Министерство образования и науки Российской Федерации
Волгоградский государственный технический университет
(ВолгГТУ)
Кафедра Технология машиностроения
Семестровая работа
по метрологии
Обработка результатов прямых многократных измерений
Выполнил: ст. гр. АУ – 323 Добриньков А. В.
Проверил: Карабань В. Г.
Волгоград 2010
Задание
1. Построить полигон, гистограмму и теоретическое распределение измеренных величин.
2. Проверить согласие теоретического и эмпирического распределений.
3. Определить доверительные интервалы.
4. Определить границы диапазона рассеивания значений и погрешностей.
Исходные данные
| Номер интервала | Границы интервалов | Частотаmi
|
|
| свыше | до | ||
| 1 | 19,97 | 19,99 | 2 |
| 2 | 19,99 | 20,01 | 2 |
| 3 | 20,01 | 20,03 | 12 |
| 4 | 20,03 | 20,05 | 25 |
| 5 | 20,05 | 20,07 | 35 |
| 6 | 20,07 | 20,09 | 62 |
| 7 | 20,09 | 20,11 | 66 |
| 8 | 20,11 | 20,13 | 77 |
| 9 | 20,13 | 20,15 | 39 |
| 10 | 20,15 | 20,17 | 29 |
| 11 | 20,17 | 20,19 | 20 |
| 12 | 20,19 | 20,21 | 7 |
| 13 | 20,21 | 20,23 | 2 |
1. Построение эмпирического и теоретического распределений
При построении гистограмм и полигонов по оси абсцисс откладывают значения результатов измерений (середины интервалов xi
), а по оси ординат – вероятность попадания в каждый i – тый интервал:
.
Вычислим на каждом участке: (Σmi
= 378)
| Номер интервала | Эмпирические частности | Середина интервала , мм |
| 1 | 0,005291 | 19,98 |
| 2 | 0,005291 | 20,00 |
| 3 | 0,031746 | 20,02 |
| 4 | 0,066138 | 20,04 |
| 5 | 0,092593 | 20,06 |
| 6 | 0,164021 | 20,08 |
| 7 | 0,174603 | 20,10 |
| 8 | 0,203704 | 20,12 |
| 9 | 0,103175 | 20,14 |
| 10 | 0,07672 | 20,16 |
| 11 | 0,05291 | 20,18 |
| 12 | 0,018519 | 20,20 |
| 13 | 0,005291 | 20,22 |
Построим гистограмму и полигон по полученным значениям:
Для построения теоретического распределения необходимо определить приближённые значения математического ожидания и среднеквадратического отклонения S.
| Номер интервала | Частота | Середина интервала | mi
xi |
mi
xi 2 |
S | |
| 1 | 2 | 19,98 | 39,96 | 798,4008 | 0,043395663 | 20,10486772 |
| 2 | 2 | 20 | 40 | 800 | ||
| 3 | 12 | 20,02 | 240,24 | 4809,6048 | ||
| 4 | 25 | 20,04 | 501 | 10040,04 | ||
| 5 | 35 | 20,06 | 702,1 | 14084,126 | ||
| 6 | 62 | 20,08 | 1244,96 | 24998,7968 | ||
| 7 | 66 | 20,1 | 1326,6 | 26664,66 | ||
| 8 | 77 | 20,12 | 1549,24 | 31170,7088 | ||
| 9 | 39 | 20,14 | 785,46 | 15819,1644 | ||
| 10 | 29 | 20,16 | 584,64 | 11786,3424 | ||
| 11 | 20 | 20,18 | 403,6 | 8144,648 | ||
| 12 | 7 | 20,2 | 141,4 | 2856,28 | ||
| 13 | 2 | 20,22 | 40,44 | 817,6968 | ||
| Σ | 378 | 7599,64 | 152790,47 |
По виду гистограммы и полигона предполагаем нормальный закон распределения с функцией плотности
рассеивание погрешность гистограмма плотность
,
,
а вероятность попадания результата измерений в i-тый интервал величиной h = 0.02:
.
| Номер интервала | Середина интервала | ||||
| 1 | 19,98 | 2,877424 | 0,006354 | 0,002928 | 0,005291 |
| 2 | 20,00 | 2,416549 | 0,02152 | 0,009918 | 0,005291 |
| 3 | 20,02 | 1,955673 | 0,058938 | 0,027163 | 0,031746 |
| 4 | 20,04 | 1,494797 | 0,13053 | 0,060158 | 0,066138 |
| 5 | 20,06 | 1,033922 | 0,233766 | 0,107737 | 0,092593 |
| 6 | 20,08 | 0,573046 | 0,338534 | 0,156022 | 0,164021 |
| 7 | 20,10 | 0,112171 | 0,39644 | 0,18271 | 0,174603 |
| 8 | 20,12 | 0,348705 | 0,37541 | 0,173017 | 0,203704 |
| 9 | 20,14 | 0,80958 | 0,287466 | <0,132486 | 0,103175 |
| 10 | 20,16 | 1,270456 | 0,178001 | 0,082036 | 0,07672 |
| 11 | 20,18 | 1,731331 | 0,089127 | 0,041076 | 0,05291 |
| 12 | 20,20 | 2,192207 | 0,036087 | 0,016632 | 0,018519 |
| 13 | 20,22 | 2,653083 | 0,011815 | 0,005445 | 0,005291 |
Построим теоретическое распределение результатов измерений
:
2. Проверка согласия эмпирического и теоретического распределений
Согласно критерию Колмогорова, сравнивают эмпирические и теоретические значения, но уже не плотности распределения, а интегральной функции F(xi
). Значение максимальной (по абсолютной величине) разности между ними DN
подставляют в выражение:
,
где – объём выборки. Считают, что эмпирическое распределение хорошо согласуется с теоретическим, если .
Таблица
| Номер интервала | |||||
| 1 | 0,002928 | 0,005291 | 0,002928 | 0,005291 | 0,002363 |
| 2 | 0,009918 | 0,005291 | 0,012846 | 0,010582 | 0,002264 |
| 3 | 0,027163 | 0,031746 | 0,040009 | 0,042328 | 0,002319 |
| 4 | 0,060158 | 0,066138 | 0,100168 | 0,108466 | 0,008298 |
| 5 | 0,107737 | 0,092593 | 0,207904 | 0,201058 | 0,006846 |
| 6 | 0,156022 | 0,164021 | 0,363927 | 0,365079 | 0,001153 |
| 7 | 0,182710 | 0,174603 | 0,546636 | 0,539683 | 0,006954 |
| 8 | 0,173017 | 0,203704 | 0,719653 | 0,743386 | 0,023733 |
| 9 | 0,132486 | 0,103175 | 0,852140 | 0,846561 | 0,005579 |
| 10 | 0,082036 | 0,076720 | 0,934176 | 0,923280 | 0,010895 |
| 11 | 0,041076 | 0,052910 | 0,975252 | 0,976190 | 0,000938 |
| 12 | 0,016632 | 0,018519 | 0,991884 | 0,994709 | 0,002825 |
| 13 | 0,005445 | 0,005291 | 0,997329 | 1,000000 | 0,002671 |
В нашем случае максимальное значение разности:
DN
= F’8
– F8
= 0,023733, N = ∑mi
= 378
Для lN
=0,4614 по таблице находим g = 0,01 Þ (1 – 0,01) = 0,99 > 0,1. Т. о. эмпирическое распределение хорошо согласуется с теоретическим.
3. Определение доверительных интервалов
Доверительный интервал для математического ожидания M определяется из выражения:
,
значение tg
возьмём из справочника, для g » 0,01 и N = 13: tg
= 3,06,
тогда 20,06804 мм < M < 20,14170 мм
Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения определим из выражения:
,
значения c1
2
и c2
2
определяем по справочнику, для g1
» 0,01 , g2
» 0,99 и N=13: c1
2
=26,2; c2
2
=3,57,
тогда 0,02937 мм <
<0,07956 мм
4. Определение диапазона рассеивания значений
Определение границ диапазона рассеивания значений по результатам измерений, при вероятности риска 0,027.
М » = 20,10486772 мм
S » = 0,043395663 мм
М-3 » 19.9747 мм
М+3 » 20.2351 мм
Определение границ диапазона рассеивания значений по результатам измерений, при допускаемом значении вероятности риска 2β=0,001.
М±σ
= 0,4995, Þ = 3,29
М-3,29 = 19,9621 мм
М+3,29 = 20,2476 мм
Для партии деталей проведены измерения координат X,Y двух отверстий 1 и 2. Определить средний размер и среднее квадратическое отклонение размера межцентрового расстояния.
| Номер измерения | Значения параметра | |||
| X1 | X2 | Y1 | Y2 | |
| 1 | 26,792 | 28,394 | 29,9 | 31,911 |
| 2 | 26,787 | 28,487 | 29,901 | 31,922 |
| 3 | 26,79 | 28,39 | 29,913 | 31,914 |
| 4 | 26,792 | 28,592 | 29,902 | 31,899 |
| 5 | 26,791 | 28,494 | 29,903 | 31,898 |
| 6 | 26,782 | 28,485 | 29,912 | 31,91 |
| 7 | 26,792 | 28,591 | 29,901 | 31,891 |
| 8 | 26,792 | 28,791 | 29,903 | 31,902 |
| 9 | 26,787 | 28,584 | 29,912 | 31,898 |
| 10 | 26,793 | 28,572 | 29,906 | 31,907 |
| 11 | 26,79 | 28,493 | 29,9 | 31,899 |
| 12 | 26,794 | 28,493 | 29,912 | 31,898 |
| 13 | 26,786 | 28,576 | 29,903 | 31,889 |
Для определения среднего размера и среднего квадратического отклонения S воспользуемся следующими формулами:
где N=13
= 26,7898 мм = 0,003411895 мм
= 28,534 мм = 0,10339165 мм
= 29,9052 мм = 0,005117842 мм
= 31,9029 мм = 0,009393806 мм
Определим средний размер межцентрового расстояния:
= 2,1318 мм
Определим среднее квадратическое отклонение размера межцентрового расстояния по формуле:
,
где – частная производная по от и – частная производная по от :
= -0,3491
= 0,3491
= -0,9371
= 0,9371
Т. о. SL
= 0,0375 мм.