или иного предложения. Но опыт, эксперимент дает учащимся возможность извлечь из них очевидные закономерности, сделать какие то открытия, а теория вероятностей опирается именно на результаты многочисленных экспериментов.
В ходе экспериментов, вводится понятие частоты (отношение количества благоприятных исходов испытаний к количеству всех проведенных испытаний) и вероятности данного события. При проведении опытов учащиеся могут убедиться в действии следующего закона: с увеличением числа подбрасываний значения статистической частоты, выбранного для наблюдения исхода, устойчиво сосредотачивается возле некоторого числа р
, которое и называют вероятностью
наблюдаемого исхода или события.
То есть частота появления некоторого случайного события, при проведении эксперимента, позволяет вычислить статистическую
вероятность этого события, на практике статистические испытания и наблюдения являются основным способом оценки вероятностей события. Но нужно отметить, что говорить о статистической вероятности мы можем лишь при проведении достаточно большого числа экспериментов. Поэтому всегда возникает вопрос о точности такой оценки вероятности, поскольку не всегда возможно проведение достаточно большого числа экспериментов. Оценку вероятности того или иного случайного события можно сделать, основываясь на результатах ранее проведенных экспериментов.
Параллельно с вероятностной линией должна изучаться и комбинаторика
. Оптимальный вариант, если работа по формированию комбинаторного мышления начнется уже с начальных классов.
Начинать обучение комбинаторике целесообразно с решения простых комбинаторных задач методом непосредственного перебора. Операция перебора раскрывает идею комбинирования, служит основой для формирования комбинаторных понятий и хорошей подготовкой к выводу комбинаторных формул и закономерностей.
Основными комбинаторными понятиями являются сочетания, перестановки и размещения. Но на первом этапе сами термины можно не вводить, главное, чтоб учащийся осознавал, наборы какого типа требуется составить в данной задаче (важен ли порядок и возможны ли повторения).
После того как учащиеся научаться составлять наборы из элементов заданного множества по заданному свойству, на первый план выходит задача по подсчету количества возможных наборов. Такие комбинаторные задачи решаются с помощью рассуждений, раскрывая принцип умножения. Хорошей наглядной иллюстрацией правила умножения является дерево возможных вариантов. Очень важно показать его применение при решении комбинаторных задач.
Первое знакомство со статистикой происходит при изучении основных статистических характеристик, их нахождение и использование для анализа и практических выводов. При изучении основных статистических характеристик важно понимать их практическую значимость, нужно уметь использовать их для анализа имеющейся информации и делать правильные выводы на их основе.
В продолжении вероятностной линии следующим шагом идет введение классического определения вероятности. Необходимо, чтобы учащиеся понимали разницу между статистическим и классическим определениями вероятности. Чтобы они осознавали, что это не еще одно определение вероятности, а один из способов вычисления вероятности.
Таким образом, сопоставляя определение классической вероятности и относительной частоты (статистическая вероятность), заключаем: определение классической вероятности не требует, чтобы испытания производились в действительности; определение же статистической вероятности предполагает, что испытания были произведены фактически. Другими словами, классическую вероятность вычисляют до опыта, относительную частоту – после опыта.
После введения классического определения вероятности можно рассмотреть геометрическую вероятность. Геометрическая вероятность напоминает классическую, но при геометрическом подходе количество всех возможных и благоприятных исходов бесконечно. В этом случае рассматривается не количество возможных и благоприятных исходов, а отношение площади области, благоприятствующей появлению рассматриваемого случайного события, к площади всей области. То есть геометрическое определение вероятности является обобщением классического определения на случай, когда число равновозможных исходов бесконечно.
На последующих этапах переходим к изучению непосредственно статистики, используя ранее полученные знания.
Появляется много новых терминов, и учителю можно посоветовать следующее: во-первых, можно сделать таблицу аналогичную таблице приведенной в учебнике Мордковича, Семенова [23], во-вторых, очень полезно было бы завести всем учащимся словарики, куда бы они заносили новые понятия, по мере потребности, могли бы туда заглядывать.
Статистические исследования являются завершающим фрагментом вероятностно-статистической линии курса. Здесь рассматриваются доступные учащимся примеры комплексных статистических исследований, в ходе которых используются полученные ранее знания. Также вводятся некоторые новые понятия. Изучение этого материала направлено на формирование умения понимать и интерпретировать статистические результаты.
Глава 2.
Методика изучения стохастики в основной школе.
В данной главе на основе выводов, полученных в 1 главе, предлагается методика по реализации стохастической линии в основной школе.
В предложенной методике работа ведется параллельно по всем направлениям. Для каждого класса ставятся свои цели и задачи, для реализации которых необходим правильно подобранный набор задач.
§1. Методика реализации стохастической линии в 5 классе.
Основными задачами
на этом этапе являются:
·Выработка умений и навыков работать с таблицей, извлекать из таблиц информацию и анализировать ее.
·Выработка умений заполнять в таблице пустые графы (строки, столбцы).
·Формирование умений читать диаграммы, извлекать необходимую информацию.
·Формирование умений и навыков в составлении, выборе и упорядочении комбинаторных наборов.
·Формирование умений подсчета комбинаторных объектов, методом непосредственного перебора.
· Показать, что такое дерево возможных вариантов, его использование как один из методов решения КЗ.
·Формирование представления о том, какое событие является достоверным, какое невозможным, и какое событие мы можем назвать случайным.
·Формирование у учащихся понимания степени случайности в различных событиях и явлениях и использование для ее оценки адекватных вероятностных терминов («достоверно», «маловероятно» и т.д.).
Формирование комбинаторных навыков, как уже говорилось в 1 главе, нужно начинать как можно раньше. Желательно вести пропедевтическую работу уже в начальных классах.
А в 5 классе предлагаются простейшие комбинаторные задачи, решая которые должна вестись либо работа по перебору возможных вариантов, либо по упорядочиванию, либо их объединение - перебор и упорядочивание вместе. В нашей жизни часто возникают такие задачи, которые имеют несколько различных решений, и перед нами встает проблема рассмотреть все возможные варианты решения. Для этого нам нужно найти удобный способ перебора, при котором будут рассмотрены всевозможные варианты, и они не повторялись бы.
На первом месте перед учителем стоит задача по формированию навыков систематического перебора
. Начинать нужно с простых задач, где не так много элементов, важна сама суть перебора всех вариантов.
Три друга, Антон, Борис и Виктор, приобрели два билета на футбольный матч. Сколько существует различных вариантов похода на футбол?
Здесь необходимо перебрать всевозможные пары мальчиков.
После этого можно добавить условие, при котором, решая задачу, учитываем еще и место, на котором будет сидеть тот или иной мальчик, то есть учитывается порядок элементов в наборе.
Три друга, Антон, Борис и Виктор, приобрели два билета на футбольный матч на 1-е и 2-е места первого ряда стадиона. Сколько существует способов занять эти два места на стадионе? Записать все эти варианты.
Здесь мы можем использовать результаты предыдущей задачи. В ней мы не учитывали порядок, а теперь необходимо учитывать порядок, на каком месте будет сидеть тот или иной мальчик. Рассмотрим тот вариант, когда на матч пошли Антон и Борис, в этом случае возможно два варианта занять места на матче: 1-ое место – Антон, 2-ое место - Борис и наоборот 1-ое место Борис, а 2-ое Антон. То есть упорядочить два элемента мы можем двумя способами. Таким образом, решение предыдущей задачи дало нам два решения для этой задачи. Аналогично на каждый вариант предыдущей задачи мы получаем еще один вариант решения, итого 6 вариантов.
Антону, Борису и Виктору повезло, они купили 3 билета на футбол на 1-е, 2-е и 3-е места первого ряда стадиона. Сколькими способами могут занять мальчики эти места?
В данной задаче, как и в предыдущей важно на каких местах сидят мальчики, то есть нам нужно рассмотреть, сколько существует вариантов рассадить трех мальчиков на три разных места. Пусть на первом месте сидит Антон, тогда на оставшиеся два места двух оставшихся мальчиков мы можем усадить двумя способами, аналогично для случаев, когда на первом месте сидит Борис и Виктор. В результате получим 6 вариантов, то есть упорядочить 3 элемента мы можем шестью способами.
В предыдущих задачах, не учитывая порядка перебора не сложно перечислить все возможные варианты, так как их не так много, но часто при переборе возможных вариантов их может быть столько, что сложно оценить все ли возможные решения мы учли и не пропустили ли хотя бы одно из них. В этом случае необходимо упорядочить процедуру перебора, то есть перебирать возможные варианты в некотором порядке, определенном заранее, который позволяет не допускать повторений решений и пропускать возможные решения.
Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1,2,3.
Выпишем возможные двузначные числа. Но мы не будем выписывать эти числа как попало, а договоримся выписывать их в порядке возрастания, что позволит нам не пропускать числа и не повторяться. В процессе решения этой задачи может возникнуть такой вопрос, а может ли одна и та же цифра повторяться в числе два раза? (если не возникнет, то учитель может сам обратить на это внимание). Так как в данной задаче это условие не оговорено, то решим ее для обоих случаев, и увидим, что в каждом из них число решений различно. Из чего делаем вывод, что данное условие при решении задач необходимо учитывать.
В алфавите племени УАУА имеются только две буквы – «а» и «у». Сколько различных слов по три буквы в каждом можно составить, используя алфавит этого племени?
В этой задаче одна и та же буква может встречаться в слове как один, так два или три раза. И нужно рассмотреть все варианты.
Заметим, что очень удобно процесс пе
Теперь, проходя по веточкам дерева, по порядку выписываем нужные нам сочетания букв - «слова»:
ааа; аау; ауа; ауу; уаа; уау; ууа; ууу.
Дерево помогает увидеть путь решения, учесть все варианты и избежать повторений. Нужно обратить внимание, что дерево возможных вариантов позволяет нам подсчитывать упорядоченные наборы
В 5«А» классе в среду 4 урока: математика, информатика, русский язык, английский язык. Сколько можно составить вариантов расписания на среду?
В данной задаче у нас имеется 4 предмета и необходимо выписать возможные варианты расписания на один день, учитывая те условия, что каждый урок должен обязательно присутствовать в расписании, и встречаться там всего один раз (для упрощения записи предлагается каждый предмет обозначит его заглавной буквой). Таким образом, нам необходимо подсчитать сколькими способами мы можем упорядочить 4 элемента. Пусть первым будет урок математики, тогда оставшиеся 3 предмета мы можем упорядочить 6-ью способами (из ранее рассмотренных задач). Аналогично для оставшихся трех предметов. Итого получим 24 способа упорядочить 4 предмета.
В 5 классе начинается работа по формированию вероятностных представлений у учащихся. Сначала рассмотрим понятие случайное событие.
Часто в жизни мы употребляем такие слова, как «возможно», «это невероятно», «это маловероятно» и т.д. Подобные выражения мы используем, когда говорим о событии, которое в одних условиях может произойти, а может и не произойти. Такие события называют случайными
.
События, которые при данных условиях обязательно происходит, называют достоверным.
События, которые при данных условиях не могут произойти, называют невозможными
.
Для отработки данных понятий можно рассмотреть упражнения, в которых нужно определить является событие достоверным, невозможным или случайным.
Оцените, какие из перечисленных событий являются достоверными, какие невозможными, а какие случайными и почему вы так считаете:
А)
при бросании кубика вы получите шестерку;
Б)
при бросании кубика вы получите число больше 6;
В)
при бросании кубика вы получите четное число;
Г)
при бросании кубика вы получите число, которое делится на 7
Д)
при бросании кубика вы получите число больше 1;
Е)
при бросании кубика вы получите нечетное число;
Ж)
кубик, упав, останется на ребре.
В мешке лежит 10 шаров: 3 синих, 3 белых и 4 красных. Какие из следующих событий являются случайными, достоверными и невозможными и почему вы так считаете:
А)
из мешка вынули 4 шара и все они синие;
Б)
из мешка вынули 4 шара и все они красные;
В)
из мешка вынули 4 шара, и все они оказались разного цвета;
Г)
из мешка вынули 4 шара, и среди них не оказалось шара черного цвета;
Ученик задумал натуральное число. Какие из следующих событий будут достоверными, невозможными и случайными и почему вы так считаете.
А)
Задумано четное число;
Б)
Задумано число, не являющееся ни четным, ни нечетным;
В)
Задумано нечетное число;
Г)
задумано число, являющееся четным или не четным.
События А
и В
являются случайными, так как может быть загадано как четное, так и нечетное число. Возникает вопрос, какое из событий более вероятно: задумано четное число или задумано нечетное число. Так как чисел четных и нечетных одинаковое количество, то оба эти события имеют равные шансы. Такие события называются равновероятными.
Также о некоторых случайных событиях мы можем сказать, что оно «маловероятно» или «очень вероятно».
Укажите, какие из следующих событий – невозможные, достоверные, случайные, а о каких мы можем сказать, что оно «маловероятно» или «очень вероятно»:
1)
футбольный матч «Спартак» - «Динамо» закончится вничью.
2)
вы выиграете, участвуя в беспроигрышной лотерее.
3)
в полночь выпадет снег, а через 24 часа будет светить солнце.
4)
завтра будет контрольная по математике.
5)
Вы получите «5» за контрольную работу по математике
6)
30 февраля будет дождь.
7)
вас изберут президентом США.
8)
вас изберут президентом России.
9)
круглая отличница получит двойку
10)на день рождения вам подарят живого крокодила
Если в предыдущих задачах ответы на вопросы однозначны, то здесь ответ зависит от ситуации, от того, когда и кому задан вопрос. Например, о достоверности события 4
мы можем говорить, в зависимости от дня, когда задан вопрос, если на следующий день действительно будет контрольная по математике, то это событие достоверно. При ответе на 5
вопрос учащийся, который учится на отлично и уверенный в своих силах и в этой контрольной, с уверенностью скажет, что это событие для него является достоверным. В то время как очень слабый учащийся, которому очень тяжело дается математика, в свою очередь может дать ответ, что для него событие является невозможным. Событие 9 является очень маловероятным, но, тем не менее, возможным, так как даже отличницы не застрахованы от двоек. Здесь важна роль учителя, который должен оценивать правильность тех или иных ответов, и обращать внимание, что на одни и те же вопросы разные учащиеся могут дать разные ответы, и каждый будет прав.
Важно уже в 5 классе давать учащимся задачи следующего плана:
Данила и Наташа заспорили, кто из них будет первым читать интересную книгу. Тогда Наташа предложила сыграть в игру и книгу отдать победителю. Они взяли вертушку, которая изображена на рис.1,
и установили следующие правила игры: каждый из них поочередно крутит вертушку; если стрелка останавливается в области 1, то 1 очко получает Наташа, а если – в области 2, то 1 очко получает Данила. Если стрелка попадает в область 3, то никто из ребят не получает очков. Кто первым наберет 20 очков, тот считается победителем и получает книгу. Как вы думаете, при таких правилах игра будет справедливой?
Учащиеся еще не знакомы с понятием вероятность и при ответе на вопрос должны опираться на свою интуицию. Они должны понимать, что у Наташи больше шансов выиграть, чем у Данилы, так как область 1 в два раза больше, чем область 2, и больше вероятности, что вертушка остановится в области 2.
Очень важным элементом стохастики является анализ данных и начальным этапом анализа данных является работа с таблицами и диаграммами, которую необходимо начинать в 5 классе.
Начинать рассмотрение таблиц нужно с рассмотрения уже известных учащимся таблиц, в частности: страница классного журнала, расписание уроков и т.п. С такими таблицами учащиеся чаще всего уже уметь работать и извлекать из нее всю необходимую им информацию.
Рассмотрим расписание уроков. Учащиеся уже наверняка умеют им пользоваться, извлекать из него необходимую информацию. Из расписания можно узнать, в каком кабинете будет проходить нужный урок, определить количество уроков в день. Рассмотрим такую ситуацию: Оля – учится в 5-А классе, а ее подружка из соседнего дома в 5-Б классе, нужно узнать, по каким дням они могут вместе возвращаться домой. Имея перед собой расписание, можно быстро определить такие дни.
Часто в таблице для анализа информации необходимо бывает просуммировать содержащиеся в ней данные. Поэтому часто в таблицу включен столбик или строка «Всего» или «Итого», которые содержат полученные суммы.
В таблице№1 представлены результаты наблюдений за погодой в течение четырех месяцев.
Таблица №1.
| Погода
|
Месяцы
|
Всего
|
|||
| Декабрь
|
Январь
|
Февраль
|
Март
|
||
| Ясно
|
5
|
9
|
7
|
10
|
|
| Пасмурно
|
19
|
10
|
15
|
10
|
|
Переменная
облачность
|
7
|
12
|
6
|
11
|
|
Заполните последний столбец.
Используя таблицу, ответьте на следующие вопросы:
1)
в каком месяце было больше всего ясных дней?
2)
В каких месяцах было одинаковое число пасмурных дней?
3)
Сколько всего пасмурных дней было за четыре месяца
4)
Сколько ясных дней было за всю зиму?
5)
Какая погода преобладала в феврале?
Здесь и работа со строками и со столбцами, и подсчет суммы нескольких ячеек.
Часто приходится пользоваться не только готовыми таблицами, но и составлять их самим. Рассмотрим следующий пример.
Старосте класса поручили выяснить, как добираются до школы ее одноклассники. Она опросила всех учащихся и представила данные в виде таблицы:
| Средство передвижения
|
Подсчет голосов
|
Число учащихся
|
Пешком
На автобусе
На велосипеде
|
/ / / / / / / / / / / /
/ / / / / / / /
/ / / / /
|
12
8
4
|
| Всего
|
24
|
Из таблицы видно, что староста опросила 24 ученика и половина из них добирается до школы пешком, а треть – на автобусе.
Рассмотрим пример, показывающий практическую ценность сбора и анализа статистических данных.
Вы решили в свободное время собраться классом и организовать некоторое классное мероприятие, но еще не решили, что именно. Было бы целесообразным учесть мнение большинства учащихся класса, а для этого нужно провести опрос: «Как бы вы хотели провести свободное время классом?» и предложить варианты ответов. Результаты нужно занести в таблицу.
Например, получили следующие результаты:
Таблица №2.
| Сходить в кино | / / / / / | 5 |
| Сходить в поход | / / / / / / / / / / | 10 |
| Устроить дискотеку | / / / / | 4 |
| Сходить в планетарий | / / | 2 |
Рассматривая эту таблицу, мы делаем вывод, что лучше всего будет сходить в поход, так как большинством учащихся класса был выбран именно этот вариант.
Таблица является одним из способов представления информации, но более наглядным является графическое представление данных. Это различные диаграммы: линейные, столбчатые и круговые.
Построим столбчатую диаграмму по нашей таблице:
По диаграмме мы сразу видим, что большинство учащихся хочет сходить в поход. И лишь два человека желают посетить планетарий.
Для представления соотношения между частями некоторого единого целого, удобно пользоваться круговыми диаграммами. Для нашего примера она будет выглядеть следующим образом:
В 5 классе учащиеся должны уметь читать диаграммы. Для отработки таких умений нужно рассматривать задания следующего типа.
Используя диаграмму №3, ответьте на вопросы:
1)
в каком месяце в селе родилось больше всего детей?
2)
В каком месяце родилось столько же детей, сколько в апреле?
3)
В какие месяцы родилось по два ребенка?
4)
Сколько детей родилось в марте?
5)
Сколько детей родилось за первую половину года?
6)
Сколько детей родилось за весь год?
§2. Методика реализации стохастической линии в 6 классе.
Основные задачи:
·Отработка умений и навыков в составлении и подсчете числа комбинаторных наборов.
·Показать учащимся как можно решать комбинаторные задачи с помощью рассуждений. Познакомить учащихся с правилом умножения при подсчете числа возможных вариантов, сформировать умения по его применению.
·Познакомить с правилом суммы
·Формирование умений строить дерево возможных вариантов.
· Формирование умений сравнения вероятностей разных событий (более вероятно, менее вероятно)
·Познакомить с понятиями статистической частоты и вероятности, с методом оценки вероятности через статистические испытания.
В 6 классе в теме комбинаторика продолжаем рассматривать комбинаторные задачи, на первый план выходят задачи по подсчету числа возможных вариантов.
Существует несколько подходов к преподаванию комбинаторики: теоретико-множественный, лексико-графический и теоретико-вероятностный. В школе преимущество отдается теоретико-множественному подходу, но будет полезным частично обратиться и к лексико-графическому подходу. При таком подходе все определения опираются на представление об алфавите, словах, длине слов и др.
Решая задачи, иногда очень удобно использовать кодирование, то есть обращение к лексико-графическому подходу.
Рассмотрим следующую задачу: несколько стран решили использовать для своего государственного флага символику в виде трех горизонтальных полос одинаковой ширины разных цветов – белого, синего, красного. Сколько стран могут использовать такую символику при условии, что у каждой страны – свой флаг.
Мы можем записывать наше решение следующим образом : «1 вариант: первая полоса – красная, вторая – синяя, третья – белая.» и т.д. Но это очень долго и не удобно, записывая так, сложно сориентироваться все ли варианты мы записали, и не повторились ли мы где-нибудь. Поэтому очень удобно ввести кодирование, т.е. некоторое условное обозначение перебираемых в задаче объектов. В нашем случае мы заменим первой буквой каждый цвет полосы. Белый соответственно – «Б», красный – «К» и синий – «С».
Введя кодирование, запись решения задачи очень упрощается. Мы имеем множество из трех элементов {Б, К, С}. Нужно составить различные комбинации из трех элементов, при этом порядок элементов учитывается. Например, запись «БКС» будет обозначать, что первая полоса флага – белая, вторая – красная, третья – синяя. Подобные задачи мы уже решали методом непосредственного перебора и построением дерева возможных вариантов.
При встрече 8 приятелей обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий?
Данную задачу можно решать методом непосредственного перебора, и уже в самом начале заметим, что довольно сложно перебирать все возможные варианты и не запутаться, не говоря уже о записи решения этой задачи. Но, введя определенные обозначения - кодирование, решение будет очень легко представить
Каждому приятелю даем номер от 1 до 8, а рукопожатия закодируем следующим образом: например число 24 означает что 2-ой приятель пожал руку 4-му. При чем число 35 и 53 означают одно и тоже рукопожатие, и брать будем меньшее из них. Коды рукопожатий мы можем оформить следующей таблицей:
12, 13, 14, 15, 16, 17, 18,
23, 24, 25, 26, 27, 28,
34, 35, 36, 37, 38,
45, 46, 47, 48,
56, 57, 58,
67, 68,
78.
Таким образом, у нас получилось 1+2+3+4+5+6+7=28 рукопожатий.
После того как учащиеся научились составлять всевозможные наборы, на первый план выдвигается задача подсчета числа возможных вариантов.
Группа туристов планирует осуществить поход по маршруту Антоново – Борисово – Власово – Грибово. Из Антоново в Борисово можно сплавиться по реке или дойти пешком. Из Борисово во Власово можно пройти пешком или доехать на велосипедах. Из Власово в Грибово можно доплыть по реке, доехать на велосипедах или пройти пешком. Сколько всего вариантов похода могут выбрать туристы? Сколько вариантов похода могут выбрать туристы при условии, что хотя бы на одном из участков маршрута они должны использовать велосипеды?
Построим для этой задачи дерево возможных вариантов:
Пусть у нас «П»-обозначает путь пешком
«Р» - сплавиться по реке
«В» - доехать на велосипедах.
Ответ на второй вопрос также хорошо просматривается по дереву возможных вариантов.
Но эту задачу можно решить по-другому, с помощью рассуждений. Из Антоново в Борисово у нас 2 варианта каким образом продолжать путь, из Борисово во Власово тоже 2 варианта, т.е. на каждый вариант первого участка пути у нас есть по 2 варианта второго участка пути и того на данном этапе у нас будет 2*2=4 варианта выбора способа передвижения. На каждый из этих 4 вариантов существует по 3 варианта способа передвижения по третьему участку пути из Власово в Грибово, т.е. 4*3=12. Ответ в этой задаче мы получили умножением.
Такой способ подсчета называется правилом умножения, он возможен, если дерево возможных вариантов является «правильным»: из каждого узла выходит одно и тоже число веток.
От турбазы к горному озеру ведут 4 тропы. Сколькими способами туристы могут отправиться в поход к озеру, если они не хотят спускаться по той же тропе, по которой поднимались?
Занумеруем тропы числами от 1 до 4 и построим дерево возможных вариантов:
Чтоб подняться у нас есть 4 тропы (4 варианта) и на каждый из них есть по 3 оставшихся тропы (3 варианта), чтоб спуститься, т.е. 4*3=12 маршрутов подхода к озеру. А теперь представим, что к озеру ведут не 4, а 10 троп. Сколько в этом случае существует маршрутов, если по-прежнему решено спускаться не по той тропе, по которой поднимались. Изобразить дерево возможных вариантов в такой ситуации очень сложно. Гораздо легче решить эту задачу с помощью рассуждений. Подняться к озеру можно по любой из 10 троп, а спускаться по любой из оставшихся 9 троп. Таким образом, всего получим 10*9=90 различных маршрутов похода.
Обе эти задачи мы решили, используя правило умножения,
которое звучит следующим образом: пусть необходимо выполнить к независимых действий, если первое действие мы можем выполнить п1
способами, после чего второе действие можем выполнить п2
способами и т.д. до k
-
го действия, которое можно выполнить п
k
способами, тогда выполнить все k
действия в указанном порядке можно п1∙
п2∙
…∙
п
k
способами. Обратить внимание, что, применяя правило умножения, мы учитываем порядок действий. То есть правило умножения применяется для подсчета упорядоченных наборов.
Рассмотрим две задачи:
1) Сколькими способами из класса, в котором учатся 30 школьников, можно выбрать капитана команды для математических соревнований и его заместителя?
На роль капитана может быть выбран любой из 30 учащихся, а его заместитель – любой из 29 оставшихся учеников. Таким образом, получаем 30∙
29 = 870 способов.
2) Сколькими способами из класса, в котором учатся 30 школьников, можно выбрать двоих для участия в математической олимпиаде?
Нам не важно, кто капитан, а кто заместитель, нам нужны всего лишь два участника, поэтому получаем, что у нас каждая пара учащихся в произведении повторяется два раза. Поэтому ответом для второй задачи будет (30∙
29):2.
Еще одним способом подсчета комбинаторных наборов является использование правила суммы.
Из класса нужно выделить одного дежурного, мальчика или девочку. Сколько существует способов для выбора дежурного, если в классе 22 девочки и 18 мальчиков?
Выбрать одну девочку из 22 мы можем 22-мя способами, а одного мальчика из 18 можно 18-тью способами. Тогда выбрать одного дежурного мальчика или девочку можно (18+22) способами.
Для подсчета вариантов мы использовали здесь правило суммы
, которое можно сформулировать так: если два действия взаимно исключают друг друга, причем одно из них можно выполнить п
способами, а другое – m
способами, то какое-либо одно из них можно выполнить n
+
m
способами. В нашем примере действия исключают друг друга, так как мы должны выбрать либо мальчика из одного множества, либо девочку из другого.
В 6 классе продолжаем вероятностную линию. Начинаем с повторения, что такое случайное событие, определение его достоверности (невозможное, достоверное, маловероятное). Новой задачей становится формирование умения оценивать вероятности двух и более событий (более или менее вероятно).
Полезно рассматривать задачи, в которых при ответе на вопросы необходимо опираться на свою интуицию. Можно рассматривать реальные жизненные ситуации, чтоб учащиеся видели непосредственную связь изучаемого с действительностью.
Вы купили в магазине телевизор, на который фирма-производитель дает два года гарантии. Какие из следующих событий невозможные, случайные, достоверные:
А)
телевизор не сломается в течении года.
Б)
телевизор не сломается в течении двух лет.
В)
в течение двух лет вам не придется платить за ремонт телевизора.
Г)
телевизор сломается на третий год.
Здесь нужно обратить внимание учащихся, что первые два события случайные, так как, во-первых, гарантия фирмы производителя вовсе не обозначает, что в течение двух лет телевизор будет работать идеально, а во-вторых, можно рассмотреть и тот случай, когда телевизор может сломаться по вине покупателя. Событие Г также является случайным, так как нельзя говорить, что телевизор обязательно сломается после того, как закончится срок гарантии.
Хотя оба первых события являются случайными, мы можем говорить о том, что одно из них более вероятно, а другое менее вероятно. Учащиеся должны осознавать большую или меньшую вероятность того или события.
Сравните между собой на основе жизненного опыта общения по телефону шансы следующих случайных событий и определите, какие их них наиболее вероятны.
А)
вам никто не позвонит с 5 до 6 утра.
Б)
вам кто-нибудь позвонит с 5 до 6 утра.
В)
вам кто-нибудь позвонит с 6 до 9 вечера.
Г)
вам никто не позвонит с 6 до 9 вечера.
Здесь нужно учесть индивидуальные особенности, в результате которых для разных людей возможны различные ответы на поставленные вопросы.
Так, поскольку ранним утром звонки вообще бывают очень редко, у события Б
шансов крайне мало, оно маловероятное, почти невозможное. Но вот у события А
очень много шансов, это практически достоверное событие.
Вечерние часы, наоборот, время самого активного телефонного общения, поэтому событие В
для большинства людей вероятней, чем событие Г
. Хотя, если человеку вообще звонят редко, событие Г
может оказаться вероятнее события В
.
Полезно рассмотреть задачи следующего плана:
1) Вини Пух, Пятачок и все-все-все садятся за круглый стол праздновать день рождения. При каком количестве «всех-всех-всех» событие «Вини и Пятачок будут сидеть рядом» является достоверным, а при каком случайным?
2) В школе учится
N
учеников. При каких
N
событие:«В школе есть ученики с совпадающими днями рождения» является случайным, а при каких – достоверным?
Здесь учащиеся сами должны придумать условие, при которых эти события являются случайными, а при которых достоверными.
В 6 классе учащимся предлагается качественно новая деятельность для урока математики – проведение экспериментов. Это могут быть эксперименты с подбрасыванием кубика, монеты или кнопки. Все результаты экспериментов необходимо оформлять в виде таблиц, которые заполняются по ходу эксперимента.
Для проведения экспериментов учащихся лучше разбить группы по 2-3 человека, один из которых будет фиксировать результаты эксперимента, а остальные проводить его.
Могут быть предложены следующие задания-эксперименты.
Задание №1. 100 раз подбросить монету и зафиксировать количество выпадений «орла» и «решки».
Задание №2. 100 раз подбросить кнопку и зафиксировать количество раз, когда кнопка упала острием вниз и количество раз, когда кнопка упала острием вверх.
Задание №3. Выберите какой-нибудь текст, содержащий 150 слов. Подсчитайте число слов, составленных из 6 букв.
Задание №4. Выберите 7 строк произвольного текста (можно несколько различных текстов). Подсчитайте сколько раз встречаются в тексте буквы о, е, а, ю.
Результатом должны быть таблицы примерно такого плана:
Таблица №1. «Эксперимент по подбрасыванию монеты».
| Событие | Количество выпадений | итого |
| Выпал «орел» | / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / | 58 |
| Выпала «решка» | / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / | 42 |
После проведения эксперимента, введем понятие частота и вероятность случайного события. В качестве примера рассмотрим таблицу №1. Для проведенного эксперимента подсчитаем, какую часть составляет выпадение «орла» от общего числа бросаний монеты, или, как говорят, подсчитаем частоту. Тоже самое подсчитаем для «решки». Для нашего случая это будет 0,58 для «орла» и 0,42 для «решки». Можно составить общую таблицу, в которой будут отражены общие результаты проведенного эксперимента. После этого можно обратиться к результатам проведенных ранее экспериментов. Французский естествоиспытатель Ж.Л.Л. Бюффон в 18 столетии 4040 раз подбрасывал монету – герб выпал 2048 раз. Математик К. Пирсон в начале 20 столетия подбрасывал ее 24 000 раз – герб выпал 12 012 раз. Американские экспериментаторы повторили опыт. При 10 000 подбрасываний герб выпал 4979 раз. Таким образом, опираясь на собственные результаты и полученные ранее можно заметить, что при подбрасывании монеты частота появления «орла» примерно равна 0,5. Следовательно, хотя каждый результат подбрасывания монеты – случайное событие, при многократном повторении эксперимента видна отчетливая закономерность: при увеличении количества экспериментов значение частоты сосредотачивается около некоторого числа р
. Это число р
и будет вероятностью данного события.
Для нашего примера число 0,5 – это вероятность случайного события
«выпадения «орла». Так как в этих экспериментах «решка» появляется также примерно в половине случаев, то и вероятность выпадения «решки» равна 0,5.
Вероятность события обозначается большой латинской буквой Р
. Если обозначить событие «выпадет «орел» буквой А
, а событие «выпадет «решка» буквой В
, наш результат можно записать так:
Р(А) = 0,5, Р(В) = 0,5.
Иногда вероятность выражают в процентах, тогда: Р(А)=50%, Р(В)=50%.
Тот факт, что вероятность появления «орла» равна 0,5, конечно, не означает, что в любой серии экспериментов «орел» появится ровно в половине случаев. Но если число экспериментов достаточно велико, мы можем дать прогноз, что «орел» выпадет примерно в половине случаев.
Таким образом, в каждом из экспериментов подсчитаем частоту рассматриваемых событий с помощью формулы:
Частота = (число появлений события)/(число экспериментов).
Затем, используя найденную частоту, оценим вероятность рассматриваемых событий.
Кроме экспериментов, рассматриваются задачи с уже известными данными о появлении некоторого события, и требуется вычислить вероятность этого события.
Известно, что на 100 батареек попадаются 3 бракованные. Какова вероятность купить бракованную батарейку.
В этой задаче необходимо вычислить вероятность события А: «купить бракованную батарейку», зная, что из ста случаев, это событие произошло 3 раза. Таким образом, получаем, что Р(А) = 0,03.
Составляя таблицы с результатами, проведенных экспериментов, учащиеся приобретают навыки работы со статистическими данными (представление статистических данных и некоторые выводы из них).
Кроме этого в 6 классе рассматриваются задачи непосредственно направленные на работу с таблицами (чтение и составление).
Некоторые таблицы бывают очень простые (с ними мы работали в 5 классе), но бывают таблицы и по сложнее. Например, турнирные таблицы, в которых записывается ход соревнования и его результаты.
Рассмотрим турнирную таблицу, в которой представлены итоги шахматного турнира с четырьмя участниками:
| №
|
Фамилия
|
1
|
2
|
3
|
4
|
Очки
|
Место
|
| 1
|
Виноградов О.
|
0
|
0
|
1
|
|||
| 2
|
Галкин М.
|
1
|
Ѕ
|
1
|
|||
| 3
|
Поликарпов С.
|
1
|
Ѕ
|
0
|
|||
| 4
|
Антипов Е.
|
0
|
0
|
1
|
За победу участник получает 1 очко, за проигрыш – 0, а за ничью -1/2.
По данной таблице могут быть заданы следующие вопросы:
1) сколько партий сыграл каждый участник
2) как сыграл Поликарпов с каждым из участников
3) заполнить последний столбец, сосчитав, сколько очков набрал каждый участник.
4) определить, используя данные в столбце «Очки», как распределились места между участниками.
§3. Методика реализации стохастической линии в 7 классе.
Основные задачи:
·Введение понятия перестановки и вывод формулы числа перестановок.
·Познакомить учащихся с основными статистическими характеристиками: среднее арифметическое, мода, размах.
·Умение находить основные статистические характеристики для конкретного ряда данных, а также из таблиц и диаграмм.
·Выработка умений находить основные статистические характеристики в несложных случаях, учащиеся должны понимать их практический смысл в конкретных ситуациях.
Ввести первые статистические характеристики можно, используя ряд чисел, составленный из оценок полученных за четверть. Для школьников очень актуален вопрос о том, какая оценка выйдет у них за четверть. Каждому учащемуся заранее можно выписать его оценки за четверть. Учитель выписывает на доске некоторый ряд оценок, и на его примере вводит понятия среднего арифметического и моды ряда чисел. Дети для закрепления этих понятий, находят эти статистические характеристики каждый для своего ряда.
Также нужно обратить внимание, что моду может иметь не только числовой ряд. Приведем пример: допустим, в вашем классе провели опрос – каждому учащемуся задали вопрос: «какой ваш любимый предмет?» или «кто ваш любимый учитель?». Полученные ответы будут составлять ряд, модой которого будет наиболее часто встречающийся ответ на данный вопрос. Мода – это показатель, который широко используется в статистике. Одним из наиболее частых использований моды является изучение спроса. Например, при решении вопроса, в пачки какого веса фасовать масло, какие открывать новые автобусные маршруты и т.п. предварительно изучается спрос и выявляется мода – наиболее часто встречающийся заказ.
Однако нахождение среднего арифметического или моды ряда далеко не всегда позволяет делать надежные выводы на основе статистических данных.
Например, на планете Меркурий средняя температура +15˚. Исходя из этого статистического показателя, можно подумать, что на Меркурии умеренный климат, удобный для жизни людей. Однако на самом деле это не так. Температура на Меркурии колеблется от -150˚ до +350˚.
Значит, если у нас есть ряд данных, то для обоснованных выводов и надежных прогнозов на их основе помимо средних значений надо еще указать, насколько используемые данные различаются между собой. Одним из статистических показателей различия или разброса данных является размах. Размах
– это разность наибольшего и наименьшего значений ряда данных. Для температуры на Меркурии, например, размах равен 350˚-(-150˚)= 500˚. Конечно, такого перепада температур человек выдержать не может.
Помимо размаха, во многих случаях важны сами наибольшие или наименьшие значения данных. Например, если посылается спутник для исследования того же Меркурия, необходимо, чтобы приборы работали и при максимальных, и при минимальных возможных там температурах.
Сначала нужно рассмотреть задачи, где дан конкретный ряд данных и нужно определить его среднее арифметическое, моду и размах. А затем перейти к задачам, где необходимо понимать смысл этих характеристик.
Рассмотрим задачу, которая позволяет увидеть практическую значимость данных статистических характеристик.
Некий городской житель решил переехать в деревню. Сведения об урожайности картофеля (ц/га) в двух селах за последние годы таковы:
Село А: 180,50,60,100, 170,60, 150, 90, 120,70, 60,160, 90, 170,90,180, 160.
Село Б: 100, 110, 120, 100, 100, 110, 100, 120, 130, 130, 100, 130, 110.
Какому из этих мест он отдаст предпочтение?
Что же может послужить критерием принятия решения. Если посчитать среднее значение. То получим, что в селе А
средняя урожайность немного выше, чем в селе Б
. Но здесь нужно обратить внимание и на другой статистический показатель – размах ряда, т.к. мы можем заметить, что в селе А
урожайность, по сравнению со средним значением, колеблется. В селе А
разброс значений урожайности больше чем в селе Б
. В селе А размах равен 130, а в селе Б размах равен 30. Исходя из полученных данных, можно сделать вывод, что, видимо, лучше выбрать несколько меньшее значение средней урожайности, но при большей ее стабильности. Устойчивость урожая особенно важна для человека, еще не имеющего опыта приусадебного хозяйства.
В отделе мужской обуви универмага в течение дня производился учет размеров купленной обуви. Были получены следующие результаты: 44, 40, 43, 39, 42, 42, 45, 41, 43, 43, 41, 42, 46, 40, 41, 42, 39, 42, 45, 42, 43, 44, 44, 41, 42. Представьте эти результаты в виде таблицы:
| Размер
|
Количество купленной обуви
|
Итого
|
| 39
|
||
| 40
|
||
| 41
|
||
| …
|
Какой размер обуви наиболее распространен?
Исходя из вопроса, делаем вывод, что в данной задаче нам требуется найти моду ряда размеров, то есть узнать, какой размер пользуется большим спросом. Таблица позволяет быстро это сделать.
Бензоколонка работает круглосуточно без выходных. За январь выручка составила 71 796 000 р. Какова была в январе средняя выручка за сутки?
В данной задаче необходимо понимать, что требуется найти. Раз требуется найти среднюю выручку, то делаем вывод, что необходимо найти среднее арифметическое. Но до этого учащиеся имели дело непосредственно с рядом данных. В данной ситуации мы имеем, что сумма выручки за 31 день составила 71 796 000 рублей. Тогда мы можем посчитать среднее арифметическое (71 796 000 : 31) = 2 316 000, это и будет средняя выручка за сутки.
Среднее арифметическое ряда, состоящего из десяти чисел, равно 15. К этому ряду приписали число 37. Чему равно среднее арифметическое нового ряда чисел?
Так как среднее арифметическое ряда чисел равно 15, а число его членов равно 10, то сумма членов равна 15∙10, т.е. 150. После приписывания числа 37 сумма стала ровно 150+37, т.е. 187, а число членов ряда оказалось равным 11. значит, среднее арифметическое нового ряда равно 187 : 11, т.е. равно 17.
Учащиеся должны уметь вычислять статистические характеристики по данным, представленным в таблице.
При изучении качества продукции выпущенной цехом, определяли число бракованных деталей в каждом из 50 произвольным образом выбранных ящиков с одинаковым числом деталей. Результаты проверки записали в виде таблицы:
| Число бракованных деталей
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
| Число ящиков
|
8
|
22
|
13
|
5
|
2
|
Найдите среднее арифметическое, размах и моду ряда данных.
Сначала выпишем упорядоченный ряд данных о количестве бракованных деталей в ящиках. Из таблицы мы вычисляем, что наш ряд содержит 8 нулей, 22 единицы и т.д.
0 … 0 1… 1 2…2 3 … 3 4 4.
8 22 13 5
Таким образом, чтобы вычислить среднее арифметическое, необходимо, вычислить сумму всех его членов, а количество всех членов ряда известно из условия задачи (50 ящиков). Сумма всех членов будет равна 0*8+1*22+2*13+3*5+4*2=71, а количество всех членов будет 50, тогда среднее арифметическое будет 71:50 = 1,42, т.е. чаще встречаются ящики, в которых может быть одна бракованная деталь. Об этом же говорит нам и мода, которая равна 1.
Чтобы вычислить размах, необходимо знать наибольшее и наименьшее значение, т.е. какое наибольшее и наименьшее число бракованных деталей может попасться в ящике, из таблицы мы видим, что это 0 и 4. тогда размах равен 4.
Мода тоже очень легко вычисляется по таблице, так как сразу видно, что наибольшее число ящиков с одной бракованной деталью.
Не менее важным является и умение вычислять статистические характеристики по данным представленными в диаграмме.
На диаграмме представлены данные о числе болельщиков, посетивших футбольные матчи на стадионе «Динамо» за последний месяц. Найдите размах посещаемости и среднюю посещаемость матча, округлив ее до сотен.
По диаграмме мы можем сразу вычислить наибольшее и наименьшее значения и найти размах. Средняя посещаемость для данного случая это среднее арифметическое ряда этих данных.
К 7 классу учащиеся уже должны иметь навыки систематического перебора и быть знакомы с основными методами подсчета возможных вариантов. В 7 классе продолжаем решать задачи на подсчет возможных вариантов различными способами, а также вводим понятие перестановки.
Раньше учащиеся уже сталкивались с перестановками, когда подсчитывали сколькими способами можно упорядочить несколько (2,3 или 4) элементов, но само понятие перестановки еще не вводилось.
На данный момент мы уже знаем, количество перестановок для 2, 3 и 4-ех элементных множеств.
В турнире участвуют четыре человека. Сколькими способами могут быть распределены места между ними?
Решим эту задачу, используя правило умножения. Первое место может занять любой из четырех участников. При этом второе место может занять любой из трех оставшихся, третье – любой из двух оставшихся, а на четвертом месте остается последний участник. Значит, места между участниками могут быть распределены 4*3*2*1 = 24 способами.
Мы искали, сколько различных упорядоченных наборов мы можем составить, имея некоторое число элементов, каждый из таких упорядоченных наборов, есть перестановка. В рассмотренном примере мы фактически нашли число перестановок для четырех элементов.
А что если множество состоит не из четырех, а например, из десяти элементов? Тогда всего будет 10*9*8*7*6*5*4*3*2*1=3 628 880 перестановок. Т.е. произведение первых 10 натуральных чисел. Но для еще большего количества элементов уже будет сложно подсчитать число перестановок. В математике есть специальное обозначение для краткой записи произведения нескольких первых натуральных чисел. Произведение, например, первых десяти натуральных чисел обозначают 10! – и читается как «десять факториал». 0!=1 по определению.
Рассуждения, использованные в примере, показывают, что число перестановок для множества из 4 элементов равно 4!, точно также для множества, например, из 10 элементов число перестановок равно 10!, и вообще: число перестановок для множеств из п элементов равно п!.
Сколькими способами можно составить маршрут путешествия, проходящего через 7 городов.
У нас есть 7 городов и нужно составить маршрут по этим городам, то есть фактически, нам нужно рассмотреть все перестановки этих семи городов. Мы уже знаем формулу, поэтому получаем 7!.
Нужно дать несколько упражнений на вычисление выражений с факториалами, чтоб учащиеся лучше овладели навыками работы с ними. Верно ли, что:
а) 10!=10*9! б) 10!=2!*5! в) 12!/11!=12?
2) найдите значения выражения 16! : 14! * 3!
В некоторых задачах на подсчет числа перестановок накладываются дополнительные условия, и для решения задачи кроме подсчета числа перестановок необходимо произвести другие действия.
Сколько различных четырехзначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно составить из цифр 0, 2, 4, 6?
Число всех возможных перестановок цифр 0, 2, 4, 6 будет 4!, но нужно обратить внимание учащихся на 0 и из этого числа перестановок нужно исключить те числа, которые начинаются с 0. Это всевозможные перестановки цифр 2, 4, 6, их количество равно 3!. Таким образом, число искомых чисел будет равно 4!-3!.
Имеется 9 различных книг, четыре из которых – учебники. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке так, чтобы все учебники стояли рядом?
Сначала рассмотрим все учебники как одну книгу. Тогда на полке надо расставить не 9, а 6 книг. Это можно сделать 6! способами. В каждой из полученных комбинаций можно выполнить 4! перестановок учебников. Значит, искомое число способов расположения книг на полке равно произведению 6!*4!
В теории вероятностей вновь обращаемся к экспериментам. Можно использовать результаты экспериментов проведенных ранее, и провести новые опыты. Результаты проведенных экспериментов будут нагляднее, если по данным таблицы зависимость частоты появления результата «острие вниз» от количества экспериментов представить графически. Ось абсцисс – число экспериментов, ось ординат – частота появления результата «острие вниз».
Зная относительную вероятность события (частотную) можно прогнозировать частоту его появления в будущем.
Демографы утверждают, что вероятность рождения близнецов приблизительно равна 0,012. В скольких случаях из 10 000 рождений можно ожидать появления близнецов?
Мы знаем частоту события «родится близнец» и знаем количество всех исходов, тогда пользуясь формулой, можем вычислить количество таких исходов из 10 000. 10 000*0,012=120. То есть мы можем предположить, что из 10 000 рождений, в 120 случаях родятся близнецы. Хотя это вовсе не обязательно так.
За лето на Черноморском побережье было 67 солнечных дней. Какова частота солнечных дней на побережье за лето? Частота пасмурных дней?
Мы знаем, сколько раз происходили события «солнечный день» и «пасмурный день», чтобы вычислить их частоту необходимо знать количество всех летних дней. Но мы без проблем можем это сделать, так как точно знаем, сколько дней в июне, июле и августе вместе взятых, 92 дня.
В школьной лотерее распространили 400 билетов, из которых выигрышными являются 50.
а) Какова вероятность выигрыша при покупке одного билета?
б) Сколько следует приобрести билетов, чтобы вероятность того, что хотя бы один билет выигрышный, была бы равна 100%?
§4. Методика реализации стохастической линии в 8 классе.
Основные задачи:
· По статистическим данным, представленным в таблице необходимо уметь находить основные статистические характеристики.
· Познакомить с еще одной статистической характеристикой – медианой ряда, формирование умений по ее нахождению
· Рассмотрение равновероятных событий, и введение классического определения вероятности.
· Представление о геометрической вероятности
В 7 классе мы уже рассматривали примеры, в которых основные статистические характеристики находили по таблицам.
Рассмотрим таблицу №1, в которой содержатся оценки, полученные за последнюю контрольную работу учащимися 8 класса.
| № | Фамилия | Оценка | № | Фамилия | оценка |
| 1 | Алексеев | 4 | 8 | Коковин | 2 |
| 2 | Антонова | 5 | 9 | Леонтьев | 3 |
| 3 | Борисов | 3 | 10 | Петрова | 3 |
| 4 | Владимиров | 4 | 11 | Николаев | 3 |
| 5 | Григорьева | 2 | 12 | Сергеев | 5 |
| 6 | Иванова | 4 | 13 | Тарасова | 4 |
| 7 | Ильин | 4 | 14 | Яковлев | 5 |
По данной таблице вычисление статистических характеристик. Данная таблица позволяет нам найти некоторые статистические характеристики, но для их нахождения есть более удобный способ – составление таблицы частот.
То есть нужно подсчитать, сколько раз встречается каждая оценка в нашей таблице.
| Оценка | Частота | Оценка | Частота |
| «2» | 2 | «4» | 5 |
| «3» | 4 | «5» | 3 |
Таким образом, теперь будет легче вычислить статистические характеристики. Например, для того чтобы вычислить среднее арифметическое не нужно складывать все числа из столбца «оценка», а по полученной таблице частот нужно каждую оценку умножить на ее частоту и сложить все получившиеся произведения. Также сразу видно, что модой будет оценка «4», так как она встречается чаще остальных.
В 8 классе вводится новая статистическая характеристика – медиана. Введем это понятие на примере: в таблице №1 показан расход электроэнергии в январе жильцами девяти квартир.
Таблица №1.
| Номер квартиры | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
Расход электроэнергии в кВт/ч. |
85 | 64 | 78 | 93 | 72 | 91 | 72 | 75 | 82 |
Составим из полученных данных упорядоченный ряд:
64, 72, 75, 78, 82, 85, 91, 93.
В нем девять чисел. В середине ряда расположено число 78: слева от него записаны четыре числа и справа тоже четыре. Говорят, что число 78 является медианой
.
Пусть к данным о расходе электроэнергии добавились данные для десятой квартиры: 10 квартира – 83 кВт/ч.
Получим новый упорядоченный ряд данных:
64, 72, 75, 78, 82, 83, 85, 91, 93. Этот ряд состоит из четного числа цифр и имеет два числа расположенных в середине – 78 и 82, тогда медианой этого ряда будет среднее арифметическое этих двух чисел – (78+82):2 = 80
Таким образом, медианой ряда, состоящего из нечетного количества чисел, называется число данного ряда, которое окажется посередине, если его упорядочить. Медианой ряда, состоящего из четного количества чисел, называется среднее арифметическое двух стоящих посередине чисел этого ряда.
В таблице приведены расходы студента за 4 дня:
| День
|
Понедельник
|
Вторник
|
Среда
|
Четверг
|
| Расходы
|
18
|
25
|
24
|
25
|
Определить какая статистическая характеристика находится в каждом задании:
а) 18+25+24+25=92;
92:4=23;
___=23 р.
б) 18, 24, 25, 25;
(24+25):2 = 24,5;
___=24,50.
в) 18, 25, 24, 25;
___=25 р.
г) 25-18=7;
___=7 р.
Рассматриваем задачи, в которых требуется найти различные статистические данные (мода, размах, среднее арифметическое). В том числе и с использованием диаграмм.
Столбчатая диаграмма №1, показывает число книг, прочитанных каждым из ребят за летние каникулы. Ответьте на вопросы:
а) Кто из ребят прочел больше всех книг?
б) найдите размах этих данных.
в) Кто за летние каникулы не прочел ни одной книги?
г) Найдите среднее арифметическое этого ряда данных.
д) Найдите медиану этого ряда данных.
В предыдущих классах мы рассмотрели, как можно оценивать вероятность, исходя их статистических данных. Такая вероятность приближенно равна частоте наступления интересующего нас события при проведении большого числа одинаковых случайных экспериментов. Но частота дает лишь приближенное значение вероятности. И кроме того, не всегда реально осуществить такую серию экспериментов.
Существуют и другие способы вычисления вероятностей. Если все исходы случайного эксперимента равновероятны, тогда вероятности каждого такого исхода можно подсчитать, не проводя экспериментов. Примером является подбрасывание монеты. Этот эксперимент имеет два исхода – «орел» и «решка», и они равновероятны. Тогда можно сказать, что вероятность каждого из них равна Ѕ, почти такой же результат получен и при проведении экспериментов. Аналогично для «правильного» кубика, все шесть исходов равновозможны, тогда вероятность каждого из них равна 1/6.
Какова вероятность того, что при бросании правильного кубика выпадет четное число очков?
Мы знаем, что при бросании кубика возможны 6 равновероятных исходов. При этом только три из них приводят к наступлению события «выпадет четное число очков». Поэтому вероятность такого события равна 3/6 = 1/2.
Исходы наступления события, для которого вычисляем вероятность, будем называть благоприятными. И дадим такое определение вероятности:
Вероятностью Р
наступления случайного события А
называется отношение m
/
n
, где п
– число всех возможных исходов эксперимента, а m
– число всех благоприятных исходов: Р(А) =
т/п
.
Это классическое определение вероятности.
Из 25 экзаменационных билетов по геометрии ученик успел подготовить 11 первых и 8 последних билетов. Какова вероятность того, что на экзамене ему достанется билет, который он не подготовил?
Общее число равновозможных исходов при выборе билетов на экзамене равно 25. Пусть А
– событие «учащемуся достался билет, к которому он не готов». Число таких исходов равно 25-(11+8) = 6. значит Р(А) = 6/25 = 0,24.
Также рассмотрим задачи, в которых для подсчета числа благоприятных или всех исходов необходимо воспользоваться комбинаторными формулами.
На трехместную скамейку произвольным образом садятся двое мужчин и женщина. Какова вероятность того, что мужчины окажутся рядом?
Количество всех возможных исходов – это число перестановок трех элементов, а оно равно 3! = 6. Пусть А
- событие «мужчины оказались рядом», количество благоприятных исходов для этого события равно четырем (когда оба сидят с одного края – 2 варианта и аналогично для другого тоже два варианта). Таким образом Р(А) = 4/6 = 2/3.
Кроме статистического и классического определений вероятности существует еще геометрическая вероятность. Рассмотрим следующий пример. На квадратном столе выделен черный квадратик. Как определить вероятность того, что фишка попадет в черный квадратик, если ее бросить на стол наугад.
Эта вероятность равно отношению площади черного квадрата к площади поверхности стола. Если, например, площадь стола равна 0,6м
І
, а площадь черного квадрата – 0,04 м
І
, то Р = 0,04/0,6 = 1/15.
Стрелок, не целясь, стреляет в треугольную мишень (рис.1) и попадает.
Какова вероятность того, что он попадет в «тройку»? «двойку»? «единицу»?
Возьмем площадь одного треугольника за 1. они все равны между собой, поэтому площадь всего большого треугольника = 16. Вероятность того, что он попадет в «3» равна 1/16. вероятность попадания в «2», будет равна 6/16 (общая площадь треугольников с «2» будет равна 6), и вероятность попадания в «1» равна 9/16.
§5 Методика реализации стохастической линии в 9 классе.
Основные задачи:
· На основе всех ранее полученных знаний показать их применение для статистического исследования
· Познакомить с такими понятиями как генеральная совокупность, репрезентативная выборка, выборочное обследование. Интервальный ряд.
· Познакомить с новым видом графического представления результатов статистического исследования – полигонами и гистограммами.
В 9 классе рассматриваются статистические исследования, на примерах, близких жизненному опыту учащихся. Это – «Исследование качества знаний школьников», «Удобно ли расположена школа?» и «Куда пойти работать?».
Рассмотрим исследование качества знаний школьников, на примере изучения математической подготовки школьников. Предположим, что в одном из регионов решили выяснить уровень знаний девятиклассников по математике и составили контрольную работу из 6 заданий. Довольно сложно организовать во всех школах региона одновременное проведение, проверку и обработку полученных результатов. Но, как утверждает статистика, для получения вполне достоверной информации достаточно провести выборочное обследование
, т.е. проверить лишь часть школьников.
Все девятиклассники региона будут представлять собой генеральную совокупность,
о которой будем судить по репрезентативной (представительной) выборке.
Обычно ограничиваются обследованием 5-10% всей изучаемой совокупности, при этом осуществляется случайный отбор, обеспечивая одинаковую вероятность попадания в выборку любого объекта генеральной совокупности.
Рассмотрим возможные результаты такого выборочного обследования по некоторому городу региона. Пусть в городе проживают 710 девятиклассников, из которых случайным образом было выбрано 50. против каждой фамилии выставили число верно решенных задач и получили следующий ряд:
4; 2; 0; 6; 2; 3; 4; 3; 3; 0; 1; 5; 2; 6; 4; 3; 3; 2; 3; 1; 3; 3; 2; 6; 2; 2; 4; 3; 3; 6; 4; 2; 0; 3; 3; 5; 2; 1; 4; 4; 3; 4; 5; 3; 2; 3; 1; 6; 2; 2.
На основании этого ряда трудно сделать какие-либо определенные выводы, и чтоб удобнее было анализировать информацию, в подобных случаях числовые данные ранжируют
, располагая их в порядке возрастания. В результате ранжирования ряд примет такой вид:
0;0;0; 1;1;1;1; 2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2; 3;3;3;3;3;3;3;3;3;3;3;3;3;3;3;
4;4;4;4;4;4;4;4; 5;5;5; 6;6;6;6;6.
Мы видим, что ряд разбился на 7 групп. Каждая группа представляет определенный результат эксперимента: не решено ни одной задачи, решена одна задача и т.д. По этому ряду мы можем подсчитать частоту для каждого результата эксперимента. Например, частота появления события «девятиклассник не решил ни одной задачи» равна 3. Относительная частота равна отношению его частоты к объему выборки,
т.е. 3/50, или 6%.
Для наглядности, рассмотрим табличное и графическое представление результатов.
| Число верно решенных задач | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Частота | 3 | 4 | 12 | 15 | 8 | 3 | 5 |
| Относительная частота (в %) | 6 | 8 | 24 | 30 | 16 | 6 | 10 |
Построим диаграмму:
Кроме диаграмм для графического представления результатов используют так называемые полигоны
. Для их построения в системе координат отмечают точки, абсциссы которых – результаты случайного эксперимента, а ординаты – соответствующие им частоты. Для нашего случая полигон будет выглядеть следующим образом:
Так как мы полагаем, что выборка была репрезентативной, то на основании полученных результатов можно с достаточной уверенностью судить об уровне знаний всех девятиклассников города.
Например, в выборке 10% школьников решили все задачи. Значит можно ожидать, что и из 710 учеников примерно 10% справятся со всеми шестью заданиями. Это означает, что около 70 девятиклассников города обладают высоким уровнем математической подготовки.
Рассмотрим, какие еще выводы мы можем сделать на основе полученных данных. Считаем, что школьник, решивший не менее двух задач, достиг обязательного уровня знаний по математике. Судя по выборке таковых 12+15+8+3+5 = 43 человека, что составляет 86% от общего объема. Т.е мы можем предполагать, что 86% девятиклассников города имеют минимально необходимый уровень знаний.
Также мы можем найти основные статистические характеристики: моду – наиболее часто встречающийся результат (в нашем примере это результат «решены 3 задачи»), среднее арифметическое также равно 3, т.е. в среднем девятиклассник решает 3 задачи.
Чем же важны подобные исследования? Например, городское управление образованием могут интересовать средние результаты по школам, процент учеников, не справляющихся с программой. Высшие учебные заведения наверняка заинтересует количество учеников с высоким уровнем математической подготовки.
Преимущество обследования по репрезентативной выборке, в том, что не всегда выгодно проводить обследование всей генеральной совокупности, так как часто это бывает просто бессмысленно. Например, при проверке качества продукции, проверяя пропечен ли хлеб, годны ли консервы, абсолютно бессмысленно проверять всю продукцию, так как тогда придется вскрыть, а фактически испортить саму продукцию.
Рассматривая статистическое исследование вопроса «Удобна ли расположена школа?», сталкиваемся с тем, что имеем много различных значений, поэтому ранжирование не позволит нам выявить характерные черты ряда данных. В этом случае строят интервальные ряды, при построении которых можно по-разному разбивать их на промежутки. На основе полученных интервальных рядов строятся гистограммы.
Если позволяет время можно рассмотреть вопрос «Куда пойти работать?», в процессе рассмотрения которого вводятся такие понятия, как выборочная дисперсия и среднее квадратичное отклонение.
Заключение.
В данной дипломной работе была сделана попытка проанализировать возможность реализации стохастической линии в основной школе. Была проанализирована различная учебно-методическая литература по этой теме и на основе этого анализа сделаны конкретные выводы, с краткими методическими рекомендациями.
На основе этих выводов разработана методика реализации стохастической линии в основной школе по каждому классу, в каждом из которых рассматривается ведение всех направлений.
Данная методическая разработка лишь один из вариантов реализации стохастической линии в курсе основной школы. По данной теме сейчас активно ведется работа по всем направлениям, так как на данный момент осталось еще не мало нерешенных проблем связанных с реализацией этой линии в основной школе.
Данная работа может быть рекомендована для практического использования студентами-практикантами математического факультета и учителям математики. Этот материал может использоваться как на уроках, так и на факультативных и кружковых занятиях.
Библиография.
1. Бродский Я. Об изучении элементов комбинаторики, вероятности, статистики в школе // Математика. - 2004. - №31.
2. Бунимович Е.А. Вероятностно-статистическая линия в базовом школьном курсе математики // Математика в школе. – 2002. - №3.
3. Бунимович Е.А., Булычев В.А. Вероятность и статистика 5-9 кл.: пособие для общеобразовательных учебных заведений. – М.: Дрофа, 2002.
4. Бунимович Е.А., Суворова С.Б. Методические указания к теме «Статистические исследования». / Математика в школе.- 2003.- №3
5. Глеман М., Варга Т. Вероятность в играх и развлечениях. – М.: Просвещение, 1979.
6. Глотов Н.В., Глотова О.В. Вероятность и статистика в школе: взгляд биолога // Математика в школе. – 2002. - №4.
7. Гольдфаин И.И. Элементы теории вероятностей в современном школьном курсе биологии.// Математика в школе. – 2003. - №3.
8. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. –М.,1964
9. Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика. 5 кл.: учебник для общеобразоват. Учреждений. – М.: Мнемозина, 2003.
10. Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика. 6 кл.: учебник для общеобразоват. Учреждений. – М.: Мнемозина, 2003.
11. Изучение теории вероятностей и статистики в школьном курсе математики. Программа для курсов повышения квалификации учителей [текст]/ Булычев В.А., Бунимович Е.А.// Математика в школе. – 2003.-№4.
12. Кордемский Б.А. Математика изучает случайности. Пособие для учащихся. М., «Просвещение», 1975.
13. Лютикас В.С. Факультативный курс по математике: теория вероятностей. Учебное пособие для 9-11 кл. сред. шк.- М.: Просвещение, 1990.
14. Макарычев Ю.Н. Алгебра: элементы статистики и теории вероятностей: учебное пособие для учащихся 7-9 классов общеобразовательных учреждений / Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк. Под ред. С.А.Теляковского – М.: Просвещение. – 2003.
15. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Изучаем элементы статистики. // Математика в школе. – 2004. – №5.
16. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Элементы комбинаторики. // Математика в школе. – 2004. – №6.
17. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Начальные сведения из теории вероятностей в школьном курсе алгебры. // Математика в школе. – 2004. – №7.
18. Математика: Учеб. Для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Г.В.Дорофеев, И.Г.Шарыгин, С.Б.Суворова и др.; Под ред. Г.В.Дорофеева, И.Г.Шарыгина. – М.: Просвещение, 2000.
19. Математика. 6 класс: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений / Г.В.Дорофеев, И.Г.Шарыгин, С.Б.Суворова и др.; Под ред. Г.В.Дорофеева, И.Г.Шарыгина. – М.: Дрофа, 1997.
20. Математика. Арифметика. Алгебра. Анализ данных. 7 класс: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений / Г.В.Дорофеев, С.Б.Суворова, Е.А.Бунимович, Л.В. Кузнецова, С.С.Минаева; Под ред. Г.В.Дорофеева. – М.: Дрофа, 1997.
21. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 8 класс: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений / Г.В.Дорофеев, С.Б.Суворова, Е.А.Бунимович, Л.В. Кузнецова, С.С.Минаева; Под ред. Г.В.Дорофеева. – М.: Дрофа, 1999.
22. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 9 класс: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений / Г.В.Дорофеев, С.Б.Суворова, Е.А.Бунимович, Л.В. Кузнецова, С.С.Минаева; Под ред. Г.В.Дорофеева. – М.: Дрофа, 2000.
23. Мордкович А.Г, Семенов П.В. События. Вероятности. Статистическая обработка данных: дополнительные параграфы к курсу алгебры 7-9кл. общеобразоват. Учреждений. – М.: Мнемозина, 2003.
24. Мостеллер Ф. Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями. – М., 1975.
25. О введении элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в содержание математического образования основной школы / В.А.Болотов // Математика в школе – 2003. - №9.
26. Плоцки А. Вероятность в задачах для школьников: Книга для учащихся. – М.: Просвещение, 1996.
27. Реньи А. Трилогия о математике. – М.: Мир,1980
28. Сборник нормативных документов. Математика / составители Э.Д.Днепров, А.Г. Аркадьев. – М.: Дрофа, 2004.
29. Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике. М.: Мир,1990
30. Селютин В.Д. О подготовке учителей к обучению школьников стохастике. [текст] // Математика в школе. – 2003.- №4.
31. Селютин В.Д. О формировании первоначальных стохастических представлений. [текст] // Математика в школе. – 2003. - №3
32. Студенецкая В.Н., Фадеева О.М. Новое пособие по теории вероятностей для основной школы. // Математика в школе. - 2004. - №7
33. Студенецкая В.Н., Фадеева О.М. Статистика и теория вероятностей на пороге основной школы. // Математика в школе. - 2004. - №6.
34. Тарасов Л.В. Мир, построенный на вероятности: Кн. Для учащихся. – М.: Просвещение, 1984.
35. Ткачева М.В. Анализ данных в учебнике Н.Я. Виленкина и других. // Математика в школе. – 2003. - №5
36. Ткачева М.В. Элементы статистики и вероятность: учебное пособие для учащихся 7-9 классов общеобразовательных учреждений / М.В.Ткачева, Н.Е.Федорова. – М.: Просвещение, 2004.
37. Ткачева М.В., Василькова Е.Н., Чуваева Т.В О готовности учащихся к изучению стохастики // Математика в школе. – 2003. - №9.
38. Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Элементы стохастики в курсе математики VII-IXклассов основной школы.[текст] // Математика в школе. - 2003.-№3
39. Тюрин Ю.Н. Теория вероятностей и статистика [текст] / Ю.Н.Тюрин, А.А.Макаров, И.Р.Высоцкий, И.В.Ященко – М.:МЦНМО: АО «Московские учебники», 2004.
40. Федосеев В.Н. Элементы теории вероятностей для VII – VIIIклассов средней школы / Математика в школе. – 2002. - №3.
41. Шихова А.П. Обучение комбинаторике и ее приложениям в средней школе. – Киров, 1994.
42. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей в курсе математики основной школы / составитель В.И.Маркова. – Киров, 2004.