Устойчивость сжатых стержней. Прочность при циклически изменяющихся нагрузках (напряжениях)

/>– момент сопротивления относительно нейтральной оси поперечного сечения образца, круга диаметром d
. В представленном положении в точке А
действуют растягивающие напряжения, так как образец изгибается выпуклостью вверх. После поворота образца на 180° в точке А
будут действовать такие же по величине напряжения сжатия, т.е. –σ. При переходе через нейтральную ось напряжение в точке А
будет равно нулю.

Рис. 5

Рис. 6

Путем испытаний до усталостного разрушения одинаковых образцов при разных значениях напряжений цикла строят график, характеризующий зависимость между максимальными напряжениями σ и числом циклов до разрушения (циклической долговечностью N). Эта зависимость (рис. 6) называется кривой усталости
или кривой Веллера
, в честь немецкого ученого, впервые ее построившую. Для построения кривой усталости в координатах σ
max

–
N
требуется не менее 10 одинаковых образцов, к которым предъявляются жесткие требования по точности размеров, шероховатости поверхности. Первый из образцов нагружают силой F
так, чтобы максимальное напряжение цикла σ1
было несколько меньше предела прочности материала (σ1
< σu
) и испытывают до разрушения, отмечая (рис. 6) точку А
с координатами σ1
и числом циклов до разрушения N
1

.

Второй образец испытывают, создавая в нем напряжение σ2

меньшее, чем в первом (σ2
< σ1
) образце. Число циклов до разрушения этого образца будет N
2

(N2
> N1
). На графике отмечают точку В
с координатами σ2

, N
2

. Снижая постепенно в испытываемых образцах максимальное напряжение цикла, испытания проводят до разрушения образцов, пока один из них не разрушится до базового числа Nσ

циклов нагружения. Соединив последовательно плавной линией точки А
, В
, С
, …, построенные при испытаниях образцов, получим кривую усталости. Напряжение, соответствующее базовому числу Nσ

циклов, и есть предел выносливости σ–1

материала при изгибе. На других испытательных машинах аналогично испытанию на изгиб определяют пределы выносливости материала при кручении (τ–1
), при растяжении – сжатии (σ–1р
). Экспериментально установлены для многих материалов соотношения между пределами выносливости при изгибе, кручении и растяжении – сжатии. Например, для сталей τ–1
= 0,55σ–1
; σ–1р
= 0,7σ–1
. Предел выносливости при симметричном цикле нагружения у всех металлов, кроме очень пластичных (медь, техническое железо), меньше предела упругости, с ростом частоты нагружения он незначительно увеличивается.

В литературе предлагаются десятки уравнений, описывающих кривые усталости разных материалов, образцов. В инженерных расчетах чаще всего используют степенное уравнение кривой усталости

σm
N = const, (10)

где N
– число циклов до разрушения при максимальном напряжении σ цикла; m
– показатель степени, зависящий от материала, параметров образца, для металлов m = 5 … 10.

Часто срок работы изделий, особенно специального одноразового использования, ограничен, числом циклов нагружения N за время работы меньше базового (N < Nσ
). Уравнение (10)позволяет при расчетах таких изделий на усталостную прочность определять предельно максимальные напряжения в циклах или ограниченный предел выносливости σ–1

N

, соответствующий заданному числу циклов N
нагружения

, (11)

или рассчитать возможное число циклов N
нагружения при задаваемом, большем предела выносливости, максимальном напряжении σ–1

N

цикла

N = Nσ
(σ–1
/σ–1
N
)m
, (12)

где величины σ–1

, Nσ

, m
берут из справочных данных по материалам. Использование уравнений (11) и (12) возможно только при сохранении неизменными физики и механизма усталостного повреждения при сохранении механизма
многоцикловой усталости
. Многоцикловая усталость гарантировано имеет место, если число циклов до разрушения не менее 104
, т.е. N≥ 104
.

Определение характеристик усталостной прочности материалов путем испытаний на усталость трудоемкий и дорогостоящий процесс из-за длительности и значительного разброса результатов испытаний. Ищут эмпирические зависимости приближенной оценки значений предела выносливости от величины механических свойств материала при статическом нагружении. Так, величина предела выносливости при изгибе с симметричным циклом нагружения для углеродистой стали σ–1
= (0,4 … 0,45)σut
; для цветных металлов σ–1
= = (0,24 … 0,5)σut
, где σ
ut

– предел прочности материала при растяжении.

Влияние коэффициента асимметрии цикла на усталостную прочность. Диаграмма предельных циклов напряжений

Наиболее просто экспериментально определить предел выносливости материала σ–1

при симметричном цикле нагружения. Испытания показали, что коэффициент асимметрии R
цикла влияет на величину предела выносливости. Минимальное значение σR
имеем при симметричном цикле (σ–1
) и максимальное – при отнулевом (σ0
). При расчетах на усталостную прочность желательно знать значения предела выносливости материала при разных величинах коэффициента асимметрии цикла. Это можно определить с помощью диаграмм предельных циклов напряжений. Предельными
называют циклы напряжений, наибольшее напряжение которых равно пределу выносливости, т.е. σmax
= σR
. Из определения характеристик цикла видно, что наибольшее напряжение цикла равно сумме среднего напряжения σm
(σm
= (σmax
+ σmin
)/2) и амплитуды цикла σa
(σa
= (σmax
– σmin
)/2), т.е.

σmax
= σm
+ σa
. (13)

Рис. 7

Диаграмму предельных циклов напряжений строят в координатах σm
– σa
(рис. 7). Точка А
диаграммы соответствует пределу прочности материала σ
ut

при статическом растяжении, точка В – пределу выносливости σ–1

при симметричном цикле. Промежуточные точки диаграммы можно определить, используя зависимость (13) при обработке результатов испытаний на оборудовании, позволяющем создавать асимметричные циклы нагружения. Например, задавшись средним напряжением σ
m

, устанавливаем в результате серии испытаний значение предельной амплитуды σ
a

, соответствующей базовому числу циклов нагружения. Результат представляют на диаграмме точкой С
. Продолжая испытания с разными величинами σ
m

, получают множество точек, через которые должна проходить кривая искомой диаграммы. Площадь диаграммы, ограниченная кривой А
D
СВ
и осями координат, определяет область безопасных с точки зрения разрушения циклов нагружения. Полученная путем сложных длительных испытаний кривая может быть заменена прямой АВ
. Рабочая область безопасного нагружения сократится, но при этом получаем погрешность, увеличивающую запас прочности рассчитываемых элементов. Упрощенную диаграмму легко построить, для этого достаточно знать только значения предела прочности материала при растяжении σ
ut

и предела выносливости σ–1

при симметричном цикле нагружения. Имея приближенную диаграмму предельных циклов напряжений (см. рис. 7), можно определить предел выносливости σ
R

при любом цикле нагружения. Если известен коэффициент асимметрии R
цикла нагружений, величину σ
R

определяют по диаграмме в следующей последовательности.

Произвольный луч ОМ
диаграммы является геометрическим местом точек, характеризующих циклы с одинаковым коэффициентом асимметрии R
. Угол наклона β
луча к оси σ
m

связан с величиной R
следующей зависимостью:

tg β = σa
/σm
= (1 – R)/(1+R). (14)

Для определения по диаграмме искомого предела выносливости при известном R
проводим под углом β = arctg [(1 – R)/(1 + R)] к оси абсцисс луч из точки О
до пересечения в точке М
с прямой АВ
. Предел выносливости σ
R

находим
, используя выражение (13) как сумму координат
точки М (σR
= = σm
+ σa
).

Для отнулевого цикла можно принять σ0
≈ (1,45 … 1,65)σ–1
.

Факторы, влияющие на предел выносливости

На выносливость, сопротивление усталости элементов влияют ряд факторов, которые не учитываются в расчетах на прочность при статических нагрузках. В частности, на предел выносливости значительно влияют не только свойства материала, но и концентрация напряжений, размеры поперечных сечений элементов, состояние поверхности и другие факторы. Рассмотрим их влияние более подробно.

Влияние концентрации напряжений
. Концентраторы напряжений, т.е. резкие изменения размеров поперечного сечения, отверстия, выточки, надрезы и т.п. значительно снижают предел выносливости, полученный для образцов без концентрации напряжений. Это учитывают эффективным коэффициентом концентрации Кσ

, который определяется экспериментально как отношение пределов выносливости образцов, имеющих одинаковые размеры, без концентрации и с концентрацией напряжений. Чем прочнее материал, тем чувствительнее он к концентрации напряжений. Величина Кσ

зависит от геометрических особенностей детали и свойств материала. Для типовых концентраторов напряжений и наиболее широко применяемых материалов значения эффективного коэффициента концентрации приводятся в справочной литературе.

Влияние размеров деталей
. Замечено, что с увеличением размеров испытуемых образцов предел выносливости при прочих равных условиях уменьшается. Это учитывается с помощью масштабного коэффициента
или коэффициента влияния абсолютных размеров поперечного сечения К
d

– отношения предела выносливости σ–1

d

образцов диаметром d
к пределу выносливости σ–1

стандартных образцов, имеющих диаметры 6 … 10 мм. В литературе приводится пример, когда при увеличении диаметра образца с 7 до 70 мм значение предела выносливости снижается на 30 … 40%. Это объясняется тем, что с увеличением абсолютных размеров возрастает вероятность попадания структурных дефектов, снижающих прочность. Кроме того, для образцов больших размеров более благоприятны условия развития усталостных трещин. Масштабные коэффициенты К
d

определяют на гладких образцах и на образцах с концентраторами напряжений.

Влияние состояния поверхности
. Известно, что усталостное разрушение начинается с зарождения на поверхности микротрещин, поэтому грубая обработка поверхности способствует их появлению и уменьшению предела выносливости. Для повышения сопротивления усталости нужна высокая чистота поверхности, особенно в местах концентрации напряжений. При расчетах на усталостную прочность шероховатость поверхности учитывают коэффициентом чистоты
(качества) поверхности К
F

, равным отношению предела выносливости образцов с заданной шероховатостью поверхности к пределу выносливости образцов с шероховатостью не грубее Ra
= 0,32.

Различные способы поверхностного упрочнения повышают сопротивление усталости. Они учитываются с помощью коэффициента влияния поверхностного упрочнения К
v

, который определяется отношением пределов выносливости упрочненных и неупрочненных образцов. Величины коэффициента К
v

в зависимости от способа упрочнения поверхности (цементация, наклеп, азотирование и т.д.) приведены в справочной литературе.

С учетом совместного влияния перечисленных факторов предел выносливости элемента σ
Rd

меньше предела выносливости σR
стандартных образцов. Его определяют по формуле

σRd
= (σR
·Kd
·KF
·Kv
)/Kσ
(15)

При известном максимальном напряжении σmax
цикла запас прочности при переменных напряжениях равен

n = σRd
/σmax
. (16)

Обычно коэффициент запаса усталостной прочности находится в пределах 1,3 … 5. При расчетах на прочность по касательным переменным напряжениям все приведенные выше рассуждения имеют силу, естественно, обозначения σ в соответствующих выражениях необходимо заменить на τ
.

ЛИТЕРАТУРА

1. Красковский Е.Я., Дружинин Ю.А., Филатова Е.М. Расчет и конструирование механизмов приборов и вычислительных систем: Учебное пособие. М.: – Высш. шк., 2001. – 480 с.

2. Сурин В.М. Техническая механика: Учебное пособие. – Мн.: БГУИР, 2004. – 292 с.

3. Ванторин В.Д. Механизмы приборных и вычислительных систем: Учебное пособие. – М.: Высш. шк., 1999. – 415 с.