Обработка металла давлением

Введение

Обработка металла давлением (ОМД) является основой многих прогрессивных ресурсосберегающих технологий. Для реализации большинства технологических процессов ОМД необходимо реализовать давление инструмента или какой-либо среды на часть заготовки или нескольких определенным образом расположенных заготовок.

Холодная объемная штамповка (ХОШ) широко используется в штамповочном производстве. Применение ХОШ совместно с другими штамповочными операциями позволяет получить законченные детали, не требующие или почти не требующие дальнейшей механической обработки. Штампованные детали отличаются повышенной точностью и чистотой поверхности, четким контуром, а также повышенной прочностью и жесткостью в результате упрочнения при холодной деформации. Осадка является одной из наиболее часто используемых операций свободной ковки.

Актуальность работы.
Анализ процесса кольцевых образцов плоско-параллельными плитами представляет большой теоретический и практический интерес. Этот процесс относится к числу недостаточно изученных. Недостаток фундаментального знания о процессе может стать причиной длительной разработки процесса, и будет затруднять нововведение операции. Предсказание свойств изделий полученных осадкой, а также проект и реализация процесса производится в большинстве случаях эмпирическим способом. Аналитические модели доступны, но не способны полностью охватить все явления. Численное моделирование – возможный ключ, чтобы получить большее количество знаний о процессе. Устойчивость кольцевых заготовок не может быть точно предсказана эмпирическими моделями, потому что этот фактор, главным образом, определен пластическим разрушением. С производственной точки зрения – это наиболее важный параметр.

В данной работе рассматривается реальная картина течения материала, с использованием метода конечных элементов. Также наибольшее внимание уделяется напряженно-деформированному состояния заготовки.

Целью работы
является создание математической конечно-элементной модели осадки кольцевой заготовки, описывающей механизм осаживания заготовки между плоскими шероховатыми плитами, позволяющей прогнозировать устойчивость заготовки.

Научная новизна
состоит в разработке математической модели осадки кольцевой заготовки и в изучении особенностей пластического формоизменения в процессе осадки кольца.

Методы исследования.
Поведение материала при деформировании описывалось при помощи метода конечных элементов, аппарата математической статистики и метода планирования многофакторного эксперимента.

Автор защищает:

1. Математическую конечно-элементную модель осадки кольцевых заготовок.

2. Результаты теоретических исследований напряженного и деформационного состояния заготовки при осадки.

Содержание работы.

Первая часть
работы посвящена обзору осадки кольцевых заготовок. Также в первом разделе уделяется внимание рассмотрению одной из наиболее универсальных методик решения задач ОМД – метода конечных элементов.

Во второй части
магистерской диссертации представлены основные соотношения и уравнения конечно-элементной модели, которые послужили базой для создания программного пакета.

Третья часть
содержит методику математического моделирования осадки кольцевых заготовок и результаты исследований данного процесса.

Осадкой называется основная кузнечная операция, при которой увеличиваются размеры поперечного сечения заготовки за счет уменьшения ее высоты (рисунок 1.1). При осадке заготовку устанавливают вертикально, и деформирование происходит вдоль оси заготовки.

Рисунок 1.1. Схема осадки

Осадку применяют в следующих случаях:

- для получения поковок с большими поперечными размерами из заготовок меньшего поперечного сечения (поковки фланцев, шестерен, дисков);

- как предварительную операцию перед прошивкой для выравнивания торцов и увеличения диаметра при изготовления полых поковок, например, поковок типа колец, барабанов, муфт;

- как предварительную операция перед протяжкой для наибольшего разрушения литой дендритной структуры и уменьшения неравномерности свойств в поперечном и продольном направлениях;

- для повышения укова, если площадь наибольшего поперечного сечения выбранного слитка не обеспечивает требуемого укова;

- вместе с протяжкой для деталей типа шестерен, дисков, и др.;

- для повышения механических характеристик в тангенсальном и радиальном направлениях в поковках типа шестерен и др.;

- вместе с протяжкой для равномерного распределения и измельчания карбидов в сталях карбидного класса (быстрорежущие, высокохромистые), что повышает износостойкость [44].

Осадка является наиболее простой и весьма распространенной операцией объемной штамповки. В сочетании с последующими операциями обрезки и зачистки осадка применяется для изготовления различных деталей с односторонними и двусторонними выступами (рисунок 1.2) [1,5,29,39,44].

Рисунок 1.2. Детали с односторонними и двусторонними выступами, изготовляемые холодной объемной штамповкой

Операция осадки может быть выполнена одним из следующим способом [5]:

1) между плоскими плитами (рисунок 1.3а);

2) между плоской и кольцевой плитами (рисунок 1.3б);

3) между двумя кольцевыми плитами (рисунок 1.3в).

Каждый из этих способов имеет различный характер распределения нормальных напряжений, различную степень неравномерности напряженного и деформированного состояния, предельную степень деформации и величину сопротивления деформации.

Различный характер деформации этих трех схем осадки может быть охарактеризован различным коэффициентом торможения, представляющим собой отношение поверхности трения (контакта с инструментом) к поверхности свободного истечения [39]

Чем больше поверхность трения, тем выше коэффициент торможения, а следовательно, тем затруднено течение металла и тем больше требуемое усилие.

Коэффициент торможения больше для первой схемы осадки и меньше для третьей. Осадка между плоскими плитами допускает меньшую степень деформации, чем осадка кольцевыми плитами.

Рисунок 1.3. Основные схемы осадки

Степень деформации при осадке определяется отношением [39]

где Н
0
и Н
к
– начальная и конечная высота заготовки в .

Основным инструментом для осадки являются осадочные плиты. Осадочные плиты применяются только на прессах (рисунок 1.4). Верхняя плоская осадочная плита показана на рисунке 1.4а, а нижняя на рисунке 1.4б. Верхняя и нижняя сферические плиты для осадки с хвостовиком крупных слитков показана на рисунке 1.4в, г. На рисунке 1.4д
представлена нижняя осадочная плита для мелких слитков. Плита снабжена рычагами для кантовки на 900
[44].

Рисунок 1.4. Осадочные плиты

Экспериментально-теоретические решения задачи по определению приближенного соотношения между удлинением и уширением при осадке даны И.Я. Тарновским [52,53].

Напряженное состояние металла при осадке цилиндрических заготовок на плоских плитах определяется, прежде всего, условиями внешнего трения и фактором формы заготовки или (отношение высоты к диаметру) и фактором тонкостенности заготовки S/H (отношение толщины к высоте), которые в совокупности определяют граничные условия.

При отсутствии сил внешнего трения или при очень малой или величине напряженное состояние металла при осадке характеризуется схемой линейного сжатия (рисунок 1.5а) или близкой к нему и не зависит от фактора формы заготовки.

При наличии внешнего трения схема напряжений в различных участках объема поковки неодинакова. При этом она сильно изменяется от формы заготовки (рисунок 1.5б, в).

Рисунок 1.5. Схемы напряжений при осадке цилиндрических заготовок:

а – равномерная осадка; б – неравномерная осадка при ; в – то же при

Схема объемного сжатия появляется в результате действия сил внешнего трения. Однако при осадке высоких заготовок действие сил внешнего трения в соответствии с принципом Сен-Венана затухает по мере удаления от контактных поверхностей. Эти объясняется тот факт, что при осадке высоких заготовок в середине высоты заготовки имеется схема линейного напряженного состояния. При осадке низких заготовок почти весь объем поковки находится под действием всестороннего неравномерного сжатия. При этом, чем меньше высота заготовки по отношению к диаметру, тем более резко выражена схема объемного сжатия и тем больше абсолютная величина среднего гидростатического давления.

Изменение граничных условий, сопровождаемое изменением напряженного и деформированного состояния, подтверждает целесообразность разделительного анализа деформации цилиндрических заготовок с различным соотношением , а именно:

1.Высокие заготовки при > 1,5-2. Отличительной особенностью процесса осадки таких цилиндров является двойное бочкообразование при отсутствии смазки.

2.Заготовки умеренной высоты при 0,3-0,4 < < 1,5-2. Для этих заготовок характерно одинарное бочкообразование. При осадке на сухих шероховатых плитах почти вся контактная поверхность представляет собой зону прилипания.

3.Низкие заготовки при < 0,3-0,4. При осадке на сухих шероховатых плитах в этом случае также имеет одинарное бочкообразование. Однако на значительной части контактной поверхности развивается скольжение, а у очень тонких цилиндров скольжение практически охватывает всю контактную поверхность.

Из работы Л.А. Шофмана [67,68] следует, что траектория перемещение любой точки при однородном сжатии представляет собой ветвь кубической гиперболы, уравнение которой

Известно, что при пластическом сжатии в реальных условиях деформация неоднородна. Поэтому гипотеза плоских сечений, принимаемая при теоретическом анализе неправомерна, а следовательно, неправомерно условие .

Рисунок 1.6. Напряжения на боковой поверхности цилиндрического образца при осадке плоскими плитами.

Результаты экспериментов, приведенные на рисунке 1.6, показали, что неоднородность деформации при пластическом сжатии цилиндрического тела приводит к тому, что на свободной бочкообразной поверхности тела возникают окружные (тангенсальные) растягивающие напряжения , которые имеют наибольшую величину посередине высоты деформированного тела. Осевые напряжения на этом участке имеют наименьшее значение.

Чем больше неоднородность деформации, тем при прочих равных условиях больше бочкообразность осаженной заготовки, а следовательно, больше и величина тангенсальных растягивающих напряжений, которые возникают на свободных поверхностях тела, и тем вероятнее нарушение сплошности металла.

Средние удельные давления при осадке цилиндрических заготовок представлены в виде диаграммы на рисунке 1.7 по Е.П. Унксову [61].

Рисунок 1.7. Удельные давления при осадке цилиндрических заготовок.

Л.А. Шофман в работе [67], отмечает, что если перед осадкой на торцы заготовки наложить тонкие прокладки из пластического металла, то усилие существенно снижается. При больших удельных давлениях применение тонких прокладок оказывается более эффективным, чем нанесение обычно применяемых смазок.

Так, например, опыты, проведенные автором, показали (рисунок 1.8), что применение алюминиевых прокладок толщиной 0,5 мм при осадке образцов из стали 45 (), снизило удельные давления примерно в два с половиной раза по сравнению с осадкой такого же образца без смазки.

Рисунок 1.8. Удельные давления и сопротивление деформированию S при холодной осадке цилиндрических заготовок из стали 45:

1- без прокладок и без смазки;

2- без прокладок, смазка машинным маслом;

3- с алюминиевыми прокладками;

4- сопротивление металла деформированию.

При пластическом сжатии заготовок плоскопараллельными плитами условная поверхность раздела течения в силу круговой симметрии имеет форму цилиндра радиуса (рисунок 1.9)[68].

Рисунок 1.9. Схема осадки кольцевой заготовки, где х0
и х -
начальный и конечный радиусы произвольно выбранной поверхности.

Из экспериментально-теоритических исследований проведенных И.Я. Тарновским [53] следует, что при эффективной смазке контактных поверхностей форма заготовки не влияет на формоизменение. После обжатия форма заготовки геометрически подобна первоначальной форме. По мере обжатия внешний и внутренний диаметры заготовки увеличиваются независимо от отношения и толщины стенки S (рисунок 1.10а). Следовательно, при равномерной деформации полость раскрывается.

При осадке без смазки формоизменение металла становится более сложным (рисунок 1.10б), оно изменяется в зависимости от формы заготовки и, прежде всего в зависимости от отношений и .

Осадка тонкостенных заготовок ( < 0,5) сопровождается образованием двойной бочки. При очень тонкой стенки ( < 0,3) появляется продольный изгиб стенки в сторону наружной поверхности (рисунок 1.11а).

При осадке заготовок с толстой стенкой ( > 0,5) происходит образование одинарной бочки как на наружной, так и на внутренней поверхностях заготовки (рисунок 1.11б). При этом по мере обжатия заготовки наружный диаметр ее увеличивается, внутренний диаметр уменьшается и отверстие закрывается.

Рисунок 1.10. Фотографии кольцевых заготовок после осадки:

а – со смазкой; б – в условиях сухого трения

Рисунок 1.11а. Формоизменение кольцевой заготовки при = 0,3

Рисунок 1.11б. Формоизменение кольцевой заготовки при = 0,5

Течение металла в двух взаимно противоположных направлениях свидетельствуют о том, что деформированное состояние металла на различных участках образца различно [67]. На участке, ограниченном диаметрами R и ( – нейтральный диаметр), где течение металла направлено от центра к периферии, оно качественно соответствует деформированному состоянию при осадке сплошного образца (рисунок 1.12), а на участке, ограниченном диаметрами и r, где течение металла направлено к центру образца, деформированное состояние сходно с деформированным состоянием при растяжении. На поверхности раздела течения должно соблюдаться граничное условие [68].

Рисунок 1.12. Схема напряженно-деформированного состояния при осадке кольцевых образцов.

Величина радиуса раздела течения в процессе осадки непрерывно изменяется. При этом изменяется соотношение объемов двух участков, на которые поверхность раздела течения разделяет все тело. Это свидетельствует о демонотонности процесса осадки.

Указанное обстоятельство приводит к тому, что при заданных начальных размерах деформируемого тела не представляется возможным определить его конечные размеры, минуя рассмотрение промежуточных стадий формоизменения.

Авторы работ [68,53] отмечают, что для решения рассматриваемой задачи приходится прибегать к разделению процесса на ряд этапов, принимаю, что на каждом достаточно малом этапе поверхность раздела течения сохраняет неизменный радиус. Тогда, определив размера тела в конце предшествующего этапа, можно с помощью формулы (1.1) определить радиус поверхности раздела на последующем этапе формоизменения.

, 1.1

где - относительный радиус поверхности раздела течения;

- относительный радиус внутренней контурной поверхности;

- относительный радиус внешней контурной поверхности.

Отсюда следует, что радиус критической поверхности зависит от условий внешнего трения, относительных размеров заготовки и относительной толщины ее стенки.

Переходя, таким образом, последовательно от одного этапа к другому, можно определить конечные размеры деформированного тела. Чем больше дробность заданной суммарной деформации, тем точнее конечные результаты расчета.

В тех случаях, когда < 1, может иметь место потеря устойчивости заготовки, как схематично показано на рисунке 1.13а. Если > 1, то потери устойчивости не наблюдается рисунок 1.13б [68].

Рисунок 1.13. Схема потери устойчивости кольцевого образца при осадке.

И.Я. Тарновский в работе [53], исследует усилия необходимые для осадки кольцевых заготовок. Это условие автор находит из полной работы деформации заготовок при наличии контактного скольжения.

В результате теоретических исследований Тарновский определил формулу (1.2) для практических расчетов удельного давления

, 1.2

где Rп
– радиус внутренней боковой поверхности заготовки;

R – радиус наружной боковой поверхности заготовки;

- внешнее трение, ;

- предел прочности.

По данным формулы (1.2) построена диаграмма рисунок 1.14.

Рисунок 1.14. График для определения удельного давления при осадке пустотелых заготовок.

При заданных R, h и наибольшее удельное давление потребуется при осадке сплошной цилиндрической заготовки. Это объясняется тем, что при осадке пустотелой заготовки создаются условия для двустороннего радиального течения металла. В результате уменьшаются контактные касательные напряжения и соответственно уменьшается усилие осадки.

Экспериментальная проверка теоретической формулы (1.2) представлена на рисунке 1.15. Были проведены опыты по осадке свинцовых цилиндрических заготовок. Заготовки имели приблизительно одинаковый начальный наружный диаметр около 70 и высоту около 6 мм
. Диаметр полости изменялся от 50 мм
и 0. Осадку заготовок производили на гидравлическом прессе между сухими шероховатыми плитами. При этом можно принять .

Рисунок 1.15. Удельное давление при осадке полых заготовок: х – опытные данные; ● - расчетные данные.

На диаграмме (рисунок 1.15) видно, что расчетная кривая очень близка к опытной. Использование в расчете других величин предела текучести свинца приведет к тому, что расчетная кривая будет расположена выше или ниже, но характер зависимости удельного давления от отношения остается неизменным.

Большое распространение при анализе технологических задач обработке давлением находит метод конечных элементов (МКЭ) [6,15,16,41,42], который относится к современным методам численного анализа. Первое его применение связано с расчетом инженерных конструкций. Начиная с этого первого применения, МКЭ в течение короткого времени развился в самостоятельную область науки, получившую широкое распространение в решение граничных задач математики, физики и особенно механики сплошной среды. Быстрое развитие МКЭ шло наряду с прогрессом компьютерной техники и ее применением в различных областях науки и инженерной практики.

Метод конечных элементов включает различные подходы, в которых для определения напряжения, деформации и перемещения материал условно разбивают на отдельные элементы, соединенные в узловых точках. Применение этого метода может успешно проводиться как для жесткопластического материала, так и для упругопластического. Этот выбор, также как и выбор конечного элемента, осуществляется, исходя из постановки задачи и рациональности использования того или иного подхода, описанного в МКЭ. Задание граничных условий и введение некоторых гипотез позволяет в значительной степени упростить поиск решения, хотя и в некоторой степени усредняет результат. Однако следует заметить, что для части процессов МКЭ может являться единственным методом, позволяющим достигать необходимого результата с достаточной степенью точности.

В качестве наиболее весомых преимуществ МКЭ можно привести следующие:

· Свойства материалов смежных элементов не должны быть обязательно одинаковыми. Это позволяет применять метод к телам, состоящим из нескольких материалов.

· Криволинейная область может быть аппроксимирована с помощью прямолинейных элементов, или описана точно с помощью криволинейных элементов.

· Размеры элементов могут быть переменными. Это позволяет укрупнить или измельчить сеть разбивки области на элементы, если в этом есть необходимость.

· С помощью МКЭ не представляет труда рассмотреть граничные условия с разрывной поверхностной нагрузкой, а также смешанных граничных условий.

Указанные выше преимущества МКЭ могут быть использованы при составлении достаточно общей программы для решения частных задач определенного класса.

Одной из основных задач при использовании конечно-элементного анализа является построение сетки конечного элемента. С целью упрощения подготовки и проверки входных данных применяется автоматическое построение сетки, что стало возможным благодаря достаточно высокой степени развития компьютерной техники и прикладного программного обеспечения [18]. Кроме того, автоматизация позволяет уменьшить ошибки операторов, обеспечить регулярность сетки, облегчить использование других типов элементов, упростить параметрические исследования.

Обзор работ, посвященных осадке кольцевых заготовок показал:

1. Осадка является эффективным методом обработки металлов давлением, позволяющим значительно экономить материал.

2. Основным дефектом осадки кольцевых заготовок является потеря устойчивости, вследствие тонкостенности заготовки.

3. Теоретические исследования процесса в основном посвящены оценке силовых режимов и не отражают реальную картину течения материала.

4. Недостаточно уделено внимание напряженно-деформированному состоянию осаженной заготовки.

5. Метод конечных элементов является наиболее универсальным и приемлемым методом решения технологических задач.

Целью работы
является создание математической конечно-элементной модели осадки кольцевой заготовки, описывающей механизм осаживания заготовки между плоскими шероховатыми плитами, позволяющей прогнозировать устойчивость заготовки.

Задачи исследования:

- создать математическую модель процесса осадки кольцевых заготовок с учетом реальных свойств материала;

- провести исследования напряженно-деформированного состояний заготовки, кинематики течения материала при различном состояние заготовки;

- создание программного обеспечения математического моделирования процесса осадки кольцевых заготовок.

Основная идея МКЭ основывается на замене некоторой непрерывной величины в пределах рассматриваемой области дискретной моделью, которая строится на множестве кусочно-непрерывных функций, определенных на конечном числе подобластей, называемых конечными элементами (КЭ). Неизвестная искомая величина в пределах каждого КЭ аппроксимируется, как правило, полиномиальной функцией заданного вида с учетом требования непрерывности на границах смежных КЭ. При этом выбор формы конечного элемента и вида выражения, аппроксимирующего действительный закон изменения исследуемой величины в пределах КЭ, является одним из наиболее ответственных моментов в общей процедуре МКЭ, от которого существенно зависит точность приближенного решения. Таким образом, непрерывная в пределах исследуемой области неизвестная величина (например, перемещение, скорость перемещения, напряжение, температура и т. д.) представляется через конечное число ее дискретных значений в узлах элементов[15,41,42].

Построение разрешающих уравнений МКЭ для решения задач механики деформируемых сред базируется на соответствующих вариационных принципах и вытекает из оптимизации некоторой интегральной величины (функционала), связанной с работой или мощностью напряжений и внешней приложенной нагрузки при соблюдении заданных граничных условий. В общем виде такой функционал с учетом действия массовых и поверхностных сил можно представить выражением:

(2.1)

где NД
- работа или мощность внутренних сил;

NМ
- работа или мощность, развиваемая массовыми силами,

NВ
- работа или мощность внешних сил.

Дальнейшая процедура МКЭ предусматривает представление выражения (2.1)
в виде функционала значений неизвестных только в узлах КЭ и построение разрешающей системы уравнений путем минимизации J
по всем узловым переменным:

(2.2)

Однако, указанный способ получения разрешающих уравнений для КЭ с помощью функционала (2.1) не является единственно возможным. В настоящее время уравнения для элементов получают путем минимизации функционала, связанного с рассматриваемым дифференциальным уравнением соответствующей задачи математической физики. Известны также конечно-элементные решения, основанные на методе Галеркина. В последнем случае отпадает необходимость в вариационной формулировке задачи.

Способ получения разрешающих уравнений для КЭ, основанный на оптимизации функционала (2.1), является общепризнанным при теоретическом решении задач ОМД, поскольку вариационные принципы имеют наглядный физический смысл и достаточно строгое математическое обоснование.

По отношению к функционалу (2.1) известны три вида вариационных принципа теории пластичности в зависимости от того, через какие переменные величины выражена мощность (потенциальная энергия) деформации [8].

Принцип минимума полной мощности (полной энергии) или принцип возможных изменений деформированного состояния рассматривает мощность (потенциальную энергию) деформируемого тела как функционал произвольной системы скоростей (перемещений), удовлетворяющей кинематическим граничным условиям, и который принимает минимальное значение для системы скоростей (перемещений) фактически реализуемой в деформируемом теле.

Принцип минимума дополнительной работы Кастильяно или принцип возможных изменений напряженного состояния рассматривает дополнительную работу как функционал произвольной системы напряжении, удовлетворяющей уравнениям равновесия внутри тела и на его поверхности, и, который принимает минимальное значение для системы напряжений, фактически реализуемой в деформируемом теле.

В вариационном принципе Рейсснера или принципе возможных изменений напряженного и деформированного состояний мощность (энергия) рассматривается как функционал скоростей и напряжении, и переменные той и другой группы варьируются независимо друг от друга.

Каждому из перечисленных вариационных принципов соответствует определенная форма МКЭ. Принципу минимума полной мощности (полной энергии) соответствует кинематический метод, принципу минимума дополнительной работы - метод напряжении, а вариационному принципу Рейсснера -
смешанный метод.

При нагружении тела потенциальная энергия внешних сил изменяется. При этом внешние силы совершают работу. Потенциал внешних сил W
численно равен работе этих сил:

(2.3)

где P
– поверхностные силы,

u
– перемещения,

S
– площадь поверхности тела.

В результате изменения потенциальной энергии внешних сил тело деформируется и накапливает потенциальную энергию деформации Q
.

(2.4)

где s
- напряжения,

е
- деформации,

V
– объем тела.

Сумма энергии деформации и потенциала внешних сил равна полной потенциальной энергии:

(2.5)

В соответствии с принципом возможных перемещений Лагранжа изменение полной потенциальной энергии на возможных перемещениях равняется нулю:

(2.6)

При этом под возможными перемещениями du
понимаются сколь угодно малые отклонения системы от положения равновесия, допускаемые наложенными на систему связями. Из уравнения (2.6)следует, что в состоянии равновесия энергия П
имеет стационарное значение. Можно показать, что в положении устойчивого равновесия этот экстремум соответствует минимуму.

С учетом изложенного вариационный принцип Лагранжа для статической задачи имеет вид:

(2.7)

Минимизируя потенциальную энергию по возможным перемещениям, получаем систему линейных уравнений, решая которую определяем значения внешних сил.

Простейшим элементом, применяемым для решения осесимметричной задачи механики деформируемого твердого тела, является тороидальный элемент с тремя узлами, расположенными в вершинах треугольного сечения.

Рисунок 2.1 Конечный элемент в задаче осесимметричной деформации.

Вектор перемещений узловых точек конечного элемента имеет вид в случае осесимметричной деформации соответственно:

.

Произвольная точка элемента получает перемещения ur
и uz
в направлении осей r
и z
. Поэтому матрица u
имеет вид:

Узловые перемещения и u
связаны между собой матрицей аппроксимирующих функций N:

Наиболее распространенный способ получения приближенных решений на основе использования вариационного уравнения по методу Релея - Ритца. Он заключается в том, что функции перемещений задаются в виде интерполяционного полинома. Если ограничиться полиномом первой степени, то эти функции будут иметь вид:

(2.8)

Здесь ai
- произвольные постоянные. При линейной аппроксимации стороны треугольника после деформирования элемента остаются прямыми.

Выразим ai
через перемещения узлов элемента. В результате матрица N
примет вид:

S - площадь сечения элемента:

где ri
, zi
- координаты i-го узла в соответствующих осях.

Деформированное состояние в любой точке тела описывается тензором малых деформаций Коши:

В условиях осесимметричной задачи тензор деформаций второго ранга сводится к вектору:

компоненты которого выражаются через производные перемещений по соответствующим координатам:

Связь между составляющими векторов деформаций и перемещений можно представить одним матричным равенством:

(2.9)

где B
– матричный дифференциальный оператор:

(2.10)

Используя (2.9) и (2.10), можно выразить деформации через узловые перемещения

(2.11)

Матрица функций формы C
для осесимметричной деформации:

Заметим, что коэффициенты матрицы C
зависят от координат r
и z
точки внутри элемента. Для треугольника с узлами в вершинах координаты r
и z
можно заменить средними по элементу значениями:

Вектор напряжений s имеет вид:

Выразим с помощью линейного закона, выражаемого матрицей жесткости, напряжения через узловые перемещения

, (2.12)

где D – матрица материальных констант.

Потенциальная энергия деформации элемента с учетом (2.11) и (2.12)

. (2.13)

Интеграл в выражении (2.13) есть матрица жесткости выбранного элемента

. (2.14)

Элементарный объем

.

Поэтому матрица жесткости элемента записывается следующим образом:

, (2.15)

где S – площадь элемента.

С учетом проделанных преобразований уравнение равновесия элемента через узловые перемещения выражается в форме:

(2.16)

где K
- матрица жесткости; P,
- векторы внешних сил и узловых перемещений, соответственно.

При наличии упругих и пластических деформаций связь между напряжениями и деформациями нелинейна. Решение нелинейной системы уравнений весьма трудоемко. Поэтому при использовании деформационной теории часто используют кусочно-линейный закон связи напряжений и деформаций. Тогда при решении задачи в приращениях напряжений D
s
и деформаций Dе
, связь между которыми можно считать линейной, получаем систему линейных уравнений:

(2.17)

Одним из способов решения задачи в приращениях является метод последовательных нагружений. Для квазистатической задачи приращения внешних сил DP
вычисляются на шаге по времени Dt
. При этом вектор внешних сил P
в момент времени t
равен:

где n – шаг нагружения.

Таким образом, с учетом вышеизложенного, вариационное уравнение равновесия в матричной записи принимает вид:

(2.18)