Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Вятский государственный гуманитарный университет
Математический факультет
Кафедра математического анализа и методики преподавания математики
Выпускная квалификационная работа
Методика преподавания темы: «Тригонометрические функции»
в курсе алгебры и начал анализа
Выполнила: студентка V курса математического факультета
Втюрина Юлия Владимировна
Научный руководитель:
кандидат педагогических наук, доцент кафедры математического анализа и МПМ М.В. Крутихина
Рецензент:
кандидат педагогических наук, доцент кафедры математического анализа и МПМ И.В. Ситникова
Допущена к защите в государственной аттестационной комиссии
«___» __________2005 г. Зав. кафедрой М.В. Крутихина
«___»___________2005 г. Декан факультета В.И. Варанкина
Содержание
Введение…………………………………………………………………………..3
§
1. Общие вопросы изучения тригонометрических функций в школе..……6
§2. Анализ изложения темы «Тригонометрические функции»
в различных школьных учебниках……………………………………………...9
§ 3. Методика преподавания темы: «Тригонометрические функции»
в курсе алгебры и начал анализа………………………………………………..19
§4.Опытное преподавание……………………………………………………..37
Заключение……………………………………………………………………….44
Библиографический список….....……………………………………………….45
Приложения
Введение
В древности тригонометрия возникла в связи с потребностями астрономии, землемерия и строительного дела, то есть носила чисто геометрический характер и представляла главным образом «исчисление хорд». Со временем в нее начали вкрапляться некоторые аналитические моменты. В первой половине 18-го века произошел резкий перелом, после чего тригонометрия приняла новое направление и сместилась в сторону математического анализа. Именно в это время тригонометрические зависимости стали рассматриваться как функции. Это имеет не только математико-исторический, но и методико-педагогический интерес.
В настоящее время изучению тригонометрических функций именно как функций числового аргумента уделяется большое внимание в школьном курсе алгебры и начал анализа. Существует несколько различных подходов к преподаванию данной темы в школьном курсе, и учитель, особенно начинающий, легко может запутаться в том, какой подход является наиболее подходящим. А ведь тригонометрические функции представляют собой наиболее удобное и наглядное средство для изучения всех свойств функций (до применения производной), а в особенности такого свойства многих природных процессов как периодичность. Поэтому их изучению следует уделить пристальное внимание. Все выше сказанное и обуславливает актуальность
выбора темы для данной исследовательской работы.
Кроме того, большие трудности при изучении темы «Тригонометрические функции» в школьном курсе возникают из-за несоответствия между достаточно большим объемом содержания и относительно небольшим количеством часов, выделенным на изучение данной темы. Таким образом, проблема
этой исследовательской работы состоит в необходимости устранения этого несоответствия за счет тщательного отбора содержания и разработки эффективных методов изложения данного материала. Объектом
исследования является процесс изучения функциональной линии в курсе старшей школы. Предмет
исследования – методика изучения тригонометрических функций в курсе алгебры и начала анализа в 10-11 классе.
Таким образом, основной целью
написания данной квалификационной работы является разработка общих методических положений, на которые нужно обратить внимание при изложении темы: «Тригонометрические функции» в курсе алгебры и математического анализа.
Гипотеза
: изучение тригонометрических функций будет более эффективным, в том случае когда:
1) перед введением тригонометрических функций проведена достаточно широкая пропедевтическая работа с числовой окружностью;
2) числовая окружность рассматривается не только как самостоятельный объект, но и как элемент декартовой системы координат;
3) построение графиков осуществляется после исследования свойств тригонометрических функций, исходя из анализа поведения функции на числовой окружности;
4) каждое свойство функций четко обосновано и все они сведены в систему.
Для решения проблемы исследования, проверки достоверности гипотезы и достижения цели реализуются следующие задачи:
- исследование уже имеющейся научно-методической литературы по этой теме;
- проведение логико-дидактического анализа изложения этой темы в современных учебных пособиях;
- обобщение и систематизация полученных сведений;
- экспериментальная проверка эффективности использования разработанной методики.
Для достижения целей работы, проверки гипотезы и решения вышепоставленных задач были использованы следующие методы:
- изучение программ, учебных пособий, методических материалов, касающихся тригонометрических функций;
- сопоставительный анализ школьных учебников различных авторов;
- опытное преподавание;
- наблюдение за учащимися во время проведения занятий.
Материалы данной исследовательской работы имеют практическую значимость и могут быть использованы преподавателями при изложении темы «Тригонометрические функции» в курсе алгебры и математического анализа в 10-11 классах.
§ 1. Общие вопросы изучения тригонометрических функций в школьном курсе
Во введении говорилось о необходимости изучения тригонометрических функций числового аргумента в школьном курсе алгебре и математического анализа. Что же обуславливает данную необходимость?
Итак, основными целями изучения тригонометрических функций числового аргумента являются:
1) ознакомление учащихся с новым видом трансцендентных функций;
2) развитие навыков вычислительной практики (работа с трансцендентными функциями зачастую требует громоздких вычислений);
3) наглядная иллюстрация всех основных свойств функций (в особенности периодичности);
4) установление межпредметных связей с практикой (изучение колебаний маятника, электрического тока, волновой теории света невозможны без знаний о тригонометрических функциях);
5) развитие логического мышления (обилие формул порождает необходимость преобразований не алгебраического характера, которые носят исследовательский характер).
В изучении тригонометрических функций можно выделить следующие этапы:
I. Первое знакомство с тригонометрическими функциями углового аргумента в геометрии. Значение аргумента рассматривается в промежутке (0о
;90о
). На этом этапе учащиеся узнают, что sin, сos, tg и ctg угла зависят от его градусной меры, знакомятся с табличными значениями, основным тригонометрическим тождеством и некоторыми формулами приведения.
II. Обобщение понятий синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов (0о
;180о
). На этом этапе рассматривается взаимосвязь тригонометрических функций и координат точки на плоскости, доказываются теоремы синусов и косинусов, рассматривается вопрос решения треугольников с помощью тригонометрических соотношений.
Отметим, что существует несколько способов определения тригонометрических функций. Их можно подразделить на две группы: аналитические и геометрические. К аналитическим способам относят определение функции у = sin х как решения дифференциального уравнения f ''
(х)=-c*f(х) или как сумму степенного ряда sin х = х – х3
/3!+ х5
/5! – …
К геометрическим способам относят определение тригонометрических функций на основе проекций и координат радиус-вектора, определение через соотношения сторон прямоугольного треугольника и определения с помощью числовой окружности. В школьном курсе предпочтение отдается геометрическим способам в силу их простоты и наглядности.
Отметим, что изучение тригонометрических функций в школьном курсе имеет некоторые особенности. Во-первых, до изучения тригонометрических функций, рассматривались функции вида у=
f(
x)
, где х
и у
– некоторые действительные числа, здесь же - углу ставится в соответствие число, что является несколько непривычным для учащихся. Кроме того, раньше все функции задавались формулами, в которых явным образом был указан порядок действий над значениями аргумента для получения значений функции. Теперь же учащиеся сталкиваются с функциями, заданными таблично.
Таким образом, изучая тригонометрические функции, учащиеся лучше начинают разбираться в сущности самого понятия функции. Они начинают осознавать, что функцией может быть зависимость между любыми множествами объектов, даже если они имеют различную природу (лишь бы каждому значению аргумента соответствовало единственное значение функции).
§ 2.
Анализ изложения темы «Тригонометрические функции» в различных школьных учебниках
В настоящее время вопросы тригонометрии изучаются в 10-11 классах в рамках 85 - часового курса "Алгебра и начала анализа". В разных вариантах тематических планов, опирающихся на учебники разных авторов, отводится от 15 до 28 часов; при этом в основном ставятся следующие цели:
-ввести понятие синуса, косинуса, тангенса и котангенса для произвольного угла;
- систематизировать, обобщить и расширить уже имеющиеся у учащихся знания о тригонометрических функциях углового аргумента;
- изучить свойства тригонометрических функций;
- научить учащихся строить графики тригонометрических функций и выполнять некоторые преобразования этих графиков.
Проанализируем с точки зрения реализации вышеперечисленных целей те учебники, которые наиболее распространенны в общеобразовательных школах, а именно учебники [16], [2], [3], [11].
Прежде всего, отметим некоторые особенности этих учебников как методических пособий в целом, а не по данной теме. Вообще, данные учебники дают цельное и полное представление о школьном курсе алгебры и начала анализа, отвечают требованиям обязательного минимума содержания образования. Но каждый из них имеет свои особенности. Учебник [16], например, отличается более доступным для школьников, по сравнению с остальными учебниками, изложением теоретического материала, которое ведется очень подробно, обстоятельно и достаточно живым литературным языком, наличием большого числа примеров с подробными решениями. Построение всего курса осуществляется на основе приоритетности функционально-графической линии. Учебник [11] имеет прикладную направленность, содержание отличается большей научностью и близостью к математическому анализу, язык изложения в большей мере научен, чем доступен. Теоретический материал изложен достаточно кратко и лаконично. Учебник [3] также имеет прикладную направленность, но в отличие от [11] ориентирован на физические приложения математических знаний и умений. В конце учебника представлены несколько лабораторных работ, например, «Построение математической модели механического движения». В конце учебника весь изученный материал представлен в виде схем и таблиц, что удобно не только ученику при подготовке к какому-либо контрольному мероприятию, но и учителю при подготовке к уроку или к системе уроков. Также среди достоинств этого учебника стоит отметить и тот факт, что каждая глава открывается вводной беседой, подготавливающей появление новых основных понятий, и заключительной беседой, которая включает в себя сведения, полезные для учащихся, интересующихся математикой.
Ну, а учебник [2] по сравнению с другими изобилует большим количеством цитат и шуточных математических рисунков. Это, несомненно, развивает математический кругозор учащихся, но, что касается содержательной стороны этого учебника, то, по моему мнению, он больше подойдет для обучения математике в профильных (не математических) классах.
Перейдем канализу изложения конкретной темы «Тригонометрические функции» в данных учебниках. Напомним, что в школьном курсе математики в разные годы использовались разные варианты введения тригонометрических функций: при помощи тригонометрического круга, при помощи проекции и некоторые другие.
В современных учебных пособиях предпочтение отдается определению с помощью единичной окружности. При этом только в [16] уделено достаточное внимание работе с числовой окружностью как с самостоятельным объектом изучения, и это является одним из достоинств этого учебника.
Слишком поспешное введение понятий синуса и косинуса «по окружности» приводит к трудностям при дальнейшем обучении: многие учащиеся испытывают затруднения с геометрическим истолкованием «тригонометрического языка». Таким образом, не получается создать надежный фундамент для успешного изучения материала.
В учебнике [16] на работу с числовой окружностью отводится 5 часов, что составляет почти 20% от 28 запланированных часов на изучение всей темы «Тригонометрические функции». Вообще говоря, здесь рассматриваются две математические модели: «числовая окружность» и «числовая окружность на координатной плоскости». То есть учащиеся обучаются работать одновременно в двух системах координат: в прямоугольной декартовой и криволинейной. Это поможет им в дальнейшем, когда понятия синуса и косинуса угла будут вводиться через координаты.
Здесь не только четко выделяется алгоритм построения точки на числовой окружности, но и проводится аналогия с числовой прямой, с указанием основных сходств и различий в построении точки на окружности и на прямой. Неплохо в учебнике [16] мотивируется и само введение числовой окружности: «В реальной жизни двигаться приходится не только по прямой, но и по окружности. Будем считать беговую дорожку стадиона окружностью…». К тому же, уже на этапе изучения числовой окружности в неявном виде происходит подготовка к решению простейших тригонометрических уравнений и неравенств.
Например, рассматриваются задания типа: «Найти на числовой окружности точки с ординатой у = 1/2 и записать, каким числам t они соответствуют», «Найти на числовой окружности точки с абсциссой х < 1/2 и записать, каким числам t они соответствуют».
Итак, в учебнике [16], в отличие от остальных учебников, проводится достаточно хорошая пропедевтическая работа для введения тригонометрических функций.
В учебнике [3] также присутствуют элементы работы с числовой окружностью, но не в таком количестве как в [16]. Здесь выделяется отдельный параграф «Вращательное движение и его свойства», в котором рассматриваются такие вопросы как построение точки по заданной мере угла и свойства вращательного движения.
В учебнике [11] в качестве подготовительной работы для введения тригонометрических функций выступает лишь повторение следующих вопросов:
- радианная мера угла (измерение углов в радианах, таблица значений тригонометрических функций (рассматривается исходя из геометрических соображений)),
- основные формулы тригонометрии (основное тригонометрическое тождество, формулы суммы и разности двух аргументов, формулы приведения, формулы суммы и разности синусов и косинусов, формулы двойного и половинного аргументов).
Вообще вопросы тригонометрии в этом учебнике рассматриваются в следующем порядке: тригонометрические преобразования – тригонометрические функции – тригонометрические уравнения и неравенства, в отличие от учебника [16], по которому сначала изучаются функции, затем уравнения и неравенства, а только потом преобразования (как свойства функций).
Обучение же по учебникам [2] и [3] предполагает изучение тригонометрических функций не в начале 10 класса (как это представлено в учебниках [11] и [16]), а в конце него. Авторы учебника [2] предлагают приступить к изучениию тригонометрии после изучения показательной и логарифмической функций. Причем, сначала изучаются тригонометрические преобразования, затем - тригонометрические уравнения и только после этого – тригонометрические функции. Такое расположение темы имеет ряд особенностей:
- изучение тригонометрических уравнений подразумевает изучение обратных тригонометрических функций. Таким образом, сначала учащиеся детально прорабатывают понятия арксинуса, арккосинуса и арктангенса, а затем только приступают к работе с синусом, косинусом и тангенсом, хотя с точки зрения логики, целесообразнее сделать наоборот;
- изучение тригонометрических функций после тригонометрических уравнений выкидывает из рассмотрения один из немаловажных методов решения тригонометрических уравнений – а именно графический метод (к тому времени мы ещё не умеем строить графики тригонометрических функций).
В учебнике же [3] же вообще предлагается изучать тригонометрию уже после изучения производной. Это позволяет вычислять приближенные значения тригонометрических функций в точках, тем самым облегчая их исследование, помогая при построении графиков и решении тригонометрических уравнений.
Что касается введения самих тригонометрических функций, то и здесь каждый из учебников имеет свои особенности. Начнем с определения синуса и косинуса. В учебнике [2] дается следующее определение: «Сosх
– это абсцисса точки единичной окружности, полученной поворотом точки Р (1;0) вокруг начала координат на угол х,
а sinх
– ее ордината». В [16]: «Если точка М числовой окружности соответствует числу t, то абсциссу точки М называют косинусом числа t, а ординату точки М называют синусом числа t». Эти два определения, в общем-то, принципиально не различаются, за исключением только того, что в учебнике [2] тригонометрические функции определяются как функции углового аргумента, а в [16] как функции числового аргумента, да еще присутствуют различия в обозначении переменной (заметим, что при работе с числовой окружностью лучше употреблять символы sin t, cos t, tg t, ctg t, учитывая, что знак х
в сознании детей ассоциируется с абсциссой в декартовой прямоугольной системе координат, а не с длиной пройденного по числовой окружности пути).
В учебнике же [11] как таковых определений синуса и косинуса нет, а вместо них присутствует фраза «… нетрудно понять, что ордината точки Рa
- это синус угла a, а абсцисса этой точки – косинус угла a», а затем приведено геометрическое подтверждение этого факта. Благодаря этому, у учащихся не возникает недоумения по поводу того, почему раньше синусом называли отношение длин катета и гипотенузы, а сейчас откуда–то выплыли какие–то абсциссы и ординаты. В учебнике [16] этот факт тоже довольно неплохо пояснен, но с опозданием в 3 параграфа, а в учебнике [3] пояснение отсутствует вовсе.
Тангенс же во всех учебниках, за исключением [11], определяется как отношение синуса к косинусу. В учебнике же [11] опять не дается четкого определения тангенса, а приводится лишь геометрическая интерпретация «ордината точки пересечения прямой ОРa
(Рa
- точка на единичной окружности) и касательной к окружности в точке (1;0) равна тангенсу угла a».
Определения котангенса авторы дают аналогично определениям тангенса за исключением учебника [2], в котором котангенс почему-то совсем игнорируется и не рассматривается как функция.
Остановимся подробнее на вопросах исследования и построения графиков тригонометрических функций.
В учебнике [16] процесс построения графика и исследования функции происходит следующим образом: уже известные ребятам факты обобщаются и формулируются как свойства функций. Сначала рассматриваются такие свойства функции y=sin(x), как область определения, множество значений, нечетность, возрастание на отрезке [0;p/2] и убывание на отрезке [p/2; 3p/2], ограниченность сверху и снизу, наибольшее и наименьшее значение. Затем составляется таблица основных значений функции на отрезке [0;p], строятся соответствующие точки и плавно соединяются.
Используя свойство нечетности синуса, полученный график отображается относительно начала координат на отрезок [-p;0], используя свойство периодичности, график функции достраивается на остальных отрезках длиной 2p. С опорой на построенный график, выделяется свойство непрерывности функции синус и область ее значений. Исследование функции cos х
и построение ее графика как и во всех остальных учебниках основывается на том факте, что cos х = sin (х+p/2).
В учебнике [3]построение синусоиды происходит при помощи единичной окружности переносом значения синуса к соответствующим точкам оси ОХ. А затем, после построения графика, еще раз происходит возвращение к свойствам и к тому, как они проявляются на графике. В учебнике [11] синусоида строится подобно тому, как она строится в [3], но все свойства функций за исключением области определения и множества значений рассматриваются в следующей теме «Основные свойства функций», а затем только переносятся на тригонометрические.
Отметим, что в учебниках [16] и [11] не обоснован тот факт, что областью определения функций sin и cos является множество всех действительных чисел. Конечно, этот факт достаточно очевиден, но тем не менее учебник пишется не для учителя, а для учеников, а «мера очевидности», как известно, у всех разная. Поэтому не стоит забывать об обосновании даже очевидных фактов, ведь это приучает ребят к столь необходимой при изучении математики логической четкости и аккуратности мысли.
Что касается области значений тригонометрический функций, то ни в одном из учебников нет четкого обоснования данного свойства. Все «попытки» обоснования этого свойства сводятся к рассмотрению двойных неравенств: -1 £sin х £ 1 и -1 £ соs х £ 1, которые выполняются для всех значений х. Однако, отсюда совершенно не следует то, что в область значений данных функций входят все точки отрезка [-1;1].*
При обосновании свойств четности и нечетности тригонометрических функций доказательство тождества sin(-х) = -sin(х) сводится в основном к симметричности точек х и –х, которая также четко не обоснована ни в одном из учебников. *
Монотонность же тригонометрических функций во всех учебниках, за исключением [11], иллюстрируется с помощью числовой окружности. В учебнике [11] в силу того, что тригонометрические преобразования изучаются перед тригонометрическими функциями, монотонность функции у=sin(х) обоснована более доказательно, но все же некоторые недочеты имеются.*
При изучении свойства периодичности авторы учебников [16], [2] и [11] дают следующее определение периодичности: «Функция f(x) называется периодической, если существует такое число Т¹0, что для любого х из области определения данной функции выполняется равенство f(
x-
T)=
f(
x)=
f(
x+
T).
Число Т называется периодом функции f(
x)
». В учебнике [3] равенство f(
x-
T)=
f(
x)=
f(
x+
T)
заменяется менее сильным равенством f(
x)=
f(
x+
T)
, но зато снимаются ограничения на х
. Здесь х
может быть любым, а не только из области определения. Заметим, что для функций, областью определения которых является все множество R, эти два определения будут не только равносильными, но и одинаково корректными (см. [23] (стр. 108 №145)). Но если применять второе определение к функции у=sinÖх, то у учащихся может вызвать затруднения сравнение значений данной функции в точках, например, -p и p. Поэтому более целесообразным является использование первого определения.
Проанализируем теперь системы задач, направленные на отработку умений и навыков, которые предусмотрены программой по теме «Тригонометрические функции».
Система задач в учебнике [3] содержит в себе задания на перевод из градусной меры в радианную и наоборот, построение углов на единичной окружности, движение точки по окружности, определение тригонометрических функций, исследование и построение графиков комбинаций тригонометрических функций, нахождение значений тригонометрических функций в некоторых точках и их знаков на некоторых промежутках, нахождение производных комбинаций тригонометрических функций и вычисление приближенных значений тригонометрических функций.
В учебниках [2] и [11] работе со свойствами комбинаций тригонометрических функций уделяется уже гораздо большее внимание, чем в учебнике [3], присутствуют задачи теоретического плана, например, «Докажите, что если функция y=f(x) является периодической, то и y=k*f(x)+b тоже периодическая», не остаются без практической отработки и гармонические колебания. В учебнике [2] присутствует еще одна особенность: здесь подобрано большое количество задач с ограничением на переменную х
, что помогает учащимся в осознании того факта, что «не всякие свойства функции, рассматриваемой на множестве всех действительных чисел, сохраняются при наложении ограничений на область определения этой функции».
Наиболее же полноценной из всех является система задач в учебнике [16]. Здесь, кроме всего уже вышеперечисленного, большое внимание уделено отработке навыков и умений работы с числовой окружностью, присутствуют задачи для работы с тригонометрическими функциями как числового, так и углового аргументов, используются функции, заданные кусочно, отрабатываются умения решать уравнения, содержащие тригонометрические функции, графическим методом.
Вообще, говоря о системе задач этих учебников, следует отметить некоторые недостатки учебника [3]. В идеале, решение каждой последующей задачи должно не только опираться на предыдущую, но и содержать какие–то дополнительные идеи. Здесь же не везде четко прослеживается система, да и по уровню сложности задачи не столь уж разнообразны.
Зато наличие отдельного задачника к учебнику [16] позволило дать в нем полноценную по объему систему упражнений, достаточную для работы в классе, для домашних заданий и повторения. Все задания дифференцированы по блокам, отдельно выделены даже устные и полуустные упражнения, что дает возможность более рационального использования учебного времени.
Таким образом, наиболее удачным учебным пособием в плане изучения темы «Тригонометрические функции» в курсе алгебры и начала анализа является учебно-методический комплект под редакцией А.Г. Мордковича, хотя оставлять без внимания остальные учебники тоже не стоит.
§
3. Методика преподавания темы «Тригонометрические функции» в курсе алгебры и начал анализа
В изучении тригонометрических функций в школе можно выделить два основных этапа:
-Первоначальное знакомство с тригонометрическими функциями углового аргумента в курсе геометрии (8-9 класс).
-Систематизация и расширение знаний о тригонометрических функциях в курсе алгебры и начал анализа (10-11 класс ).
На первом этапе не доказывается и не уточняется, что изучаемые зависимости являются функциями. Изменение синуса и косинуса при изменении угла доказываются на основе свойств наклонной. Эти понятия достаточно абстрактны для курса геометрии, поэтому усваиваются довольно плохо. Но еще большие трудности вызывает переход к аргументу, большему 900
. Ведь мы определяли тригонометрические функции через отношение сторон прямоугольного треугольника, а, как известно, в прямоугольном треугольнике не может быть угла с градусной мерой, большей 900
. Для объяснения этого факта уже на этом этапе приходится рассматривать окружность, и это является своеобразной пропедевтической работой для введения тригонометрических функций числового аргумента с помощью окружности в курсе алгебры и начал анализа.
На втором этапе происходит переход от углового аргумента к числовому. С самого начала курса мы должны рассматривать тригонометрические функции углов любой величины – значит предварительно нужно познакомить учеников с углом как с величиной, способной изменятся от -¥ до +¥. В курсе геометрии такое понятие не фигурировало, следовательно, это необходимо восполнить на втором этапе. Таким образом, возникает необходимость введения числовой окружности, работу с которой целесообразно провести также на втором этапе.
В качестве пропедевтической работы для изучения модели числовой окружности желательно рассмотреть геометрические задачи на нахождение длины дуг четверти окружности данного радиуса, ее трети и половины. Обобщая полученные результаты, необходимо подвести учащихся к тому факту, что для дальнейшей работы выгоднее выбирать окружности именно единичного, а не произвольного радиуса.
В процессе работы с числовой окружностью у учащихся должны быть сформированы следующие умения:
- находить на числовой окружности точки, соответствующие заданным числам, выраженным в долях числа p и выраженным не в долях числа p;
- составлять аналитические записи для дуг числовой окружности;
- определять принадлежность точки какой-либо координатной четверти;
- работать одновременно в двух системах координат – в криволинейной и прямоугольно-декартовой и осуществлять переход от одной системы координат к другой;
- находить координаты точек числовой окружности и отыскивать на числовой окружности точки по заданным координатам;
Для этого целесообразно рассматривать задания следующих типов:
1) Найти на числовой окружности точки p/2, 9p, 26p/3, -5p/4, -7p/6…..
2) Найти на числовой окружности точки 1, 2, -7, 4.5, -31 ….
3) Определить, каким четвертям принадлежат точки 21p/4, -37p/6, 10, -95.
4) Отметить на числовой окружности точки t, удовлетворяющие неравенствам: а) p/6+2pк £t£ 2p/3+2pк, кÎZ
б) -p/3+2pк £t£ 3p/4+2pк, кÎZ
5) Найти декартовы координаты точек, соответствующих числам p/4, -3p/2, 23p/6, -13p/3…..
6) Найти положительные и отрицательные числа, которым соответствуют точки с координатами (1/2;Ö3/2), (-Ö2/2; Ö2/2); (Ö3/2; -1/2), (-1,0)….
7) Найти на числовой окружности точки с ординатами (абсциссами) равными -Ö3/2, 1/2, -Ö2/2, 0, -1, абсциссы (ординаты) которых отрицательны, и записать, каким числам они соответствуют.
8) Найти на числовой окружности точки с ординатой (абсциссой) > -Ö2/2 и записать, каким числам они соответствуют.
В процессе работы с числовой окружностью следует обратить внимание на следующие моменты.
В арсенале учителя должно находится как минимум два макета с числовыми окружностями. На первом из них отсчет ведется в положительном направлении с указанием расположения точек 0, p/6, p/4, p/3, p/2, 2p/3…. , на втором - в отрицательном с указанием точек -0, -p/6, -p/4, -p/3, -p/2, -2p/3…., причем второй макет желательно вывесить после того, как учащиеся ответят или попытаются ответить на вопрос: «Что будет, если точка будет двигаться не положительном, а в отрицательном направлении?».
Эта мотивационная задача позволяет еще раз провести связь между числовой окружностью и числовой прямой. Ведь на числовой прямой можно было откладывать не только положительные, но и отрицательные значения, причем сколь угодно большие. На числовой окружности можно делать то же самое, но следует учитывать тот факт, что на прямой соответствие между точками и числами взаимно-однозначное, а на окружности у каждой точки бесконечно много имен, отличающихся друг от друга на 2pк, где кÎZ.
Это главное отличие учащиеся должны четко понимать и осознавать. Для этого числовую окружность можно сравнить с колесом, а числовую прямую с бесконечной нитью, на которой отмечены точки. Наматывая нитку на колесо, предварительно совместив соответствующие нулевые точки, можно заметить, что точки, отличающиеся на 2p, попадут в одно и тоже место на колесе, благодаря тому, что длина числовой окружности единичного радиуса составляет именно 2p.
Больше всего проблем, связанных с неоднозначностью соответствия между точками и числами на окружности возникает при решении задач вида: «Найти на числовой окружности точки с ординатой (абсциссой) большей Ö3/2 и записать, каким числам они соответствуют».
Такие неравенства, характеризующие дугу, рекомендуется на начальном этапе составлять в два шага. На первом шаге составить так называемое «ядро» аналитической записи p/3 < t < 2p/3, и только на втором составить общую запись p/3+2pk < t < 2p/3+2pk, где к ÎZ.
По этому поводу осмелюсь не согласиться с статьей [10], в который автор пишет, что уточнение «где к ÎZ» можно опускать, записывая его только в парадных случаях – на контрольных или экзаменационных работах. В большинстве случаев это действительно можно делать совершенно безболезненно, но как быть, если при отборе корней уравнения или неравенства, или при наложении определенных ограничений на функцию, параметр к сможет принимать не все а, например, только положительные или только четные значения?
Учащиеся, привыкшие писать +2pk, не задумываясь над тем, какие значения может принимать параметр к, и в этом случае напишут +2pk, что автоматически сделает их решение неверным.
Это приведет и к недопониманию того факта, что, например, множества «4pk, где к ÎZ» и «2pk, где к Î 2Z» совпадают. Это, в свою очередь, может породить затруднения при рассмотрении функций с периодом, равным 4p. А ведь таким функциям уделяется немало времени при изучении темы «Тригонометрические функции».
Таким образом, нельзя оставлять недоработанными никакие, даже самые маленькие детали, ведь незначительные с виду недоработки, возникающие при изучении числовой окружности, в процессе изучения самих тригонометрических функций могут стать причиной возникновения больших пробелов в знаниях.
Теперь, когда мы научились работать с числовой окружностью как самостоятельным объектом, можно приступать к введению самих тригонометрических функций.
Не стоит забывать, что определения тригонометрических функций с помощью числовой окружности плохо укладываются в сознании ребят по одной простой причине: на первом этапе определения были даны в геометрической трактовке – как отношения сторон прямоугольного треугольника.
Из психологии известно: «если какое-нибудь важное понятие вводится в первый раз, то ассоциации, сопутствующие ему, врезаются в сознание учащегося чрезвычайно прочно. Последующие впечатления бывают слабее и не могут стереть того обличия, в котором это понятие явилось впервые». [5]
Несмотря на то, что мы уже использовали окружность для введения «новых» определений синуса и косинуса на этапе расширения множества значений, принимаемых углом необходимо еще раз провести взаимосвязь между прямоугольным треугольником и числовой окружностью.
Напомним, что в школьных учебниках этому факту почему-то не уделяется должного внимания (см. главу «Анализ изложения темы «Тригонометрические функции» в различных школьных учебниках»), поэтому учителю стоит обратить внимание на то, чтобыпривведении тригонометрических функций на этом этапе были озвучены следующие моменты.
Рассмотрим числовую окружность единичного радиуса, расположенную в прямоугольно декартовых координатах. Рис.1
В положительном направлении от оси ОХ отложим угол a такой, что 0 < a < 900
. Обозначим полученную на окружности точку как Рa
. Опустим из точки Рa
перпендикуляр на ось ОХ, получим точку М. Рассмотрим получившийся прямоугольный треугольник ОМРa
. Sina по определению равен отношению МРa
/ОРa
, но радиус окружности ОРa
равен единице, следовательно, Sina = МРa
. Аналогичным образом, cosa = ОМ. Заметим, что длина ОМ - это абсцисса точки Рa
в прямоугольно-декартовой системе координат, а длина МРa
- ее ордината. Таким образом, синус и косинус угла a определяются через ординату и абсциссу точки Рa
, что является более удобным при работе в прямоугольно-декартовой системе координат.
Работая с числовой окружностью, мы уже усвоили тот факт, что так как длина дуги единичной окружности легко выражается через центральный угол, на нее опирающийся, то точку Рa
, можно построить и другим способом - откладывая дугу заданной длины. А так как длина дуги – всегда действительное число, значит, от тригонометрических функций углового аргумента легко можно перейти к тригонометрическим функциям числового аргумента.
Сейчас вернемся к наложенным на угол a ограничениям. Угол a принадлежит промежутку от 00
до 900
, а значит и длина дуги лежит между нулем и p/2. Используя все ту же геометрическую интерпретацию, легко показать, что эти определения можно распространить и на любые углы и числа.
Понятия тангенса и котангенса можно вводить двояко: как отношение синуса к косинусу (косинуса к синусу) и как ординату (абсциссу) точки пересечения касательной к окружности в точке (1;0) ((0;1)) и прямой ОРa
.
Рис.2
Вообще говоря, определив функции синус и косинус, мы уже не нуждаемся в числовой окружности как средстве для введения понятий тангенса и котангенса. Но раз уж мы взялись работать с этой моделью, то неплохо бы показать, как определить функции тангенс и котангенс, используя только их геометрическое определения (заметим, что выражения «тангенс угла a – это отношение синуса aк косинусу a» и « котангенс угла a – это отношение косинуса aк синусу a» не являются определениями – это уже свойства).
Использование второго подхода поможет нам не только на этапе изучения самих тригонометрических функций, но и на этапе решения тригонометрических уравнений и неравенств. Поэтому целесообразнее использовать именно второй подход, а определение тангенса a как отношение синуса a к косинусу a рассматривать как свойство.
Итак, мы ввели понятия всех тригонометрических функций (которые предусмотрены программой). Но перед тем, как перейти к их исследованию и построению графиков, необходимо проследить, чтобы у учащихся были отработаны следующие навыки:
-Нахождение значений всех тригонометрических функций в «главных» точках.
(Для лучшего запоминания значений тригонометрических функций можно использовать следующую вспомогательную таблицу:
| a | 0 | p/6 | p/4 | p/3 | p/2 |
| sina | |||||
| cosa |
Здесь значения синуса и косинуса представлены в наиболее удобной для восприятия и запоминания форме.)
-Решение простейших тригонометрически
-Определение знаков тригонометрических функций в заданных точках.
-Упрощение выражений с использованием основного тригонометрического тождества и формул приведения.
-Нахождение по заданному значению одной из тригонометрических функций значений всех остальных тригонометрических функций.
Приобретая вышеперечисленные навыки, учащиеся тем самым получают арсенал средств, достаточный для более основательного исследования и построения графиков тригонометрических функций.
Работа по построению графиков и исследованию функций может проводиться двумя способами:
1) Сначала по точкам строится график, а затем с помощью графической интерпретации исследуются все свойства функции
2) Построение графика происходит после исследования функции, а наглядные представления о свойствах учащиеся получают, анализируя поведение функций на числовой окружности.
Наиболее целесообразно применять второй подход, так как при этом подходе, во-первых, все свойства тригонометрических функций иллюстрируются на обеих моделях (на числовой окружности и на графике), а, во-вторых, это является хорошей подготовительной работой для дальнейшего обучения исследованию функций и построению графиков с помощью производной.
Несмотря на то, что анализируя поведение функции на числовой окружности, мы всего лишь иллюстрируем некоторое свойство, не стоит забывать, что иногда «доказательство» с помощью окружности является единственным доступным для школьников способом обоснования некоторых фактов. Хотя некоторые случаи все-таки требуют более четкого обоснования формулируемых утверждений.
Остановимся подробнее на исследовании тригонометрических функций.
1) Область определения.
«Областью определения функции действительного переменного называется множество действительных значений аргумента, при которых функция принимает действительные же значения».
Область определения функций у=sinx и у=соsx – множество всех действительных чисел. Этот факт достаточно легко обосновывается с помощью окружности: каждому действительному числу х
соответствует точка на окружности Рх
. Каждой точке Рх
соответствуют ее абсцисса и ордината, каждая из них - это действительное число. Значит, значения функций у=sinx и у=соsx для любого действительного х
будут действительными числами.
У функций у=tg х и у=сtg х область определения имеет некоторые ограничения. Обосновать это свойство можно исходя из того факта, что
tg х = sinx/ соsx. Тогда областью определения функции у=tg х будут все действительные числа, за исключением нулей функции у=соsx. Этот же самый факт можно обосновать и с помощью окружности:
рис.3
любому действительному числу х
соответствует точка на окружности Рх.
Если х ¹p/2+pк, кÎZ, то эта точка имеет координаты, отличные от (0;1) и (0;-1), тогда через точки О и Рх.
можно провести прямую, которая пересекает касательную к окружности, проходящую через точку (1;0), в некоторой точке Тх
. Эта точка имеет ординату, которая является действительным числом. То есть в таких точках функция у=tg х будет принимать действительные значения. Если же х = p/2+pк, кÎZ, то прямая ОРх.
будет совпадать с осью ОУ, а, следовательно, будет параллельна касательной к окружности. В этом случае мы не сможем найти точку Тх
и ее ординату, а, значит, в этих точках функция у=tg х будет не определена. Таким образом, делаем вывод , что Дtg
x
=R/{p/2+pк }, кÎZ. Для функции у=сtg х рассуждения аналогичны, а, значит, учащиеся вполне могут провести их самостоятельно.
Область определения как свойство функций является ко времени изучения тригонометрии уже достаточно хорошо изученным, а процесс ее нахождения уже перешедшим из разряда умений в разряд навыков. Тем не менее при изучении тригонометрических функций стоит еще раз обратить внимание на отыскание области определения в особенности функций типа: у = сtg х * tg х; у=(sin х*соs х)/ сtg х, а также кусочно-заданных функций
сtg (х+p/2), х<psin х, х<-p/2
у = у =
1/(sin х +1), х³ptg х/(х-7) ³2p
2) Область значений функции.
«Областью значений функции f называется множество, состоящее из всех чисел f(х), таких, что х принадлежит области определения функции f». Четкого обоснования того факта, что областью значений функций у=sin х и у=соs х является отрезок [-1;1] ни в одном из действующих школьных учебников не приводится, а вместо этого рассматриваются неравенства -1 £sin х £ 1 и -1 £ соs х £ 1, которые выполняются для всех значений х. Однако, отсюда совершенно не следует то, что в область значений данных функций входят все точки отрезка [-1;1]. На этот момент стоит обратить особое внимание, дабы разграничить в умах учащихся два совершенно различных свойства: ограниченность и область значений. Рассмотрим пример.
Рис.4
Функция f(x) в данном случае является ограниченной (выполняются неравенства -1 £f(x) £ 1), но отрезок [-1;1] не является множеством значений данной функции. Поэтому необходимо все-таки показать тот факт, что любое число из отрезка [-1;1] является значением функции у=sin х (у=соs х) в некоторой точке. Показать это можно хотя бы следующим образом.
Возьмем произвольное действительное число х1
такое, что
-1 £ х1
£ 1. Рассмотрим отрезок [-1;1] принадлежащий оси ОХ и возьмем точку этого отрезка соответствующую х1
, восстановим из нее перпендикуляр к оси ОХ. Он пересечет единичную окружность в некоторой точке Рх1
Заметим, что х1
– это абсцисса точки Рх1,
а, значит, число х1
является значением функции у=соs х для точки Рх1.
(Аналогично для функции у=sin х.)
рис.5
После изучения области значений целесообразно рассмотреть свойство ограниченности функций у=соs х и у=sin х и провести взаимосвязь между этими свойствами не только для тригонометрических, но и для других классов функций.
3) Четность и нечетность.
При изучении свойств четности и нечетности тригонометрических функций необходимо четко обосновать тот факт, что sin(-х) = -sin(х), acos(-х) = cos(х) для любых действительных значений х. Чаще всего обоснование этого факта сводится к симметричности точек окружности, соответствующих числам или углам t и – t в зависимости от того, на каком этапе происходит обоснование. «Если числу t соответствует точка М числовой окружности, то числу –t соответствует точка Р, симметричная точке М относительно горизонтального диаметра окружности (то есть относительно оси абсцисс). У таких точек одна и та же абсцисса, а ординаты равны по модулю, но отличаются знаком. Следовательно, sin(-t) = -sin(t), a cos(-t) = cos(t)» (см. [16]).
Заметим, что факт симметричности точек t и – t не является очевидным, а значит, сам нуждается в обосновании, провести которое можно, например, рассмотрев треугольник МОР. Обозначим точку пересечения отрезка МР с осью ОХ за В. Тогда треугольник МОР равнобедренный (ОМ = ОР как радиусы одной окружности), луч ОВ является биссектрисой угла МОР, а, следовательно, и высотой и медианой треугольника МОР. Тогда точки М и Р действительно будут симметричными относительно оси ОХ по определению. Это и позволяет сделать вывод о значениях синуса и косинуса противоположных углов. После этого обоснование равенств tg (-t) =-tg (t) и ctg (-t) = -ctg (t) не составит никакой трудности.
Далее следует еще раз обратить внимание учащихся на следующий факт. В определениях четных и нечетных функций в явном виде не указано то, что такие функции имеют область определения, симметричную относительно начала координат, но этот факт часто оказывается полезным при решении задач типа «Докажите, что функция у= sinÖx, не является ни четной, ни нечетной». Используя вышеупомянутый факт и определив, что область определения данной функции не является симметричной относительно начала координат, сразу можно сделать вывод о том, что функция у=sinÖx, действительно, не является ни четной, ни нечетной, не рассматривая соответствующих уравнений.
Так же полезно определять четность функций, заданных кусочно. Например, определить являются ли следующие функции четными или нечетными:
Sin (x), если х ³0 Соs(x/2), если х ³p
f(x)= f(x)= p2
+ х2
, если -p< х <p
Соs(x), если х<0 Соs(x/2), если х £p
4) Монотонность.
При рассмотрении свойства монотонности тригонометрических функций в большинстве действующих учебников (кроме [11]) не приводится четкого доказательства возрастания функций y=sinx и y=соsx на промежутках [-p/2;p/2] и [-p;0] соответственно, а обоснование этих фактов проводится с опорой на числовую окружность: «При движении точки по четвертой и по первой четвертям окружности в положительном направлении ( от -p/2 до p/2 ) ее ордината постепенно увеличивается (от -1 до 1), значит функция y=sinx является возрастающей на этом промежутке» (см. [16]). Более строгое доказательство этого факта приводится с опорой на формулу разности синусов и применимо в случае, когда тригонометрические преобразования изучаются раньше тригонометрических функций, то есть когда формула разности синусов к моменту исследования тригонометрических функций является уже известной (см. [11]). «Пусть
-
p/2
£ х1
< х2
£
p/2,
применяя формулу разности синусов находим
sin х2
-
sin х1
= 2 со
s [(х1
+х2
)/2]*
sin [(х2
– х1
)/2].
Из неравенства -
p/2
£ х1
< х2
£
p/2
следует, что
-
p/2
< (х1
+ х2
)/2
<
p/2 и 0
< (х2
– х1
)/2
<
p/2,
поэтому со
s(х1
+х2
)/2
> 0
и sin(х2
-х1
)/2
> 0
, а следовательно, sin х2
-
sin х1
> 0
то есть sin х2
>
sin х1
»(см. [11]). При этом учителю следует обратить внимание на пояснение того, как из неравенства -
p/2
£ х1
< х2
£
p/2
получаются неравенства -
p/2
< (х1
+х2
)/2
<
p/2 и 0
< (х2
–х1
)/2
<
p/2
.
Это целесообразно проиллюстрировать, изобразив отрезок [-p/2;p/2]. Заметим, что (х1
+х2
)/2 не что иное, как среднее арифметическое чисел х1
и х2
, а, следовательно, принадлежит отрезку [х1
;х2
], который, в свою очередь, целиком лежит в отрезке [-p/2;p/2], то есть первое неравенство имеет место. Гораздо большую трудность вызывает обоснование второго неравенства. Заметим, что модуль разности |х2
-х1
| - это расстояние между точками х1
и х2
, а так как обе точки принадлежат одному отрезку [-p/2;p/2], то расстояние между ними не может превышать длины этого отрезка, то есть p. С другой стороны модуль – функция неотрицательная, более того, в данном случае положительная, так как х1
и х2
различны. Имеем 0 <|х2
-х1
|£p, но так как х1
< х2
, то |х2
-х1
| = (х2
-х1
). Разделив все части неравенства на 2, получим доказываемое неравенство.
Доказательство возрастания функции y=tgx на интервале (-p/2;p/2), целесообразнее всего проводить аналогичным образом, используя формулу разности тангенсов (см [11]). В случае же, когда преподавание ведется по учебникам, в которых тригонометрические преобразования изучаются после функций, то есть формула разности тангенсов к моменту исследования функций еще не известна, доказательство лучше проводить, разбив интервал (-p/2;p/2) на два полуинтервала [0;p/2) и (-p/2;0]. Обоснование возрастания функции y=tgx на полуинтервале [0;p/2) не сложно и приведено во всех учебниках, а доказательство монотонности на втором интервале авторы учебников [16] и [2] почему-то считают сложным и опускают вовсе. Поэтому учителю следует обратиться к учебнику [3], в котором дано довольно строгое, но вместе с тем несложное доказательство:
Пусть -
p/2
< х1
< х2
£ 0
, тогда 0
£ -х2
< -х1
<
p/2
. Теперь числа -х1
и -х2
лежат в первой четверти, в которой тангенс возрастает, следовательно tg(-х2
)
<
tg(-х1
)
. Так как y=tgx нечетная функция, то
tg(-х2
)
<
tg(-х1
)
Û -
tg (х2
)
< -
tg(х1
),
а следовательно tg(х1
)
<
tg(х2
)
. Что и означает, что функция y=tgx возрастает на промежутке (-p/2;0], а значит и на интервале (-p/2;p/2). Доказательство монотонности функции y=сtgx целесообразно предложить в качестве задания для самостоятельного выполнения.
5) Нули функции и промежутки знакопостоянства.
Нахождение нулей функций и промежутков знакопостоянства сводится к решению простейших тригонометрических уравнений и неравенств, которые учащиеся рассматривали при изучении числовой окружности и не вызывает затруднений.
6) Периодичность.
Изучению этого свойства необходимо уделить особое внимание, так как учащиеся впервые сталкиваются с периодическими функциями. Для отработки понятия периодичности функции целесообразно использовать следующие упражнения.
1. На рисунке изображена часть графика периодической функции на отрезке [-2;2], длина которого равна периоду функции. Постройте график функции на отрезках [-6;-2], [2;3].
2. Постройте график периодической функции y=f(x), с периодом равным 2, если известно, что f(x)=х2
/2 на отрезке [-1;1].
3. Является ли число 16p периодом функции y=sinx? А ее основным периодом?
4. Найти основные периоды функций y=sin(6x), y=соs(x/2), y=sin(кx).
5. Докажите, что если функция y=f(x) является периодической, то и y=k*f(x)+b тоже периодическая.
6. Пусть функция f периодическая, Т1
и Т2
– ее периоды. Докажите, что любое число вида nТ1
+mТ2, где n,mÎN, также является периодом функции f.
7. Докажите, что функции f(x) = sinx2
и cos (x)*cosÖx не являются периодическими.
8. Докажите, что возрастающая функция не может быть периодической. И т.п.
Следует обратить внимание учащихся на тот факт, что периодическая функция имеет бесконечное множество периодов, среди которых стараются выделить, если это возможно, наименьший положительный период, который называют основным.
После этого все свойства тригонометрических функций желательно проиллюстрировать на графике и свести в одну таблицу.
| Свойства
|
у=
sin ( x ) |
у=
cos ( x ) |
у=
tg ( x ) |
y=ctg(x)
|
| Область определения | ||||
| Область значений | ||||
| Нули функции | ||||
| … |
Для дальнейшей отработки навыков по исследованию тригонометрических функций и построению их графиков используют гармонические колебания, которые имеют вид y =Asin(wt+a) и y =Acos(wt+a). Основной целью введения гармонических колебаний является наглядная демонстрация того, как изменяются свойства функций в зависимости от значения коэффициентов A,w и a. При этом целесообразно использовать задания вида:
1.По графику функций определите задающую ее формулу:
Рис.6
2. Какими свойствами обладают данные функции на отрезке [-p/2; p/2], а на отрезке [0; p]?
| Возрастает | Имеет ровно один корень | Пробегает всё множество значений | Убывает | Не меняет знак |
| Y=cos(x) | ||||
| Y=cos(x/2) | ||||
| Y=3cos(2x) | ||||
| Y=cos(x+p/4) | ||||
| Y=2cos(p/2-x) |
Какими свойствами обладают данные функции на данных промежутках?
| [-p/2; p/2] | [0; p] | [-2p;0] | [-3 p/2;- p] | [-p; p] |
| Y=cos(x) | ||||
| Y=cos(2x) | ||||
| Y=2cos(x/2) | ||||
| Y=cos(x+p/2) | ||||
| Y=3cos(p/4-x) |
После того, как мы в достаточной мере хорошо научились оперировать свойствами тригонометрических функций, можно переходить к решению тригонометрических уравнений и к тригонометрическим преобразованиям. Но не стоит центр тяжести при изучении тригонометрических функций смещать в сторону алгебры, то есть не нужно выдвигать на первое место умения, связанные с выполнением тригонометрических преобразований. Эти умения, безусловно, важны и развивают у учащихся комбинаторные, логические и алгоритмические навыки, однако главное в изучении тригонометрических функций уходит при этом в тень. Таким образом, не следует забывать, что основная задача учителя математики – все-таки развитие умственных способностей ребенка.
§4
Опытное преподавание.
Опытное преподавание осуществлялось мной во время прохождения педагогической практики на выпускном курсе. Опытно-экспериментальной базой являлся 11б класс школы №10 города Кирова. В это время мной было проведено несколько уроков из темы «Тригонометрические функции».
Так как преподавание алгебры и начал анализа в данном классе велось по учебнику [2], потому к моменту изучения тригонометрических функций учащиеся уже умели решать тригонометрические уравнения и неравенства, а также выполнять тригонометрические преобразования (см. §2). Несмотря на это, у учащихся до сих пор возникали проблемы при работе с тригонометрической окружностью. Многие забыли как найти точку на числовой окружности, которая соответствует некоторому числу (особенно не выраженному в долях числа p), или найти числа, которые соответствуют точке с заданными координатами. Это можно объяснить, на мой взгляд, несколькими причинами. Первая – недостаточная работа с числовой окружностью на начальном этапе изучения тригонометрии в курсе алгебры и начал анализа. Вторая – достаточно большой временной разрыв между введением тригонометрической окружности и изучением тригонометрических функций[1]
. Кроме того, если изучение тригонометрических уравнений происходит после изучения тригонометрических преобразований, то часто решение первых просто сводится к «возне» со вторыми, а работа с тригонометрической окружностью как с самостоятельным объектом отходит на второй план. Поэтому было принято решение - провести урок повторения по данной теме.
Урок №1. «Числовая окружность на координатной плоскости»
Образовательные цели урока:
- Обобщить имеющиеся у учащихся знания о числовой окружности как о самостоятельном объекте изучения.
- Вспомнить основные принципы работы в двух системах координат – в криволинейной и прямоугольной декартовой.
- Повторить свойства синуса и косинуса, формулы приведения.
Ход основной части урока.
Данный урок был построен в форме беседы учителя и учащихся, в процессе которой были озвучены ответы на следующие вопросы:
Что такое окружность? А ее дуга?
Как найти длину дуги окружности?
Что такое единичная окружность? Почему удобнее использовать именно ее?
Что такое числовая окружность?
Как найти на числовой окружности точки, соответствующие данным числам?
Чем отличается построение точки на числовой прямой и на числовой окружности?
Как составить аналитическую запись дуги числовой окружности?
Как располагается числовая окружность на координатной плоскости?
Как найти декартовы координаты точки числовой окружности?
Как определить синус и косинус (угла и числа) с помощью координат?
Какие свойства синуса и косинуса хорошо иллюстрируются на числовой окружности?
Как проиллюстрировать основное тригонометрическое тождество с помощью числовой окружности? А формулы приведения?
В качестве иллюстрации ответов на вышеизложенные вопросы были рассмотрены решения следующих упражнений.
1) На единичной окружности отмечены точки А(1;0), В(0;1), С(-1;0) и Д(0;-1). Вторая четверть разделена пополам точкой М, а третья – на три равные части точками Р и К. Чему равны длины дуг АМ, ВК, ДС, ВР, СВ, ВС?
2) Найдите на числовой окружности точку, которая соответствует заданному числу а, если а = π, -π/2, π/3, -5π, 25π/4, 1, –5, 13.
3) Найдите декартовы координаты следующих точек числовой окружности: М(π/4), С(-3π/2), А(23π/6), В(-31π/4).
4) На числовой окружности укажите точку М, координаты которой удовлетворяют данным условиям, и найдите все числа, которым соответствует данная точка: а) у=-1/2, х<0 б) х=-Ö3/2, у>0
5) Найдите на числовой окружности точки с абсциссой или ординатой, удовлетворяющей заданному неравенству и запишите (с помощью двойного неравенства), каким числам t они соответствуют. а) х<1/2 б) х³-Ö3/2 в) у>Ö2/2 г) у £0.
6) Вычислите синус t и косинус t, если t = 0, π/2, -π/4, -5π/3, 23π/6.
7) Определите знак числа а) sin(4π/7) б) cos(-3π/8) в) sin(-12) г) cos5 д) sin(-14π/9)*cos(π/8).
8) Сравните: а) sin 2 и cos 2 б) sin 3 и sin( –3) в) cos 6 и sin 1.
9) Вычислите: cos(π +a)*cos (-a-π/2)
(sin(-a)* sin (π/2-a))
Краткий анализ урока.
Несмотря на то, что ответы на многие вопросы были известны учащимся, активность проявляли не все. Многие были неуверены в правильности своих мыслей, поэтому некоторых учеников приходилось спрашивать поименно. Тем не менее, к концу урока активность возросла, да и количество правильных ответов тоже увеличилось. Результаты небольшой проверочной работы, проведенной на следующем уроке говорят сами за себя: из 23 учащихся, присутствовавших на уроке, 18 получили 4 и 5. Поэтому я считаю, что данное занятие прошло довольно неплохо.
Урок № 2. Функция у=
sin х, ее свойства и график.
Образовательные цели урока:
1) Изучить свойства функции у= sin х.
2) Сформировать у учащихся умение изображать график этой функции и по графику находить область определения и область значений, промежутки возрастания и убывания, нули, наибольшее и наименьшее значения.
Форма занятия.
Так как многие свойства синуса учащимся известны, то лучше всего в качестве формы данного урока избрать беседу.
Содержание основной части урока.
1) Ввести функцию у= sin х. Обосновать, что это действительно функция.
2) Установить ее область определения и область значений. Обосновать.
(подробнее про обоснования всех свойств см. в §3. «Методика преподавания темы: «Тригонометрические функции» в курсе алгебры и начал анализа»)
3) Сформулировать и обосновать с помощью тригонометрической окружности такие свойства функции у=sinх как промежутки возрастания и убывания, нули, нечетность, ограниченность, а также наибольшее и наименьшее значения.
4) Воспользовавшись данными свойствами и равенством sin(x+2p)=sin(x), построить график и сообщить, что он называется синусоидой.
5) Еще раз проиллюстрировать все свойства данной функции, но уже с помощью графика.
Практическая часть.
1) Не выполняя построения, ответьте на вопрос, принадлежит ли графику функции у=sin х точка с координатами: а) (-π/2;1) б) (π/2;1/2) в) (π;1) г) (0;0)?
2) Используя график функции f(х), где f(х)=sin х, найдите: а)f(π) б) f(3π/2) в) f(-π/2) г) f(23π) д) f(-15π/2).
3) Отметьте на графике функции у=sin х и назовите все точки, в которых значение функции равно а) Ѕ б) -Ö3/2 в) Ö2/2 г) –1 д) 10.
4) Найдите все значения переменной х и отметьте их на числовой прямой, при которых функция у=sin х принимает значения: а) большие Ѕ б) меньшие Ö2/2 в) большие 0, но меньшие Ö3/2 г) меньшие –1, но большие –2.
5) Найдите наибольшее и наименьшее значение функции у=sin х а) на отрезке [π/4, 2π/3]; б) на луче [π/3, +¥]; в) на интервале (-3π/2,3π/4).
6) Сравните а) sin 0 и sin(-3); б) sin 2 и sin е; в) sin (-4) и sin 5; г) sin 8,3 и sin 9 д) sin 315 и sin 317 е) sin (–630) и sin (–631).
Краткий анализ урока.
Урок прошел хорошо. Ребята работали активно, так как практически все задания решались фронтально и полуустно за исключением 4 в) и 6 г), д) и е). Цели, поставленные на данный урок, были реализованы. По результатам 7-минутной проверочной работы, которая проводилась на следующем уроке, можно сделать следующие выводы: 1. Учащиеся научились строить график функции у=sin х. 2. Большинство из них, пользуясь схемой анализа, могли свободно перечислить все свойства этой функции. Неплохо решали задачи, подобные тем, что были разобраны. Наибольшее затруднение вызвали задачи подобные 5 в) и 6 е) и д). Хотя, в общем, с работой справились не плохо.
Урок № 3. Функция у=
sin х, ее свойства и график.
Образовательные цели урока:
1) Способствовать формированию навыков применения свойств функции у= sin х при исследовании функций, для которых она является одной из составляющих.
2) Научить применять известные ранее правила преобразования графиков функций к функции у= sin х.
3) Выработать у учащихся навыки решения некоторых уравнений, содержащих синус, графическим способом.
Форма занятия.
Фронтальное коллективное и самостоятельное решение задач.
Содержание основной части урока.
1) Постройте и прочитайте график функции у= f (х), где
х2
, если х < 0,
f(х)=
sin х, если х ³0.
Вычислите f(p), f(p/3), f(-2), f(-p/2), f(3,14).
2) Постройте график функции у= f (х), где
х-2p, если х < 0,
f(х)= sin х,если -2p< х < 0,
Öх, если х ³0.
Для данной функции найдите область определения, область значений, промежутки возрастания и убывания, нули и промежутки знакопостоянства.
3) (Для самостоятельно решения с последующей проверкой.)
Постройте график функции у= f (х), где
-(х+p)2
, если х < 0,
f(х)= sin х,если -p< х <p,
(х-p)2
, если х ³0.
Запишите все известные вам свойства данной функции.
4) Постройте график функции у= sin(х+p/4). По графику определите нули данной функции и промежутки знакопостоянства.
5) Постройте график функции у = sin(х-2p/3)+2. По графику определите все известные вам свойства этой функции.
6) Решите графически уравнения а) sin(х) =p+х б) sin(х) =3х в) sin(х) +(х+p/2)2
+1=0
7) (Для самостоятельно решения с последующей проверкой)
а) sin(х+4p/3)-1= (х-p)2
б) -sin(х-p/6)+1,5 - ((х-4p/6)2
+0,5)=0
Краткий анализ урока.
На данном уроке учащиеся научились исследовать кусочно-заданные функции, содержащие функцию у= sin х как одну из своих составляющих, научились применять известные ранее правила преобразования графиков функций к функции у=sinх, а также графически решать некоторые тригонометрические уравнения. Об этом можно судить исходя из результатов проделанной учащимися домашней работы, а также по последующему применению полученных умений при решении подобных задач для функции у= соs х. Поэтому можно сделать вывод о том, что цели данного урока были реализованы. Что касается затруднений, то наибольшие затруднения вызвали задания, связанные с преобразованием графиков. Часто учащиеся путались в вопросе - когда в какую сторону переносить график. Но в целом урок прошел неплохо.
Заключение.
Итак, приняв во внимание описанные в первом параграфе общие положения, касающиеся изучения тригонометрических функций, мы проанализировали наиболее распространенные учебники с точки зрения изложения данной темы (см. § 2) и обобщили полученные результаты в §3. Используя опыт практического преподавания, описанный в §4 можно сделать следующие выводы:
1. Тригонометрические функции являются наиболее удобным и наглядный средством для обучения учащихся исследованию функций.
2. Преподавание темы «Тригонометрические функции» требует тщательного подбора содержания, средств и методов обучения, то есть разработки эффективной методики.
3. Изучение тригонометрических функций будет более эффективным, в том случае когда:
-перед введением тригонометрических функций проведена достаточно широкая пропедевтическая работа с числовой окружностью;
-числовая окружность рассматривается не только как самостоятельный объект, но и как элемент декартовой системы координат;
-построение графиков осуществляется после исследования свойств тригонометрических функций, исходя из анализа поведения функции на числовой окружности;
-каждое свойство функций четко обоснованно и все они сведены в систему.
4. Наиболее удачным как с методической, так и с содержательной точек зрения является учебник [16].
Библиографический список:
1. Алексеев, А. Тригонометрические подстановки [Текст] / Алексеев А., Курляндчик Л. // Квант. – 1995. - №2. –с. 40 – 42.
2. Алимов, Ш.А. Алгебра и начала анализа 10-11[Текст] / Ш.А. Алимов // Учебник - Москва: Просвещение, 2001.
3. Башмаков, Алгебра и начала анализа 10-11 [Текст] /Башмаков //Учебник - Москва: Просвещение, 1992.
4. Бескин, Н.М. Вопросы тригонометрии и ее преподавания [Текст] / Бескин Н.М. - Москва: Учпедгиз, 1950.
5. Гилемханов, Р.Г. О преподавании тригонометрии в 10 классе по курсу В [Текст] / Гилемханов Р.Г. //Математика в школе. 2001-№ 6 -с. 26-28.
6. Горнштейн, П.И. Тригонометрия помогает алгебре [Текст] / Горнштейн П.И. // Квант. 1989-№5 – с. 68-70.
7. Дорофеев, Г. Периодичность и не периодичность функций [Текст] / Дорофеев Г., Розов Н. //Квант. 1977- №1- с.43-48.
8. Зарецкий, В.И. Изучение тригонометрических функций в средней школе [Текст] / Зарецкий В.И. - Минск: Народная асвета, 1970.
9. Земляков, А. Периодические функции [Текст] / Земляков А., Ивлев Б. // Квант. 1976-№12- с. 34-39.
10. Калинин, С.И. Задачи и упражнения по началам математического анализа [Текст] / Калинин С.И., Канин Е.С., Маянская Г.М., Ончукова Л.В., Подгорная И.И., Фалелеева С.А. - Киров: ВГПУ, 1997.
11. Колмогоров, А.Н. Алгебра и начала анализа 10-11 [Текст] /А.Н. Колмогоров// Учебник - Москва: Просвещение, 1999.
12. Крамор, В.С. Тригонометрические функции [Текст] / Крамор В.С., Михайлов П.А. – Москва: Просвещение, 1979.
13. Лященко, Е.И. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики [Текст] /Лященко Е.И. – Москва: Просвещение, 1988.
14. Мишин, В.И. Методика преподавания математики в средней школе (Частная методика). [Текст] / Мишин, В.И. - Москва: Просвещение, 1987.
15. Мордкович, А.Г. Методические проблемы изучения тригонометрии в общеобразовательной школе [Текст] / Мордкович А.Г. //Математика в школе. 2002 - № 6 – с.32-38.
16. Мордкович, А.Г. Алгебра и начала анализа 10-11 [Текст] /А.Г. Мордкович// Учебник- Москва: Мнемозина, 2003.
17. Панчишкин, А.А. Тригонометрические функции в задачах [Текст] / Панчишкин А.А., Шавгулидзе Е.Т. - Москва: Наука, 1986.
18. Раббот, Ж. Тригонометрические функции [Текст] / Раббот Ж. // Квант. 1972- №5- с. 36-38.
19. Синакевич, С.В. Тригонометрические функции [Текст] / Синакевич С.В. - Москва: Учпедгиз, 1959.
20. Смирнова, И.М. Необычный способ получения синусоиды [Текст] / Смирнова И.М. // Математика в школе. 1993-№3- с.56-58.
21. Цукарь, А.Я. Упражнения практического характера по тригонометрии [Текст] / Цукарь А.Я. //Математика в школе. 1993-№3- с 12-15.
22. Шаталов, В.Ф. Методические рекомендации для работы с опорными сигналами по тригонометрии [Текст] / Шаталов В.Ф. - Москва: Новая школа, 1993.
23. Шенфельд, Х. Что общего между заходом солнца и функцией y=sin х [Текст] /Шенфельд Х. // Математика в школе. 1993-№2- с.75-77.
Приложение
Факультатив «Тригонометрия помогает алгебре».
Известно, что «тот или иной материал усваивается школьниками не тогда, когда этот материал является целью обучения, а тогда, когда он становится средством для решения других задач»[10]. Поэтому целесообразно показать учащимся то, как можно применять свойства тригонометрических функций и тригонометрические тождества при решении, например, алгебраических задач.
Цели:
1) Провести межпредметные связи между тригонометрией и алгеброй.
2) Способствовать формированию умений решать некоторые виды уравнений алгебры с помощью тригонометрических подстановок.
Место изучения.
Этот факультатив желательно проводить после того, как изучены все разделы тригонометрии.
Ход факультатива:
Учащимся предлагается попробовать решить уравнение самостоятельно. Попробовав выполнить стандартное возведение в квадрат обеих частей, учащиеся натыкаются на уравнение 6-ой степени, решение которых в школьном курсе не рассматривается. Обратив внимание учащихся, на то, что областью допустимых значений переменной данного уравнения является отрезок [-1;1], учитель предлагает вспомнить изученные функции, областью значений которых является данный отрезок. После чего делается вывод: если из условия задачи следует, что допустимые значения переменной x определяются неравенством |x|≤1, то удобны замены х=sinα, α, или х=cosα, α, причем какую из них выбрать, зависит от конкретной задачи.
Учащиеся совместно с учителем прорешивают данное уравнение.
«Поскольку функция 4х3
-3х существует при любых значениях х, найдем область определения функции f(x)=: 1- х2
≥0, значит х. Введем замену х=cosα. Нас интересуют все значения этой функции. Выберем для удобства любой отрезок, на котором функция косинус принимает все свои значения, например отрезок .
Подставим х=cosα в уравнение, получим
Так как α, то sinα ≥0 и можно опустить модуль:
Условию α удовлетворяют три значения α1
=, α2
=,α3
=.
x1
=cos α1
=cos=,
x2
=cos α2
=cos=-sin= =
x3
= cos α3
=cos =-cos=.
Ответ: x1
=, x2
=, x3
=.
Пример 2. Сколько корней на отрезке [0;1] имеет уравнение
При отсутствии лишнего времени решение лучше вынести в качестве домашнего задания. Если уровень подготовки класса не очень высок, то учитель может сделать подсказку «Замена х=cosα, α ставит в соответствие каждому значению х на [0;1] ровно одно значение α. Значит, число решений исходного уравнения на [0;1] равно числу решений соответствующего уравнения на , причем так как х¹0 и х¹1, то можно взять α». Уравнение примет вид
Условию α удовлетворяют четыре значения α1
=, α2
=, α3
=, α4
=.
Ответ: уравнение на отрезке [0;1] имеет ровно четыре корня.
Пример 3. Решить систему уравнений
Внимательно посмотрев на первое уравнение системы, учащиеся сами (или с помощью учителя) замечают, что оно очень похоже на основное тригонометрическое тождество и делают вывод: если в задаче встречается равенство х2
+y2
=1, то часто бывает полезно сделать замену х= sinα, y=cosα, α, так как числа, сумма квадратов которых равна 1, это синус и косинус одного и того же числа. Дальнейшее решение системы не вызывает затруднений и может быть произведено учащимися самостоятельно.
Пусть х= sinα, y= cosα, α Второе уравнение системы примет вид
Условию α удовлетворяют четыре значения α1
=, α2
=, α3
=, α4
=
.
х1
=y1
=
х2
=y2
=
х3
=y3
=
х4
=y4
=
Ответ: х=, y=; x=, y=; x=,
y= ; x= , y= .
В качестве домашнего задания учащимся можно предложить решить задачу:
Числа a, b, c, d таковы, что a2
+b2
=1, c2
+d2
=1, ac+bd=0. Чему равно ab+cd?
Решение может выглядеть следующим образом. «Пусть а= sinα, b= cosα, α, c=sinβ, d=cosβ, β. Уравнение ac+bd=0 перепишем в виде
Преобразуем выражение ab+cd:
Так как cos(α- β)=0, то sin(α +β)*cos(α - β)=0, a значит ab+cd=0.
Ответ: ab+cd=0»
После этого учитель подводит учащихся к вопросу: «Можно ли применять тригонометрические подстановки для решения уравнений, в область допустимых значений которых входят все действительные числа?»
Можно, но в случаях, когда переменная может принимать различные значения, используются замены x=tgα, α и x=ctgα, α.
Пример 5. Доказать, что при любых действительных х
и у
.
Замечание. Желательно обсудить с учащимися лишь необходимую замену. Все остальное они в силах проделать самостоятельно.
Положим , где . Тогда
Так как все значения выражения
лежат в промежутке [-1/2;1/2], следовательно, и все значения исходного выражения лежат в этом же промежутке. Что и требовалось доказать.
*
более подробно эти вопросы изложены в параграфе 3
1) Напомним, что обучение по учебнику [2] предполагает изучение тригонометрических уравнений в конце 10-го класса, а изучение тригонометрических функций только в начале 11го.