П л а н.
І. Вступ.
ІІ. Аксіоматичне обгрунтування евклідової геометрїї за Вейлем.
ІІ.1.Аксіоми додавання векторів.
ІІ.2.Аксіоми множення векторів на дійсне число.
ІІ.3.Аксіоми розмірності .
ІІ.4.Аксіоми скалярного добутку векорів.
ІІ.5.Аксіоми відкладання векторів.
ІІІ. Несуперечність системи Вейля.
ІІІ.1.Означення та найпростіші властивості афінного простару.
ІІІ.2.Означення та найпростіші властивості евклідного простору.
IV. Категоричність аксіматики Вейля.
V. Означення деяких геометричних понять у аксіомації Вейля.
V.1.Пряма.
V.2.Площина.
V.3.пряма і площина.
V.4.Многокутна фігура, многограннае тіло.
VІ. Доведення деяких теорем евклідової геометрії в системі Вейля.
VІІ. Векторний метод в шкільному курі геометріїї.
VІІ.1.Місце векторного методу в діючій програмі та проекті нової програми в підручниках.
VII.2.Методичні рекомендаціїї щодо формування умінь та навичок учнів розв’язувати задачі векторнім методом.
VІІ.3.Розробка уроків та факультативних занять.
VІІ.4.Диференційована система вправ.
VІІІ. Застосування аксіоматики Вейля для розвязання геометричних задач.
ХІ. Висновки.
Х. Список літератури.
І.Вступ.Векторній метод в геометрії розвивався ще з
17-20ст. разом з розвитком математики.
Вектор – е фундаментальним поняттям математики. Еволюція поняття “вектор” здійснювалась з часом, завдяки широкому його використанню в різних галузях математики, механіки і техніки : теорії пружності, теорії електромагнітних полів. Здебільшого фізики оперують поняттям прикладного вектора, який характеризуеться не тільки довжиною і напрямом, а й точкою прикладання. Із векторних величин у шкільному фізики найчастіше розглядають сили переміщення, шідкості, прискорення. Використовують правила додавання (особливо правило паралелограма для визначення рівнодійної), віднімання, множення вектора на число, скалярного множення (зокрема при обчисленні роботи) т.ін. Про все це зауважуемо учням на уроках геометрії. Використовують векторі також в хімії, кристалографії, розглядаючи взаємодії атомів у різних речовинах, характеризуючи властивості кристалів у різних напрямах, і т.ін. Досить часто оперують терміном ''вектор'' картографи. Правда, вони цим словом називають будь-яку стрілку, навіть криволінійну. Наприклад, в картаграфії векторами називають стрілки, якими зображають морські течії, напрями ударів тих чи інщих армій. Такі вектори ні додавати, ні множити, зрозуміло не можна, це ті вектори, з якими мають справу фізики і математики.
В математиці на векторній основі будується лінійна алгебра, аналітична і деференціальна геометрія.
Вперше в шкільний курс математики було введено з часів реформи шкільної математичної освіти в 60-ті роки.
Існувало дві течії, які розглядали різні рівні введення теми ”Вектори” в шкільний курс математики:
крайніх модерністів – вони запропонували побудувати курс геометрії на векторній основі та покласти в основу курсу аксіоматику Вейля. При такому підході миортимали б формалізований курс геометрії і фактично вивчалась би векторна алгебра, а не геометрія.
поміркованих - ними був створений посібник з геометрії за редакцією Колмогорова.
Ми разглянемо становлення курсу геометрії на векторній основі за аксіоматикою Вейля.
ІІ.В основі всіх сучасних теорій евклідового простору лежить поняття числа. Використання числа значно спрощує побудову теорій евклідового простору, але позбавляє цю побудову наглядності і того конструктивного характеру, який належить теорії Евкліда-Гільберта. В 1918 р. відомим математиком Г. Вейлем (1885-19551) було запропоновано, так зване, ''векторне'' обгрунтування евклідової геометрії. Допоміжною допоміжною структурою Вейль використовує евклідів векторний простір, елементи якого відіграють роль операторів в просторі точок. Розмірність векторного простору визначає розмірність точкового простору. Аксіоматика Вейля переводить теорію евклідового точкового простору на мову лінійної алгебри. Використання векторів просторів дозволяє побудувати аксіоматику за Вейлем неевклідових просторів. Вперше обгрунтування евклідової геометрії було зробленое Вейлем в 1918 р. в лекціях з теорії відносності які він читав у вищому технічному училищі м. Цюріха.
ІІІ.Аксіоматичне ознагення простору “Е” було запропоноване Йоганом Фон Нейманом в “Математичних основах квантової фізики ” (1927р.), але він запропонував лише аксіоми групи ІІІ, які визначають скалярний добуток, інші ж групи аксіом були запропоновані Германом Вейлем у книзі “Простір, час, матерія” (1918р.). Ці означення істотньо спираються на поняття вектора, лінійної залежності і незалежності і деякі інші, які ввійшли в матеметику в кінці ХІХ ст. І, як видно, із незв робіт Вейля і фон Неймана були дані в зв’язку з необхідністю строгого математичного обгрунтування тих розділів фізики, які з’явилися на початку ХХ століття. Однак ідея розширення поняття простору за межі трьох вимірів ще задовго до появи векторів, не говорячи вже про нову фізику.
Аксіоматику Вейля називають точкововекторною, оскільки в ній неозначувальними поняттями є точки і вектори.
Ситема аксіомВейля описує лише основні щість понять, два з яких – точки і вектораи – називають основними об’єктами. Поняття “додавання векторів”,“множення вектора на число”,“склярний добуток векторів” і “відкладання вектора від точки” незивають основними відношеннями, причом аксіоми перших трьох і перших чотирьох груп складають відповідно аксіоматику афінного і евклідового векторних просторів. Сукупнності усіх точок і векторів позначаються відповідно символами T i Y. Далі в роботі неми будуть розкриті основні питання, що стосуються аксіоматики Вейля. Перед написанням роботи нами були поставлені такі завдання, які ми намагалися реалізувати.
Актуальність роботи полягає в тому, щоб показати, що хоча курс геометрії побудований на векторній базі, в основу я кого покладено аксйоматику Вейля буде формалізованим, то процес вивчення геоматрії при такому підході був би набагато легшим для учнів, бо фактично вивчалась би векторна алгебра. А задачау на мові алгебри розв’язувати легше, ніж на мові геометрії.
| Місце теми “Вектори” в шкільній програмі: | |||
| Геометрія | Обовязковий Рівень | Підвищений рівень | Вимоги до знань та вмінь |
| 8 клас (9) координати і вектори на площині основна мета: ознайомити учнів з поняттям вектора ,елементами векторної алгебри,сформувати уміння використовувати дії над векторами і застосування відомості про вектори до разв’зування простіших задач. 10 клас Координати і вектори в просторі. Основна мета: поширити відомості про координатний метод на простір, поєднуючи вивчення нового з повторенням аналогічного матеріалу планіметрії. | Вектор.Модуль і напрям вектора. Рівність векторів. Координати вектора. Додавання векторів та їх властивостей. Множення векторів на число та його властивсті. Колінеарні вектори. Скалярний добуток векторів та його властивості. Вектори у просторі. Координати вектора.Додавання векторів та його властивості. Віднімання векторів.множення вектора на число та його властивості. Скалярне множення векторів. | Покладання вектора за його координатами. Розв’язування задач векторним методом. Розв’зування задач координатними і векторними методами | Учні повинні: Знати означення вектора і правила дій над векторами. Вміти виконувати дії над векторами і застосовувати вектори до розв’язування нескладних задач. Знати означення вектора в просторі, координат вектора, суми і різниці векторів, добутку вектора на число, скалярного добутку двох векторів; Використовувати вектори і координати дорозв’зування стандартних задач (додавання, віднімання векторів, множенння вектора на число, знаходження скалярного добутку двох векторів, кута між ними). |
В теорії Колмогорова вектор визначається як паралельний перенос. Композицію паралельних переносів називають їх сумою.При цьому роль нульового вектора відіграє тотожне перетворення, а роль вектора, протилежпого до даного-паралельний перенос, обернений даному. В результаті аксіоми Вейля виконуються. Доводячи властивості додавання векторів, цим самим доводять виконуваність відповідних аксіом векторного простору. Далі означеннями вводять операцію множення вектора на число і доводять виконуваність відповідних аксіом векторного простору. Оскільки ці доведення проводять у VIII класі, то закони дистрибутивності лише для раціональних чисел. Доведення ознаки колінеарності двох векторів і теореми про розклад вектора за двома колінеарними векторами означається розмірність векторного просору, утвореного паралельними перенесеннями площин. Нарешті, введенням скалярного добутку і доведенням його властивостей, закінчується доведенням того, що простір переносів площин є двомірним евклідовим векторним простором.
Як же відбувається перехід від поняття паралельного переносу до поняття вектор? Взагалі кажучи, паралельні пареноси не є векторами. Вони ними стають, як тільки на множині паралельних переносів вводяться операції множення переносу начисло, певним чином означена. Отже, на чій множені означкно вже дві операції-додавання-композиції і множення на число, що задовольняють аксіомам векторного простору. Одержаній новій структурі дають і нову назву. В шкільному курсі геометрії це виражається в заміні “паралельного переносу на вектор”.
VII.2. Про вивчення вектора в середній школі.
Серед основних проблем шового в шкільній математиці з достатьною увагою розглядається питання про місце векторів в структурі навчального предмету математики.
Поняття вектор – ємнісне, воно виражає явне взаємне розміщення двох точок простору-початку і кінця вектора, кожна з яких задана сукупністю дійсних чисел-координат; вектор вектор характеризує неявно взаємозв’язок координа точок довільної прямої, для якої даний вектор є поралельний. Векторний виклад геометрії і деяких питань лінійної алгебри дозволяє домогтися швидкого засвоєння основнихзнань учнями за досить малий проміжок часу.
Поєднання з перших кроків поняття вектора з сукупністю чисел-координат, повинно полегшити засвоєння данного матеріалу. Введення поняття вектора начисловій основі, згідно до загальної лінії аксіоматичної побудови шкільних курсів, дозволяє вчителю працювати з вектором на конкретній основі, як з об’єктом, який можна точно побудувати, вимирювати, порівнювати та обчислювати.
Саме цей бік погано погано розвивається на практиці навчання, коли обмежуються абстрактними геометричними поняттями вектора, який позначається всього лище буквами, зображається довільним направленим відрізком, не пов’язуючись з координатним методом, не спираючись на числову характеристику вектора. Одно,-два,-тримірні вектори розглядаються у порівнянні однозначно.
y z
2 Mz
2 My
k
0 2 x M 0 My y
M j
i
3
0 M x
x
Систематичне застосування поряд з геометричним і координатного тлумачення векторів дозволяє без витрати додаткового часу математично пояснити багато питань.
Розглянемо наприклад доведення властивості дистрибутивного множення суми векторів на скаляр:
| Дії | Обгрунтування |
| 1) α(a1+a2)=α( )= 2) =( )= 3) =( )= 4) =( )+( )= 5) =α( )+α( )= =αa1 + αa2 | за означенням суми векторів заданих своїми координатами. за означенням множення вектора на скаляр. на основі дистрибутивності множення чисел. на основі означення суми векторів. за означенням множення вектора на скаляр. |
Отже,
При застосуванні координатного методу, числового поняття векторів вдається досягти високих результатів щодо вмінь учнів виконувати цілий ряд операцій над векторами.
Векторні операції можна застосовувати і лише щодо алгебраічних питань.
Так, розв’язок системи двох /трьох лінійних рівнянь з двома /трьома змінними можна подати двома способами:
1) за означенням координат точки перетину
двох прямих на площині /трьох плщин у просторі
2) на основі розкладу двомірного /трьомірного вектора
за базисними векторами, які є лінійно-незалежними і
не лежать відповідно на одній прямій / площиі.
Отже, учнів досить ознайомити з векторами дво- і тривимірного простору, на основі геомитричної інтерпритації.
Залежно від того, який вид задач розглядається, можна використовувати зв’зні, ковзні та вільні вектори. Зв’язний вектор – це вектор, який визначається чотирма елементами: прямою, напрямком, довжиною і початком – точки прикладання. Два зв’язні вектори рівні тоді і тільки тоді, коли їх початки і кінці суміщаються. Ковзний вектор – це вектор, який визначається трьома елементами: прямою, напрямком, довжиною. Два ковзні вектори називаються рівними тільки тоді, коли вони лежать на одній прямій, мають одинакові напрями і рівні довжини. Вільний вектор визначається лише напрямом і довжиною. Два вільні вектори рівні тоді, коли вони мають одинакові напрями і рівні довжини. В шкільній геометрії розглядають лише вільні вектори.
VII.2. Формування у учнів пошуку роз’язку задач.
Види та форми аналізу та синтезу:
При розв’зуванні задач аналізу може виступити в двох формах: “а” – коли в міркуваннях рахуються від шуканих до відомих задачі, “б” – коли ціле ціле розділяють на частини. Відповідно синтез – це міркування: “а” – крли рахують від відомих задач до шуканих, “б” – коли елементи об’єднують в ціле.
Наприклад: Аналіз у формі міркувань від шукуних до відомих виступає при пошуку разв’язку наступної задачі: “Довести, що точка перетину продовжень бічних сторін трапеції і середини її основ належить одній прямій”.
Розв’язання.
Нехай АВСК – трапеція, О - точка перетину їїбічних сторін, М і Р – середини основ. Щоб, довести, що точки О, М, Р, лежать на одній прямій, достатньо довести колінеарність векторів ОМ і ОР, тобто ОР = К · ОМ. Для доведення цієї рівності достатньо виразити вектори ОР і ОМ через одні й тіж вектори. Далі використаємо переважно синтез. Враховуючи відомі величини в задачі, закрема подібність ∆ ОВС і ∆ ОАК, одержуємо ОМ = Ѕ(ОВ + ОС), ОР = Ѕ(ОА + ОК) = К ∙ Ѕ (ОВ + ОС) =К ∙ ОМ, тодто точки Р, О, М, лежать на одній прямій.
При розв’язку задач аналіз і синтез використовуються одночасно. Отже, аналіз при пошуку розв’язку задач ивкористовуються із синтезом у двох формах:
роздріблення (вивчення умови задачі, виділення в окремих данних,розв’язання частини задачі т.ін.);
міркування від щуканих до даних величин:
а) зростаючий; б) спадаючий.
Оформлення малюнків і записів:
Спираючися на системи закономірностей, вчитель може полегшувати інтелектуальні зусилля учнів і тим самим активізувати їх разумову діяльність. Відповідальні засобі відносяться до різних сторін учбового процесу і можуть використовуватись як при вивченні теоритичнего матеріалу, так і при вивченняі розв’язуванні задач.
В багатьох випадках прямі, відрізки і вектори зручніше позначати не двома буквами, однією.Порівняємо наприклад два способи оформлення доведення ознаки перпендикулярності прямої і площини:
на прямих b i c виберемо відповідно точки В і С, відмінні від точоки О; на прямих a i b виберемо пари точок А і А1, D i D1 .Розглянемо вектор DD1 за неколінеарними векторами ОВ і ОС: DD1 = х ∙ОВ + у ∙ ОС
на прямих a, b, c, d виберемо відповідно вектори a, b, c, d. Розкладемо вектор d за неколінеарними векторами d i c: d = x ∙ОВ + у ∙ОС = …
В першому випадку текст і малюнок будуть громіздкими і учні змушені частіше перекладати погляд на малюнок. Це затруднює сприйняття, оскільки вимагає більше зусиль органів чуття, ніж при читанні другого тексту.
VII.2. Перелічимо спецефічні розумові дії, що входить в склад умінь виконувати додавання векторним методом:
пераформування відношень між фігурами з
геометричної мови на мову векторів і обернена
дія;
операції над векторами;
представлення вектора у вигляді суми, різниці двох векторів, добутку вектора на число;
перетворення векторних рівностей (з використанням законів векторної алгебри і властивостей скалярного добутку);
перехід від співвідношень між векторами до співвідношень між їх довжинами.
Згідно теорії поетапного формування розумових дій
найбільш ефективним шляхом вивченням школярами векторного методу доведень і розв’язанню задач є поетапне попередне відпрацювання кожної з дій – компонентів, що входять в склад умінь доводити і розв’язувати задачі векторним методом.
В курсі планіметрії учні знейомляться з додаванням, відніманням векторів і множення вектора на число, вчаться знаходити суму двох векторів за правилами трикутника і паралелограма, вивчають правило віднімання векторів. Для розв’язання задач і доведення теорем важливо навчитись виконувати обернені операції, представляти вектор у вигляді суми або декількох векторів, у вигляді різниці двох векторів.
Шкільна практика показала, що учні не зустріли труднощів у перетворенні виразів: які містять вектори, оскільки закони додавання, віднімання, множення мектора на число анологічні в впевній мірі до законів операцій над числами. При підготовці учнів до разв’язування задач за допомогою векторів слід повторити ивчений матаріал, закріпити вміння виконувати операції над векторами і представити вектор у вигляді суми, різниці двох сум векторів, у вигляді добутку вектора на число.
З векторним методом довелення твержень і відповідним правилом- орієнтиром можна ознайомити учнів на прикладі доведень двох твержень, з яких перше учні вміють доводити без застосування векторів.
Задача №1.Довести, що середня лінія трапеції паралельна основам і її довжина дорівнює півсумі довжин основ.
Дано: ABCD – трапеція,
MN – середня лінія,
АD i BC – основи.
Довести: MN║AD,
MN = Ѕ (AD + BC).
Компетентний уряд ніколи не втрачає своєї кредитоспроможності (тобто можливості брати в борг). Він не стане збільшувати свою заборгованість, аж доки йому перестануть надавати кредити. Навпаки, компетентний уряд не дозволить надмірного зростання бюджетного дефіциту, розумно регулюючи свої видатки й рівень оподаткування. Заборгованість при цьому залишається на прийнятному рівні, і, крім того, урядові не доводиться позичати в Центральному банку таку кількість грошей, за якої інфляція виходить з-під контролю.
Одержуючи гроші від Центрального банку, уряд також бере кредит, принаймні формально. Передбачається, що в майбутньому він відшколує ці кошти з відсотками, але ж це те саме, що позичати в самого себе! Коли уряд сплачує відсотки Центральному банкові, той за відрахунком своїх витрат, має повернути ці відсотки урядові. Отож урядові, власне, ніколи не доводиться сплачувати відсотків за кредитами Центрального банку, та й самих кредитів сплачувати теж не доводиться. Фактично Центральний банк не позичає, а просто дарує гроші урядові.
Суспільство безперервно вимагає від держави нових і нових видатків- на виплату пенсій та допомогу з безробіття, фінансування оборонних заходів , виділення субсидій сільскому господарству, здійснення капіталовкладень, виплату відсотків за борги , й політики у погоні за голосами виборців вважають за кркще якомога повніше задовальняти ці запити. Одначе якщо уряд потуратиме цим вимогам, він може опинитись у досить загрозливій ситуації. Це призведе або до високої інфляції,або до стрімкого зростання державного боргу (який спричинює зростання інфляцію або банкрутство уряду), або до необхідності значного підвищення податків.
Існує п’ять основних статей урядових видатків. По-перше, виплата заробітної плати державним службовцям. По-друге, оплата всіляких товарів та послуг, наприклад придбання озброєнь та медикаментів державними структурами. По-третє, видача грошової допомоги і дотацій різним верствам населення, наприклад, незабезпеченим і безробітним, а також видача субсидій підприємствам. По-четверте, погашення відсотків за державний борг. По-п’яте, інвестиційні видатки під державні проекти.
Які види податків використовують у країнах з ринковою економікою для покриття бюджетних видатків? Існує два основних види податків: прямі і непрямі. Прямі податки стягуються з безпосереднього доходу, яким є заробітна плата чи прибуток. Як правило, робітники та службовці сплачують прямі податки на зарплату, а підприємсва-прямі податки на прибуток. Що ж до непрямих податків, то ними обкладаються товари і послуги.
І снує два основні види прямих податків і два види непрямих. До прямих податків належить прибутковий податок та податок на прибуток, які стягуються у вигляді певного відсотка з доходів населення та прибутку підприємств, і податок на зарплату, який стягується з підприємств та організацій у вигляді відсотка від виплачуваної ними заробітної плати. Два види непрямих податків- це податки на продукцію внутрішнього виробництва (наприклад, податок на додану вартість) і на зовнішню торгівлю(митні тарифи на імпорт товарів).
Український бюджет переживає кризу й глубоку трансформацію .Криза виражається у великому бюджетному дефіциті, який відшкодовується головно за рахунок коштів Національного банку. Трансформація відображає крах соціалістичної системи господарювання і перехід до ринкової економіки.
Уряд України має знайти прийнятний компроміс: зменшити податковий тягар для того, щоб населення і підприємства мали можливість розпоряджатися більшою частиною свого доходу, і водночас забезпечити достатній приплив податкових надходжень до державної скарбниці, щоб скоротити бюджетний дефіцит і взяти під контроль інфляцію.
Іншим важливим аспектом питання є проблема фінансування бюджетного дефіциту. У 1995 р. бюджетний дефіцит в Україні складав приблизно 7.31% ВВП. Приблизно 19.3% цього дефіциту було покрито за допомогою зовнішніх джерел, 7.5% - шляхом продажу облігацій державної скарбниці і 73.2%-надано Національним банком та комерційними банками України. Таким чином, левову частку коштів було надано урядові Національним банком, який з цією метою просто створив за допомогою друкарського верстата кошти, яких бракувало. Теж саме відбувалося в 1993, 1994 роках.
Яких змін зазнаватиме українська бюджетна структура в міру переходу країни на ринкові методи господарювання? Можна назвати п’ять головних напрямків:
1. Український уряд має скоротити рівень витрат й оподаткування у загальному обсязі валового внутрішнього продукту.
2. Він повинен збільшити дотації населенню й скоротити субсидії підприємствам.
3. Йому слід обмежитися інвестуванням проектів суспільного призначення й вілмовитися від фінансування промислових проектів, якими можуть займатися самі приватні підприємства.
4. Він має скоротити оборонні видатки і переспрямуватит бюджетні асигнування на соціальні потреби.
5. Він повинен активніше використовувати податок на додану вартість і прибутковий податок, відмовившись від колишньої залежності від податку на прибуток підприємств.
Банківська система.
Державний бюджет і Національний банк є важливим ланками фінансової системи України. Але не менш важлива і структура комерційних банків, діяльність яких у разі некомпетентного управління також може сприяти виникненню нестабільності.
У перші роки незалежності України система платежів та розрахунків функціонувала не найкращим чином, що стало однією з найголовніших причин тривалої кризи економіки. Підприємці на гіркому досвіді переконалися в тому, що переказ грошей, який у “нормальній” банківській системі триває один день, в Україні займав до двох тижнів. Подібного роду зволікання за умов інфляції може дуже дорого коштувати.
Така повільність у першу чергу пояснюється тим, що донедавна банки відігравали другорядну роль в українській системі платежів. Одне підприємство постачало товари іншому тільки тому, що було зобов’язане це робити згідно з державним планом завдання, а не тому, що йому за це платили. Швидкість здійснення банківських операцій відповідно не мала особливого значення. Останніми ж роками у міру розвитку ринкових реформ проблема швидкого переказу коштів набула величезної ваги, одначе досить часто складається враженння, що банківська система живе вчорашнім днем-ніби жодних реформ і не існувало. У країнах Заходу банки звичайно домовляються між собою про заходи щодо прискорення взаємних платежів. Що ж до України, то тут Національний банк у своєму прагненні зберегти контроль за системою розрахунків іноді перешкоджає необхідним домовленностям між приватними банками. Втім, за останній рік-два Національний банк України здійснив ряд заходів, спрямованих на поліпшення системи міжбанківських розрахунків, і запровадив електронну систему платежів. Нова система значно прискорила здійснення переказу коштів, зменшила ризик шахрайсва тощо, хоча вона ще вимагає цілої низки вдосконалень.
Неважко оцінити важливість послуг, фактично наданих банком. Родина,що бажає здійснити заощадження, як правило, не має жодного уявлення про те, якій компанії надати позичку. Одна компанія напевно одержить прибуток та верне кредит з відсотками, тоді як інша збанкрутує і ніколи не зможе повернути позичку. У цьому випадку вкладник доручає рішення банкові. Банк спеціалізується на оцінці якості, тобто доцільності, кредиту: він визначає, які компанії мають надійні інвестиційні перспективи, а які навряд чи здатні отримати прибуток і повернути кредит. Отже банк виконує дуже важливу функцію, розміщуючи заощадження в економіці і спрямовуючи кошти населення на найбільш вигідні капіталовкладення. Завдяки цьому ефективна банківська система сприяє економічному зростанню краіни, сприяє тому, щоб найбільш прибуткові компанії мали можливість отримувати необхідні кредити від вкладників.
Таким чином комерційні банки приймають вклади від населення і з цих коштів видають кредити підприємствам. Банківський прибуток складається за рахунок того, що відсоткова ставка за кредити перевищує відсоткову ставку за внески. Одначе якщо кредити не повертаються, банк зазнає збитків, адже він мусить виплачувати відсотки вкладникам, навіть якщо він не здатний одержати проценти від компанії-позичальниці.
Як ми щойно з’ясували, банки не застраховані від розорення і вони можуть стати жертвою звичайних чуток і паніки. Тому державне регламентування банківської діяльності має важливе значення навіть за умов ринкової економіки. Воно здійснюється з кількох причин, яких ми зараз торкнемося. У більшості країн регулюванням банківської діяльності займається Центральний банк. Проте в деяких країнах цю відповідальність за законом поділено між двома організаціями, серед яких Центральний банк, регіональні органи влади та спеціальні структури, створені виключно з метою регламентування банківської діяльності.
У першу чергу регламентування діяльності банків спрямоване на те, щоб банкам було не так легко розоритися. Найкращий спосіб досягнення цієї мети-примусити засновників банку вкласти в нього таку кількість власних грошей, яка була б пропорційною до позичок, що видаються банком. Тобто банківський регламент обмежує припустиму частку позикових коштів у загальному капіталі банку, передбачаючи певне мінімальне співвідношення між обсягом статутного капіталу та обсягом надаваних кредитів.
Друге завдання регламентування банківської діяльності- запобігти наданню банками надто ризикованих кредитів. Цього можна досягти кількома шляхами. Наприклад, банкам звичайно заборонено видавати позички своїм власникам. Це робиться щоб уникнути ситуації, коли власники банку використовують гроші вкладників для надання кредитів самим собі. Інший спосіб запобігти зловживанням з боку власників- обмежити категорії людей і компаній, що мають право володіти банками. Скажімо, існують обмеження на заснування банків промисловими фірмами.
У вигляді додаткових гарантій банківський регламент вимагає щоб банки зосереджували власні кредити. Це означає, що вони не повинні надавати занадто великі суми лише двом-трьом пілприємствам. Видаючи багато дрібних позичок замість одного-двох великих кредитів, банк набагато менше ризикує розоренням.
Третя мета регламентування діяльності банків-запобігти чи принаймні обмежити випадки банківської паніки. Як один із заходів у цьому плані використовують систему депозитного страхування. У більшості країн банки мусять щороку спрямовувати невелику частину прибутку до особливого страхового фонду, який забезпечує гарантії вкладникам. У випадку банкрутства банку внески буде відшкодовано за рахунок коштів фонду-принаймні до певної максимальної суми. Цей фонд виконує дві функції. Він оберігає вкладників від банкрутства банків і, крім того, оберігає банки від ризику банківської паніки. Адже якщо вкладники знають, що їхні гроші захищено фондом депозитного страхування, вони не панікуватимуть у разі чуток про той чи інший банк.
Узагальнення
Жодна держава світу не здатна ефективно функціонувати без стабільної державної валюти. Для того щоб люди заощаджували кошти, здійснювали інвестиції і займалися комерцією, вони мають бути впевненими у надійності національної грошової одиниці. Певною мірою ключем до стабільної національної валюти є ефективна бюджетна політика. Для цього уряд повинен розумно поводитись із коштами, обмежуючи свою діяльність необхідними заходами, з якими не може впоратись приватний сектор.
Окрім стабільного і реалістичного бюджету повинна існувати ефективна банківська система. Це вимагає створення дійової платіжно-розрахункової системи, яка дозволить здійснювати банківські розрахунки без затримок. Разом з тим банки повинні здійснювати розумну кредитну політику. Оскільки банки мають можливість зловживати коштами своїх вкладників, має існувати державне регламентування банківської діяльності, щоб банківські операції здійснювались в межах закону з найменшим ризиком для вкладників. Звичайно з цією метою приймаються закони про максимальні обсяги кредитування та про диверсифікацію кредитів. Крім того, створюються особливі фонди страхування банківських внесків на випадок непередбаченого закриття банку.
Висновки.
В результаті написання кваліфікаційної роботи мною була досягнута мета за допомогою виконання тих завдань, які були намічені, тобто:
Систематизувала відомості про розв’язування показникових та логарифмічних рівнянь й нерівностей та їх систем в шкільному курсі алгебри старшої школи. Розглянула всі основні способи розв’язання показникових та логарифмічних рівнянь й нерівностей та їх систем, теореми про рівносильність, та всі типові складності які виникають при розв’язуванні цих рівнянь.
З’ясувала місце показникових та логарифмічних рівнянь й нерівностей та їх систем в діючій та проекті нової програми з математики, конкретизувала вимоги до уявлень, знань, умінь та навичок учнів.
Проаналізувала сучасні діючі і пробні підручники з алгебри і початків аналізу. Провела логіко-дидактичний аналіз тем «Показникова функція» і «Логарифмічна функція».
Запропонувала методичні рекомендації щодо викладання тем «Показникова і логарифмічна функція» в старших класах загальноосвітньої школи.
Сформулювала навчальні цілі, розробила тематичні плани до тем «Показникова функція», «Логарифмічна функція», план- конспект уроку формування навичок і вмінь на тему: І Розв’язування логарифмічних рівняняьІ за підручником «Алгебра і початки аналізу» під редакцією М.І.Шкіль, З.І.Слєпкань, О.С.Дубінчук .
Підібрала диференційовану систему вправ, подала приклади розв’язування рівнянь та нерівностей різної складності та для самостійного розв`язування.
За допомогою комп’ютера і використовуючи програму Arbаit, розробила самоконтролюючу та контолюючу програму для перевірки знань учнів, яка може бути використана при вивченні тем «Показникова і логарифмічна функції».
У процесі вивчення цього розділу учні систематизують, узагальнюють і поглиблюють знання про степені корені та їх властивості, засвоюють поняття показникової і логарифмічної функції, їх властивості та графіки, навички та вміння виконувати тотожні перетворення виразів показникової і логарифмічної функції, розв’язувати показникові і логарифмічні рівняння й нерівності та їх системи, здійснювати обчислення числових виразів з логарифмами і степенями.
Учні повинні навчитися схематично зображати графіки показникових і логарифмічних функцій при різних основах, пам’ятати основні властивості цих функцій та вміти використовувати їх при розв’язанні показникових і логарифмічних рівнянь і нерівностей та їх систем. Бажано ознайьмити учнів на факультативних чи гурткових заняттях із схематичним зображенням графіків показникових та логарифмічних функцій з модулями.
У процесі розв’язування показникових і логарифмічних рівнянь та їх систем корисно систематизувати знання учнів про рівносильність рівнянь і систем, виділити операції, які можуть порушувати рівносильність. Слід звернути увагу на причини виникнення сторонніх коренів при розв’язуванні рівнянь і в зв’язку з цим на необхідність перевірки знайдених розв’язків, а також на причини втрати коренів.
Засвоення учнями нових знань при вивченні розділу базується на раніше вивченному матеріалі про степені й корені, розв’язанні системи алгеьраїчних рівнянь і нерівностей, тощо. Бажано, щоб актуальні питання раніше вивченного матеріалу грунтовно систематизувалися за рахунок часу, виділеного на узагальнююче повторення. При плануванні узагальнюючого повторювання це слід урахувати, і до повторенного матеріалу безпотреби можна не повертатися.
Кваліфікаційна робота написана на тему «Показникові і логарифмічні рівняння і нерівності в шкільному курсі алгебри».
Актуальність теми полягає в тому, що тема «Показникова і логарифмічна функції» є однією з основних тем в шкільній програмі з математики в 11 класі, її приділяється велика кількість навчального часу (20(30)). У процесі вивчення цього розділу учні систематизують, узагальнюють і поглиблюють знання про степені і корені та їх властивості, засвоюють поняття показникової і логарифмічної функцій, їх властивості та графік, навички та вміння виконувати тотожні перетворення виразів показникової та логарифмічної функціями, розв’язувати показникові і логарифмічні рівняння й нерівності та їх системи.
Розв’язуванню задач, а точніше рівнянь або нерівностей, показникових та логарифмічних, приділяється багато уваги, осбливо на вступних екзаменах до ВУЗів та інших навчальних закладах. Тому розгляд цієї теми дуже важливий.
МЕТА РОБОТИ - системазувати відомості про показникові та логарифмічні рівняння й нерівності та їх системи в шкільному курсі алгебри старшої школи і розкрити роль і місце вивчення показникових та логарифмічних рівняньта нерівностей в школі та вибрати методику подання цієї теми.
ДЛЯ ДОСЯГНЕННЯ МЕТИ БУЛИ ПОСТАВЛЕНІ ТАКІ ЗАВДАННЯ:
Систематизувати відомості про розв’язування показникових та логарифмічних рівнянь й нерівностей та їх систем в шкільному курсі алгебри старшої школи.
З’ясувати місце показникових та логарифмічних рівнянь й нерівностей в діючій та проекті нової програми з математики, конкретизувати вимоги до знань, умінь і навичок учнів.
Проаналізувати сучасні діючі і пробні підручники з алгебри.
Запропонувати методичні рекомендаціі щодо викладання тем “Показникова функція” та «Логарифмічна функція» в середній загальноосвітній школі.
Підібрати диференційовану систему вправ.
Подати приклади розв’язування рівнянь та нерівностей різної складності та задачі самостійного розв’язування.
Опробувати розроблену методику в сучасній школі.
Зробити висновки.
В ПРОЦЕСІ РОБОТИ ВИКОРИСТОВУВАЛИСЬ ТАКІ МЕТОДИ:
дослідницький метод при вивченні психологопедагогічної, наукової та методичної літератури з предмету дослідження;
аналітичні методи;
практична реалізація запропонованої методики.
ПРИ ПРОВЕДЕННІ УРОКІВ В ШКОЛІ ПРОПОНУЄТЬСЯ ЗАСТОСУВАТИ ТАКІ МЕТОДИ:
пояснювально--ілюстраційний;
конкретно--індуктивний;
абстрактно- дедуктивний
дослідницький.
Робота складається з таких частин: Вступ, 3 розділи, які включають в себе 8 параграфів, висновки та додатки.
В результаті написання кваліфікаційної роботи мною була досягнуті цілі за допомогою виконання тих завдань, які були намічені, тобто:
Систематизувала відомості про розв’язування показникових та логарифмічних рівнянь й нерівностей та їх систем в шкільному курсі алгебри старшої школи. Розглянула всі основні способи розв’язання показникових та логарифмічних рівнянь й нерівностей та їх систем, теореми про рівносильність, та всі типові складності які виникають при розв’язуванні цих рівнянь.
В данній кваліфікаційній роботі проаналізовані різни підходи при вивченні показникових та логарифмічних рівнянь, а також взагалі при вивченні теми «Показникова і логарифмічна функції». З’ясувала місце показникових та логарифмічних рівнянь й нерівностей та їх систем в діючій та проекті нової програми з математики, конкретизувала вимоги до уявлень, знань, умінь та навичок учнів.
Проаналізувала сучасні діючі і пробні підручники з алгебри і початків аналізу. Провела логіко-дидактичний аналіз тем «Показникова функція» і «Логарифмічна функція» за новим підручником «Алгебра і початки аналізу 10-11» під редакцією Шкіль М.І., Слєпкань З.І., Дубінчук О.С. Проведено порівняльну характеристику вивчення данної теми в підручниках під редакцією А.Н. Колмогорова та під редакцією Шкіль М.І., Слєпкань З.І., Дубінчук О.С.
Запропонувала методичні рекомендації щодо викладання тем «Показникова і логарифмічна функція» в старших класах загальноосвітньої школи.
Сформулювала навчальні цілі, розробила тематичні плани до тем «Показникова функція», «Логарифмічна функція», а токож фрагменти уроків, план- конспект уроку формування навичок і вмінь на тему: І Розв’язування логарифмічних рівняняьІ за підручником «Алгебра і початки аналізу» під редакцією М.І.Шкіль, З.І.Слєпкань, О.С.Дубінчук .
Підібрала диференційовану систему вправ, подала приклади розв’язування рівнянь та нерівностей різної складності та для самостійного розв`язування.
За допомогою комп’ютера і використовуючи програму Arbаit, розробила самоконтролюючу та контолюючу програму для перевірки знань учнів (теоретичних і практичних), яка може бути використана при вивченні тем «Показникова і логарифмічна функції». Яку я продемонструю.
1. Диференційована система вправ:
Система задач має три рівні складності:
І. Обов’язковий рівень - містить задачі та вправи, в основному репродуктивного характеру на 2-3 логічних кроки, представлені у формі тестів. Для їх розв’язування цчням достатньо знати правила, означення, формули, теореми та ознаки, передбачені навчальними програмами, а також вміти виконувати найпростіші тотожні перетворення, спрощення та обчислення.
ІІ. Підвищенний рівень - містить завдання на 4-6 логічних кроки, розв’язання яких вимагає від учня творчого застосування одержаних знань з достатньо повним і строгим обгрунтуванням ходу розв’язку.
ІІІ. Поглиблений рівень - це, як правило задачі та вправи, розв’язання яких вимагає вміння орієнтуватися в нестандартних ситуаціях, застосовувати орігінальні та штучні прийоми, глибини та строгості суджень, характерних для тих, хто вивчає шкільний курс математики на поглибленому рівні.
а) Показникові рівняння і нерівності;
Обов’язковий рівень.
Розв’язати рівняння.
1.
1) ,
2) ,
,
.
2.
1,
2,
2; 3,
інша відповідь.
2,
3,
4,
інша відповідь.
3,
-3,
1,
інша відповідь.
,
,
2,
інша відповідь.
Розв’язати нерівності.
1.
,
,
інша відповідь.
,
,
,
інша відповідь.
,
,
,
інша відповідь.
,
,
,
інша відповідь.
,
,
.
інша відповідь.
Підвищний рівень
Розв’язати рівняння
Розв’язати нерівності
Розв’язати нерівность графічно.
Поглиблений рівень
Розв’язати рівняння.
1.
,
Розв’язати нерівності
1.
б) Логарифмічні рівняння і нерівності;
Обов’язковий рівень.
Знайти корені рівняння.
5,
3,
4,
інша відповідь.
2.
1),
,
інша відповідь.
-2; 0,
інша відповідь,
0; -2.
3,
8,
інша відповідь.
-4,
4,
2
інша відповідь.
При яких значеннях справедлива рівність.
,
,
,
інша відповідь.
2.
,
9,
-9
інша відповідь.
2,
,
-2
інша відповідь.
Розв’язати нерівності
,
,
інша відповідь.
,
,
інша відповідь.
3.
,
,
,
інша відповідь.
4.
,
,
інша відповідь.
Підвищний рівень
Розв’язати рівняння
Розв’язати нерівності
Поглиблений рівень
Розв’язати рівняння.
Розв’язати нерівності
Використання нових інформаційних технології при вивченні тем показникові і логарифмічні рівняння та нерівності.
Хочу поділитися своїми враженнями від нової форми навчання - за допомогою комп’ютера. Звичайно, не можна все зводити до нього, - і кількість годин, проведенних за екраном, не може служити критерієм якості навчання, як це намагаються представити в деяких приватних школах. Але безсумнівно одне - комп’ютер відмінний помічник для организації індивідуального навчання. Бо як тільки педагог перестає бачить в учені просто сосуд, який треба наповнити знаннями та вміннями, йому доводиться шукати індивідуальний підхід до кожного, підстраюватися до його інтересів, темп засвоєння матеріалу, особисті особливості психіки. Наприклад, в деяких школах кожен учень може вибрати для себя не просто курс, який його цікавить, але навіть окремі предмети. Комп’ютер, як відомо, виконує ту программу, яка в нього закладена, і надає великий вибір тем для вивчення. Сучасні методи представлення інформації в комп’ютерах включають в себе не просто текст, але і картинки, відео, звукові фрагменти. Це дозволяє задіяти практично всі органи почуттів, використовуваємих для сприйняття інформації, при цьому здійснюється її дублювання по різним каналам сприйняття, що різко підвищує швидкість і якість засвоєння матеріалу. Комп’ютерный підручник неможна вже порівнювати з книгою, як це було всього декілька років тому - зараз більшість навчаючих програм неможливо відрізнити від ігр, і для того, щоб перемогти в такій грі, будуть потрібні знання, які дитині важко приїняти як необхідні йому тільки зараз - але ж всім нам притаманно відкладати "на потім" рішення багатьох проблем. А такий елемент сучасних комп’ютерних документів, як гипертекстова ссилка дозволяє при необхідності звернутися до будь-якого місця документа за додатковою інформацією, і втой же час при повторному вивченні не перевантажує початковий текст документу. Доречі, по принципу гіпертексту влаштована всесвітня інформаційна мережа Internet, за допомогою якої вже зараз проводится так зване "дистанціоне навчання" - коли професори престижних університетів виступають з лекціями і відповідають на питання не звичної студентської аудиторії, а перед тими, хто в цей момент підключен до їх вузлу мережи. Недивлячись на тишу і візуальну відстутність слухачів, яких може бути не менше, чим глядачів у телеекрана, але на відміну від книги чи телепередачі зберігається зворотній зв’язок між викладачем і учнями. Це - реальність сьогоднішнього дня. Цікаво, що нас (і наших дітей) чекає в недалекому третьому тисячолітті.
Широке впровадження в навчальний процес нових інформаційних технологій відкриває широкі перспективи щодо поглиблення і розширення теоретичної бази знань, надання результатам навчання практичного значення, активізації пізнавальної діяльності, створення умов для повного розкриття творчого потенціалу учнів з урахуванням вікових особливостей, індивідуальних нахилів.
На сьогодні розроблено значну кількість програмних засобів, що дозволяють розв’язувати за допомогою комп’ютера досить широке коло математичних задач різних рівнів складності. Це такі програми як DERIVE, EURIKA, GRAN1, Maple, MathCad. Причому одні з цих програм розраховані на фахівців досить високої кваліфікації в галузі математики, інші - на учнів середніх навчальних закладів та студентів.
Можливість провести необхідний чисельний експеримент, швидко виконати потрібні обчислення чи графічні побудови, перевірити ту чи іншу гіпотезу, випробувати той чи інший метод розв’язування задачі, вміти проаналізувати та пояснити результати, отримані за допомогою комп’ютера, з’ясувати межі можливостей застосування комп’ютера чи обраного методу розв’язування задачі має надзвичайне значення у вивченні математики.
Не торкаючись докладно всіх тем, які вивчаються в курсі математики загальноосвітньої середньої школи, можна зауважити, що комп’ютерні програми згаданого типу можуть бути використані практично на всіх уроках математики, починаючи вже з п’ятих-шостих класів, зокрема під час вивчення системи координат на прямій і на площині, поняття функції, елементарних функцій та їхніх властивостей, методів розв’язування рівнянь і нерівностей та їх систем, елементів теорії границь числових послідовностей, диференціального та інтегрального числень та їх застосування.
Використовуючи програму Arbeit я розробила програму, яка може бути використана при вивченні тем «Показникова і логарифмічна функції». Це контролююча програма, в якій передбачено самокотроль знань та контроль знань. Тобто за допомогою цієї програми учень може сам перевіряти набуті знання, і вчитель може перевіряти знання певного учня.
Вступ.
МЕТА РОБОТИ - системазувати відомості про показникові та логарифмічні рівняння й нерівності та їх системи в шкільному курсі алгебри старшої школи і розкрити роль і місце вивчення показникових та логарифмічних рівняньта нерівностей в школі та вибрати методику подання цієї теми.
ДЛЯ ДОСЯГНЕННЯ МЕТИ БУЛИ ПОСТАВЛЕНІ ТАКІ ЗАВДАННЯ:
Систематизувати відомості про розв’язування показникових та логарифмічних рівнянь й нерівностей та їх систем в шкільному курсі алгебри старшої школи.
З’ясувати місце показникових та логарифмічних рівнянь й нерівностей та їх систем в діючій та проекті нової програми з математики, конкретизувати вимоги до знань, умінь і навичок учнів.
Проаналізувати сучасні діючі і пробні підручники з алгебри.
Запропонувати методичні рекомендаціі щодо викладання тем “Показникова функція” та «Логарифмічна функція» в середній загальноосвітній школі.
Підібрати диференційовану систему вправ.
Подати приклади розв’язування рівнянь та нерівностей різної складності та задачі самостійного розв’язування.
Опробувати розроблену методику в сучасній школі.
Зробити висновки.
В ПРОЦЕСІ РОБОТИ ВИКОРИСТОВУВАЛИСЬ ТАКІ МЕТОДИ:
дослідницький метод при вивченні психологопедагогічної, наукової та методичної літератури з предмету дослідження;
аналітичні методи;
практична реалізація запропонованої методики.
ПРИ ПРОВЕДЕННІ УРОКІВ В ШКОЛІ ПРОПОНУЄТЬСЯ ЗАСТОСУВАТИ ТАКІ МЕТОДИ:
пояснювально--ілюстраційний;
конкретно--індуктивний;
дослідницький.
Історична довідка.
Логарифми: Винайдення логарифмів значною мірою прискорилось потребами удосконалення обчислень. Винайшли логарифми і майже одночасно почали їх застосовувати шотландський математик Джон Непер (1550-1617) і швейцарський математик, астроном і механік Йост Бюргі (1552-1632). Проте перший крок до спрощення обчислень зробив німецький математик Михаель Штіфель (1487-1567), у якого поняття логарифма з’явилося в результаті зіставлення геометричної і арифметичної прогресій. Ця ідея бере свій початок у працях Архімеда (бл. 287-212 до н.е.).
Таблиці логарифмів дуже спрощували обчислення, дії другого ступеня (множення, ділення) звелися до дій першого ступення (додавання, віднімання) над відповідними логарифмами. При цьому довелося виконувати дії із значно меншими числами. Але у зв’язку з впровадженням сучасних ЕОМ обчислення за допомогою логарифмів втаратило своє значення.
Показникова функція: До початку XVII ст. у математиці уникали вживання дробових та від’ємних показників степенів. Лише в кінці XVII ст. у зв’язку з ускладенням математичних задач виникла необхідність поширити область визначення показника степеня на всі дійсні числа. Узагальнення поняття степеня , де n - будь-яке дійсне число, дало змогу розглянути показникову функцію на множині дійсних чисел і степеневу функцію на множині додатних чисел ( для цілих n степенева функція визначена і для x<0). Питання, пов’язане з показниковою функцією, розробляв Леонард Ейлер. У двох розділах своєї праці «Вступ до аналізу» він описав «показникові і логарифмічні кількості». В ній, зокрема зазначено, що показникові кількості можуть бути різноманітними залежно від того, «чи буде змінною кількістю один лише показник степеня, чи, крім того, ще і кількість, яку підносять до степеня». До перших належать , до других .
Кваліфікаційна робота написана на тему «Показникові і логарифмічні рівняння і нерівності та їх системи».
МЕТА РОБОТИ - системазувати відомості про показникові та логарифмічні рівняння й нерівності та їх системи в шкільному курсі алгебри старшої школи і розкрити роль і місце вивчення показникових та логарифмічних рівняньта нерівностей в школі та вибрати методику подання цієї теми.
ДЛЯ ДОСЯГНЕННЯ МЕТИ БУЛИ ПОСТАВЛЕНІ ТАКІ ЗАВДАННЯ:
Систематизувати відомості про розв’язування показникових та логарифмічних рівнянь й нерівностей та їх систем в шкільному курсі алгебри старшої школи.
З’ясувати місце показникових та логарифмічних рівнянь й нерівностей та їх систем в діючій та проекті нової програми з математики, конкретизувати вимоги до знань, умінь і навичок учнів.
Проаналізувати сучасні діючі і пробні підручники з алгебри.
Запропонувати методичні рекомендаціі щодо викладання тем “Показникова функція” та «Логарифмічна функція» в середній загальноосвітній школі.
Підібрати диференційовану систему вправ.
Подати приклади розв’язування рівнянь та нерівностей різної складності та задачі самостійного розв’язування.
Опробувати розроблену методику в сучасній школі.
Зробити висновки.
В ПРОЦЕСІ РОБОТИ ВИКОРИСТОВУВАЛИСЬ ТАКІ МЕТОДИ:
дослідницький метод при вивченні психологопедагогічної, наукової та методичної літератури з предмету дослідження;
аналітичні методи;
практична реалізація запропонованої методики.
ПРИ ПРОВЕДЕННІ УРОКІВ В ШКОЛІ ПРОПОНУЄТЬСЯ ЗАСТОСУВАТИ ТАКІ МЕТОДИ:
пояснювально--ілюстраційний;
конкретно--індуктивний;
дослідницький.
Робота складається з таких частин: Вступ, 3 розділи, які включають в себе 7 параграфів.
Розділ I - Загальна теорія рівнянь
§1 -це основні види рівняння, означення, твердження.
§2 - розглядається класифікація і способи розв’язання показникових рівнянь та нерівностей.
§3 - розглядається класифікація і способи розв’язання логарифмічних рівнянь та нерівностей.
Розділ II - Місце показникових та логарифмічних рівняннь в шкільному курсі алгебри.
§1 Місце в діючий програмі.
§2 Аналіз діючих підручників та тестів
Розділ III- Методика навчання розв’язання показникових та логарифмічних рівнянь.
§1 методичні особливости навчання.
§2 Диференційована система вправ.
§3 Використання нових інформаційних технології при вивченні тем показникові і логарифмічні рівняння та нерівності.
В данній кваліфікаційній роботі проаналізовані різни підходи при вивченні показникових та логарифмічних рівнянь, а також взагалі при вивченні теми «Показникова і логарифмічна функції». Також проведений логіко- дидактичний аналіз тем «Показникова функція», «Логарифмічна функція» за новим підручником «Алгебра і початки аналізу 10-11» під редакцією Шкіль М.І., Слєпкань З.І., Дубінчук О.С. Проведено порівняльну характеристику вивчення данної теми в підручниках під редакцією А.Н. Колмогорова та під редакцією Шкіль М.І., Слєпкань З.І., Дубінчук О.С. А токож приведені фрагменти уроків, розроблено тематичний план до цих тем, розроблено план-конспект уроку формування навичок та вмінь на тему «Розв’язування логарифмічних рівнянь», а також складена система задач.
Актуальність теми полягає в тому, що тема «Показникова і логарифмічна функції» займає велике місце в шкільній програмі з математики в 11 класі, її приділяється багато часу. У процесі вивчення цього розділу учні систематизують, узагальнюють і поглиблюють знання про степені і корені та їх властивості, засвоюють поняття показникової і логарифмічної функцій, їх властивості та графік, навички та вміння виконувати тотожні перетворення виразів показникової та логарифмічної функціями, розв’язувати показникові і логарифмічні рівняння й нерівності та їх системи.
Останнім часом розв’язуванню задач, а точніше рівнянь або нерівностей, показникових та логарифмічних, приділяється багато уваги, осбливо на вступних екзаменах до ВУЗів та інших навчальних закладах. Тому розгляд цієї теми дуже важливий.
План- конспект уроку формування навичок та вмінь на тему «Розв’язування логарифмічних рівнянь».
Тема: Розв’язування логарифмічних рівнянь.
Мета уроку: Навчити учнів розв’язувати логарифмічні рівняння
різними методами.
Обладнання уроку: Таблиці властивостей логарифмів.
Хід уроку.
Актуалізація опорних знань.
А) Пропонується учням відповісти на поставлені запитання.
Що називається логарифмом числа за даною основою ?
Очікувана відповідь: Логарифмом числа за основою ( і ) називається показник степеня , до якого треба піднести , щоб дістати число .
Записати основну логарифмічну тотожність?
Очікувана відповідь: .
Перерахуйте основні властивості логарифмів ?
Очікувана відповідь:
Т1: Логарифм добутку двох додатних множників дорівнює сумі їх логарифмів.
Т2: Логарифм частки двох додатних чисел (дробу) дорівнює різниці логарифмів діленого і дільника (чисельника і значенника).
Т3: Логарифм степеня додатного числа дорівнює показнику степеня , помноженого на логарифм основи цього степеня.
Т4: Логарифм кореня з додатного числа дорівнює логарифму підкореневого виразу, поділеному на показник кореня.
4) Що таке потенціювання?
Очікувана відповідь: Перетворення, за допомогою якого за даним логарифмом числа (виразу) визначають саме число (вираз), називається потенціюванням. Це перетворення є оберненим до логарифмування.
Записати формулу переходу від однієй основи логарифма до іншої?
Очікувана відповідь: , , , , .
Які рівняння називають логарифмічними ?
Очікувана відповідь: Логарифмічними називають рівняння, які містять змінну під знаком логарифма.
Який вигляд і розв’язок має найпростіше логарифмічне рівняння?
Очікувана відповідь: Найпростіше логарифмічне рівняння має вигляд , де , , - будь-яке число. Воно має єдиний розв’язок , який можна дістати за допомогою потенціювання.
Яка причина появи сторонніх коренів?
Очікувана відповідь: Під час розв’язування логарифмічних рівнянь може статися розширення області визначення і можуть з’явитися сторонні корені.
Б) Математичний диктант.
Читається кожне завдання окремо. Числові дані записуються на дошці (можна використовувати кодоскоп).
Знаючи , знайти .
Знайти , якщо .
Чи правильно, що ? Чому?
Довести, що .
Чи правильно, що ? Чому?
Пропонується учням ( на кожній парті) обмінятися виконаними завданнями і здійснити перевірку диктанта.
Правильні відповіді на всі завдання диктанта демонструються на дошці ( були написані попередньо) або за допомогою кодоскопа.
Учні самі виставляють оцінки за такими нормами: правильно розв’язане завдання - «+», неправильно розв’язане завдання - «-», залежно від кількості «+» і «-» виставляється оцінка: 5 «+» - «5», 4 «+» - «4», 3 «+» - «3», менше 3 «+» - 2.
ІІ. Постановка задачі урока.
Завдання даного уроку - навчитись розв’язувати логарифмічні рівняння різними методами.
ІІІ. Вивчення нового матеріалу .
А) Первинне застосування набутих знань.
Спочатку нагадуємо, що для розв’язання рівняння (, ) (1) досить розв’язати рівняння (2) і його розв’язки підставити в систему нерівностей (3), яка задає область визначення рівняння. Коренями рівняння (1) є тільки ті розв’язки рівняння (2), які задовольняють систему (3), тобто належатьобласті визначення рівняння, заданого формулою (1).
Завдання 1 і 2 розв’язуються колективно під керівництвом вчителя.
Завдання 1: Розв’язання рівняння
Розв’язання :
Вчитель ставить ряд запитань, щоб проаналізувати розв’язування рівняння.
Уважно розглянувши праву і ліву частини рівняння, ми бачимо,що основи логарифмів однакові і ми можемо пропотенціювати обидві частини. Що для цього треба зробити?
(Використовуючи властивості Т1: Логарифм добутку двох додатних множників дорівнює сумі їх логарифмів, Т3: Логарифм степеня додатного числа дорівнює показнику степеня , помноженого на логарифм основи цього степеня, отримаємо )
Після потенціювання одержимо . Звідсі , .
Зробимо перевірку: Підставимо в дане рівняння замість невідомого числа -9. У лівій частині дістанемо вирази і , чи може таке бути?
( Вирази і не мають смислу, бо логарифми від’ємних чисел не існують)
Отже значення є стороннім коренем. Тепер перевіримо, чи є коренем даного рівняння число 2. Ліва частина рівняння має вигляд:
.
Ліва частина дорівнює правій. Отже, - корінь даного рівняння.
Прийом потенціювання широко застосовується під час розв’язування логарифмічних рівнянь.
Завдання 2: Розв’язти рівняння
Розв’язання : Скористаємося вже відомим вам методом заміни зміної.
Що нам зручно прийняти за ? ( )
Тоді ми дістанемо квадратне рівняння . Знаходимо його корені: , . Дістанемо два рівняння: ,
За означенням логарифма знаходимо розв’язки першого і другого рівняння. (самостійно в зошитах), , .
За допомогою перевірки з’ясовуємо, що обидва знайдених значення є корнями даного рівняння. (Перевірку учні роблять самостійно в зошитах).
Відповідь: , 16.
Б) Коментоване розв’язування вправ.
Завдання 3: Розв’язати рівняння (№52(6))
Завдання 4: Розв’язати рівняння (№53(4))
Завдання 5: Розв’язати рівняння (№53(12)
Завдання 6: Розв’язати рівняння (№53(13)).
Учні розв’язують рівняння самостійно. Більш підготовленому учню вчитель пропонує прокоментувати розв’язування.
Наведемо для прикладу один з можливих варіантів коментування учнем розв’язування рівняння 3. (в залежності від класу вчитель може допомогати при розв’язуванні, підказуючи, якщо виникають складнощі, спосіб розв’язування ).
Це рівняння можна розв’язати за допомогою означення логарифма, тобто рівняння можна переписати так , і розв’язуємо це рівняння. Отримуємо, що є коренем рівняння, який належить області визначення рівняння.
Розв’язання завдання 4:
.
Відповідь: .
Розв’язання завдання 5: Розв’язати рівняння
Область визначення рівняння
3 6
Відповідь: Розв’язків немає.
Розв’язання завдання 6: .
Рівняння такого типу розв’язуються логарифмуванням і називаються показниково-логарифмічними.
, робимо заміну змінної
,
і
і
Відповідь: 10; 100.
В) Самостійне розв’язування задач .
Завдання 7: Розв’язати рівняння
Завдання 8: Розв’язати рівняння
Завдання 9: Розв’язати рівняння .
Самостійна робота перевіряється на уроці
ІV. Підсумки уроку.
Як працював клас.
Оцінка роботи окремих учнів.
Домашнє завдання.
Підручник під редакцією М.І.Шкіль, З.І.Слєпкань, О.С.Дубінчук «Алгебра і початки аналізу у 10-11 кл.» К: Зодіак-ЕКО,1995р
Розділ V, №№ 52(8,12,14), 53(1, 2, 3, 6, 11, 16)
І. Загальна теорія рівнянь:
1. Рівняння основні означення, твердження
1) В алгебрі розглядають два види рівностей - тотожності і рівняння. Розглянемо функції y=f(x), визначену на множині M, і y=g(x), визначену на множині N.
Якщо на деякій множині R, яка є підмножиною як М, так і N, має місто рівність
f(x)=g(x),
то говорять, що ці функції тотожно рівні на множині R, а рівність
f(x)=g(x)
при цьому називається тотожністю на множині R.
Часто приходиться розглядати функції, про які невідомо, якою є множина значень аргументу, на якій вони тотожно рівні. В такому випадку рівність
f(x)=g(x)
називають рівнянням. Воно виражає задачу пошуку тих значень х, при яких f(x) і g(x) рівні. Шукані значення х при цьому називають коренями (розв’язками) рівняння. Значення невідомих, які належать множині допустимих значень рівняння і задовольняють його (тобто перетворюють рівняння в правильну рівність (тотожність), називають коренями рівняння. Областю визначення рівняння (1) будемо називати перетин областей визначення функцій f і g.
Букви, які входять в рівняння, за умовою задачі можуть бути нерівноправними: одні можуть приймати всі свої допустимі значення і називаються коефіцієнтами (інколи параметрами) рівняння; інші, значення яких потрібно знайти, називаються невідомими (їх майже завжди позначають останніми буквами латинського алфавіту: x,y,z, або тими ж буквами, але з індексами: x1,x2,...,xn або y1,y2,...,yk ).
В загальному вигляді рівняння з n невідомими x1,x2,...,xn може бути записано у вигляді
f(x1,x2,...,xn)=g(x1,x2,...,xn), (1)
де f(x1,x2,...,xn),g(x1,x2,...,xn) - функції вказаних змінних. В залежності від кількості невідомих рівняння називають рівнянням з одним, двома і більше невідомими.
Рівняння вважається розв’язаним, якщо знайдено всі його корені або показано, що рівняння коренів немає.
Методи розв’язування рівнянь базуються на понятті рівносильності (еквівалентності).
Якщо всі розв’язки рівняння f(х)=g(x) є розв’язками рівняння j(x)=y(x), то говорять, що рівняння j(x)=y(x) є наслідком рівняння f(х)=g(x), і записують
f(х)=g(x) Юj(x)=y(x).
Два рівняння f(х)=g(x) і j(x)=y(x) називають еквівалентними, якщо кожне з них являється наслідком другого, і записують
f(х)=g(x) Ы j(x)=y(x).
Таким чином два рівняння вважаються еквівалентними, якщо множини розв’язків цих рівнянь співпадають.
Рівняння f(х)=g(x) вважають еквівалентним двом (або декільком) рівнянням f1(x)=g1(x), f2(x)= g2(x), якщо множина розв’язків рівняння f(х)=g(x) співпадає з сукупністю множин розв’язків рівнянь f1(x)=g1(x), f2(x)= g2(x).
Можна сказати, що рівняння рівносильні, якщо кожне з них є наслідком другого.
Деякі еквівалентні рівняння:
1.Рівняння F+G=G еквівалентне рівнянню F=0, яке розглядається на множині допустимих значень вихідного рівняння.
2.Рівняння еквівалентне рівнянню F=0, яке розглядається на множині допустимих значень вихідного рівняння.
3.Рівняння FґG=0 еквівалентне двом рівнянням F=0 і G=0, кожне з яких розглядається на множині допустимих значень вихідного рівняння.
4.Рівняння Fn=0 еквівалентне рівнянню F=0.
5.Рівняння Fn=Gn при непарному n еквівалентне рівнянню F=G, а при парному n еквівалентне двом рівнянням: F=G і F=-G.
Заміна рівняння рівносильним йому рівнянням або заміна рівняння рівносильною йому сукупністю рівнянь називається рівносильним переходом.
Наведемо основні теореми про рівносильність рівнянь.
ТеоремаІ. Рівняння
f(х)=g(x) і f(х)+j(x)=g(x)+j(x)
рівносильні, якщо j(x) існує в області визначення вихідного рівняння (1).
З цієї теореми випливає, що доданки можна переносити з однієї частини рівняння в іншу, змінюючи знак цього доданку на протилежний.
Теорема ІІ. Якщо обидві частини рівняння
f(х)=g(x) (1)
помножити на вираз j(x), який існує в області визначення рівняння (1), то отримаємо рівняння
f(х)ґj(x)=g(x)ґj(x) ( 2),
яке є наслідком рівняння (1).
Якщо при цьому j(x)№0, то рівняння (1) і (2) рівносильні.
Теорема ІІІ. Рівняння
fn(х)=gn(x), (*)
де nі2 (натуральне), є наслідком рівняння f(х)=g(x).
Це значить, що будь-який корінь рівняння (1) є коренем і рівняння fn(х)=gn(x), але рівняння fn(х)=gn(x), може мати ще й інші корені, які не задовольняють рівняння (1). Іншими словами, при піднесенні до натурального степеня обох частин рівняння (1) можуть з’явитись зайві корені.
Розрізняють рівняння алгебраїчні і трансцендентні. В алгебраїчних рівняннях над невідомими можуть здійснюватись, причому в скінченій кількості, тільки операції додавання, віднімання, множення, ділення та піднесення до раціонального степеня.
Якщо над невідомими здійснюються й інші операції, то рівняння називають трансцендентним.
Прикладами трансцендентних рівнянь є показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, а також рівняння, що містять обернені тригонометричні функції.
У загальному випадку трансцендентні рівняння не можуть бути розв’язанні алгебраїчно, тобто за допомогою послідовного виконання ряду аріфметичних та алгебраїчних дій над данними, які належать до їх складу. Елементарна математика розглядає окремі види трансцендентних рівнянь, допускаючих аналітичне рішення. Зокрема, до них відносяться показникові та логафмичні рівняння.
В процесі розв’язування рівняння за допомогою різних перетворень замінюють простішим, рівносильним йому рівнянням. Якщо це не вдається, то можливі два такі випадки.
Під час переходу до нового рівняння може трапитись втрата коренів.
Нове рівняння може містити корені, що не є коренями вихідного рівняння (зайві корені). Зайві корені можна виявити за допомогою перевірки (підстановкою всіх коренів нового рівняння у вихідне).
Нехай f(x) - числова функція однієї чи декількох змінних (аргументів). Вираз, в якому є знаки ">" (<) або "і" (Ј), називають нерівністю.
Розв’язати нерівність
f(x)<0 (f(x)>0) (4)
- це значить знайти всі значення аргументу (аргументів) функції f , при яких нерівність (4) справедлива. Множина всіх значень аргументу функції f, при яких нерівність (4) справедлива, називається множиною розв’язків нерівності або просто розв’язком нерівності.
Множина розв’язків нестрогої нерівності
f(x)Ј0 (f(x)і0) (5)
представляє собою сукупність множини розв’язків нерівності (4) і множини розв’язків рівняння f(x)=0.
Дві нерівності f1(x)<0 (<g1(x)) і f2(x)<0 (<g2(x)) називаються еквівалентними, якщо множини їх розв’язків співпадають.
При цьому пишуть
f1(x)<0 (g1(x)) Ы f2(x)<0 (g2(x)).
Якщо дві нерівності не мають розв’язків, то за означенням вони також вважаються рівносильними.
Під множиною допустимих значень невідомих, які входять в нерівність, розуміють область визначення функції f(x).
Рівносильні нерівності можуть мати різні області допустимих значень (наприклад, нерівність x>1 рівносильна нерівності >1, при цьому ми бачимо, що ОДЗ нерівності x>1 є множина всіх дійсних чисел, а ОДЗ нерівності >1 - множина невід’ємних чисел).
З означень рівносильних нерівностей випливає, що замість даної нерівності можна розв’язувати нерівність, рівносильну даній.
Дві нерівності називаються рівносильними на множині А, якщо співпадають множини їх розв’язків на цій множині А.
Дві нерівності можуть бути нерівносильними, але можуть бути рівносильними на деякій множині. Прикладом можуть бути нерівності x2>1 і x>1, які рівносильні на множині додатних чисел, але не є рівносильними на множині всіх дійсних чисел.
Якщо будь-який розв’язок однієї нерівності є розв’язком другої нерівності, то говорять, що друга нерівність є наслідком першої нерівності, при цьому записують
f1(x)<0 Ю f2(x)<0.
Якщо замінити нерівність її наслідком, то множина розв’язків другої нерівності буде складатись з множини розв’язків вихідної нерівності і ще може мати деякі числа, які називають зайвими розв’язками вихідної нерівності. Тому якщо під час розв’язування нерівності переходять до її наслідків, то в кінці необхідно провести перевірку.
Твердження про рівносильність нерівностей:
Нерівності f(x)<g(x) і g(x)>f(x) рівносильні.
Нерівності f(x)<g(x) і f(x)-g(x)<0 рівносильні.
Нерівності f(x)<g(x) і f(x)+j(x)<g(x)+j(x) рівносильні, якщо функція j(x) визначена на ОДЗ нерівності f(x)<g(x).
Можна записати, що нерівності
f(x)<g(x) і f(x)+a<g(x)+a рівносильні для будь-якого числа a.
Якщо функція j(x) додатна при всіх значення x з ОДЗ нерівності f(x)<g(x), то нерівність j(x)ґf(x)<j(x)ґg(x) рівносильні. Якщо функція j(x) від’ємна при всіх значеннях х з ОДЗ нерівності f(x)<g(x), то нерівність f(x)<g(x) рівносильна нерівності j(x)ґf(x)>j(x)ґg(x).
Нерівності і f(x)ґg(x)>0 рівносильні.
Нерівності виду (4) або (5), складені для будь-яких функцій fі(x), можуть бути зведені в систему нерівностей.
Розв’язати систему нерівностей - це значить знайти множину всіх значень аргументів функцій fі(x), при яких справедливі всі нерівності системи одночасно.
Говорять, що системи нерівностей еквівалентні, якщо множини їх розв’язків співпадають.
2. Класифікація і способи розв’язання показникових рівнянь та нерівностей.
Функція, задана формулою де а и а називається показниковою функцією.
Сформулюємо основні властивості показникової функції .
Область визначення - множина R дійсних чисел або вся числова пряма. Властивість підкреслює, що степінь визначена при будь-якому дійсному показнику х.
Область значень - множина R+ всіх додатних дійсних чисел (0;+Ґ).
Функція не є ні парною, ні непарною. Це слідує з того, що і .
Якщо а, функція зростає на всій числовій прямій, тобто якщо , то . Якщо функція спадає на множині R, тобто якщо , то .
Графіки функцій для випадків а, зображені на малюнках.
Показникова функція - це строго монотонна функція, визначена на всій числовій прямій.
Показникові рівняння відносяться до трансцендентних рівнянь. Показниковими називаються рівняння, в яких невідоме входить тільки до показників степенів при постійних основах.
Показникові і логарифмічні рівняння не мають загального методу розв’язування.
Розв’язування показникових рівняннь на основні властивостей степенів: два степеня з одним і тим же додатнім і відмінним від одиниці основанием рівні тоді і тільки тоді, коли рівні їх показники.
Теорема: Нехай и . Рівняння рівносильно рівнянню .
Доведення: Доведемо, що якщо , то . Дійсно, так як показникова функція строго монотонна, то з рівності її значень , слідує рівність показників . Навпаки: якщо , .
Властивості степеня
;
Використовуя ці властивості, рівняння
, де , (1)
потрібно розв’язувати так:.
Якщо замість x у показнику степеня стоїть деяка функція f(x), тобто рівняння має вигляд
(2)
то за допомогою логарифмирования обох частин цього рівняння (це можливо, тому що обидві частини рівняння додатні), приходимо до еквівалентного рівняння
.
Деякі показникові рівняння приводяться до виду (1) або (2) за допомогою рівностей
Приклад 1. Розв’язати рівняння
Розв’язок: Оскільки
то
Рівняння виду
рівносильно рівнянню .
Приклад 2. Розв’язати рівняння
Розв’язок: Данне рівняння рівносильне рівнянню . З цього данне рівняння має два корня:
Приклад 3. Розв’язати рівняння
Розв’язок: Перепишемо данне рівняння у вигляді
.
Використовуючи властивості членів пропорції, маємо
після спрощення Перетворивши данне рівняння до виду отримуємо 4-х=0, звідки слідує, що х=4.
Розв’язування показникових рівняннь, які зводяться заміною змінних до алгебраїчного рівняння. Якщо показникове рівняння має вигляд
(3) то заміною вого зводиться до рівняння виду де - корні рівняння . Так, наприклад, рівняння де - деякі числа, зводиться до розв’язування рівносильної йому совокупності рівняннь - де -корні рівняння
Приклад 4. Розв’язати рівняння
Розв’язок: Позначимо і роблячи заміну змінних, отримуємо квадратне рівняння
корнями якого будуть Таким чином розв’язання данного рівняння звелося до розв’язування рівнянь
Друге рівняння розв’язків не має, тому що при всіх допустимих значеннях х. З першого рівняння отримуємо
, підносимо обидві частини рівняння у квадрат маємо . Приведемо подібні члени, отримуємо єдиний корінь . Перевіркою переконуємося, що цей корінь задовольняє початковому рівнянню.
Показникові рівняння, основи степенів яких є послідовними членами геометричної прогресії, а показники степеня однакові, приводяться до рівнянь виду (3) діленням на будь-який з крайніх членів.
Приклад 5. Розв’язати рівняння
Розв’язок: Розділіим обидві частини рівняння на . Маємо
Позначаючи і виконуючи заміну змінних, отримуємо рівняння коренями якого будуть Таким чином розв’язок рівняння зводиться до розв’язування двох простіших показникових рівнянь
Відповідь:
Рівняння виду , де -дійсні числа, а основи a та b є взаємооберненими додатніми числами (ab=1), можна розв’язувати слідуючим чином. Ввести змінну та, використовуючи рівність (ab=1), перейти від рівняння до рівняння
Тоді рівняння буде рівносильно совокупності двох показникових рівнянь: де - корні рівняння , якщо це рівняння немає розв’язків, то і рівняння також не має розв’язків.
Рівняння виду де функції невідомого х, називаються степенево-показниковими рівняннями. Еквівалентні цьому рівнянню =1 та системі Тобто розв’язуються слідуючим чином:
Перевіряємо, чи не будуть для >0 корні рівняння =1 корнями рівняння ;
Перевіряємо, якщо при , функції , одночасно дорівнюють або парному, або непарному числу, то корні рівняння , будуть і корнями рівняння .
Тоді для рівняння еквівалентно рівнянню
Приклад 6. Розв’язати рівняння
Розв’язок:
1) Знаходимо корні початкового рівняння серед розв’язків рівняння
Перевіркою переконаємось, що х=0 належить області допустимих значень та зодовольняє початковому рівнянню, тобто є коренем рівняння.
Для данне рівняння еквівалентно рівнянню
Отримуємо невірну числову рівність. Це говорить про те, що у данному випадку рівняння не має розв’язків.
Відповідь: х=0.
Приклад 7: Розв’язати рівняння .
Розв’язок:
x-2=1 Ы . Бачимо, що і задовільняє даному рівнянню, тобто є його коренем.
Ы . Перевіряємо значення при , , ; , . Отримали, що функції набувають одночасно непарні значення. Тобто є коренем рівняння.
для початкове рівняння еквівалентно рівнянню
Відповідь:
Тобто коренями рівняння вважаються тільки розв’язки змішаної системи ,
і ті значення х, для яких =1, якщо при цих значеннях визначені та , та додатково перевіряють, якщо при , функції , одночасно дорівнюють або парному, або непарному числу, то корні рівняння , будуть і корнями рівняння . Функція виду визначена тільки при >0, тому те значення х, яке формально задовольняє рівності але при яких , не прийнято считать корнями рівняння .
Деякі спеціальні методи розв’язування показникових рівнянь. Деякі рівняння зводяться до розглянутих вище, якщо перетворити окреми їх елементи, використавши основне логарифмічне тождество.
Приклад 8. Розв’язати рівняння
Розв’язок: Перетворимо другий доданок у лівій частині рівняння:
Підставляючи одержаний вираз в початкове рівняння, отримаємо
Рівняння еквівалентно рівнянню яке в свою чергу еквівалентно двом рівнянням
Розв’язуючи останні рівняння, отримуємо
Відповідь:
Деякі рівняння, які містять невідоме у показнику степеня, вдається розв’язати за допомогою дослідження функції, які входять до до лівої та правої частини рівняння. Монотонність функції часто дозволяє визначити число коренів рівняння, а іноді і знайти значення.
Приклад 9. Розв’язати рівняння
Розв’язок: Корінь x=5 може бути знайденим підбором. Інших розв’язків рівняння не має, так як функція монотонно спадає, а монотонно зростає, тобто графіки цих функцій можуть перетинатися не більше ніж один раз.
Тобто графічним способом не важко знайти наближенні розв’язки рівннянь такого виду . Знання графиків функції та не рідко дозволяє визначити число розв’язків рівняння та їх наближені, а іноді і точні значення.
Означення:Нерівності, де хоча б одна з функцій показникова, називаються показниковими нерівностями.
Розв’язування найпростійших показникових нерівностей базується на використанні властивостей монотонності показникової функції.
Розглянемо розв’язання найпростійших показникових нерівностей.
Нерівність , де ,
а) якщо , то нерівність виконується при будь-якому значенні х (оскільки для будь-якого значення х );
б) якщо , то записавши нерівність у вигляді , дістанемо:
коли , ,
коли , ,
Нерівність , де ,
а) якщо , то нерівність не має розв’язку;
б) якщо , то записавши нерівність у вигляді , дістанемо:
коли , ,
коли , ,
Приклад10: Розв’язати нерівність
Розв’язання: Оскільки , то
, , і, нарешті,
Відповідь: .
Нерівності виду , де ,
а) якщо , то нерівність еквівалентна
б) якщо , то нерівність еквівалентна
Нерівності виду , де ,
а) якщо , то нерівність еквівалентна
б) якщо , то нерівність еквівалентна
Приклад 11: Розв’язати нерівність
Розв’язання: Данна нерівність рівносильна нерівності
Таким чином, початковій нервності задовільняють всі дійсні числа.
Відповідь: .
Розв’язання будь-якої нестрогої показникової нерівності відмінно від розв’язання відповідної строгої нерівності тільки включенням у множину всіх розв’язків коренів відповідного рівняння.
Нерівність вида , де , , , може бути розв’язана за допомогою логарифмування обох частин ( це можливо, тому що обидві частини нерівності додатні). При всіх нерівність справедлива для будь-якого з ОДЗ нерівності. А нерівність при ,, розв’язків не має.
Приклад 12: Розв’язати нерівність
Розв’язання: Обидві частини нерівності додатні при будь-якому значенні . Прологарифмувавши обидві частини нерівності за основою 3, отримаємо нерівність рівносильну початковій.
Таким чином . Звідсі з врахуванням того, що , знаходимо всі розв’язки початкової нерівності - проміжок
Відповідь: .
Деякі спеціальні методи розв’язування показникових нервностей.
Нерівності виду , де - будь-які дійсні числа, а основи і є протилежними взаємно оберненими числами , можливо розв’язати за допомогою заміни (так як і рівняння).
Деякі показникові нерівності містять вирази виду (степенево-показникова). Нагадаємо, що за означенням =, , , тобто функція визначена тоді, коли визначені обидві функції , і , крім того, >0.
Тобто , або
А також розв’язуються шляхом логарифмування з обов’язковим дослідженням області допустимих значень. При цьому знак нерівності зберігається, якщо логарифмуємо за основою , і змінюється на протилежний, якщо .
3.Класифікація і способи розв’язання логарифмічних рівнянь та нерівностей.
Рівняння де а>0 і а, це рівняння не має розв’язків, якщо , і має єдиний корінь у випадку . Цей корінь називають логарифмом b за основою а і позначають , тобто
Логарифмом числа b за основою а називається показник степеня, до якого треба піднести основу а, щоб дістати число b. Формулу (де і ) називають основною логарифмічною тотожністю.
Фунцкію, задану формулою називають логарифмічною функцією за основою а.
Якщо деякий вираз А, який складається з додатніх чисел за допомогою операцій множення, ділення та піднесення до степеня, то використовую властивості логарифмів, можно виразити через логарифми входящих у вираз А чисел. Таке перетворення називається логарифмуванням. Розв’язок оберненої задачі , тобто знаходження виразу за його логарифмом, називається потенціюванням.
Під час роботи з логарифмами застосовуються такі їх властивості, що випливають з властивостей показникової функції:
Для будь-якого і будь-яких додатних х і y виконуються рівності
Логарифм одиниці рівен нулю
Логарифм основи дорівнює одиниці
Основна логарифмічна тотожність.
Якщо то .
Формула для логарифма добутку.
Якщо і , то
Логарифм добутку дорівнює сумі логарифмів.
Якщо і , то
Формула для логарифму частки
Якщо і , то
Логарифм частки дорівнює різниці логарифмів.
Якщо і , то
Формула логарифма степеня.
Якщо , то
Логарифм степеня дорівнює добутку показника степеня на логарифм основи цього степеня.
Формула переходу від одної основи логарифму до другой.
Якщо , то для будь-якого дійсного числа b>0 та b№1
Таким чином ми бачимо, що при зміні основи значення логарифмів змінюються пропорційно. Коефіцієнт пропорційності називають модулем переходу.
Частинні випадки :
або ;
, .
Властивості степенів і логарифмів тісно пов’язані між собою. Вони фактично виражають одне і теж тільки один раз ми звертаємо увагу на поведінку самих степенів, а другий - на поведінку показників степеня:
Основні властивості логарифмічної функції:
Область визначення логарифмічної функції - множина всіх додатних чисел R+, тобто D(loga)= R+. (0; +Ґ). Справді, кожне додатне число х має логарифм за основою а.
Область значень логарифмічної функції - множина всіх дійсних чисел
(Ґ; +Ґ). Для будь-якого дійсного y виконується рівність тобто функція набуває значення в точці .
Логарифмічна функція монотонна на всій області визначення. Якщо функція зростає , тобто якщо , то . Якщо функція спадає, тобто якщо , то .
Логарифмічна функція , де та - це функція обернена до показникової функції . Графіки показникової і логарифмічної функції, що мають однакову основу, симетричні відносно прямої .
Логарифмічним рівнянням називається рівняння, що містять невідому величину під знаком логарифма або в основі логарифма (або те і друге одночасно). Найпростійшими логарифмічними рівняннями назвемо рівняння виду:
та
Для рівняння , де ,,
Це основано на наступній важливій властивості логарифма :
Логирифм двох додатніх чисел по одій і тій же додатній і не рівній нулю основі рівні тоді і тільки тоді коли рівні ці числа.
При розв’язуванні логарифмічних рівннянь використовуються означення логарифма та його властивості, дії логарифмування та потенціювання, різні логарифмічні тотожності.
Логарифмічне рівняння , в якому під знаком логарифма стоїть деяка функція ,
, , ,
має множину допустимих значень х, заданих нерівністю еквівалентно рівнянню
.
Приклад 13: Розв’язати рівняння
Розв’язок: Початкове рівняння рівносильно рівнянню
, звідки . Число (-9) -єдиний корінь данного рівняння.
До простійших логарифмічних рівнянь відносяться також рівняння виду
, де , яке
а) при і має єдиний корінь ;
б) при і має розв’язком будь-яке додатне, відмінне від одиниці число;
в) при і коренів не має;
г) при і коренів не має .
Приклад 14:
Розв’язок: Оскільки , то , тобто початкове рівняння рівносильно рівнянню , звідки . Число 4 -єдиний корінь данного рівняння.
Розв’язування логарифмічних рівнянь зведенням до простійших логарифмічних рівнянь.
Рівняння, що розв’язуються за допомогою означення логарифма:
Приклад 15: Розв’язати рівняння
Розв’язок: За означенням логарифма отримуємо
Перевірка:
Логарифмічні рівняння ,що розв’язуються потенціюванням
Приклад 16: Розв’язати рівняння
Розв’язання: Знаходимо область визначення: .
Рівняння набирає вигляду
звідки
А данне рівняння рівносильно такому : . Розглядаючи два випадки і розв’язуючи відповідні рівняння матимемо:
1), ,
, , .
Відповідь: , .
Теорема: Рівняння рівносильно рівнянню при обмеженнях , .
Доведення: Нехай - розв’язок рівняння . Тоді визначені логарифми чисел та , тобто ці числа повинні бути більше нуля. Потенцируя рівність , отримуємо рівність . Навпаки, нехай - розв’язок рівняння , причому та . Тоді рівність можно прологарифмувати, і ми отримаємо .
Логарифмічне рівняння
()
Рівносильно кожній з наступних систем:
або
Для розв’язку рівняння переходять тільки до одної з цих систем ( та, яка легше) або розв’язують рівняння , яке може мати корні лишні для початкового рівняння , і перевіряють кожне з них підстановкою в початкове рівняння.
Для розв’язування рівнянь
,
Використовуючи властивості логарифма , їх приводять відповідно до виду:
і далі розв’язуються так, як вказано попередньо. Із знайдених коренів слідує включити до відповіді ті, для яких , , , або перевірити кожен з них підстановкою до початкового рівняння.
Якщо при розв’язуванны за допомогою формул виконуються перетворення виду , , , де - парне число, то виникає можливість втрати коренів заданого рівняння. Для того щоб уникнути можиливої втрати коренів, треба користуватися вказаними формулами у такому вигляді:
=
=
=, - парне число.
Приклад 17: Розв’язати рівняння
Враховуючи область визначення логарифмічної функції, квадратного кореня, отримуємо систему , рівносильну заданому рівнянню:
або
Обидві частини рівняння розділимо на х ( при цьому не буде втрати коренів, так як ) та помножимо на ( при чому не з’являться зайві корені, так як ). Тоді отримаємо систему . З рівняння знаходимо , , оскільки . Далі маємо або . Значить, , звідки х=9>1; , що неможливо. Отримаємо відповідь .
Аналогічно рівняння виду ,
можна замінити рівносильною системою
або
Для розв’язку рівняння переходять тільки до одної з цих систем ( та, яка легше) або розв’язують рівняння , яке може мати корні лишні для початкового рівняння , і перевіряють кожне з них підстановкою в початкове рівняння.
Приклад 18:Розв’язати рівняння .
Розв’язування: Рівняння рівносильно змішаній системі
Рівняння системи має два корені: . Число задовольняє всім співвідношенням системи , а для числа не виконується умова . Таким чином рівняння має один корінь - число .
Зведення логарифмічних рівнянь до простійших рівнянь, нерівностей, систем.
Рівняння виду , , рівносильно сукупності рівнянь , де - всі корені рівняння .
Приклад 19: Розв’язати рівняння
Розв’язування: Позначимо і проведемо заміну невідомого у рівнянні . Отримаємо
Таким чином, рівняння рівносильно сукупності двох простійших рівнянь
Тобто, множина всіх розв’язків рівняння складається з чисел та 10.
Рівняння виду , , рівносильно сукупності рівнянь , де - всі корені рівняння .
Приклад 20: Розв’язати рівняння
Розв’язок: Позначимо і зробимо заміну невідомого у рівнянні Тоді
Таким чином,
Тобто, множина всіх розв’язків рівняння складається з чисел та .
Рівняння виду рівносильно мішаній системі
Приклад 21: Розв’язати рівняння
Розв’язок: Данне рівняння рівносильне системі
Тобто, єдиним корнем рівняння є число 4.
Рівняння виду можна замінити системами
або
Рівняння виду можна замінити системами
або
Рівняння виду рівносильне системі
, яка в свою чергу рівносильна системі
Приклад 22: Розв’язати рівняння
Розв’язок: Данне рівняння рівносильне системі
тобто системі
Розв’яжемо рівняння цієї системи :
Число -3 не задовольняє умові . Число (-1) задовольняє всім умовам системи. Тобто, данне рівняння має єдиний корінь .
Розв’язування логарифмічних рівнянь за допомогою властивостей логарифмічної функції.
Деякі логарифмічні рівняння вдається розв’язати за допомогою дослідження поведінки функції, які належать до правої та лівої частини рівняння. Монотонність функції часто дозволяє визначити число коренів рівняння, а іноді і знайти значення.
Приклад 23: Розв’язати рівняння
Розв’язання: Підстановкою (підбором) перевіряємо, що х=5 є розв’язком рівняння. Інших розв’язків рівняння не має, так як функція, яка знаходиться в лівій частині, зростає , а в правій - спадає, з цього випливає , що графіки цих функції не можуть мати більше одного перетину, тобто має один єдиний корінь.
Означення: Нерівності, де хоча б одна з функцій логарифмічна, називаються логарифмічними нерівностями.
Розв’язання логарифмічних нерівностей потребує міцьних знань з багатьох розділів алгебри. Потрібно вміти свідомо користуватися означенням логарифма, логарифмуванням та потенціюванням і, що дуже важливо, пам’ятати про те, що властивості логарифмічної функції різні при основах, менших або більших одиниці. Суттєвим при розв’язуванні таких нерівностей є обмеженість області визначення логарифмічної функції.
Нерівність виду , де , зводиться до розв’язування систем:
а) б)
Розв’язування нерівностей виду де , зводиться до розв’язування систем:
а) б)
Розв’язування нерівностей виду , де , зводиться до розв’язування систем:
а) б)
Розв’язування нерівностей виду , де , зводиться до розв’язування систем:
а) б)
В розглянутих перходах від найпростійшої логарифмічної нерівності до рівносильних систем нерівностей, які не містять знака логарифма, врахована область допустимих значень початкової нерівності.
Розв’язання будь-якої нестрогої логарифмічної нерівності відрізняється від розв’язання відповідної строгої логарифмічної нерівності тільки включенням у множину всіх її розв’язків множину коренів відповідного логарифмічного рівняння.
Приклад 24: Розв’язати нерівність
Розв’язання: Користуючись властивістю логарифмічної функції, дістаємо, що дана нерівність рівносильна нерівності
або
Розв’яжемо ці нерівності:
-1 1 3 5
Відповідь: .
Існують різні способи оформлення розв’язання логарифмічної нерівності. Найбільш поширені з них - метод переходу до розв’язання рівносильних совокупностей нерівностей і метод розбиття ОДЗ даної нерівності на проміжки, на яких розв’язуються відповідні рівносильні (на проміжку, що розглядається) нерівності. По суті, ці методи розв’язування однакові і розрізняються тільки способом оформлення.
Приклад 25: Розв’язати нерівність
Розв’язання:
Перший спосіб: Данна нерівність рівносильна нерівності
, яке рівносильно сукупності двох систем
а) б)
Розв’язками системи а) є проміжки і .
Розв’язками системи б) є проміжки і .
Об’єднавши отримані множини розв’язків систем сукупності, знаходимо множину всіх розв’язків початкової нерівності - всі з чотирьох проміжків:
, , , .
Другий спосіб: Область допустимих значень данної нерівності визначється
системою , звідки знаходимо ОДЗ нерівності:
, , ,
а) Розглянемо спочатку данну нерівність на множині . На цій множині вона рівносильна нерівності (так як ), розв’язком якої на цій множині є проміжки , .
б) На множині дана нерівність равносильна нерівності (так як ), розв’язками якого на цій множині є проміжки і .
Об’єднавши отримані розв’язки, отримуємо множину розв’язків початкової нерівності - всі з чотирьох проміжків:
Відповідь:, , , .
При розв’язуванні логарифмічних нерівностей слід уникати перетворень, які можуть привести до втрати або появи сторонніх розв’язків, так як в протилежному випадку обгрунтування правильності відповіді, як правило, є більш складною задачею, чим розв’язання початкової нерівності. Тим самим, по суті, єдиним методом розв’язування логарифмічних нерівностей є метод переходу до рівносильних нерівностей ( системам або сукупностям)
Приклад26: Розв’язати нерівність
.
Розв’язок: Області допустимих значень нерівності належать всі значення , які задовільняють умові . При цих значеннях невідомого
та
тому початкову нерівність можна записати у вигляді
,
або .
Таким чином, початкова нерівність рівносильна системі нерівностей:
Розв’язком першої нерівності цієї системи є проміжок . З цих значень другій нерівності задовольняють тільки ті , які належать інтурвалу . Тобто, множиною всіх розв’язків початкової нерівності є інтервал .
Відповідь: .
38
Література.
Методика викладання математики. Під ред. Бевз Г.П.-К.: Рад.школа, 1974.
Методика викладання математики. Практикум./за заг. ред. доц. Г.П. Бевз, -К.:Вища школа,1991.
Програми з математики для 5-9 кл. основної та 10-11 кл. старшої школи.- К, 1994.
Груденов Я.І. Психолого-дидактичні основи методики викладання математики.- М:Педагогіка, 1987.
Образование: идеалы и ценности(историко-теоретический аспект) Под ред. З.И.Равкина. - М.: ИТПиО РАО,1995. - С. 361.
Литвиненко Г.М., Федченко Л.Я., Швець В.О. - «Збірник завдань для екзамену з математики на атестат про середню освіту», частина І.
«Алгебра і початки аналізу 10-11 клас» під редакцією М.І.Шкіль, З.І.Слєпкань, О.С.Дубінчук -К: Зодіак-ЕКО,1995р.
«Алгебра і початки аналізу 10-11 клас» за редакцією Колмогорова А.М. та ін
Швець В.О. Навчальні цілі і методика їх формування / методика викладання математики і фізики. Респ. наук. метод. зб. К.: Рад. шк., 1992 р.
Особливості поглибленого вивчення математики в 11 класі / Навчально-методичний посібник / К.: Освіта, 1992 р.
Вавилов В.В. и др. Задачи по математике. Уравнения и неравенства. / М.: Наука, 1988г.
Сліпкань З.І. Психолого-педагогічні основи навчання математики./Київ: "Вища школа".
Ципкін О.Г., Пінський О.І. Довідник по методам розв’язання задач з математики./Москва:"Наука", 1989 р.
Гайштут О.Г., Литвиненко Г.М. Розв’язування алгебраїчних задач./Київ:"Радянська школа",1991р.
2. НАВЧАЛЬНІ ЦІЛІ ПРИ ВИВЧЕННІ ТЕМИ ПОКАЗНИКОВА І ЛОГАРИФМІЧНА ФУНКЦІЇ.
Зміст і структуру освіти визначають цілі. Своє вираження вони завжди приймають у вигляді переліку певних вимог, які характеризують кінцевий результат процесу навчення і виховання.
У програмі з математики для середньої школи, зокрема в розділі « Тематичне планування навчального матеріалу», зміст освіти по кожному із курсів (математика, геометрія, алгебра, алгебра і початки аналізу) розбито на навчальні теми. Вивчаючи кожну з них, вчитель і учні ставлять перед собою певні цілі. Саме їх ми і будемо називати навчальними.
Навчальні цілі- ідеальне уявлення результату, який має бути досягненим в ході вивчення тієї чи іншої навчальної теми.
Слід відмітити, що навчальна ціль як ідеальний результат майбутньої діяльності проектується при вивченні математики такими п’ятьма напрямками.
формування світогляду і особистості учня;
Формування мислення і мовної культури учня;
Розвиток прикладних і політехнічних вмінь;
Розвиток загальнотрудових і навчальних вмінь;
вимоги до математичної підготовки учнів.
Кожний із цих напрямків, очевидно, теж визначає цілі, які будуть похідні від навчальної. Їх у дидакитиці прийнятоподіляти на три групи, відповідно називаючи кожну з груп: дидактична або освітня мета, виховна мета і розвиваюча. Формуються навчальні цілі завжди свідомо і мають бути науково-обгрунтованими та прктично досяжними.
Визначимо навчальні цілі які повинні бути поставленні перед вчителем і учнями в процесі вивчення теми «Показникова і логарифмічна функції»:
Учні повинні вміти зображати графік показникової і логарифмічної функцій, повинні знати основні показникові та логарифмічні тотожності.
Учні повинні вміти роз’вязувати типові вправи на використання основних показникових та логарифмічних тотожностей. Вміти розв’язувати основні плказникові та логарифмічні рівняння, нерівності та їх системи.
Сформульовані цілі визначають певний рівень навчально-пізнавальноїдіяльності учнів під час вивчення данної теми. Це так званий рівень вмінь і навичок. У дидактиці виділяють кілька таких рівнів. Будемо дотримуватись класифікації рівнів, яка дана в посібнику ():
І-й рівень - рівень знайомства,
ІІ-й рівень - рівень відтворення,
ІІІ-й рівень - рівень умнь і навичок,
IV-й рівень - рівень творчості.
Учень, який досяг І-го рівня навчально-пізнавальної діяльності, здатний впізнати предмет, об’єкти, процеси, властивості, але тільки за їх виглядом описом, зображенням, характеристикою. Кажуть, що він володіє знаннями-знайомствами.
Іноді ці знання умовно поділяють на знання про об’єкти що вивчаються і оперативні знання (про зв’язки між об’єктами).
Учень, який досягнув ІІ-го рівня, повинен вміти відтворити (повторити) інформацію, операції, дії, засвоєнні під час навчання. В цьому випадку кажуть, що він володіє знаннями-копіями. Розділяють буквальне і реконструктивне відтворення.
На ІІІ-му рівні учень повинен уміти виконувати дії, загальна методика і послідовність (алгоритм), яких вивченні на заняттях, але зміст і умови їх виконання нові.
Успішно навчаючись учень може досягнути IV-го рівня. Тоді він здатний самостійно орієнтуватись в нових, нестандартних ситуаціях, складати програму дій і виконувати їх, пропонувати нові, невідомі йому раніше розв’язання. Його діяльність носить пошуковий характер.
Визначені цілі, очевидно, будуть цілями ІІІ-го рівня, саме того, який повинен бути досгнутий всіма учнями в процесі вивчення теми «Показникова і логарифмічна функція». Проте процесзасвоєння підпорядкований ієрархії рівнів діяльності: учень не може перейти на ІІІ-й рівень, минувши рівні І і ІІ. Тому, крім визначених цілей ІІІ-го рівня, повинні бути сформульовані цілі І-го і ІІ-го рівнів. Вони безпосердньо проектуються вже виділеними цілями ІІІ-го рівня. Так, в нашому випадку ще дві цілі: «Учні повинні знати означення показникової і логарифмічної функцій», «Учні повинні знати і вміти доводити властивості логарифмічної та показникової функцій». Щодо цілей IV-го рівня, то їх визначити потрібно, але відносити до класу дидактичних не варто. Оскільки досягнути їх всі учні класу не можуть. Правильно буде, якщо віднести їх до класу розвиваючих.
Підкоригувавши формулювання чотирьох визначених цілей та встановивши відповідно до принципу ієрархії порядок їх досягнення, матимемо:
Тема: «Показникова та логарифмічна функції».
(20 (30)год)
Мета: Вивчивши тему учні повинні знати означення показникової та логарифмічної функції;
вміти доводити їх властивості, будувати графіки данних функції, розв’язувати вправи на використання основних властивостей даних функцій з достатнім обгрунтуванням в ході розв’язання.
Теоретичний матеріал теми не весь вивчається на одному й тому ж рівні. Певна його частина вивчається на рівні знайомства, інша на рівні знань чи умінь і навичок. Для того, щоб знати на якому рівні яка частина матеріалу вивчається (щоб виділити головне і знати другорядне) здійснюють розбиття всього матеріалу на елементи знань.
Під елементом знань розуміють логічно завершену порцію інформації. В математиці кожному елементу знань встановлюють його статус : поняття - П; факт- Ф; твердження -Т; ознака -О; метод -М; спосіб дії -СД.
Розбиття навчального матеріалу на елементи знань і побудова графічної схеми взаємозв’язку між ними називається логіко-дидактичним аналізом навчального матеріалу.
Проведемо логіко-дидактичний аналіз при вивченні теми «Показникова функція» за новим підручником «Алгебра і початки аналізу 10-11кл» Шкіль М.І., Слєпкань З.І., Дубінчук О.С.
45
И в заключение хотелось бы поделиться своими впечатлениями от новой формы обучения - с помощью компьютера. Конечно, нельзя все сводить к нему, - и количество часов, проведенных за экраном, не может служить критерием качества обучения, как это пытаются представить в некоторых частных школах. Но несомненно одно - компьютер отличный помощник для организации индивидуального обучения. Ведь как только педагог перестает видеть в ученике просто сосуд, который нужно наполнить знаниями и умениями, ему приходится искать индивидуальный подход к каждому, подстраиваться под его интересы, темп усвоения материала, личные особенности психики. Например, в некоторых школах каждый ученик может выбрать для себя не просто интересующий его курс, но даже отдельные предметы. Компьютер же, как известно, выполняет ту программу, которая в него заложена, и предоставляет огромный выбор тем для изучения. Современные методы представления информации в компьютерах включают в себя не просто текст, но и картинки, видео, звуковые фрагменты. Это позволяет задействовать практически все органы чувств, используемых для восприятия информации, при этом происходит ее дублирование по различным каналам восприятия, что резко повышает скорость и качество усвоения материала. Компьютерный учебник нельзя уже сравнивать с книгой, как это было всего несколько лет назад - сейчас многие обучающие программы невозможно отличить от игр, и для того, чтобы победить в такой игре, понадобятся знания, которые ребенку трудно принять как необходимые ему именно сейчас - ведь всем нам свойственно откладывать "на потом" решение многих проблем. А такой элемент современных компьютерных документов, как гипертекстовая ссылка позволяет при необходимости обратиться в любое место документа за дополнительной информацией, и в то же время при повторном изучении не перегружает исходный текст документа. Кстати, по принципу гипертекста устроена всемирная информационная сеть Internet, с помощью которой уже сейчас проводится так называемое "дистанционное обучение" - когда профессора крупнейших университетов выступают с лекциями и отвечают на вопросы не привычной студенческой аудитории, а перед теми, кто в данный момент подключен к их узлу сети. Несмотря на тишину и видимое отсутствие слушателей последних может быть не меньше, чем зрителей у телеэкрана, но в отличие от книги или телепередачи сохраняется обратная связь между преподавателем и учениками. Это - реальность сегодняшнего дня. Интересно, что нас (и наших детей) ждет в недалеком третьем тысячелетии.
Образование: идеалы и ценности(историко-теоретическийаспект) Под ред. З.И.Равкина. - М.: ИТПиО РАО,1995. - С. 361.
План.
Вступна частина.
І. Загальна теорія рівнянь:
Рівняння основні означення, твердження.
Класифікація і способи розв’язання показникових рівнянь та нерівностей.
Класифікація і способи розв’язання логарифмічних рівнянь та нерівностей.
ІІ. Місце показникових і логарифмічних рівнянь та нерівностей в шкільному курсі алгебри:
Місце в діючій програмі і в проекті нової програми.
Навчальні цілі при вивченні тем показникова і логарифмічна функції.
Аналіз діючих підручників та тестів.
ІІІ. Методика навчання розв’язання показникових і логарифмічних рівнянь та нерівностей.
Методичні особливості навчання.
Диференційована система вправ:
а) показникові рівняння і нерівності;
б) логарифмічні рівняння і нерівності;
Використання нових інформаційних технології при вивченні тем показникові і логарифмічні рівняння та нерівності.
ІV. Висновки.
V.Список використаної літератури.
3. Аналіз діючих підручників та тестів.
Порівняльна характеристика тем.
Останній час тема «Показникова і логарифмічна функція» вивчається в середній школі за підручником під редакцією А.Н.Колмогорова. На сьогоднішній день з’явився новий підручник авторами якого є М.І. Шкіль, З.І. Слєпкань, О.С. Дубінчук, в якому данна тема вивчається дещо по іншому. Проведемо порівняльну характеристику вивчення данної теми в згаданих підручниках.
Тема: «Показникова функція».
| Підручник під редакцією А.Н.Колмогорова «Алгебра і початки аналізу у 10-11 кл.» | Підручник під редакцією М.І.Шкіль, З.І.Слєпкань, О.С.Дубінчук «Алгебра і початки аналізу у 10-11 кл.» |
| §1 Показникова функція n.1.Степінь з ірраціональним показником Фіксують додатнє число а і ставлять кожному числу число . Цим самим отримують числову функцію , визначену на множені Q раціональних чисел. Зазначається, що при а=1 функція стала, так як для будь-якого раціонального числа. Будуються графіки функцій і і порівнюються. Далі описується як визначається число для ірраціональних при а>1, в загальних рисах. Аналогічно описується визначення числа , для . Крім цього вважають, що для будь-якого і для | §1 Поняття показникової функції. n.1. Означення і графік показникової функції. Дається означення: Функція , де а>0, називається показниковою (з основою а). Вивчення показникової функції починається з функції , потім розглядається , будуються їхні графіки і порівнюються. Далі розглядається функція . Порівнюються графіки функції і . З графікив зчитуються спільні властивості. Далі порівнюються графіки функцій () і (). З графіків зчитуються властивості функцій. |
| n.2. Властивості показникової функції. Означення: Функція, задана формулою (де a>0, ), називається показниковою з основою а. Формулюються основні властивості: Область визначення множина R дійсних чисел. Область значень множина R+ всіх додатніх дійсних чисел. При функція зростає на всій числовій прямій; при функція спадає на множині R. При будь-яких дійсних значеннях х і у справедливі рівності
;
. | n.2. Загальні властивості показникової функції. D(y)=R якщо x=0, показникова функція Зазначені вище властивості доводяться, розглядаються всі можливі випадки. Далі наводяться властивості без доведення. якщо і то . якщо і , то якеб не було додатнє число N, існує, і до того ж єдине, таке значення х, що |
| n.3. Властивості графіка показникової функції. Графік розміщений у верхній півплощині, тобто там де ординати додатні. Будь-яка пряма, паралельна осі 0Y, перетинає графік і до того ж тільки в одній точці. Крива проходить через точку (0;1), тобто коли х=0, функція чисельно дорівнює 1. З двох точок графіка вище розміщена та , яка лежить правіше, тобто в міру просування зліва на право він піднімається вгору. На графіку є точки, які лежать вище будь-якої прямої, паралельної осі 0х. На графіку є точки, що лежать нижче будь-якої прямої, проведеної у верхнії півплощині паралельно осі Х. Будь-яка пряма, що паралельна осі Х і лежить у верхній півплощині, перетинає графік, і при чому в одній точці. | |
| n.4.Приклади застосування властивостей показникової функції. В цьому пункті наводяться приклади вправ на показникову функцію і варіанти їх розв’язування. | |
| n.5. Використання показникової функції під час вивчення явищ навколишнього середовища Задача про радіоактивний розпад. Задача про зміну атмосферного тиску. Задача про розмноження бактерій. Задача про вакуумування. Задача про приріст деревини. Всі запропоновані задачі наводяться з розв’язанням. | |
| n.6. Основні показникові тотожності. Для будь-яких дійсних значень х і у справедливі рівності: ; | |
| §2 Розв’язування показникових рівнянь і нерівностей. n.1. Рівняння. Розглядається найпростіше показникове рівняння , і . Кажуть, що у випадку або рівняння не має розв’язків. Нехай . Функція на проміжку зростає при (спадає при ) і набуває додатних значень. Застосувавши теорему про корінь, дістаємо, що рівняння при будь-якому , , має єдиний корінь. Щоб його знайти треба подати у вигляді . Очевидно, що є розв’язком рівняння , демонструється на графіку функції. Розглядається 4 приклади. | §2 Розв’язування показникових рівнянь і нерівностей. n.1. Показникові рівняння. Показниковим називають рівняння, в яких невідоме входить лише до показників степенів при сталих основах. Найпростішим рівнянням є і . Говорять, що загального методу розв’язування показникових рівнянь немає. Виділяють кілька типів показникових рівнянь і наводять схеми (приклади) їх розв’язання. Найпоширеніший спосіб: зведення обох частих показникового рівняння до спільної основи. Приклади. Спеціальні способи розв’язання: зведення до спільного показника. А також показникове рівняння перетворюють відомими методами: заміни, зведення до квадратного рівняння, а потім вже використовують певну схему. |
| n.2. Нерівності і системи рівнянь. Розв’язання найпростійших показникових показникових нерівностей грунтується на відомій властивості функції ; ця функція зростає, якщо , і спадає, якщо . Розглядаються приклади. | n.2. Розв’язування нерівностей, які містять показникову функцію. Найпростішими є нерівності виду . Під час розв’язування використовують властивість монотонності показникової функції. І кажуть, що для розв’язування даної нерівності зведеться до розв’язування нерівності , а для зводиться до розв’язування нерівності . Приклади розв’язання нерівностей. |
Тема: «Логарифмічна функція».
| Підручник під редакцією А.Н.Колмогорова «Алгебра і початки аналізу у 10-11 кл.» | Підручник під редакцією М.І.Шкіль, З.І.Слєпкань, О.С.Дубінчук «Алгебра і початки аналізу у 10-11 кл.» |
| §1 Логарифми і їх властивості. | §1 Логарифми. |
| n.1.Логарифм. Даэться означення: Логарифмом числа b за основою а називається показник степеня, до якого слід піднести основу а, щоб отримати число b. Тут же зазначається, що формулу ( де b>0, a1) називають основною логарифмічною тотожністю. | n.1. Поняття логарифма. Дається означення: Корінь рівняння , де a>0, a1, називають логарифмом числа N за основою а. Логарифмом числа N за основою а (a>0, a1) називається показник степеня х, до якого треба піднести а, щоб дістати число N. Далі наводиться логарифмічна рівність і показникова рівність і зазначається, що ці рівності визначають одне і теж співвідношення. Наводяться три основні задачі: Знайти число N за даним його логарифмом b і за основою а. Знайти основу а за даним числом N і його логарифмом b. Знайти логарифм від даного числа N за данною основою а. Далі наводять приклади. |
| n.2. Основна логарифмічна тотожність. Розглядається показникова рівність (1). За означенням логарифма (2), (3). Рівність (3) називається основною логарифмічною тотожністю. | |
| n.2. Основні властивості логарифма. Для будь-яких a>0 (a№1) і будь-яких додатніх х і у виконуються рівності Далі наводиться формула переходу від однієї основи логарифма до іншої Далі дається означення десяткового логарифма на описовому рівні: Десятковим називається логарифм за основою10 і позначається . Але більш конкретно на десяткових логарифмах не зупиняються. | n.3. Основні властивості логарифма. Т.1. Логарифм добутку двох додатних множників дорівнює сумі їх логарифмів, тобто де Т.2. Логарифм частки двох додатних чисел (дробу) дорівнює різниці логарифмів діленого і дільника (чисельника і знаменника), тобто , де Наслідок: Логарифм дробу, чисельник якого дорівнює одиниці, дорівнює логарифму знаменника взятого з протилежним знаком. Т.3. Логарифм степеня додатного числа дорівнює показнику степеня, помноженому на логарифм основи цього степеня, тобто , де m - будь-яке число, Т.4. Логарифм кореня з додатного числа дорівнює логарифму підкореневого виразу, поділеного на показник кореня, тобто 5. Всі властивості доводяться. |
| n.4. Деякі важливі тотожності, що містять логарифми. Всі тотожності доводяться. | |
| n.5. Потенціювання Перетворення за допомогою якого за даним логарифмом числа (виразу) визначають саме число (вираз), називають потенціюванням. | |
| n.6. Перехід від однієї основи логарифма до іншої. Вводиться формула | |
| n.7. Натуральні логарифми з основою е називають натуральним, або неперовим. | |
| §2 Логарифмічна функція Функція задана формулою , називається логарифмічною з основою а. Перечисляють основні властивості цієї функції. Властивості аналогічні до перших трьох властивостей логарифмічної функції наведені у підручнику Шкіля М.І. Далі зазначається, що графіки показникової і логарифмічної, що мають однакову основу, симетричні відносно прямої у=х. Потім розглядаються приклади застосування властивостей логарифмічної функції. На цьому вивчення теми логарифмічна функція в підручнику під редакцією Колмогорова закінчується. | §2 Логарифмічна функція n.1. Поняття логарифмічної функції: Функцію , називають логарифмічною функцією за основою а (a>0 ,a№1). Зазначається, що графік функції можна дістати з графіка функції , симетрично відобразивши останній відносно прямої у=х. n.2. Властивості логарифмічної функції. Область визначення логарифмічної функції множина всіх додатніх чисел. Область значень- множина всіх дійсних чисел. Логарифмічна функція на всій області визначення R+ зростає, якщо a>1 і спадає, якщо 0<a<1. Для будь-якого a>0 (a№1) виконуються рівності , якщо , якщо для будь-якого і будь-якого pОR Далі розглядаються властивості для випадків і ; властивості логарифмів чисел за основою ; Властивості логарифмів чисел за основою . Наводяться приклади вправ та їх розв’язання. |
| §3 Розв’язування логарифмічних рівнянь і нерівностей. Найпростіше логарифмічне рівняння . Логарифмічна функція зростає (або спадає) на проміжку і набуває на цьому проміжку всіх дійсних значень (демонструється на графіку). За теоремою про корінь звідси випливає, що для будь-якого дане рівняння має і притому тільки один розв’язок. З означення логарифма числа випливає, що і є таким розв’язком. Приклади. | §3 Розв’язування логарифмічних рівнянь і нерівностей. n.1. Логарифмічні рівняння. Приклади розв’язування логарифмічних рівнянь. Логарифмічними називають рівняння, які містять змінну під знаком логарифма. Найпростіше рівняння де і , - будь-яке число. Воно має єдиний розв’язок , який можна дістати за допомогою потенціювання. Розв’язування рівняння (1) рівносильно системі , інакше кажучі рінвосильне кожній із змішаних систем , . Тобто для розв’язування рівняння (1) досить розв’язати рвняння і його розв’язки підставити в систему нерівностей , яка задає область визначення рівняння. Говориться і про можливість втрати коренів і появі стороніх коренів та розглядають це на прикладі. Розглядаються приклади розв’язування рівнянь різними способами (потенціювання, логарифмування). Розглядаються також показниково-логарифмічні рівнняня. |
| Логарифмічні нерівності та системи логарифмічних рівнянь і нерівностей розглядаються тільки на прикладах, і нічого про них не говориться. | n.2. Розв’язування систем логарифмічних рівняннь. При розв’язуванні систем логарифмічних рівнянь використовуються ті самі способи, що й при розв’язуванні алгебраїчних систем. |
| n.3. Логарифмічні нерівності. Логарифмічні нерівності виду (1). Кажуть, що якщо , то (1) рівносильна системі а якщо , то (1) рівносильна системі . Розв’язуються приклади. |
Провівши порівняльну характеристику вивчення тем показникова і логарифмічна функції в обох підручниках, можна зробити слідуючи висновки:
В обох підручниках тема «Показникова функція» і «Логарифмічна функція» вивчаються на основі одних і тих понять.
Понятійний апарат більш ширший в новому підручнику під редакцією М.І.Шкіль, З.І.Слєпкань, О.С.Дубінчук «Алгебра і початки аналізу у 10-11 кл.». В підручнику під редакцією А.Н.Колмогорова «Алгебра і початки аналізу у 10-11 кл.» понятійний апарат дуже вузький. Тому для глибокого і досконалого вивчення заданих тем бажано використовувати новий підручник.
Більш строгий виклад теорії спостерігається в підручнику під редакцією М.І.Шкіль, З.І.Слєпкань, О.С.Дубінчук «Алгебра і початки аналізу у 10-11 кл.». В ньому доводяться всі властивості і розглядаються всі можливі випадки з доведенням. В підручнику А.Н. Колмогорова у доведення властивостей не дуже заглиблюються. Детально доводяться лише базові властивості. Все інше дається без доведення.
Розв’язування показникових, логарифмічних рівнянь і нерівностей більш широко і доступно викладено в підручнику під редакцією М.І.Шкіль, З.І.Слєпкань, О.С.Дубінчук «Алгебра і початки аналізу у 10-11 кл.» тому його бажано використовувати для більш поглибленого вивчення даної теми.
В підручнику під редакцією М.І.Шкіль, З.І.Слєпкань, О.С.Дубінчук «Алгебра і початки аналізу у 10-11 кл.» властивості і теореми доводяться детальніше, тому він може бути використаний для самостійного вивчення тем учнями.
ІІ. Місце показникових і логарифмічних рівнянь та нерівностей в шкільному курсі алгебри.
1. Місце в діючій програмі і в проекті нової програми.
Провідною ідеєю організації процесу вивчення математики у середніх навчально-виховних закладах є рівнева і профільна диференціація. На цій основі створюються умови для його гуманізації, демократизації та реалізації культуротворчої функції національної школи. Програми визначають базовий зміст математичної освіти в основній і старшій школі з урахуванням кількості годин на математику, передбачених базовим та іншими навчальними планами і діючими підручниками та навчальними посібниками.
Програми передбачають можливість реалізації базової математичної освіти з різним ступенем обгрунтованості і повноти на основному (обов’язковому для всіх учнів) та підвищеному (для тих, хто має здібності та інтерес до математики) рівнях, які визначають мінімальний і максимальний обсяги навчального матеріалу у масовій школі. Їх засвоєння - необхідна умова для одержання учнем відповідно позитивної та відмінної оцінок з математики.
Вивчення теоретичного матеріалу на основному рівні, як правило, не потребує відтворень доведень і обгрунтувань, але бажання і спроби роботи це необхідно всіляко підтримувати та заохочувати, як і спроби розв’язувати задачі і вправи складніші, ніж обов’язкові для всіх учнів.
Зрозуміло, що підвищенний рівень засвоєння учнями теоретичного матеріалу, оволодіння практичними уміннями і навичками розв’язування задач і вправ характеризується досить високим рівнем обгрунтованості і пояснення. Учні, які претендують на відмінну оцінку з математики, повинні вміти розв’язувати практично весь задачний матеріал підручника або навчального посібника, крім включеного до додаткових розділів або позначеного зірочками.
Показникові й логарифмічні рівняння та нерівності вивчаються в 11 класі загальноосвітньої школі у розділі «Показникова і логарифмічна функції». За підручником «Алгебра і початки аналізу 10-11 кл» за редакцією Колмогорова А.М. та ін. На вивчення розділу « Показникова, логарифмічна і степенева функції» відводиться 28 годин. Цей розділ містить в собі такі теми: Узагальнене поняття степеня. Поняття про степінь з ірраціональним показником, розв’язування ірраціональних рівнянь і їх систем. Показникова функція, її властивості і графік. Основні показникові тотожності: , . Тотожні перетворення показникових виразів. Розв’язування показникових рівнянь, нерівностей і систем.
Поняття про обернену функцію. Логарифмічна функція, її властивості і графік. Основні логарифмічні тотожності. ,
Тотожні перетворення логарифмічних виразів. Розв’язування логарифмічних рівнянь, нерівностей і систем. Похідна показникової функції. Число е і натуральний логарифм. Похідна степеневої функції. Диференціальне рівняння радіоактивного розпаду.
За підручником під редакцією М.І.Шкіль, З.І.Слєпкань, О.С.Дубінчук «Алгебра і початки аналізу у 10-11 кл.» тема «Показникова і логарифмічна функція» вивчається в школі 20(30) годин. В цій темі вичається: Поняття про степінь з ірраціональним показником. Показникова функція, її графік і властивості. Розв’язування показникових рівнянь, нерівностей та їх систем. Логарифм числа. Основні властивості логарифмів. Розв’язування логарифмічних рівнянь, нерівностей та їх систем.
У процесі вивчення цього розділу учні систематизують, узагальнюють і поглиблюють знання про степені корені та їх властивості, засвоюють поняття показникової і логарифмічної функції, їх властивості та графіки, навички та вміння виконувати тотожні перетворення виразів показникової і логарифмічної функції, розв’язувати показникові і логарифмічні рівняння й нерівності та їх системи, здійснювати обчислення числових виразів з логарифмами і степенями.
Учні повинні навчитися схематично зображати графіки показникових і логарифмічних функцій при різних основах, пам’ятати основні властивості цих функцій та вміти використовувати їх при розв’язанні показникових і логарифмічних рівнянь і нерівностей та їх систем. Бажано ознайьмити учнів на факультативних чи гурткових заняттях із схематичним зображенням графіків показникових та логарифмічних функцій з модулями.
У процесі розв’язування показникових і логарифмічних рівнянь та їх систем корисно систематизувати знання учнів про рівносильність рівнянь і систем, виділити операції, які можуть порушувати рівносильність. Слід звернути увагу на причини виникнення сторонніх коренів при розв’язуванні рівнянь і в зв’язку з цим на необхідність перевірки знайдених розв’язків, а також на причини втрати коренів.
Засвоення учнями нових знань при вивченні розділу базується на раніше вивченному матеріалі про степені й корені, розв’язанні системи алгеьраїчних рівнянь і нерівностей, тощо. Бажано, щоб актуальні питання раніше вивченного матеріалу грунтовно систематизувалися за рахунок часу, виділеного на узагальнююче повторення. При плануванні узагальнюючого повторювання це слід урахувати, і до повторенного матеріалу безпотреби можна не повертатися.
ІІІ. Методика навчання розв’язання показникових і логарифмічних рівнянь та нерівностей.
1. Методичні особливості навчання.
Показникові рівняння.
Приступаючи до розв’язування найпростійших показникових рівнянь, доцільно вписати на довідковій таблиці або на дошці основні формули дій із степенями.
Спочатку доцільно розглянути найпростіші рівняння виду . Записуючи праву частину рівняння як степінь чисоа 2, дістаємо . Оскільки основи даних степенів рівні і самі степені рівні, то маємо змогу прирівняти показники: . Тоді дістаємо:
Звертаємо увагу учнів на те, що записані вище формули, якщо їх застосовувати зліво направо, дають змогу замість двох степенів записати один степінь. Отже, якщо в лівій і правій частинах даного показникового рівняння тільки добутки, частки, степені або корені, то можна це рівняння завжди звести до найпростійшого рівняння виду , . Цей орієнтир бажано занотувати в зошитах учнів, щоб вони в подальшому вільно пізнавали такі показникові рівняння, які безпосередньо зводяться до найпростійших.
Приклад: Розв’язати рівняння
.
Розв’язання: Звертаємо увагу учнів на те, що в лівій і правій частинах цього рівняння є добуток, частка, степінь або корінь із степеня числа 3. Отже, це рівняння можна безпосередньо звести до найпростішого. Тобто після перетворення степенів дістаємо:
Звідси .
Розв’язавши це рівняння дістаємо: .
Після відпрацювання розв’язання найпростійших рівнянь бажано запропонувати учням загальну схему пошуку розв’язку складніших показникових рівнянь. Ця схема може бути, наприклад, такою:
Звільняємось від числових доданків упоказниках степенів.
Пробуємо всі степені звести до однієї основи.
Якщо не вдається звести до однієї основи, то пробуємо звести до двох основ так, щоб дістати однорідне рівняння.
В інших випадках використовуємо спеціальні прийоми розв’язування: а) використовуємо монотонність показникової функції; б) оцінюємо множину значень функції, у лівій і правій частині рівняння і т.д.
Приклад: Розв’язати рівняння .
Розв’язання: Звільнившись від числових доданків у показниках, дістаємо:
Як бачимо, звести всі степені до однієї основи не вдається, тому пробуємо звести всі степені до двох основ. Помічаємо, що , а . Тоді наше рівняння перетворюється в таке:
Звертаємо увагу учнів на те, що всі члени цього рівняння мають однаковий сумарний степінь - . Згадуємо означення і ідею розв’язку однорідного рівняння. (Рівняння, всі члени якого мають однаковий сумарний степінь, називається однорідним. Розв’язується однорідне рівняння діленням на найвищий степінь.)
Після відпрацювання зазначних прийомів розв’язування показникових рівнянь доцільно звернути увагу учнів на те, що для розв’язування деяких показникових рівнянь доречно використовувати теорему про корінь. Нагадаємо цю теорему:
Якщо функція зростає (або спадає) на деякому проміжку, то рівняння не може мати більше ніж один корінь у цьому проміжку.
Приклад: Розв’язати рівняння
Розв’язання: Зведемо це рівняння до виду , - зростаюча або спадна функція. Для цього поділимо обидві частини цього рівняння на , дістаємо:
Але і спадні функції, отже, і їх сума теж спадна функція. Тоді за теоремою про корінь дане рівняння може мати тільки один корінь. Безпосередньою підстановкою перевіряємо, що є коренем даного рівняння. Інших коренів рівняння не має.
Відповідь: .
Доцільно виділити для учнів загальну ідею виконаного розв’язування, наприклад, у такому вигляді:
За допомогою підстановки конкретних значень змінної знаходимо один або кілька коренів даного рівняння.
Доводимо, що дане рівняння інших коренів не має.
При доведенні того, що рівняння не має інших коренів, крім знайдених, поряд з теоремою про корінь інколи використовується така властивість: якщо на деякій множині функція зростає, а функція спадає, то рівняння не може мати на множині більш ніж один корінь.
Приклад: Розв’язати рівняння .
Розв’язання: Підбором знаходимо, що - корінь рівняння.
Доведемо, що інших коренів це рівняння не має. Рівняння не може мати від’ємних коренів, бо при ліва частина - додатнє число, а права частина - від’ємне. При функція спадає, а функція зростає як сума двох зростаючих функцій. Отже коли , рівняння має тільки один корінь .
Відповідь: .
Розв’язуючи показникові рівняння, можна використовувати ті загальні прийоми, які використовувались при розв’язуванні інших типів рівнянь. Наприклад, розв’язуючи рівняння виду , можна розкласти на множники і використати умову рівності добутку нулю.
Показникові нерівності.
При розв’язуванні найпростіших показникових нерівностей, що дуже доступно викладено в підручнику, доцільно звернути увагу учнів на те, що іноді потрібен спеціальний аналіз для оцінки основи показникової функції.
Приклад : Розв’язати нерівність
Розв’язання: Оскільки (очевидно, що , отже, , крім того, ), то показникова функція є спадною. При переході в даній нерівності до аргументу знак нерівності змінюється на протилежний, тобто дана нерівність рівносильна нерівності . Розв’язуючи цю квадратну нерівність, дістаємо: .
Розв’язуючи складніші показникові нерівності, бажано звернути увагу учнів на доцільність використання тієї самої схеми розв’язування нерівностей, що й для показникових рівнянь.
Бажано показати учням можливість застосування узагальненого методу інтервалів до розв’язування показникових нерівностей. Доцільно нагадати відому їм з курсу 10-го класу схему розв’язання нерівностей виду ( де - неперервна на кожному інтервалі своєї області визначення функція) методом інтервалів, а саме:
Знаходимо область визначення нерівності.
Знаходимо нулі функції.
Позначаємо нулі функції на області визначення і знаходимо знак у кожному інтервалі, на які розбивається область визначення.
Приклад: Розв’язати нерівність
Розв’язання. Перенесемо всі члени нерівності в ліву частину і розв’яжемо нерівність методом інтервалів.
Область визначення: - будь-яке число.
Нулі функції:
або
або
або .
Позначимо нулі функції на області визначення і знайдемо знаки лівої частини нерівності в кожному інтервалі.
- + -
0 2
Відповідь: .
Іноді під час розв’язування складніших нерівностей використовують властивості монотонності функцій.
Приклад: Розв’язанти нерівность
Розв’язання : Функція зростає на множині всіх дійсних чисел як сума зростаючих функцій. Знайдемо корінь рівняння . За теоремою про корінь це рівняння має єдиний корінь. Легко бачити, що - корінь цього рівняння. Враховуючи зростання функції , дістаємо, що при , , де ; при , , де . Отже, розв’язком даної нерівності буде .
Логарифмічні рівняння і нерівності.
При введенні поняття логарифму і властивостей логарифмічної функції необхідно значну увагу приділити вмінню застосовувати основну логарифмічну тотожність, а також формулу переходу від однієї основи логарифма до іншої.
Приступаючи до розв’язування логарифмічних рівнянь, треба враховувати, що всі властивості логарифмічної функції були доведені за умови, що вирази, які стоять під знаком логарифма, додатні.
Наприклад, тільки при і .
Якщо ж у рівнянні або нерівності знаходиться вираз-добуток , то він буде додатнім не тільки тоді, коли і додатні, але й тоді,, коли та будуть одночасно від’ємні. У цьому випадку формулу «логарифм добутку» не використовують, бо можлива втрата коренів.
Структура рівносильних перетворень рівнянь або нерівностей.
Область визначення.
Обмеження, які необхідні для гарантування прямих і обернених перетворень.
Відповідні властивості числових рівностей або нерівностей або властивості відповідних функцій.
Як бачимо, щоб виконувані перетворення були рівносильні, необхідно, щоб виконувалися і обернені перетворення на області визначення даного рівняння.
Бажано по можливості не використовувати формули логарифмування добутку, частки, і парного степеня, якщо це призводить до звуженняобласті визначення рівняння, а користуватися цими формулами тільки справа наліво, що приводить до розширення області визначення (в цьому випадку модлива хіба що поява сторонніх коренів, але їх можна відсіяти перевіркою).
Приклад: Розв’язати рівняння (1).
Розв’язання: На області визначення рівняння це рівняння рівносильне рівнянню (2)
яке в свою чергу рівносильне рівнянню (3)
Усі перетворення рівносильні, бо на області визначення даного рівняння можна виконувати перетворення (1) - (2) - (3) і обернені перетворення (3) - (2) - (1). Скоротивши в рівнянні (3) дріб на ( на області визначення), дістанемо рівносильне рівняння: (4).
Це рівняння за означенням логарифма рівносильне рівнянню (5).
Звідси . Оскільки ці значення входять в область визначення рівняння і ніяких додаткових обмежень у нас не було, то - корені даного рівняння.
Слід звернути увагу учнів на те, що при розв’язуванні логарифмічних рівнянь можна користуватися не тільки рівносильними перетвореннями, але й діставати рівняння-наслідки (коли ми гарантуємо тільки прямі перетворення і не гарантуємо обернені). Учні повинні розуміти, що при використанні рівнянь-наслідків можлива поява стороніх коренівь і тому в цьому випадку перевірка є складовою частиною розв’язування рівняння.
Слід звернути увагу учнів на те, що певної акуратності потребує використання формули переходу від однієї основи до іншої:
де , , , .
Якщо і -числа, що недорівнюють одиниці, то цю формулу можна застосовувати і зліва направо і справа наліво ( при ), тобто використання цієї формули при розв’язуванні рівнянь або нерівностей приводить до рівняння (нерівності), рівносильного даному. Якщо ж новою основою логарифма є вираз із змінною, то може виявитися, що цей вираз на області визначення початкового рівняння дорівнюватиме одиниці, а після застосування формули переходу від однієї основи до іншої вираз, що стоїть в основі логарифма, вже недорівнюватиме одиниці. В цьому випадку застосування формули переходу від однієї основи до іншої може привести до втрати тих коренів початкового рівняння, для яких нова основа логарифма дорівнює одиниці.
Підсумовуючи ці міркування, робимо висновки: якщо при переході від однієї основи логарифмів до іншої нова основа - число (звичайно більше від нуля і не дорівнює одиниці), то дістанемо рівняння, рівносильне даному на його області визначення.
Якщо доводиться використовувати вираз із змінною як нову основу логарифма, то щоб не втратити корені рівняння, необхідно розглядати два випадки:
вираз, який береться як нова основа, дорівнює одиниці (якщо це можливо на області визначення розглядуваного рівняння), і перевіряємо, чи будуть ці значення змінної, при яких вираз дорівнює одиниці, коренями даного рівняння;
нова основа не дорівнює одиниці - в цьому випадку користуємося формулою переходу від однієї основи логарифма до іншої.
Бажано звернути увагу учнів на те, що деякі логарифмічні рівняння, які зведені до вигляду можна розв’язати за допомогою розкладання лівої частини рівняння на множники.
Досить часто зустрічаються рівняння, члени яких є степенями, в яких основа і показник степеня - функції від змінної величини.
Приклад: Розв’язати рівняння .
Розв’язання: Область визначення: . Тоді ліва і права частини цього рівняння додатні на області визначення. Прологарифмуємо обидві частини за основою 4:
.
Дістаємо рівняння, рівносильне даному на області визначення:
.
Позначимо і, врахувавши, що , маємо:
Звідсі або .
Тоді або . Отже, або .
Оскільки ці значення входять до області визначення, то і - корені даного рівняння.
Підводячи підсумки розв’язування цього рівняння, бажано звернути увагу учнів на те, що в цьому рівнянні (в його лівій частині) змінна входить і в основу, і в показник степеня. Доцільно зафіксувати в зошитах учнів, що рівняння, в якому змінна входить і в основу, і в показник степеня, найчастіше розв’язується логарифмуванням обох частин рівняння.
Слово «найчастіше» присутне в наведеному правилі в зв’язку з рівняннями типу: .
На його області визначення це рівняння рівносильне рівнянню: , яке за основною логарифмічною тотожністю рівносильне (на області визначення) рівнянню .
Звідси (не входить до області визначення) або (входить до області визначення і є коренем).
Після відпрацювання цього правилу на прикладах доцільно запропонувати учням більш загальний підхід (він, як правило, використовується тоді, коли немає можливості взяти логарифм від обох частин рівняння) - перехід від степеня, в основі якого стоїть вираз із змінною, до степеня з числовою основою за формулою
, де , .
Зауваження. Очевидно, що при цю формулу можна застосовувати як зліва направо, так справа наліво. Якщо ми використаємо цю формулу при розв’язуванні рівняння, на області визначення якого , то ми гарантуємо і прямі, і обернені перетворення, тобто гарантуємо рівносильність утвореного рівняння на області визначення даного.
Необхідно звернути увагу учнів на те, що ідея логарифмування обох частин рівняння (або нерівності) є досить плідною і може використовуватись для розв’язування різних типів рівнянь (нерівностей), починаючи з найпростійших показникових типу (за означенням логарифма або прологарифмувавши обидві частини за основою 2, маємо: , тобто ).
Враховуючи те, що в останні 40-50 років у старших класах середньої школи реалізується функціональний підхід до рівняння, будемо вважати, що степені, в яких і основа, і показник степеня є функціями відзміної величини, означені тільки для тих значень змінних, при яких їх основи додатні (якщо в самій умові задачі не сказано протилежне).
Логарифмічні нерівності.
Розв’язуючи логарифмічні нерівності, доцільно використати загальну схему рівносильних перетворень нерівностей. Ця схема іноді дає надмірну систему обмежень, яку можна суттєво спростити. Для рівносильності рівнянь надмірність системи обмежень майже не впливає на об’єм роботи щодо розв’язування цих рівнянь - можна не знаходити відповідні значення змінної з цих обмежень, а тільки перевіряти для кожного знайденого кореня. Розв’язком нерівності, як правило, є інтервал (або кілька інтервалів), які містять нескінчену множину чисел, а всі їх перевірити неможливо. Отже для розв’язування нерівності доведеться знаходити відповідні значення змінної з усіх записаних обмежень, і тому чим менше залишиться цих обмежень, тим краще. Бажано запропонувати учням не знаходити окремо область визначення нерівності, а спочатку записувати повну систему обмежень і рівносильну нерівность, а потім намагатися споростити утворену систему.
Приклад: Розв’язати нерівность
Розв’язання: Оскільки , то . Тоді функція -спадна, і наша нерівность рівносильна системі:
Нерівність (2) є наслідком нерівностєй (3) і (1) . Отже, ця система рівносильна системі, що складається тільки з нерівностей (1) і (3), тобто
Розв’язуючи окремо нерівності (1) і (3), дістаємо: для
(1) - ; для (3) - . Тоді загальним розв’язком системи буде .
Слід звернути увагу учнів на те, що при розв’язуванні логарифмічних нерівностей можна використовувати всі ті прийоми, які використовувалися при розв’язуванні логарифмічних рівнянь.
Розв’язування деяких нерівностей за допомогою рівносильних перетворень досить громіздке, і тому використовуємо для розв’язування деяких нерівностей узагальнений метод інтервалів.
Приклад: Розв’язати нерівность.
Розв’язання: Методом інтервалів.
Область визначення.
тобто
Корені . Це рівняння на області визначення рівносильне рівнянню . Звідсі або (входять до області визначення).
Позначимо корені на області визначення (на малюнку) і знайдемо знак у кожному інтервалі, на які розбивається область визначення.
+ - + - - +
0 1 2 3
Відповідь:
79