Министерство образования Российской Федерации
Санкт-Петербургский государственный горный институт
имени Г.В. Плеханова
(технический университет)
Кафедра механики
РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА
По дисциплине
Cопротивление материалов
Тема
Построение эпюр поперечных сил, изгибающих моментов и
выбор сечений балок
Автор: студент гр. ИЗ-01
Кочетова Т.А
ПРОВЕРИЛ
Преподаватель доцент
Зарецкий-Феоктистов Г. Г
Санкт-Петербург 2002г.
Задача 1
Построить эпюры Q и M для консольной балки при P1
=20кН; М1
=25кН·м; q1
=10кН/м (рис.1) и подобрать диаметр балки круглого поперечного сечения из дерева;
Решение
Построение эпюр Q и М для консольных балок можно произвести, не вычисляя реакций.
Если рассечь балку в любом сечении и рассматривать часть балки между сечением и свободным концом, то в выражениях для Q и М войдут только приложенные к балке известные нагрузки.
Балка имеет три грузовых участка с длинами 3,2, 4. Начало координат расположим в центре тяжести крайнего левого сечения, ось Y направим вертикально вверх, ось X – вправо. Рассечем балку в пределах каждого грузового участка сечениями, расположенными на расстояниях x1
, x2
, х3
от начала координат.
Первый участок характеризуется изменением абсциссы x в пределах 0≤x≤3.
Поперечная сила на первом участке постоянна: Q1
=Р=20кН.
Изгибающий момент на первом участке ;
M1
=-60кНм при х1
=0; M1
=0 при х1
=3м.
На втором участке абсцисса х изменяется в пределах 3≤х2
≤5.
Здесь поперечная сила Q2
=0; изгибающий момент М2
=М=25кНм.
На третьем участке абсцисса х изменяется в пределах 5≤х3
≤9.
Здесь поперечная сила
Q3
=-q(х3
-5); Q3
=0 при х3
=5м; Q3
=-40кН при х3
=9м
Изгибающий момент на третьем участке
при х3
=5м М3
=25кНм; при х3
=9м М3
=-55кНм.
Абсолютная величина максимального изгибающего момента равна 60кНм (см. рис. 1). Тогда момент сопротивления
Момент сопротивления круглого поперечного сечения относительно центральной оси
тогда необходимый диаметр балки
консольный балка поперечный ось
Рисунок 1
Задача 2
Построить эпюры Q и М для балки из дерева при q2
=5кН/м; P2
=10кН; M2
=35кНм (рис.2) и подобрать размеры балки прямоугольного поперечного сечения с отношением высоты к ширине h/b=3;
Решение
Для определения Q и М в любом сечении балки необходимо знать все внешние силы, действующие на балку, т. е. приложенные нагрузки и опорные реакции RA
и RB
.
Расположим начало координат в центре тяжести крайнего левого сечения, в точке А, ось Y направим вертикально вверх, а ось Х – горизонтально вправо (по оси балки).
На шарнирно-неподвижной опоре А неизвестную по величине и направлению реакцию заменим двумя составляющими: RA
– вертикальной, перпендикулярной оси балки, и ХА
– горизонтальной, направленной по оси Х. На шарнирно-подвижной опоре В реакция RB
направлена перпендикулярно оси балки.
Составляем следующую систему уравнений статики:
Решив ее при заданных исходных данных, получим
Для провер
Следовательно, реакции определены верно.
Для построения эпюр Q и М необходимо определить поперечные силы и изгибающие моменты. Данная балка имеет два грузовых участка, границами которых являются опорные сечения и сечение, где приложена сосредоточенная сила Р. Чтобы составить уравнения Q и М, для каждого участка проводим произвольные сечения на расстоянии х от начала координат.
В качестве первого участка рассмотрим ту часть балки, на которую действует рассредоточенная сила q. На нем абсцисса х изменяется в пределах 0≤х1
≤4.
Здесь Q1
=RA
-qx1
; Q1
=55/9кН при х1
=0; Q1
=-125/9кН при х1
=4м.
Уравнение моментов имеет вид
при х1
=0 М1
=0;
при х1
=4м М1
=-140/9кНм.
Для уточнения вида эпюры М на первом участке необходимо определить экстремальное значение М в сечении, где Q=0. Абсцисса этого сечения может быть вычислена из уравнения
Q1
=RA
-qx=0.
Таким образом
м.
Подставив это значение в выражение М1
=RA
x-qx2
/2, найдем Мmax
=605/162=3,7кНм.
На втором участке абсцисса х меняется в пределах 4≤х2
≤9. На этом участке Q2
=const и Q2
=RA
+P-4q=55/9+10-20=-35/9. Уравнение моментов на этом участке имеет вид
при х2
=4м М2
=55/9·4+4·5·2=-140/9кНм;
при х2
=9м М2
=55/9·9+10·5-4·5·7=-35кНм.
Абсолютная величина максимального изгибающего момента
Мmax
=35кНм.
Величина момента сопротивления
.
Момент сопротивления прямоугольника относительно нейтральной оси
, откуда ;
Рисунок 2.
Задача 3
Построить эпюры Q и М для балки из стали при q2
=5кН/м; P2
=10кН; M2
=35кНм (рис.3) и подобрать номер двутавра;
Решение
Определяем опорные реакции. Так как приложенные нагрузки вертикальны, реакция ХА
=0.
Для вычисления реакции RА
составляем сумму моментов всех сил относительно точки В
Решая это уравнение относительно RA
и подставляя значения входящих в него величин, получим
Отрицательный знак реакции RA
показывает, что выбранное направление неверно и его следует изменить на противоположное.
Для вычисления реакции RB
составляем сумму моментов всех сил относительно очки А
Подставляя в это уравнение исходные данные, и решая его относительно RB
, получим
.
Для проверки правильности вычисления реакций составим сумму проекций всех сил на вертикальную ось Y:
Таким образом, реакции определены правильно.
Для определения поперечных сил и изгибающих моментов выделяем четыре грузовых участка и нумеруем их слева направо. Для составления уравнений Q и М необходимо в пределах каждого участка провести произвольное сечение и рассматривать часть балки по одну сторону от сечения. При этом для первого и второго участков проще рассматривать часть балки слева от сечения, для третьего и четвертого – справа от сечения. В соответствии с этим абсциссу для первого и второго участков будем отсчитывать от точки А, для третьего и четвертого – от точки С.
|
||
Рисунок 3.
Из рисунка 3 видно, что Мmax
=45кНм.
Вычисляю момент сопротивления