КУРСОВАЯ РАБОТА
по дисциплине:"Теория автоматического управления"
Уфа 2011
ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ
Вариант 16
| Схема | k1 | k2 | k3 | k4 | k5 | T1 | T2 | T3 | T4 | T5 | ξ |
| (а) | 4 | 1.5 | 4 | 2 | 0.7 | 0.4 | 0.3 | 0.5 | 0.15 | 0.9 | 0.5 |
Схема а:
Для структурной схемы САУ, соответствующей выбранному варианту, выполнить следующие действия:
1) Определить передаточную функцию разомкнутой системы, привести ее к стандартной форме записи. Определить степень астатизма системы.
2) Определить амплитудно-фазовую, вещественную и мнимую частотные характеристики.
3) Построить годограф АФЧХ разомкнутой системы.
4) Найти выражения для асимптотической ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы.
5) Построить в масштабе ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы.
6) Определить устойчивость замкнутой САР с помощью критерия Найквиста и логарифмических частотных характеристик.
7) Найти запасы устойчивости системы по фазе и амплитуде.
8) Записать выражение для передаточной функции замкнутой системы и проверить выводы пункта 6 с помощью алгебраических критериев Рауса и Гурвица.
9) Проверить выводы пункта 6 с помощью частотного критерия Михайлова.
10) Найти коэффициенты С0
, С1
, С2
ошибок системы.
11) Построить с помощью ЭВМ переходную функцию замкнутой системы и оценить основные показатели качества регулирования (перерегулирование, и время регулирования) в системе.
передаточный астатизм амплитудный голограф
1. Передаточная функция разомкнутой системы
Упростим схему.
Где
; ; ; ; ; .
Перенесем сумматор.
Затем упростим.
Где
;
Где
;
Где
;
; ; ; ; .
;
;
Степень астатизма ν=0. Коэффициент передачи К=1.71. Постоянные времени: Т1
=0.15, Т2
=0.23, Т3
=0.23, Т4
=0.4, Т5
=0.39, Т6
=0.34, ξ=0.24.
2. Частотная передаточная функция системы (s→jω)
Особые точки АФЧХ приведены в таблице 1.
Таблица 1.
| ω | 0 | 2,85 | ∞ |
| P(ω) | 1.71 | 0 | 0 |
| Q(ω) | 0 | -2.46 | 0 |
3. Годограф АФЧХ разомкнутой системы
Годограф (рисунок 1) при ω=0 начинается на положительной вещественной полуоси. При ω→ ∞ через четвертый и третий квадранты стремиться к нулю. Пересекает при ω=0 вещественную ось в точке (1,71;j0) и при ω=2,85 пересекает мнимую ось в точке (0;-j2.46).
Рисунок 1.
4. Асимптотическая ЛАХ и ЛФХ
Асимптотическая ЛАХ:
Асимптотическая ЛФХ:
5. Построение в масштабе ЛАХ и ЛФХ системы
1) Значение ЛАХ при ω =1 равно 20lgK, где К – коэффициент передачи разомкнутой системы. К=1,71, значит ЛАХ пересекает ось L(ω) на уровне 4.66.
2) Степень астатизма системы ν =0, следовательно наклон самой низкочастотной асимптоты равен 0 дБ/дек.
3) Таблица значений сопрягаемых частот.
Таблица 2.
| Т | 0.4 | 0.39 | 0.34 | 0.23 | 0.23 | 0.15 |
| ω | 2.5 | 2.56 | 2.94 | 4.35 | 4.35 | 6.67 |
| Изменение наклона (дБ/дек) | -20 | -20 | -40 | +20 | +20 | +20 |
Асимптотическая ЛАХ, построенная от руки (схематично) по информации из таблицы 2 показана на рисунке 2.
Рисунок 2.
На рисунке 3 показаны в масштабе ЛАХ и ЛФХ системы, построенные с помощью ЭВМ.
Рисунок 3.
6. Устойчивость замкнутой САУ с помощью критерия Найквиста и логарифмических частотных характеристик
Степень астатизма системы ν=0 и характеристический полином разомкнутой системы имеет все корни в левой половине комплексной плоскости, то критерий Найквиста будет следующим: Для того чтобы замкнутая САУ была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы годограф амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы не охватывал точку с координатами (-1; j0).
На рисунке 4 изображен годограф
Рисунок 4.
7. Запасы устойчивости по фазе и амплитуде
Как видно из рисунка 4 годограф не пересекает отрицательную вещественную полуось, следовательно, запас устойчивости по амплитуде 100%.
Рассчитаем запас устойчивости по фазе:
Найдем ωср
(частоту среза) из условия A(ω)=1
ωср
=3,924 с-1
Таким образом запас по фазе составляет 39,230
.
Передаточная функция замкнутой системы может быть найдена по следующей формуле
Характеристический полином системы:
Определение устойчивости замкнутой системы методом Рауса.
Таблица Рауса.
| a0
|
a2
|
a4
|
|
| a1
|
a3
|
a5
=0 |
|
| C13
=a2 -τ3 a3 |
C23
=a4 -τ3 a5 |
C33
=a6 -τ3 a7 |
τ 3
=a0 /a1 |
| C14
=a3 - τ4 C23 |
C24
=a5 - τ4 C33 |
C34
=0 |
τ 4
=a1 /C13 |
| C15
=C23 -τ5 C24 |
C25
=C33 -τ5 C34 |
C35
=0 |
τ 5
=C13 /C14 |
| C16
=C24 -τ6 C25 |
C26
=C34 -τ6 C35 |
C36
=0 |
τ 6
=C14 /C15 |
Заполним таблицу.
| 0.018 | 0.612 | 2.71 | |
| 0.1314 | 2 | 0 | |
| C13
=0.3384 |
C23
=2.71 |
C33
=0 |
τ 3
=0.137 |
| C14
=0.948 |
C24
=0 |
C34
=0 |
τ 4
=0.388 |
| C15
=2.71 |
C25
=0 |
C35
=0 |
τ 5
=0.357 |
| C16
=0 |
C26
=0 |
C36
=0 |
τ 6
=0.34 |
Все элементы первого столбца таблицы имеют один и тот же знак, следовательно, характеристический полином замкнутой системы имеет корни только в левой половине комплексной плоскости. Замкнутая САУ устойчива.
Определение устойчивости замкнутой системы методом Гурвица.
Построим определители Гурвица
Все определители Гурвица положительны, следовательно, характеристический полином замкнутой системы имеет корни только в левой половине комплексной плоскости. Замкнутая САУ устойчива.
8. Определение устойчивости замкнутой системы с помощью частотного критерия Михайлова
Характеристический полином системы
s→jω
Вещественная функция Михайлова:
.
Мнимая функция Михайлова:
Решим уравнения
;.
,
Учитываем корни ω > 0
; ;
; .
; ; .
Построим таблицу
| ω | 0 | 2.88 | 3.9 | 5.36 |
| Re(ω) | 2.71 | 0 | -2.44 | 0 |
| Im(ω) | 0 | 3 | 0 | -9.57 |
Годограф Михайлова (в схематичном виде) представлен на рисунке 5.
Рисунок 5.
Критерий Михайлова: Замкнутая САУ будет устойчивой тогда и только тогда, когда годограф Михайлова, при изменении частоты ω от 0 до +∞ начинаясь на положительной действительной полуоси последовательно и нигде не обращаясь в 0 пересекает n квадрантов комплексной плоскости (где n – порядок характеристического полинома САУ).
В данном случае годограф соответствует критерию Михайлова, значит замкнутая САУ устойчива.
9. Коэффициенты ошибок системы
Передаточная функция ошибки будет иметь вид
10. Переходная функция САУ
Найдем корни N(s):
Получим следующее:
Построим график с помощью ЭВМ.
График переходной функции.
Из графика видно, что время регулирования tp
≈3.29с, а перерегулирование
.