РефератыПедагогикаПоПослушные шарики или еще раз о развитии логического мышления

Послушные шарики или еще раз о развитии логического мышления

послушные шарики или еще раз о развитии логического мышления


Математическая логика (теоретическая логика, символическая логика) — раздел математики, посвященный изучению математических доказательств и вопросов оснований математики (“Математическая энциклопедия”).


Всякая математическая теория представляет собой множество предложений, над которыми производятся действия (операции), в результате которых снова получаются предложения.


Если нет логических операций — нет математической логики, да и вообще математики; если ученик не совершает этих операций, то вряд ли приходится говорить о развитии логического мышления.


В начальной школе в первую очередь именно через решение задач ребенок учится рассуждать, т. е. строить предложения с помощью слов и словосочетаний: неверно, что
— логическая операция, называемая отрицанием; и
— конъ­юнкция; или
— дизъюнкция; если…, то…
— импликация; тогда и только тогда, когда
— эквиваленция. Мы не будем давать определения, поскольку учителя знакомы с этими операциями из курсов математики педагогических университетов (институтов) и педколледжей (училищ).


1. Две классические задачи


1. В трех одинаковых коробках лежат по два шарика: в одной — два черных, в другой — два белых, в третьей — белый и черный. На каждой коробке есть табличка: на одной изображены два белых шарика, на другой — два черных, на третьей — белый и черный. Но известно, что содержимое каждой коробки не соответствует табличке. Как вынув только один шарик только из одной коробки, переставить таблички на коробках в соответствии с их содержимым?



Решение


Пронумеруем коробки как на рис. 1
.


В коробке 3 находятся либо два белых шарика, либо два черных. Достанем из нее шарик. Допустим, он оказался белым (рис. 2).



Следовательно, в коробке 3 — два белых шарика (рис. 3).



Поскольку в коробке 1 не может быть ни двух черных шариков (по условию надпись не соответствует действительности), ни двух белых (они в коробке 3), то там — черный и белый (рис. 4):



Ответ изображен на рис. 5.



Если бы из коробки 3 при первой попытке мы вытащили черный шарик, то ответ был бы таким (рис. 6):



Подчеркнем, что при рассуждениях мы пользовались словами “неверно, что
в коробке такие-то шары” (отрицание
), “если
достанем белый шар, то
…” (импликация
) и т. д. Таким образом, ребенок, сам того не подозревая, совершает логические операции над высказываниями.


2. У меня в трех коробках лежали гвозди, винты и гайки. На каждой коробке было написано, что в ней лежит. Однажды мой младший брат пересыпал содержимое коробок так, что надпись на каждой коробке перестала соответствовать ее содержимому. Хорошо еще, что он не перепутал их между собой: гвозди остались лежать отдельно от гаек и винтов и т. д. Можно ли, открыв одну из коробок, определить, что лежит в каждой из коробок?


Решение



Во-первых, для простоты обсуждения, гвозди, винты и гайки обозначим кружочками разных цветов (рис. 7). Во-вторых, заметим, что начинать рассуждения можно с любой коробки. Приведем один из вариантов, а другие — предоставим ученикам.


Откроем коробку 1. Допустим, там оказались гайки (рис. 8; а могли быть и винты: рассуждения проводились бы аналогично).



В коробке 2 винтов быть не может по условию, следовательно, винты — в коробке 3 (рис. 9).



Ну, а во второй коробке — гвозди.


2. Шариковый сериал


Имеются два непрозрачных ящика. В них находятся один черный и один белый шарик:


” либо по одному в каждом ящике,


” либо в одно

м ящике два шарика.


На ящиках есть надписи, по которым надо определить (если возможно), где какой шарик находится.


Указывается также, являются ли надписи истинными или ложными.


Условия задач и ответы представим в виде таблицы. И
— истинно, Л
— ложно. Запись “Обе И
” означает, что надписи на каждом ящике правдивы.

























































Ящик 1 Ящик 2

Истинность


надписей


Ответ
1 Здесь Здесь нет шариков Обе И

В ящике 1 и черный, и бе­лый шарики
2 Здесь нет шариков Здесь оба шарика Обе Л

Возможны варианты (решение после табл.)
3 Здесь Здесь Обе Л

В ящике 1 — белый шарик, в ящике 2 — чер­­ный
4 Здесь не
Здесь не
Обе И

В ящике 1 — черный шарик, в ящике 2 — белый
5 Здесь не
Здесь не
Обе Л

В ящике 1 — белый шарик, в ящике 2 — черный
6

Здесь или


здесь


Здесь Обе И

В ящике 1 — белый шарик, в ящике 2 — черный
7

Здесь или


здесь


Здесь Обе Л

В ящике 1 — черный шарик, в ящике 2 — белый
8

Здесь и


здесь


Здесь

Первая — И

,


Вторая — Л


В ящике 1 — оба шарика, в ящике 2 — пусто

Решение


1. Поскольку надписи истинны, то в ящике 2 шариков нет. Следовательно, они оба в ящике 1.


Внимание
. Надпись на ящике 1 “здесь черный” не означает, что там не может быть белого шарика. Ведь утверждение “директор моей школы живет в Беларуси” не означает, что в стране не живу я…


2. Так как надпись на ящике 2 неверна, то возможны варианты:


а) в ящике 2 нет шариков вообще, следовательно, в ящике 1 — и белый, и черный шарики;


б) если неверно утверждение “здесь оба шарика”, то верным может быть утверждение “здесь белый шарик” или “здесь черный шарик” (т. е. один из шариков находится в ящике 2), значит в ящике 1 тоже один шарик.


Информация для учителя
. В этой задаче мы имеем дело с одним из законов де Моргана: , который звучит так: отрицание конъюнкции двух высказываний эквивалентно дизъюнкции отрицаний каждого из данных высказываний
. Напомним также, что дизъюнкция истинна, если истинно хотя бы одно из высказываний. Применительно к нашей задаче: утверждение “неверно, что в ящике 2 лежат оба шарика”
равносильно утверждению “неверно, что в ящике лежит черный шарик, или
неверно, что в ящике лежит белый шарик”

. Отсюда и получаются вышеописанные варианты а) и б).


Решения остальных задач предоставляем учителю.


Таким образом, ученик “проходит” через логические операции, хотя, естественно, и не знает их строгих определений (на интуитивном уровне), следовательно, его логическое мышление развивается. Учитель же знает законы логики и может корректировать рассуждения ребенка, если они ошибочны.


А. Щан
— старший преподаватель кафедры математики и методики ее преподавания БГПУ

Сохранить в соц. сетях:
Обсуждение:
comments powered by Disqus

Название реферата: Послушные шарики или еще раз о развитии логического мышления

Слов:1056
Символов:8454
Размер:16.51 Кб.