Введение
Тема реферата «Статистические методы оценки прочности пластмасс».
Прочность пластических масс и изделий из них определяется максимальной нагрузкой или максимальным напряжением, которые образец или изделие могут выдержать без разрушения. Прочность зависит от вида пластмассы и определяется путем специальных физико-механических испытаний. Однако в отличие от традиционных конструкционных материалов испытания пластмасс дают дополнительный разброс показателей. Он объясняется суще6ствованием двух видов погрешностей: 1) систематических и 2) случайных. Систематические погрешности можно выделить и учесть при оценке прочности, так как их существование связано с малой точностью используемых методик и приборов. Случайные погрешности учесть очень трудно, так как нельзя предусмотреть заранее, в каком месте образца или изделия появится слабое место. Случайные погрешности возникают вследствие нерегулярного строения, неоднородности, наличия ослабленных мест и дефектов в структуре. Такие ослабления вызывают неравномерность распределения напряжений, концентрацию напряжений на микродефектах, что ведет к возникновению очага разрушения и последующему разрыву.
Случайные погрешности учитываются с помощью закономерностей теории вероятности. Экспериментальные данные принимают как случайные величины, т.е. такие величины, которые могут принимать те или иные значения в зависимости от причин, не учитываемых заранее. Для оценки ряда результатов испытаний одного и того же материала используется статистическая обработка данных. Полученные статистические характеристики позволяют сделать правильное суждение о полученных данных.
1. Статистические характеристики
1) Среднее арифметическое значение случайной величины:
x = (x1
+x2
+x3
+۰۰۰+xn
) = (Σ xi
) / n,
где n – количество наблюдений в выборке.
2) Эмпирическое среднеквадратическое отклонение:
Sn
= √ Σ(xi
– x)2
/ (n-1)
Берется только положительное значение.
3) Дисперсия:
Dn
= Sn
2
= Σ(xi
– x)2
/ (n-1)
Если n > 50, то (n-1) можно заменить на n.
4) Доверительный интервал:
x – x ≤ Sn
/ √n∙tα
(
n
)
,
где х – среднее значение величины для бесконечно большого числа измерений (генеральной совокупности);
tα
(
n
)
– коэффициент Стьюдента, значения которого выбираются из таблиц в зависимости от числа наблюдений n и доверительной вероятности α.
5) Коэффициент вариации:
νх
= Sn
/х · 100% или νх
= Sn
/х
2. Оценка прочности пластмасс с помощью вероятности разрушения по Серенсену
Основными условиями обеспечения прочности любого материала являются:
По напряжениям n = σраз
/σmax
экв
≥ [n]
По нагрузкам n = R/Q ≥ [n],
где n – запас прочности;
σраз
– разрушающее напряжение;
σmax
экв
– максимальное эквивалентное действующее напряжение;
R – разрушающая нагрузка;
Q – действующая нагрузка;
[n] – допускаемый запас прочности.
В основе оценки лежат:
1) статистическая природа прочности пластмассы;
2) возможность вероятностного распределения действующих нагрузок и напряжений.
Это позволяет построить графики плотностей вероятности распределения Р(х) по действующему напряжению σ и пределу прочности σв
. При этом запас статистической прочности будет равен:
n = σв
/ σmax
.
Считаем, что σв
и σmax
известны. В точке А кривые распределения нагружающих и разрушающих напряжений пересекаются и, если одновременно σ > σА
и σв
< σА
, возможно разрушение.
Вероятность разрушения по Серенсену в предположении независимости событий:
Рраз
= Р (σ > σА
)·Р(σв
< σА
) = S,
где S – площадь заштрихованного участка.
Вероятность того, что случайная величина σА
будет меньше заданного значения σ, равна:
Р (σ > σА
) = ½ + Ф[(σА
– σ) / Sд
],
где Ф – табулированная функция Лапласа;
Sд
– среднее квадратическое отклонение действующего напряжения.
Табулированная функция Лапласа равна:
2
Ф[(σА
– σ)·/Sд
] = 1/√2π · ∫е-1/2 ξ
·dξ
где ξ = (σА
-σср
) / Sд
; dξ = dσА
/ Sд
Вероятность того, что случайная величина σА
будет больше заданного значения σв
, равна:
Р(σв
< σА
) = ½ – Ф[(σА
– σв ср
) / Sв
],
где Sв
– среднее квадратическое отклонение разрушающего напряжения.
В предположении того, что закон распределения случайных величин нормальный, можно записать:
Рраз
= {½ + Ф[(σА
– σ)/Sд
]}· {½ – Ф[(σА
– σв ср
)/Sв
]}
Плотность распределения при нормальном законе распределения равна:
2
2
Р(х) = 1/(S·√2π)· e – (
x
-
x
ср) /2
S
Для точки А величина σ может быть найдена из равенства:
2 2 2 2
1/Sд
·e-(
σ
А-
σ
ср) / 2
S
д
= 1/Sв
·e-(
σ
А-
σ
вср) / 2
S
в
или Zд
2
– Zв
2
= -2 ln(Sд
/Sв
),
где Zд
= (σА
-σср
)/ Sд
; Zв
= (σА
-σвср
)/ Sв
.
Величины Zд
и Zв
называются нормированными отклонениями.
Последнее уравнение решается относительно σА
. Затем определяется Рраз
, представляющее условную величину. Эта величина должна сопоставляться с известными предельными значениями, которые устанавливаются экспериментально на основе опыта эксплуатации подобных конструкций.
Через Рраз
можно найти коэффициент надежности Н:
Н = lg (1/Pраз
)
Рраз
= 1 – Рнер
; Рнер
= 1 – Рраз
При вероятности неразрушения Рнер,
равной 0,9; 0,99; 0,999; 0,9999, соответственно Н равно 1; 2; 3; 4.
3. Статистическая оценка прочности пластмасс по нагрузкам
Тимофеев Е.И. показал, что из-за недостаточной однородности и стабильности механических свойств пластмасс расчет по средним значениям нагрузок следует вести с учетом вероятности снижения прочности вследствие релаксации и неоднородности.
Изделие считается про
R– Q > 0
Вероятность такого события определяет надежность изделия:
α = Вер [(R – Q) > 0]
Обозначим разность нагрузок через Х:
Х= R – Q
Тогда, с учетом того, что Х подчиняется нормальному закону распределения с плотностью Р(Х), среднее значение Х равно:
Х0
= R0
– Q0
Стандартное отклонение:
Sx
= √ SR
2
+ SQ
2
Надежность:
2 2
α = Вер (Х > 0) = P(X)·dX = 1/(S·√2π)·∫e-1/2·((
x
-
x
ср) /
S
x)
·dx
С учетом нормированной функции Лапласа:
α = Ф(У),
где У = X0
/ Sx
(У берется из таблиц в зависимости от заданной вероятности).
После подстановки уравнений и деления числителя и знаменателя на Q0
получим:
У = (R0
/Q0
– 1) / √SR
2
/ Q0
2
+ SQ
2
/ Q0
2
Введем обозначения:
n0
= R0
/ Q0
– средний наиболее вероятный запас прочности;
νR
= SR
/ R0
; νQ
= SQ
/ Q0
– коэффициенты вариации разрушающей и действующей нагрузок.
Тогда:
У = (n0
–1)/√ n0
2
·νR
2
+ νQ
2
Для трубы при r >> h, где r – радиус, а h– толщина стенки, принимают:
νR
=
√ νв
2
+ νh
2
Пользуясь специальными таблицами для Ф(У), после вычисления функции У можно определить запас прочности по средним значениям нагрузок или надежность по выбранному среднему коэффициенту запаса прочности. Определение функции У позволяет также исследовать влияние на надежность величины статистического разброса разрушающих и действующих нагрузок.
Статистические методы позволяют дать оценку влияния на надежность пластмассовых изделий температур, агрессивных сред, усталости, климатических факторов и т.д.
Например, по экспериментальным данным нагрев до 60 0
С приводит к снижению предела прочности при растяжении для стеклотекстолита КАСТ-В на 10%, пресс-материала АГ-4С – на 35 – 40%, пресс-материала АГ-4В – на 20%.
Если труба изготовлена из АГ-4С, и σв
= 9,75 МПа; σд
= 5,1 МПа; νR
= 0,095; νд
= 0,3, то:
n0
= 9,75 / 5,1 = 1,91
У = (1,91 – 1) / √ 1,912
·0,0952
+ 0,32
= 2,5
По таблице для У = 2,5 находим α = 0,9938 или 99,38%.
При нагреве до 60 0
С:
n0
= 0,6·9,75 / 5,1 = 1,147
У = (1,147 – 1) / √ 1,1472
·0,0952
+ 0,32
= 0,445
По таблице для У = 0,445 находим α = 0,672 или 67,2%.
Количественная оценка надежности показывает, что такое изделие эксплуатировать нельзя.
Повышения надежности можно достичь за счет улучшения прочности материала или усовершенствования технологии изготовления изделий, приводящих к понижению коэффициента вариации νв
.
Из уравнения для У можно определить запас прочности:
n0
= (1 + У·√νR
2
+ νQ
2
– У2
·νR
2
·νQ
2
) / (1 – У2
·νR
2
)
4. Оценка эксплуатационных свойств пластмасс по критерию эффективной удельной прочности
Примем за условный вес конструкции изделия вес, приходящийся на единицу длины l и единицу действующей нагрузки Q.
q´усл
= q / (l·Q),
а за единицу прочности примем величину:
kв
= l·R / q,
где R – разрушающая нагрузка.
Из этих уравнений выводим:
q´усл
= n / kв
Условный наиболее вероятный коэффициент запаса прочности с учетом вариации поперечного сечения изделия равен:
n0
= [1 + У·√νв
2
+ νF
2
+ νQ
2
– У2
·νQ
2
·(νв
2
+ νF
2
)] / [(1 – У2
·(νв
2
+ νF
2
)]
Тогда можно записать, что средняя наиболее вероятная прочность материала равна:
k0
σ
= σв0
/ γ,
где γ – удельный вес материала.
Пусть q0усл
´= n0
/ k0
σ
.
После подстановок получим:
q0
´усл
= 1 / k0
σ
·[(1-У2
·(νв
2
+νF
2
)] / [1+У·√νв
2
+νF
2
+νQ
2
–У2
·νQ
2
·(νв
2
+νF
2
)]
Знаменатель этой формулы называют критерием эффективной удельной прочности материалов:
k´0
σ
= k0
σ
· [(1-У2
·(νв
2
+νF
2
)] / [1+У·√νв
2
+νF
2
+νQ
2
–У2
·νQ
2
·(νв
2
+νF
2
)]
Из уравнения видно, что k´0
σ
учитывает неоднородность материала (νв
), вариацию действующих напряжений (νQ
), рассеивание размеров (νF
) и заданную надежность α = Ф(У).
Упростив уравнение и приняв, что νQ
= νF
= 0, получим:
k´0
σ
= k0
σ
·(1 – У· νв
)
Оценка конструкционных свойств пластмасс по критерию эффективной удельной прочности показывает, что пластмассы резко отличаются по степени однородности. Из реактопластов наиболее неоднородны АГ-4С, АГ-4В, из термопластов – полиамиды 6 и 66. Если же перерабатывать пластмассы при оптимальных строго регулируемых режимах, то k´0
σ
имеет примерно равные значения при любых степенях надежности (У = 2, 3, 4). Это свидетельствует о том, что качество изделий при этих условиях, их прочностные свойства и однородность изделий значительно улучшаются.
Заключение
В процессе написания реферата мы ознакомились со статистическими методами оценки прочности пластмасс; оценкой прочности пластмасс с помощью вероятности разрушения по Серенсену; статистической оценкой прочности пластмасс по нагрузкам и оценкой эксплуатационных свойств пластмасс по критерию эффективной удельной прочности.
Литература
1.Альшиц И.Я. и др. Проектирование изделий их пластмасс. – М.: Машиностроение, 1979. – 248 с.
2.Зенкин А.с. и др. Допуски и посадки в машиностроении. К.: Техніка, 1990. –320 с.
3.Штейнберг Б.И. и др. Справочник молодого инженера-конструктора. – К.: Техніка, 1979. – 150 с.
4.Лепетов В.А., Юрцев Л.И. Расчет и конструирование резиновых изделий. М.: Химия, 1987. – 408 с.