Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
“Поморский государственный университет имени М.В. Ломоносова”
Кафедра методики преподавания математики
КУРСОВАЯ РАБОТА
Развитие критичности мышления с использованием математических софизмов
Выполнила
студентка 4 курса
математического факультета
Лебедева Ирина Сергеевна
.
Научный руководитель
Кандидат педагогических наук,
доцент
Томилова Анна Евгеньевна.
Архангельск
2005г.
Содержание
ВВЕДЕНИЕ.
ГЛАВА I
§ 1. Понятие мышления.
§ 2. Критичность и критическое мышление
§ 3. Софизмы и их место в развитии критичности
ГЛАВА II
§ 1. Способы предъявления софизмов.
§ 2. Методика работы с математическими софизмами
§ 3. Применение софизмов на уроках математики.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время основной задачей перестройки школьного образования является переориентация на приоритет развивающей функции обучения. Пожалуй, ни один школьный предмет не конкурировать с возможностями математики в воспитании мыслящей личности.
Развитие учащихся – это процесс изменения их сознания, выражающийся в переходе от одного уровня к другому, более высокого порядка, появления в их интеллектуальной сфере новообразований, совершенствование имеющихся. Под новообразованием понимают приобретение учащимися новых качеств, таких как гибкость ума, умение самостоятельно ставить цель деятельности, обобщать наблюдаемые явления, критичность, умение анализировать, критически оценивать то или иное решение и.т.д.
Современный педагогический опыт позволяет заметить, что лишь при особой организации учебного процесса, в условиях современной парадигмы образования, носящей личностно-ориентированный характер, создаются условия для развития школьников, поэтому мышление необходимо не только стимулировать, но и специально развивать.
Различным аспектам вопроса развития математического мышления школьников посвящено большое число исследований математиков, педагогов, психологов. Среди целей математического образования Ю.М. Колягин выделяет развитие математического мышления, отмечая, что прочное усвоение математических знаний не возможно без целенаправленного развития мышления и поэтому развитие мышления учащихся – одна из основных задач школьного математического обучения.
А.Н.Леонтьев подчёркивает, что обучение и умственное развитие ребёнка тесно связаны между собой, и хотя ребёнок обучается, развивается, однако умственное развитие его относительно самостоятельно. Оказывается, что математические понятия не формируются у учащихся помимо познавательного процесса, а постепенно конструируются с различной степенью полноты, на отдельных этапах обучения.
Педагоги и психологи, методисты-математики в научной, психолого-дидактической и др. литературе выделяют различные качества математического мышления. Так С.Л.Рубинштейн выделяет: убедительность, критичность и объективность, гибкость и лаконизм, и ясность, интуиция, готовность памяти, вкус к исследованию и поиску закономерностей. Ю.М.Колягин говорит об оригинальности, глубине, целенаправленности, рациональности, активности, четкости и лаконичности речи и записи. А.Ф. Шикун и Х.И. Лейбович кроме этих качеств, вводят следующие: лабильность, быстрота, самостоятельность, логичность, прочность, ясность.
Это говорит о том, что процесс развития мышления сложен и многоаспектен.
Необходимо заметить, что для успешного действия в изменяющемся мире учащиеся должны уметь хорошо управлять информацией, для чего у них должны быть сформированы практические мыслительные навыки сортировки информации, то есть воспринятая идея должна быть изменена и преобразована. Речь идёт о таком качестве мышления как критичность.
В процессе обучения математике воспитанию критичности у учащихся способствует постоянное обращение к, различного рода, проверкам, прикидкам найденного результата, к проверке исходной гипотезы.
В литературе встречаются различные точки зрения на понятие критичности мышления.
Например, С.И.Ожегов в толковом словаре критичность трактует как «способность относиться с критикой к чему-либо, видеть недостатки». А Д.Халперн считает, что критическое мышление – это использование когнитивных техник или стратегий, которые увеличивают вероятность грамотного конечного результата
Задача развития у учащихся критичности мышления является важным и перспективным направлением методической работы, способной внести свежую струю в совершенствование процесса обучения.
Одним из ценных дидактических средств развития критичности мышления школьников являются математические софизмы, которые можно использовать как с первых ступеней обучения, так, и, на протяжении дальнейшего обучения.
Таким образом, целью данной работы вижу изучение качеств мышления, а именно критичности, а также возможность развития критичности мышления посредством использования математических софизмов.
Методы исследования – анализ психолого-педагогической и методической литературы.
Структура работы. Работа состоит из двух глав, введения и заключения. Первая глава посвящена рассмотрению понятия мышления и изучению качеств мышления. В первом параграфе говорится непосредственно о понятии мышления. Во втором параграфе рассказывается о критичности мышления, а третий параграф математическим софизмам. Во второй главе описана методика работы с софизмами, направленная на развитие критичности мышления. А также предложены тематические примеры математических софизмов.
Список литературы включает 20 источников.
ГЛАВА
I
§
1. Понятие мышления
Познание действительности возможно лишь при участии мышления, являющегося важным компонентом в структуре познавательной деятельности. Благодаря мышлению человек познаёт предметы и те явления, признаки, свойства которые нельзя воспринять непосредственно. Мыслительная деятельность позволяет установить причинно-следственные зависимости, раскрыть объективные закономерности явлений и их сущность. Осмысление своего чувственного опыта позволяет вести целенаправленный поиск решения возникающих проблем, предвидеть ход событий, изменять и совершенствовать практику.
Мышление начинается там, где создалась проблемная ситуация. Проблемная ситуация – это, в простейшем случае, ситуация, которая требует выбора из двух или более возможностей. Эта ситуация характеризуется возникновением определённого познавательного барьера, трудностей, которые предстоит преодолеть в результате мышления. Если одно из возможных решений имеет явные преимущества и легко предпочитается всем другим, то такая проблема – нетрудная. Она гораздо сложнее, если решения имеют равные или почти равные субъективные вероятности. В проблемных ситуациях всегда возникают такие цепи рассуждений, на которых для достижения ответа, имеющихся средств, способов и знаний оказывается недостаточно. Американский психолог К. Прибрам рассматривает принятие решения как выход из неопределённости. Причём неопределённость он трактует как несоответствие между содержанием текущих восприятий и содержанием памяти, в том числе, по – видимому, несоответствие текущего опыта со сформированными моделями будущего. Это несоответствие включает эмоции и служит толчком к началу мышления.
Известный психолог А.Н. Леонтьев обоснованно считал, что «жизненный правдивый подход к обучению – это такой подход к отдельным образовательным задачам, который исходит из требований к человеку: каким человек должен быть в жизни и чем он должен быть для этого вооружён, какими должны быть его знания, его мышление, его чувства и т.д.». [ 8 ]
Если с этой точки зрения посмотреть на задачи общего образования и в частности на задачи школьного курса математики, то придём к выводу, что одной из первоначальных является задача развития мышления учащихся.
В современной психологии мышление понимается как «социально обусловленный, неразрывно связанный с речью психологический процесс поисков и открытия существенно нового, процесс опосредованного и обобщённого отражения действительности в ходе анализа и синтеза». Мышление возникает на основе практической деятельности из чувственного познания и далеко выходит за его пределы.
Мышление потому и необходимо, что в ходе жизни и деятельности каждый человек наталкивается на какие-то новые свойства предметов. Прежних знаний оказывается недостаточно. Мышление всегда устремлено в бескрайние глубины неизведанного, нового. Когда человек мыслит, он самостоятельно делает открытия. Например, решая учебную задачу, обязательно открывает для себя нечто новое.
Мышление, являясь одним из главных компонентов познавательной деятельности, не может существовать без связи с другими психическими процессами. Оно развивается наиболее интенсивно во взаимодействии с ними. Мышление невозможно осуществить вне ощущения, восприятия, памяти, речи, понимания. Уровень развития мышления во многом зависит от степени сформированности всех познавательных процессов. С другой стороны, чем выше уровень мышления, тем на более высокой ступени развития оказываются все другие познавательные процессы.
Особенности мышления определяются через его опосредованный характер и его обобщённость. Опосредованный характер мышления обуславливается тем, что человек не может понять прямо, непосредственно, он познаёт косвенно, опосредованно: одни свойства через другие, неизвестное, через известное. Мышление всегда опирается на данные чувственного опыта, ощущения, восприятия, представления – и на ранее приобретённые теоретические знания. Косвенное познание и есть познание опосредованное.
Обобщенность мышления как познание общего и существенного в объектах действительности возможна потому, что все свойства этих объектов связаны друг с другом. Общее существует, а проявляется лишь в отдельном, в конкретном. [ 5 ]
Методисты и психологи выделяют различные виды мышления, в том числе:
Теоретическое и практическое;
Словесно-логическое и наглядно-действенное;
Аналитическое и интуитивное;
Реалистическое и артистическое;
Продуктивное и репродуктивное;
Непроизвольное и произвольное.
Чтобы развивать естественно-математическое мышление в обучении, необходимо целенаправленное постепенное формирование следующих основных умений и навыков при решении задач.
1. Анализ и синтез.
2. Сравнение.
3. Обобщение.
4. Конкретизация.
5. Абстрагирование. [ 13]
Анализ – это мысленное разложение целого на части или мысленное выделение из целого его сторон, действий, отношений.
Синтез – это обратный анализу процесс мысли, это объединение частей, свойств, действий, отношений в одно целое. Анализ и синтез – две взаимосвязанные логические операции. Синтез, как и анализ, может быть как практическим, так и умственным.
Анализ и синтез сформировались в практической деятельности человека.
Сравнение – это установление сходства и различия предметов и явлений. Сравнение основано на анализе. Прежде чем сравнивать объекты, необходимо выделить один или несколько признаков их, по которым будет произведено сравнение.
Сравнение может быть односторонним, или неполным, и многосторонним, или более полным. Сравнение, как анализ и синтез, может быть разных уровней – поверхностное и более глубокое. В этом случае мысль человека идёт от внешних признаков сходства и различия к внутренним, от видимого к скрытому, от явления к сущности.
Обобщение – это выделение в предметах и явлениях общего, которое выражается в виде понятия, закона, правила, формулы и тому подобное.
Конкретизация – это процесс, обратный абстрагированию и неразрывно связанный с ним. Конкретизация есть возвращение мысли от общего и абстрактного к конкретному, с целью раскрытия содержания.
Абстрагирование – это процесс мысленного отвлечения от некоторых признаков, сторон конкретного с целью лучшего познания его. Ученик мысленно выделяет какой-нибудь признак предмета и рассматривает его изолированно от всех других признаков, временно отвлекаясь от них. Изолированное изучение отдельных признаков объекта при одновременном отвлечении от всех остальных помогает ученику глубже понять сущность понятий и явлений. Благодаря абстракции человек смог оторваться от единичного, конкретного и подняться на самую высокую ступень познания – научного теоретического мышления.
Развитие мыслительных операций ведёт к формированию устойчивых свойств мышления, называемых качествами мышления. К ним относят гибкость, целенаправленность, рациональность, самостоятельность, активность, широта, глубина и критичность.
Гибкость мышления характеризуется подвижностью мыслительных процессов, т.е. умением видоизменять способ решения задачи в соответствии с особенностями новой задачи; умением отказаться от привычного способа решения и умением найти различные способы решения. Гибкости мышления противостоит инертность мышления. Ученику инертной мысли более свойственно точное воспроизведение усвоенного материала, нежели, активные поиски неизвестного.
О целенаправленности мышления говорит стремление осуществить выбор действий при решении проблемы, стремление к поиску кратчайших путей решения поставленной задачи.
О рациональности мышления свидетельствует оптимальность выбираемых способов решения, владение методами поиска (экономичность мыслительных операций).
Самостоятельность мышления характеризуется умением найти способ решения без посторонней помощи, умением внести элемент новизны в способ решения задачи.
Активность мышления характеризуется постоянством усилий, усилий направленных на решение проблемы, желание обязательно решить её, изучить различные подходы к её решению. Развитию этого качества способствует рассмотрение различных способов решения задачи, обращение к исследованию полученного результата.
О широте мышления свидетельствует способность к формированию обращённых способов действий, имеющих широкий диапазон переноса и применения к частным, нетипичным случаям. Развитию этого качества способствует проведение обобщений и классификаций.
Развитию глубины мышления способствуют задачи, направленные на установление взаимосвязи различных понятий, разных методов математики.
О критичности мышления говорят умения дать оценку рациональности способов решения задач, как в целом, так и отдельных операций; осуществить самоконтроль своей деятельности, прогнозировать результат использования различных способов решения задач. [ 6 ]
Традиционная система образования озабочена тем, чтобы дать учащимся некоторую сумму знаний. Но сейчас недостаточно заучить наизусть какой-то объём материала и выработать навыки манипулирования с ним.
Главной целью обучения должно быть развитие умения учиться, а для этого необходимо совершенствовать качества мышления, в том числе, его критичность.
Далее рассмотрим более подробно вопрос о критичности мышления.
§
2. Критичность и критическое мышление
Способность критически мыслить была важны во все времена, в XXI веке без неё просто не обойтись. Впервые в истории человечества возникает опасность, что мы способны уничтожить всё живое на нашей планете. Решения, которые мы принимаем как частные лица, и как члены общества отразятся на будущих поколениях народов всего земного шара. Кроме того, приходится принимать решения по целому ряду важных вопросов имеющих локальный или частный характер. Поскольку каждому гражданину требуется принимать огромное количество важных решений, представляется естественным, чтобы общество побеспокоилось о том, каким образом эти решения принимаются.
Необходимо обучать школьников мыслить продуктивно. Зачастую учащиеся лишаются самого важного компонента образования – обучения способности мыслить. [18]
В процессе мышления нужен последовательный переход от одного звена, в цепи рассуждений, к другому. Порой из-за этого не удаётся мысленным взором охватить всю картину целиком, все рассуждения от первого до последнего шага. В связи с этим необходимо быть очень внимательным после какого-либо умозаключения всякого рассуждения, тем более, что ученик имеет предрасположенность вести длинную цепь рассуждений. [8]
Критическое мышление позволяет осуществить выбор между несколькими гипотезами и тем самым определяет дальнейшее направление мысли школьника.
Критическое мышление диктует вопросы, которые способствуют определению рационального выбора.
В контексте психологии мышления критичность обычно трактуется как одно из свойств ума и определяется как осознанный контроль, за ходом интеллектуальной деятельности человека. Приведём высказывания ряда ведущих советских психологов.
Б.М. Теплов определял критичность как «умение строго оценивать работу мысли, тщательно взвешивать все доводы за и против намечающихся гипотез и подвергать эти гипотезы всесторонней проверке».
С.Л. Рубинштейн считал, что проверка, критика, контроль характеризуют мышление как сознательный процесс.
А.А. Смирнов связывал самостоятельность ума с его критичностью, то есть с умением не поддаваться внушающему влиянию чужих мыслей, а строго и правильно оценивать их, видеть их сильные и слабые стороны, вскрывать, то ценное, что в них имеется , и те ошибки, которые допущены в них. Он также подчёркивал, что критичность является необходимой предпосылкой творческой деятельности.
Б.В. Зейгарник указывает, что критичность состоит в умении обдуманно действовать, сличать, проверять и исправлять свои действия в соответствии с ожидаемыми результатами.
Совершенно иное отношение к критичности содержится в эмпирических исследованиях зарубежных психологов. В работах А.Осборна и У. Гордона для повышения творческого и интеллектуального потенциала учащихся рекомендуются мероприятия, снижающие критичность. Снижение критичности может осуществляться двумя путями: прямой инструкцией (“быть свободным, творческим, оригинальным, подавить критичность к себе и своим идеям, не бояться критики окружающих”) и созданием благоприятных внешних условий, снижающих критичность опосредованно – сочувствие, поддержка, ободрение и одобрение партнёров, преодоление “боязни выглядеть глупым” (А.Осборн).
Критичность как деятельность оценочного анализа по отношению к себе и своим гипотезам является необходимой и полезной на стадии рассуждения может быть противопоказана во время работы воображения, при выдвижении новых идей и постановке новых целей. [ 18 ]
Оценка влияния критичности на развитие умений требует содержательного подхода. Необходимо описывать и анализировать то содержание , по отношению к которому субъект проявляет критичность. На процессе постановки новых оригинальных целей благотворно сказывается снижение критичности субъекта к себе, к оценке своей личности и способствует успешности целеполагания. Желательным оказывается также усиление критического отношения к внешнему миру и другим людям.
Развитие критичности ведёт к формированию у человека критического мышления. Хотя специалисты по психологии и смежным с ней наукам предложили несколько определений термина «критическое мышление», все эти определения довольно близки по смыслу, вот одно из самых простых передающее суть идеи: критическое мышление - это использование когнитивных техник или стратегий, которые увеличивают вероятность получения желаемого конечного результата. Это определение характеризует мышление как нечто отличающееся контролируемостью, обоснованностью и целенаправленностью, т.е. такой тип мышления, к которому прибегают при решении задач, формулировании выводов, вероятностной оценке и принятии решений. При этом, думающий использует навыки, которые обоснованы и эффективны для конкретной ситуации и типа решаемой задачи. [ 5 ]
Другие определения дополнительно указывают, что для критического мышления характерно построение логических умозаключений, создание согласованных между собой логических моделей и принятие обоснованных решений, касающихся того, отклонить какое-либо суждение, согласиться с ним или временно отложить его рассмотрение. Все эти определения подразумевают решение конкретной мыслительной задачи.
Слово критическое, используемое в определении, предполагает оценочный компонент. Иногда это слово употребляется для передачи отрицательного отношения к чему-либо. Но оценка и должна быть конструктивным выражением и позитивного, и негативного отношения . когда мы мыслим критически, мы оцениваем результаты своих мыслительных процессов – насколько правильно принятое нами решение или насколько удачно мы справились с поставленной задачей. Критическое мышление также включает в себя оценку самого мыслительного процесса – хода рассуждений, которые привели к нашим выводам, или тех факторов, которые были учтены при принятии решения.
Критическое мышление иногда называют ещё и направленным мышлением, поскольку оно нацелено на получение желаемого результата. Существуют виды мыслительной деятельности, которые не предполагают преследования определённой цели, такие виды мышления не относятся к категории критического мышления. Например, при решении сложной математической задачи, выполняя некоторое промежуточное действие, например, действие умножение, мышление ориентировано на определённую цель, а именно решение задачи, поэтому практически выполнение действия умножения не предполагает сознательной оценки совершаемых действий. Это один из примеров ненаправленного, или автоматического мышления.
Критическое мышление подразумевает обязательное присутствие этапа проверки и оценки предположений перед ответом на поставленный вопрос с точки зрения их достоверности и значимости, в противовес оперированию готовыми фразами, подсказанными память, без участия их творческой переработки.
Формирование критичности мышления, на уроках математики, можно сочетать с использованием математических софизмов.
§ 3. Софизмы. Их место в развитии математического мышления
В решении проблемы развития критичности математического мышления учащихся одним из эффективных средств является использование софизмов в обучении.
История математики полна неожиданных и интересных софизмов .И зачастую именно их разрешение служило толчком к новым открытиям, из которых в свою очередь, вырастали новые софизмы.
Софизмы – ложные результаты, полученные с помощью рассуждений, которые только кажутся правильными, но обязательно содержат ту или иную ошибку.
Практика обучения математике показывает, что поиск заключенных в софизме ошибок, ясное понимание их причин ведут к осмысленному постижению математики. Обнаружение и анализ ошибки, заключённой в софизме, зачастую оказываются более поучительными, чем просто разбор решений «безошибочных» задач. Можно сколько угодно объяснять, что деление на ноль недопустимо или что корень квадратный из квадрата числа равен абсолютной величине этого числа, но учащийся продолжает совершать одни и те же ошибки. В то же время эффективная демонстрация «доказательства» явно неверного результата, в чём и состоит смысл софизма, демонстрация того, к какой нелепице приводит пренебрежение тем или иным математическим правилом. Последующий поиск и разбор ошибки, приведшей к нелепице, позволяют на эмоциональном уровне понять и «закрепить», то или иное математическое правило или утверждение.
Математические софизмы представляют собой тот частный случай ошибок в математических рассуждениях, когда при разительной неверности результата ошибка, приводящая к нему, более или менее, хорошо замаскирована.
Раскрыть софизм – это, значит, указать ошибку в рассуждениях, с помощью которой была создана внешняя видимость правильности доказательства. [ 9 ]
В основном математические софизмы строятся на неверном словоупотреблении, на неточности формулировок, очень часто на неправильном применении теорем, на скрытом выполнении невозможных действий, на незаконных обобщениях, особенно при переходе от конечного числа объектов к бесконечному, и на маскировке ошибочных рассуждений.
Софизмы способствуют развитию всех компонентов математической подготовки, а именно:
1) фактических знаний и умений, предусмотренных программой обучения;
2) мыслительных операций и методов присущей деятельности;
3) математического стиля мышления;
4) рациональных способов учебно-познавательной деятельности.
Софизмы в процессе обучения могут служить следующим целям:
- стимулировать изучение математики;
- выполнять пропедевтические функции;
- способствовать развитию интеллекта учащихся, нравственных качеств личности;
- способствовать усвоению теоретического материала (если тематика софизма соответствует изучаемой в школьном курсе математике теме).
Таким образом, математические софизмы относятся к очень эффективным средствам развития мышления.
Исходя из дидактических целей и этапа усвоения материала, подбираются софизмы с соответствующим содержанием и структурой. Хотя чаще всего применяются не в системе образовательной деятельности, а в
Математический софизм тем более замысловат, чем более тонкого характера ошибка в нём проводится, чем менее она предупреждена обычным школьным курсом. [ 2]
Таким образом, решая математический софизм, ученик активизирует своё мышление на нахождении ошибки, оценивает свои действия со стороны, прогнозирует возможные результаты ошибок, критикует предложенные доказательства софизмов.
На первых порах применения софизмов на уроках математики эти процессы осуществляются с помощью системы наводящих вопросов учителя, эвристической беседы, подводящей на такие рассуждения. Но если софизмы использовать систематически и целенаправленно на уроках математики, то по средствам постоянного сталкивания с ошибочными рассуждениями, у учащихся развивается критическое мышление. Значит, использование софизмов способствует развитию критичности мышления.
Одним из важных вопросов использования софизмов является определение места софизмов в системе уроков математики. Надо ли вводить их тогда, когда ученики окрепнут в математических знаниях и смогут проявить критическое отношение к разбору софизмов или знакомство с математическими софизмами надо начинать на ранней ступени изучения математики? Но тогда не будет ли посеяно недоверие математике у школьников, когда у них ещё нет надёжной опоры в логических рассуждениях, и нет основательных знаний?
Можно рассматривать их в связи с прохождением текущего материала и тогда софизм служит важным педагогическим моментом для усиления внимания учеников к отдельным вопросам школьного курса математики. Также можно включать софизмы на этапе обобщения и систематизации изученного материала для проверки степени осознанности усвоения материала. Что касается использования софизмов на конкретном уроке, то здесь учитель сам определяет, на каком этапе урока он будет рассматривать тот или иной софизм
ГЛАВА II
§ 1. Способы предъявления софизмов
Способы предъявления софизмов могут быть различными. Рассмотрим некоторые из них.
1. Текст софизма записывается на доску до начала урока и учитель обращает внимание учеников, что они могут во время перемены подумать над заданием. В начале урока учитель даёт ещё 3-5 минут на обдумывание, после чего выслушивает ответы учеников.
2. Текст софизма может быть записан на доске до начала урока, но скрыт от учащихся. Это возможно в том случае, если софизм планируется рассмотреть в конце урока или по ходу его.
3. Если софизм связан с изучением текущей темы и логически «вписывается» в ход урока, то учитель может предложить его непосредственно по ходу урока. Но в этом случае он должен быть максимально «рабочим». Положительным моментом при этом способе будет эффект неожиданности, когда в ходе объяснения учителя возникает абсурдный вывод и,
4. Более оптимальным способом, является демонстрация софизмов с использованием технических средств обучения, например, кодоскопа. Это удобнее, во-первых, потому, что учитель готовит кодокадры заранее и один раз, а использовать их в дальнейшем неоднократно и в разных классах; Это значительно экономит время на уроке и очень удобно, особенно для геометрических софизмов. Во-вторых, можно быстро предъявить опровержение софизма, для этого достаточно сменить кодокадр. При желании учитель может использовать кодокадры с наложением, т.е. первый кадр не убирается, а на него накладывается второй кадр, потом следующий кадр и.т.д. Таким образом, можно показать последовательность некоторых действий, например, последовательность выполнения построений. В третьих, кодоскоп позволяет использовать софизм на любом этапе урока и при том полезно переключить внимание учащихся с доски на экран. [1]
§ 2. Методика работы по раскрытию софизмов
Предъявление софизма сопровождается заданием «Найти ошибку». Необходимое условие применимости того или иного математического софизма состоит в наличии у школьников предпосылок для раскрытия этого софизма, т.е. должна быть некая база математических понятий, которой учащиеся могли бы воспользоваться при решении софизма. Несоблюдение этого условия не только полностью обесценивает применение софизмов, но и делает их вредными. Ученик, не имеющий нужных знаний и возможности разобраться в существе вопроса сводит свою работу к простой догадке. Поэтому, мало найти ошибку, надо потребовать от учеников построения последовательного опровержения ложного доказательства. Отсюда разбор софизма можно разбить на два этапа. Сначала найти суждение (математическое рассуждение), в котором имеется ошибка. Затем подобрать аргументы для того, чтобы обосновать наличие ошибки. Установить же ложность суждения можно путём его сопоставления с законами, правилами, формулами, теоремами, аксиомами и другими истинными утверждениями. Наибольшую трудность на первых порах вызывает процесс нахождения ошибки. Это связано с тем, что, во-первых, задания такого рода являются для учеников новыми (новыми по требованию, по способу выполнению) и, во-вторых, некоторые ученики не достаточно владеют способами самопроверки.
В большинстве случаев для поиска ошибки в софизме можно использовать те же приёмы, что и для проверки решения текстовых задач, уравнений, неравенств. Можно предложить ученикам несколько рекомендаций, которые помогут им быстрее обнаружить ошибку в софизме.
1. Начинать поиск ошибки лучше с условия предложенного софизма. В некоторых софизмах абсурдный результат, получается, из-за противоречивых или неполных данных в условии, неправильного чертежа, ложного первоначального предположения, а далее все рассуждения проводятся верно. Это и вызывает затруднения при поиске ошибки, т.к. ученики привыкли, что задания, предполагаемые в учебнике, не содержат ошибок в условии и, поэтому, если получается неверный результат, то ошибку они ищут непременно по ходу решения.
Например, такая задача:
«Отцу 32 года, сыну 5 лет. Через сколько лет отец будет в 10 раз старше сына?»
ученики решают её так:
пусть х – лет искомый срок, тогда отцу будет (32 + х) лет, сыну (5+х) лет. Составляем уравнение и решаем его:
32 + х= 10∙(5 + х);
32 + х =50 + 10 х;
-9х = 18;
х = -2.
Таким образом, через -2 года отец будет в 10 раз старше сына. Так как по смыслу задачи х должно быть больше нуля, то полученный результат вызывает недоумение у школьников. Уравнение само по себе составлено и решено верно, ошибка заключается в некорректной постановке вопроса. Это как раз тот самый случай, когда задача «думает» за нас.
2. Установить темы, которые отражены в софизме, предложенных преобразованиях.
3. Воспроизвести точные формулировки утверждений, используемых в софизме.
4. Выяснить, соблюдены ли все условия применимости теорем, правил, формул.
Действительно, некоторые софизмы построены на неверном использовании определений, законов, на «забывании» у4словий применимости некоторых теорем и т.д. ученики очень часто в формулировках, правилах запоминают основные, главные на их взгляд фразы и предложения, всё остальное они упускают. Этому способствует и выполнение большого числа однотипных упражнений, в которых осознание некоторой особенности не обязательно для получения верного результата, тогда, согласно закономерности Шеварева, степень осознания этой повторяющейся особенности снижается, и формируется ошибочная ассоциация. И тогда второй признак равенства треугольников превращается в признак «по стороне и двум углам», в формуле суммы бесконечной геометрической прогрессии теряется условие <1, определение параллельных прямых в пространстве сводится к требованию, чтобы прямые не пересекались и т.д. [ 4 ].
Следующая рекомендация сформулирована в виде правила.
5. «Правило портного».
Вручную обычно иглой шов делается так: стежок вперёд и назад, ещё вперёд и снова назад и т.д.
Проверять преобразования нужно также, как портной делает шов. После каждого перехода надо «оглянуться назад», проверить полученный результат обратным действием.
Рассмотрим софизм « 2 ∙ 2 = 5 »:
1 = 1;
4 : 4 = 5 : 5;
4∙(1 : 1) = 5∙(1 : 1);
4 = 5
2 ∙ 2 = 5 .
Ошибку можно быстро обнаружить, если после вынесения «общего множителя за скобку» выполнить обратную операцию и внести 4 и 5 за скобки.
6. «Правило программиста».
Работа блоками. Невозможно отлаживать программу в целом. Следует разбить работу на небольшие блоки и проконтролировать правильность каждого такого блока.
Предложенные рекомендации с одной стороны помогут ученикам при разборе софизмов, с другой стороны будут способствовать обогащению набора приёмов самопроверки и самоконтроля. [ 20 ]
Наряду с упражнениями по раскрытию софизмов можно предложить ученикам задания по составлению софизмов. С такого рода заданиями ученики сталкиваются впервые. Обычно за ошибки, допущенные в решении, их наказывали, а здесь, наоборот, требуется умышленно допустить ошибку, да ещё при этом сделать так, чтобы её не сразу можно было найти. Парадоксальность ситуации вызывает интерес со стороны учеников, и они охотно берутся за выполнение задания. Главная цель таких заданий способствовать более осознанному усвоению изучаемого материала и развитию творческого мышления.
На первом этапе можно дать такое задание: «Решить упражнение (пример, задачу, уравнение и т.д.) с ошибкой». Его можно предложить в качестве творческого домашнего задания, которое выполняется на отдельных листочках. Далее ученики могут обменяться своими решениями и попытаться найти ошибки друг у друга. Учитель собирает все работы, проверяет их и самые интересные демонстрирует всему классу. На втором этапе сообщаем ученикам, что многие из тех ошибок, которые они допускают, используются для составления доказательств заведомо ложных утверждений, т.е. софизмов. На третьем и этапе можно предложить ученикам решить задание с ошибкой, более или менее её замаскировав, и получить отсюда какой-либо неверный вывод.
Проанализировав соответствующую литературу и задачники, содержащие софизмы, можно прийти к выводу, что, во-первых, из всего множества софизмов далеко не каждый можно использовать на уроке, а, во-вторых, в литературе нет строгого разделения ошибочных рассуждений на те, которые можно использовать во внеклассной работе и те, которые подойдут для урока.
Поэтому выделяют несколько способов составления доказательств ложных рассуждений.
1. Для составления софизмов можно использовать ученические ошибки. Действительно, некоторые ошибки, скрытые в софизмах, ученики зачастую допускают сами. Знание учителем типичных ошибок позволит ему составлять разнообразные, интересные, а главное, «рабочие» софизмы.
Например, докажем, что 3 > 5, используя следующую ошибку: при делении обеих частей неравенства на отрицательное число не сменили знак неравенства на противоположный.
3 > 2; ·2
3∙2 > 2І; + (3І)
3∙2 - 3І > 2І - 3І;
3·(2 - 3) > (2 - 3)·(2 + 3);
3 > 2 + 3;
3 >5.
Обычно, учитель говорит: «Неверно», «Так нельзя», но, как правило, долговременного эффекта это не даёт.
2. Учитель может использовать для составления софизмов те психологические закономерности усвоения и запоминания материала, о которых уже говорилось выше. В частности, он может составлять доказательства ложных утверждений используя неточные определения, неполные формулировки, ошибочные выводы, обратные теоремы, которые неверны. К примеру, «забыв», что переход , возможен только при a > 0,m€ Z, n € N, n, то можно получить следующее:
Таким образом, доказывается, что -1 = 1.
Этот опыт и фантазия учителя, наверняка подскажут ему подобные задания по различным темам.
3. Использование «обманных» или провоцирующих задач. Под «обманными» задачами понимают задачи, в которых условие либо противоречиво, либо решение невозможно при конкретных данных, либо они имеют ещё какой-либо недостаток, сводящий задачу на «нет» и делающий её абсурдной по сути.
Обычно обманная задача не требует решения, но если попытаться её решить, то можно получить какой-либо абсурдный вывод. Таким образом, мы получим некоторый софизм. После предъявления такой задачи возможно два варианта событий. Ученики заметят подвох и не станут решать задачу, тогда учитель покажет к чему бы они пришли, если бы, всё таки попытались её решить. В этом случае, у учеников возникнут положительные эмоции по поводу того, что они вовремя заметили скрытую ошибку и не «попались в ловушку». Но ученики могут и ничего не заметить, и тогда учитель подводит их к нелепому результату, выясняется причина такого результата. А в этом случае у школьников возникает чувство досады на себя из-за невнимательности, из-за того, что они угодили в ловушку, причём заранее подготовленную. Но в любом случае эмоциональная окраска ситуации способствует осознанию значимости, важности данного материала, повышению интереса учащихся к предмету, что в свою очередь влияет на сознательность и прочность усвоения учебного материала.
Примером «обманной» задачи может служить задача:
«Определить вид монотонности функции у = log(3 – 2х)»
Обычно ученики определяют эту функцию как убывающую на своей области определения, так как 0.5 < 1. Но тогда по определению убывающей функции из того, что 1 > 0.5 следует, что у(1) < у(0.5).
Так как у(1) = log(3 – 2∙1) = 0, у(0.5) = log(3 – 2∙0.5) = -1, то мы получим, что 0 < -1 . Причина такого результата в том, что функция
у = log(3 – 2х) является возрастающей на своей области определения и это можно легко показать. Действительно, рассмотрим произвольные х и х из области определения функции, такие. что х < х. Тогда
у = log(3 – 2х) , у = log(3 – 2х). Рассмотрим разность (у - у )
у - у = log(3 – 2х) - log(3 – 2х) - log()
Так как х < х→ 2х < 2х→ 3 - х < 3 - х→ < 1
→ log() >0.
Значит, у - у > 0, т.е. у > у , следовательно у = log(3 – 2х) – возрастающая функция на своей области определения. [ 10 ]
Таким образом, софизмы можно составлять ещё и на основе «обманных » задач.
Итак, при организации работы по рассмотрению софизмов на уроке учитель может использовать как готовые софизмы, так и составлять их сам. В любом случае надо помнить, что чем сильнее разбор софизмов будет связан с темами программы, тем большее педагогическое значение они будут иметь. Но это не значит, что все софизмы могут быть рассмотрены в классе. Для полного выяснения смысла некоторых софизмов требуется значительное время, которым не располагает учитель на уроке. Кроме того, ряд софизмов нуждается в значительных абстракциях, которыми владеют не все ученики. Поэтому, естественно, что ознакомление с отдельными софизмами следует перенести на внеклассные занятия.
§ 3. Применение софизмов на уроках математики
Проанализировав соответствующую методическую литературу и задачники, содержащие софизмы, можно сделать вывод, что, во-первых, из всего множества софизмов, далеко не каждый можно использовать на уроке, а во-вторых, в литературе нет строгого разделения ошибочных рассуждений на те, которые можно использовать во внеклассной работе и те, которые подойдут для урока. Поэтому предлагаю примерное распределение софизмов по классам в соответствии с изучаемым материалом. Считаю, что такая система могла бы способствовать предотвращению бессистемности в использовании софизмов.
7 класс.
Софизм
: Все числа равны между собой.
Возьмём два произвольных неравных между собой числа а и b, и запишем для них очевидное тождество
Слева и справа стоят полные квадраты, т.е. можем записать (1)
Извлекая из обеих частей последнего равенства квадратный корень, получим , (2) или , или окончательно .
Раскрытие софизма
:
Исходное тождество и равенство (1) вполне справедливы. Но при переходе от равенства (1) к равенству (2) была совершена ошибка: извлечение квадратного корня из обеих частей равенства (1) сделано неправильно. В действительности же вместо равенства (2) из равенства (1) должно следовать равенство . (*)
Здесь необходимо рассмотреть два случая.
1 случай. , тогда, очевидно, . Тогда из равенства (*) следует , или , т.е. просто тождество числа а
самому себе.
2 случай. , тогда , откуда следует, что , или .
Софизм
:
Их было десять чудаков,
Тех спутников усталых,
Что в дверь решили постучать
Таверны «Славный малый».
- Пусти, хозяин, ночевать,
Не будешь ты в убытке,
Нам только ночку переспать,
Промокли мы до нитки.
Хозяин тем гостям был рад,
Да вот беда некстати:
Лишь девять комнат у него
И девять лишь кроватей.
- Восьми гостям я предложу
Постели честь по чести,
А двум придётся ночь проспать
В одной кровати вместе.
Лишь он сказал, и сразу крик,
От гнева красны лица:
Никто из всех десятерых
Не хочет потесниться.
Как охладить страстей тех пыл,
Умерить те волненья?
Но старый плут хозяин был
И разрешил сомненья.
Двух первых путников пока,
Чтоб не судили строго,
Просил пройти он в номер «А»
И подождать немного.
Спал третий в «Б», четвёртый в «В»,
В «Г» спал всю ночь наш пятый,
В «Д», «Е», «Ж», «З» нашли приют
С шестого по девятый.
Потом вернувшись снова в «А»,
Где ждали его двое,
Он ключ Ио «И» вручить был рад
Десятому герою.
Хоть много лет с тех пор прошло,
Неясно никому,
Как смог хозяин разместить
Гостей по одному.
Иль арифметика стара,
Иль чудо перед нами,
Понять, что, как и почему,
Вы постарайтесь сами.
Раскрытие софизма
: Второй клиент остался без комнаты, т.к. о его существовании просто «забыли» при распределении номеров. Суть в том, что понятие числа неоднозначно: оно может быть и количественным и порядковым. Путём сознательного смешения понятий количественного и порядкового чисел и достигается иллюзия правдоподобности приведённого рассуждения. Мы рассуждали так: «В итоге расселения в первой комнате оказалось 2 человека – число количественное, «третий» человек был помещён во второй комнате» - число порядковое. Подобная структура рассуждений и дала возможность отвлечь внимание от факта пропуска второго клиента.
8 класс.
Софизм
: Сумма углов треугольника меньше 180є.
Возьмём произвольный треугольник ABC и проведём из его вершины С две прямые CF и CG так, чтобы угол GCB был равен углу FCA – углу CAB.
Тогда сумма равна сумме внутренних углов Треугольника АСВ.
Построим на сторонах СВ и АС треугольника АВС как на диаметрах две полуокружности с центрами в точках О и О.
Из вершин А и В треугольника АСВ восстановим к основанию АВ этого треугольника перпендикуляры и продолжим их до пересечения с соответствующими окружностями в некоторых точках K и L с вершиной С. Рассмотрим два получившихся угла AKC и BLC; вершины K и L этих углов лежат на полуокружностях, стороны их опираются на диаметры этих полуокружностей, поэтому заключаем, что эти углы прямые.
Теперь из вершины С треугольника АСВ проведём прямую СН, параллельную прямой LB. Прямая СН будет также параллельна прямой KA. Действительно, прямая КА перпендикулярна ( по построению) основанию АВ треугольника АСВ, прямая LB перпендикулярна основанию АВ ( так же по построению), а прямая СН параллельна и прямой KA. Итак, прямые KA и LB параллельны между собой. Отсюда следует, чтои следовательно .
Между тем из рисунка видно, что сумма углов , меньше, чем сумма , следовательно,
,
,
а т.к. есть сумма внутренних углов треугольника АСВ, то следовательно, сумма углов треугольника меньше 180є.
Раскрытие софизма: В софизме неправильно построены точки K и L, что и привело к неверному выводу. Действительно, прямые CF и CG параллельны стороне АВ треугольника АВС, т.к. равны соответствующие внутренние накрест лежащие углы ( по построению). Поэтому перпендикуляры к АВ, восстановленные из А и В, должны быть перпендикулярами и к прямым CG и CF. Поскольку углы, образованные этими перпендикулярами и прямыми CF и СG, опираются на диаметры соответствующих окружностей, то вершины этих углов, будучи прямыми углами, должны лежать на соответствующих окружностях. Значит, прямая DC должна слиться с прямой CG. Соответственно точка К будет лежать на прямой CF и на окружности точно так же, как и точка L будет лежать на своей окружности и на прямой CG. Вследствие этого вывод софизма не будет иметь место.
9 класс.
Софизм: В любом треугольнике катет больше гипотенузы.
Рассмотрим произвольный треугольник АВС и докажем, что его катет АС больше гипотенузы ВС. Для этого запишем два очевидных равенства
,
,
из которых вытекает, что
.
Разделив последнее равенство на , получим равенство
, (1)
в котором в левой дроби числитель ВС+АС больше знаменателя –(ВС+АС), т.к. положительная величина всегда больше отрицательной. Поэтому, для того чтобы имело место равенство (1), необходимо, чтобы и в правой его части выполнялось неравенство , откуда , или , или, наконец,, т.е. в любом прямоугольном треугольнике катет больше гипотенузы.
В
С
А
Раскрытие софизма: Ошибка состоит в том, что сравнение двух дробей необходимо проводить согласно определению равенства дробей, а не сравнивать отдельно числители и отдельно знаменатели этих дробей.
Обратимся к неравенству (1). В дроби, стоящей в его левой части, числитель и знаменатель равны по абсолютной величине и противоположны по знаку, поэтому эта дробь равна – 1 . Это же относится и к дроби в правой части равенства (1): она равна – 1 . Поэтому равенство (1) приводит к равенству -1 = -1.
Софизм
: Парадокс Зенона: Ахиллес никогда не догонит черепаху.
Древнегреческий философ Зенон доказывал, что Ахиллес, один из самых сильных и храбрых героев, осаждавших древнюю Трою, никогда не догонит черепаху, которая, как вы, конечно, знаете, отличается крайне медленной скоростью передвижения.
Вот примерная схема его рассуждений. Предположим, что Ахиллес и черепаха начинают своё движение одновременно и Ахиллес стремится догнать черепаху. Примем для определённости, что Ахиллес движется в 10 раз быстрее черепахи и, что их отделяют друг от друга 100 шагов.
Когда Ахиллес пробежит расстояние 100 шагов, отделяющее его от места, откуда начала своё движение черепаха, то в этом месте Ахиллес её уже не застанет, т.к. она пройдёт вперёд расстояние в 10 шагов. Когда Ахиллес минует и эти 10 шагов, то и там черепахи уже не будет, поскольку она успеет перейти на 1 шаг в новое место. Достигнув и этого места, Ахиллес опять не найдёт там черепахи, потому что она успеет пройти расстояние, равное 1/10 шага, и снова окажется несколько впереди его. Это рассуждение можно продолжать до бесконечности, и придётся признать, что быстроногиё Ахиллес никогда не догонит медленно ползущую черепаху.
Раскрытие софизма
: Понятно, что Ахиллес догонит черепаху. Смысл софизма Зенона состоит не только в том, что Зенон вскрывал противоречивость движения. Парадоксы и софизмы Зенона, из которых до нас дошло только 9, имеют значительно более глубокий смысл и направлены на вскрытие понятия бесконечности, на разрешение «проклятия бесконечности» и до сих пор привлекают внимание математиков и философов, которые продолжают давать им самые различные объяснения. Рассматриваемый софизм на сегодняшний день не далёк от своего окончательного разрешения.
10 – 11 класс
Софизм:
Косинус любого острого угла больше единицы.
Прологарифмируем по произвольному основанию а
> 1 очевидное тождество cos= cos, где -произвольный острый угол; в результате получим столь же очевидное тождество logcos = logcos. (1).
Очевидно, что увеличив левую часть этого тождества вдвое, получим неравенство 2 logcos> logcos (2)
или, что тоже самое, logcos> logcos (3)
Поскольку при основании логарифма, большем единицы, большему числу и соответствует и большее значение логарифма и наоборот, из неравенства (3) получаем, что cos> cos. Разделив обе части последнего неравенства на положительное число cos, что не меняет смысла неравенства, получим cos>1.
Раскрытие софизма
: Для острого 0 < < ,0 < cos < 1 справедливо неравенство logcos< 0. Т.к – с > - dпри 0 < c < d, то понятно, что из равенства (1) будет следовать не неравенство (2), а неравенство
logcos> 2logcos. Отсюда получаем cos > cos, или 1 > cos, т.е. верное неравенство.
Софизм
: График функции синус совпадает с осью Ох.
Функция sinx
равна нулю при х = 0, а так же во всех точках х = 2, где
n
– целое число. Площадь фигуры, ограниченной частью синусоиды и отрезком [0; 2] оси Ох,
определяется с помощью интеграла .
Итак, площадь фигуры, ограниченной синусоидой и осью Ох,
равна нулю. Но площадь фигуры между некоторой кривой и осью Ох,
может равняться нулю только в том случае, если эта кривая совпадает с осью Ох
. Следовательно, график функции синус совпадает с осью Ох
.
Раскрытие софизма
:
Здесь допущена ошибка при интегрировании синуса. При вычислении с помощью интегрирования площади фигуры, заключенной между осью Ох и некоторой кривой, необходимо учитывать, что площадь при этом получается со знаком «плюс» или «минус». Это означает, что если кривая расположена над осью Ох, то площадь имеет знак «плюс», а если под осью Ох – знак «минус».
Синус на отрезке [0; ] положителен, а на отрезке [] . Отрицателен. Поэтому площадь фигуры, заключённой между синусоидой и осью Ох, на отрезке [0; ] равна , а на отрезке [] площадь равна .
Тогда площадь , на отрезке [0; 2] будет равна , а на отрезке [0; 2n
] составит .
Софизмы могут самые разные и приведённая система подтверждает, что софизмы могут быть использованы и в соответствии с тематикой обучения, т.е. можно подобрать софизм, который будет актуален при проведении урока по различным темам. Конечно, разумно использовать софизм после изучения конкретной темы, например в 7 классе после темы «Формулы сокращённого умножения», или в 10 классе при изучении темы «Логарифмы», т.к. решение некоторых софизмов можно свести к тем же логарифмам или решить его, используя формулы сокращённого умножения.
Заключение
Проработав соответствующую психолого-педагогическую и методическую литературу по данному вопросу, очевидно, сделать вывод о том, что критичность является важным качеством мышления, развитие которого требует значительных усилий со стороны учителя математики. Кроме того, полезно развивать критичность мышления, в процессе обучения, отступая от стандартных методов проведения урока.
Бесспорно, достичь поставленной цели с помощью только стандартных задач невозможно. Если учитель математики «заполнит отведённое ему время натаскиванием учащихся в шаблонных упражнениях, он убьёт их интерес, затормозит их умственное развитие». С помощью нестандартных задач интенсивнее формируется интерес и достигается цель углубления. Поиск решения нестандартных задач является прекрасным средством развития критического мышления, строгости суждений и математического вкуса. Одним из таких средств является использование софизмов на уроках математики.
Конечно, не следует, и преувеличивать роль софизмов в развитии критичности мышления. Они ни в коем случае не должны доминировать над обычными, традиционными упражнениями. Но как раз своей не стандартностью они «помогут» решить проблему заинтересованности в обучении, а если правильно организовать процесс внедрения софизмов в ход урока, то во многом облегчится задача развития критичности мышления, потому, что софизмы относятся к типам заданий, решение которых основано на рассмотрении различных ситуаций. При регулярном использовании софизмов на уроках у учеников вырабатывается своеобразная «подозрительность», что естественно указывает на хорошо развитую критичность мышления. Причём, софизмы универсальны в обучении тем, что подходят для учащихся всех возрастов.
Софизмы занимают, пусть скромное, но достойное место в процессе обучения и в развитии одного из качеств мышления – критичности.
Литература
1. Брадис В.М. Ошибки в математических рассуждениях. / М.: Просвещение, 1967, -191с.
2. Гайдук Ю.М. «Математические софизмы» // журнал «Математика в школе», № 6, 1952.
3. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. / М.: Мир, 1971, 511с.
4. Грудёнов Я.И. «Совершенствование методики работы учителя математики»./ М.: Просвещение, 1990.
5. Дьюи Джон. Психология и педагогика мышления. / М.Лабиринт, 1999, - 192с.
6. Зайкин М.И. Развивающий потенциал математики и его реализация в обучении (сборник научных и методических работ, предоставленных на региональную научно-практическую конференцию) / «Арзамас, 2002, 334с.
7. Кордемский Б.А. Как увлечь математикой. / М.: Просвещение, 1981,112с.ил.
8. Лук А.Н. «Мышление и творчество». / М., Политиздат, 1976,-144с.
9. Мадера А.Г. Мадера Д.А. Математические софизмы: Перавдоподобные рассуждения, приводящие к ошибочным рассуждениям: Кн. Для учащихся 7- 11кл / А.Г.Мадера, Д.А.Мадера. / М.: Просвещение, 2003.-112с.
10. Математика. // Приложение к газете «Первое сентября» № 46, 1997г.
11. Матюшкин А.М. Проблемные ситуации в обучении. / М.: Просвещение, 1972.
12. Немов Р.С. Психология: Учеб. для студ. высш. пед. учеб. заведений: В 3 кн– 4-е изд. / М.: Гумакнит. изд. центр ВЛАДОС, 2003.-Кн.1:Общие основы психологии.-688с.
13. Немов Р.С. Психология: Учеб.для студ.высш.пед.учеб.заведений: В 3 кн. – 4е изд. / М.:Гумакнит.изд.центр ВЛАДОС, 2003.-Кн.2:Общие основы психологии.-608с.
14. Перловский. Физические и метафизические концепции мышления. // Звезда, № 8, 1999.
15. Податов А.П. Математические софизмы, парадоксы и логические задачи. / Улан-Удэ: Бурятское книжное издательство, 1962.
16. Решетников В.И Формирование приёмов мышления школьников. / М.: Наука, 1973.
17. Талызина Н.Ф. формирование познавательной деятельности учащихся. / М. Знание, 1983 г.
18. Халперн Д. Психология критического мышления. / СПб.: Издательство «ПИТЕР»,2000.
19. Хрестоматия по истории философии. Учебное пособие для вузов. В 2-х ч. Ч.1. / М.: Прометей, 1994.-536с.
20. Ярский А.С. Что делать с ошибками. // журнал «Математика в школе», № 2,1998.