Сивохо Р.В.
Урок-игра «Счастливый случай»
по теме
Применение непрерывности и производной (11 класс)
Тип урока
Урок обобщающего повторения и систематизации знаний.
Учебные задачи:
учить обобщать и систематизировать полученные знания;
учить использовать компьютерные технологии для устной самостоятельной работы с целью проверки усвоения теории по данной теме;
учить применять полученные теоретические знания для решения задач;
учить анализировать условие задачи с тем, чтобы выбрать оптимальный вариант решения;
осуществлять контроль своих знаний с помощью компьютерных тестов.
Развивающие задачи:
способствовать развитию общеучебных умений;
развивать творческую сторону мышления;
учить осуществлять исследовательскую деятельность;
развивать уверенность в себе, интерес к предмету.
Воспитательные задачи:
воспитывать потребность в знаниях;
формировать навыки умственного труда – поиск рациональных путей решения, самообразования, самовоспитания;
воспитывать культуру общения, взаимопомощь, умение слушать товарища; ответственность.
Форма урока
Урок – игра
Оборудование урока:
ПК учителя, мультимедийный проектор, персональные компьютеры учащихся.
Индивидуальные карточки для проверки домашнего задания.
Презентация, содержащая материал для повторения и закрепления теоретических знаний, для фронтального опроса по теории.
Компьютерное тестирование (самостоятельная работа на 4 варианта, составитель Сивохо Р.В.) с использованием VIP Test (ver/2/4) для отработки навыков практического применения теории к решению упражнений, для самоконтроля.
Слайд, содержащий краткие исторические сведения.
На этом занятии учащимся предстоит обобщить, систематизировать и показать свои
знания:
уравнения касательной к графику функции в точке с абсциссой х,
механического и физического смысла производной,
таких свойств функции как непрерывность и знакопостоянство;
и умения:
решать дробно-рациональные неравенства методом интервалов,
составлять уравнения касательной к графику функции в точке с абсциссой х ,
использовать геометрический и физический смысл производной при решении задач и выполнении упражнений.
План урока
1. Вступление
(организационный момент, объявление темы и цели урока, разбиение класса на две команды).
2. 1 гейм «Спешите видеть»
(повторение определения производной в строгой форме и в стихотворной, проверка домашнего задания).
3. 2 гейм «Дальше»
(фронтальный опрос по теории каждой команды по вопросам, с применением презентации).
4. 3 гейм «Заморочки из бочки»
(самостоятельная работа по компьютерным тестам с использованием VIP Test (ver/2/4)).
5. 4 гейм «Темная лошадка»
(угадать имя ученого).
6. Подведение итогов игры
.
7. Домашнее задание
.
8. Резерв – доклад учащегося
«Исторические сведения о возникновении дифференциального исчисления»
Ход урока
На доске – цитата: « …Учиться можно только весело…Чтобы переварить знания,
Надо поглощать их с аппетитом…». Франс А.
1. Вступление
(организационный момент, объявление темы и цели урока, разбиение класса на две команды, выбор названия каждой команде).
На предыдущих занятиях мы знакомились с понятием производной, с ее физическим и механическим смыслом, с уравненением касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой х. Внимание ваше акцентировалось на приоритетной функциональной линии курса, на исследовании таких свойств функции, как непрерывность и знакопостоянство. Хотелось бы научить вас видеть в математической модели – функции – привычность, понятность, красоту.
А самое первое понятие алгебры и начал анализа, с которым мы познакомились с вами на предыдущих занятиях, было понятие «производная». Прошу дать определение этого понятия.
(Производной функции f в точке с абсциссой x называется число, к которому стремится разностное отношение ∆f : ∆x = ( f (x + ∆x) - f (x) ) : ∆x при ∆x, стремящемся к 0).
Я еще раз повторю это определение, но только в более интересной форме – стихотворной.
В данной функции от х, нареченной игреком, y = f(x)
Вы фиксируете икс, отмечая индексом. x, f(x )
Придаете вы ему тотчас приращение, x + ∆x
Тем у функции самой вызвав изменение. ∆y = f (x + ∆x) - f (x)
Приращений тех теперь взявши отношение, ∆y : ∆x
Пробуждаете к нулю у ∆x стремление. ∆x → 0
Ответ такого отношенья вычисляется,
Он производною в науке называется. y′ = ∆y : ∆x при ∆x → 0
2. 1 гейм «Спешите видеть»
Проверим, как вы справились с домашним заданием. Для этого необходимо по 2 человека от каждой команды выйти к доске и выполнить задания по карточкам, аналогичные упражнениям из домашней работы.
№1. Решить неравенство: (х – 5) (2х + 11) : (х + 3) ≥ 0.
№2. Найдите уравнение касательной к графику функции f(x) = −х² −4х + 2 в точке с абсциссой х = -1.
№3. Точка движется прямолинейно по закону х(t) = −4х – 1:х + 5х. Найдите её скорость в момент времени t =1с. (Перемещение измеряется в мерах, время – в секундах)
№4. Какой угол (острый, тупой или равный нулю) образует с положительным направлением оси Оx касательная к графику f(x) = (1 – 2x)² в точке с абсциссой х = 3.
3. 2 гейм “Дальше”
(проводится, пока четверо учащихся выполняют задание по карточкам)
Вопросы 1-ой команде.
1. Переменная величина, значение которой зависит от изменения другой величины… (функция).
2. Производная от координаты по времени есть … (скорость)
3. Вид числового промежутка… (интервал).
4. Пример функции непрерывной, но не дифференцируемой в данной точке (y = |x|).
5. Геометрический смысл производной… ( f ′(x) = tg α = k )
6. Для функции y = kx + b, k – это … (угловой коэффициент прямой)
7. Каким по виду будет угол между касательной к графику функции в точке с абсциссой х и положительным направлением оси Ох, если f (x) > 0? (острый)
8. Является ли непрерывной функция y(x)? Чему равно значение функции в точке х = 0? (рис.1, рис.2)
Рис1. Рис2.
9. Существует ли производная функции y(x) в точке х = а? (рис.3, рис.4)
Рис.3 Рис.4
Вопросы 2-ой команде:
Физический смысл производной в точке… (скорость как производная от перемещения по времени).
Величина, которая может принимать различные значения… (переменная)
Производная от скорости по времени есть … (ускорение)
Если на интервале (
a;
b)
функцияf
непрерывна и не обращается в нуль, то она на этом интервале …(сохраняет знак)
Элемент области определения функции …(аргумент)
Два алгебраических выражения, соединенных знаком > или <… (неравенство)
7. Каким по виду будет угол между касательной к графику функции в точке с абсциссой х и положительный направлением оси ох, если f′(x) < 0?
8. Является ли непрерывной функция y(x)? Чему равно значение функции в точке х = 0? (рис.5, рис.6)
Рис.5 Рис.6.
9.Существует ли производная функции y(x) в точке
х =а? (рис.7, рис.8)
Рис.7 Рис.8
(Проверка решения у доски
. Объявление количества баллов за первые два гейма).
4. 3 гейм «Заморочки из бочки»
(Самостоятельная работа по компьютерным тестам,
VIPTest (ver/2/4))
В – I
а)
Точка движется прямолинейно по закону x(t) = -t² + 9t + 8. Найдите ее скорость в момент времени t = 4c (x(t)–в метрах)
1) 1м/с 2) 25м/с 3) 9м/с 4)12м/с
б
) Найдите уравнение касательной к графику функции f(x) = x² - 4x + 5 в точке с абсциссой х = 2
1)y = 1 2)y = 8x – 15 3)y = -1 4) )y =- 8x +15
<
Какой угол (острый, тупой или равный 0) образует с направлением оси Ох касательная к графику функции y = 1: х² в точке х = 1.
1)равен 0 2) острый 3) тупой 4) прямой
г)
Решите неравенство: (((х -2)(2х + 5)) : (х – 6)) ≤ 0
1)(-∞;-2,5)U(2;6) 2)(-2,5;2)U(6;+ ∞) 3)(- ∞;-2,5]U[2;6) 4) ) [-2,5;2)U(6;+ ∞)
д
) Геометрический смысл производной: производной функции
f в точке с абсциссой х называется число, выражающее:
1) а) угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой х ,
б) тангенс угла между прямой и осью Ох
2) а) угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой х ,
б) тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси Ох
3) а) угловой коэффициент прямой
б) тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси Ох
4) а) угловой коэффициент прямой
б)угол наклона касательной к положительному направлению оси Ох
В – II
a)
Найдите уравнение касательной к графику функции f(x) = 3x² - 4x + 1 в точке с абсциссой х = 2
1) y = 8x – 11 2)y = 8x – 38 3)y = 5 4) 3)y = -5
б)
Какой угол (острый, тупой или равный 0) образует с направлением оси Ох касательная к графику функции y = 1: х в точке х = 2.
1) равен 0 2) острый 3) тупой 4) прямой
в)
Решите неравенство: ((х² - 25) : (х + 7)) > 0
1) (-∞;-7)U(-5;5) 2)(-7;-5)U(5; +∞) 3)(-7;5]U(5; +∞) 4) (-7;5]
г) Точка движется прямолинейно по закону x(t) = -t² + 10t – 7. Найдите ее скорость в момент времени t = 3c (x(t)– в метрах)
1) -5м/с 2) 14м/с 3) 4м/с 4) 24м/с
д)
В чем состоит механический смысл производной?
1)Производная от координаты по времени есть скорость
2) Производная от скорости по координате есть ускорение
3) Производная от координаты по времени есть ускорение.
4) Производная от ускорения по координате есть скорость
В – III
а
) Какой угол (острый, тупой или равный 0) образует с направлением оси Ох касательная к графику функции f(x) = 5х – х в точке х = 2.
1) острый 2) тупой 3) равен 0 4) прямой
б)
Найдите уравнение касательной к графику функции f(x) = x² - 8x + 10 в точке с абсциссой х = 1
1)y = 6х + 9 2)y = -6х + 3 3)y = 6 4) y = -6х + 9
в)
Решите неравенство: ((х² - 49) : (х - 9)) < 0
1)(-∞;-7]U[7;9) 2)(-7;7)U(9; +∞) 3)(- ∞;-7)U(7;9) 4) [7;9)
г)
Точка движется прямолинейно по закону x(t) = 2х³ - 5х² – 14. Найдите ее скорость в момент времени t = 3c (x(t)–измеряется в метрах)
1) 8м/с 2) 24м/с 3) 22м/с 4) 12м/с
д) Геометрический смысл производной: производной функции
f в точке с абсциссой х называется число, выражающее:
1) а) угловой коэффициент касательной
б) тангенс угла наклона касательной к оси Ох
2) а) угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой х
б) тангенс угла между прямой и осью Ох
3) а) угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой х
б) тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси Ох
4) а) угловой коэффициент прямой
б)угол наклона касательной к положительному направлению оси Ох
В – IV
а)
Какой угол (острый, тупой или равный 0) образует с направлением оси Ох касательная к графику функции f(x) =((1:3)х³) – 3х² + 9х в точке х = 3.
1) тупой 2) острый 3) равен 0 4) прямой
б)
Решите неравенство: (((х -3)(2х + 9)) : (х – 5)) ≥ 0
1)(-∞;-4,5]U[3;5) 2)[-4,5;3]U(5; ∞) 3)(-4,5;3)U(5; +∞) 4) [-4,5;3]
в)
Найдите уравнение касательной к графику функции f(x) = x² - 6x + 5 в точке с абсциссой х = 3
1)y = -4 2)y = 4 3)y = 12x – 16 4) y = -12x +16
г)
В чем состоит механический смысл производной?
1) Производная от координаты по времени есть ускорение
2) Производная координаты от времени есть скорость
3) Производная от координаты по времени есть скорость
4) Производная от ускорения по координате есть скорость
д)
Точка движется прямолинейно по закону x(t) = ((-1:4)х ) + 6х² – 6х. Найдите ее скорость в момент времени t = 1c (x(t)– измеряется в метрах)
1) -7м/с 2) 7м/с 3) 5м/с 4) 15м/с
5. 4 гейм «Темная лошадка»
(те учащиеся, кто уже закончил работу, отгадывают имя ученого)
Великий немецкий ученый. Философ, математик, физик, юрист, языковед. Создатель наряду с Ньютоном математического анализа. Именно они открыли дифференциальное и интегральное исчисление. Этот ученый является основоположником большой математической школы. Его идеи оказали значительное влияние на развитие математической логики.
Надпись к его портрету.
«Весь мир его узнал по изданным трудам,
Был даже край родной с ним вынужден считаться;
Уроки мудрости давал он мудрецам,
Он был мудрее их: умел он сомневаться…»
Вольтер
(Ответ: Лейбниц)
6. Подведение итогов игры
,
выявление команды – победительницы
.
7.Домашнее задание
:
а) стр. 167 №3(б, г), №5(3а), №7(3а,б)
б)творческое задание: составить кроссворд по теме: «Производная и ее применение»
8. Резерв – доклад учащегося
«Исторические сведения о возникновении дифференциального исчисления»
Дифференциальное исчисление создано Ньютоном и Лейбницем в конце 17 столетия. Понятие производной встречалось в работах итальянского математика Тартальи ( около 1500 - 1557 гг. ) - здесь появилась касательная в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда.
В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развивалась кинематическая концепция производной. Различные изложения стали встречаться в работах у Декарта, французского математика Роберваля, английского ученого Л. Грегори, а также в работах Ньютона. Учащиеся могут рассказать несколько фактов из биографии Ньютона.
Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли Лейбниц, Лопиталь, Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс.
Однако у создателей дифференциального исчисления возникли проблемы, связанные с тем, что точные определения таких основных понятий как предел, непрерывность, действительное число, отсутствовали, рассуждения содержали логические пробелы, а иногда были ошибочны. Таким образом, "новая" математика не отвечала стандартам строгости, привычным для ученых, воспитанных на классических образцах греческих математиков. Гениальная интуиция таких гигантов, как Ньютон, Лейбниц, Эйлер помогала им избегать ошибок.
Характерны 2 высказывания, относящиеся к 18-му столетию. Известный математик М. Ролль писал, что новая наука есть коллекция гениальных ошибок. А великий французский мыслитель - Вольтер заметил, что это исчисление представляет собой искусство вычислять и точно измерять вещи, существование которых не может быть доказано.
Начальный период развития новых ветвей математики, связанных с понятиями функции, бесконечно малых величин, пределов и производных, был охарактеризован Марксом как "мистический".
Лозунгом многих математиков 17 века был: "Двигайтесь вперед, и вера в правильность результатов к вам придет".
Использованная литература
«Планирование обязательных результатов обучения математике», Л.О. Денищева,
Л.В.Кузнецова, И.А.Лурье и др
2. «Дидактические материалы по алгебре и началам анализа», Б.М.Ивлев, С.М.Саакян, С.И.Шварцбурд
3. «Обобщающее повторение курса алгебры и начал анализа », Е.А.Семенко.
4. «Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа»,
В.С.Крамор
5 http://festival/1september/ru
10. VIPTest (ver/2/4), тестированная оболочка, предназначенная для проведения тестирования учащихся с удобным пополнением базы вопросов, Морев А.В., кПт(с)2004.
11. «Внеклассная работа по математике», З.Н.Альхова, А.В.Макеева.
12. «Алгебра, 10-11 классы. Тесты», П.И. Алтынов.