РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА
ПО ДИСЦИПЛИНЕ
Метрология, стандартизация и технические измерения
Специфика проведения измерений и обработки результатов
Задание 1. Однократное измерение
Условие задания
При однократном измерении физической величины получено показание средства измерения X = 10. Определить, чему равно значение измеряемой величины, если экспериментатор обладает априорной информацией о средстве измерений и условиях выполнения измерений согласно данным таблицы 1.
Экспериментальные данные:
Информация о средстве измерения:
Вид закона распределения нормальный
Значение оценки среднего квадратичного отклонения
Доверительная вероятность
Мультипликативная поправка
Расчет
Предел, в котором находится значение измеряемой величины без учета поправки определяется как:
; ,
где Е - доверительный интервал. Значение Е определяется в зависимости от закона распределения вероятности результата измерения. Для нормального закона
,
где t - квантиль распределения для заданной доверительной вероятности. Его выбирают из таблицы интегральной функции нормированного нормального распределения , при этом следует учитывать, что . t = 1,64 при P=0,9
.
Используя правила округления, получим:
.
С учетом поправки значение измеряемой величины определяется как:
; .
Вносим мультипликативную поправку:
, ,.
Записываем результат:
<Q<; P=0,9
Задание 2. Многократное измерение
Условие задания
При многократном измерении одной и той же физической величины получена серия из 24 результатов измерений . Эти результаты после внесения поправок представлены в таблице. Определить результат измерения.
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
|
485 |
484 |
486 |
482 |
483 |
484 |
484 |
481 |
|
|
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
|
|
485 |
485 |
485 |
492 |
484 |
481 |
480 |
481 |
|
|
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
|
|
484 |
485 |
485 |
484 |
483 |
483 |
485 |
492 |
Для обработки результатов измерений необходимо исключить ошибки. Число измерений лежит в диапазоне 10…15<n<40…50. Поэтому исключение ошибок проводится на основе критерия.
Определяем среднее арифметическое и среднеквадратическое отклонение результатов измерений.
Далее определяем значения критерия для каждого значения результата измерений по формуле:
В соответствии с доверительной вероятностью с учетом находим из соответствующей таблицы значение , которое зависит от числа измерений и .
При , следовательно значение 492 исключаем как ошибку.
Исключение ошибок продолжается до тех пор, пока не будет выполнятся условие .
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
|
485 |
484 |
486 |
482 |
483 |
484 |
484 |
481 |
|
|
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
|
|
485 |
485 |
485 |
484 |
481 |
480 |
481 |
484 |
|
|
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
||
|
|
485 |
485 |
484 |
483 |
483 |
485 |
Заново определяем значения критерия для каждого значения результата измерений по формуле:
В соответствии с доверительной вероятностью с учетом находим из соответствующей таблицы значение , которое зависит от числа измерений и .
Условие выполняется для всех результатов измерений.
Следующим шагом анализа является проверка гипотезы о нормальности распределения оставшихся результатов измерений. Проверка выполняется по составному критерию, так как количество результатов измерений лежит в диапазоне 10…15<n<40…50.
Применяя первый критерий, следует вычислить отношение:
и сравнить с и .
Задаемся рекомендуемой доверительной вероятностью и для уровня значимости определяем из соответствующей таблицы квантили распределения и .
Значение соответствует условию . Первый критерий выполняется.
Применяя второй критерий, задаемся рекомендуемой доверительной вероятностью и для уровня значимости с учетом по соответствующим таблицам определяем значения и .
Для из таблицы для интегральной функции нормированного нормального распределения определяем значение и рассчитываем E:
,
Используя правила округления, получим:
Далее сравниваем значения и .
| 1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
|
|
1,41 |
0,41 |
2,41 |
1,59 |
1,59 |
0,41 |
0,41 |
1,59 |
| 9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
|
|
|
1,41 |
1,41 |
1,41 |
0,41 |
2,59 |
3,59 |
2,59 |
0,41 |
| 17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
|||
|
|
1,41 |
1,41 |
0,41 |
0,59 |
0,59 |
1,41 |
Мы видим, что не более m разностей превосходят , следовательно второй критерий, а вместе с тем и составной критерий выполняется полностью. Закон распределения можно признать нормальным с вероятностью .
Определяем стандартное отклонение среднего арифметического.
Так как закон распределения нормальный, то стандартное отклонение среднего арифметического определяется следующим образом:
Определяем доверительный интервал
Закон распределения нормальный, следовательно доверительный интервал для заданной доверительной вероятности определяется из распределения Стьюдента , где определяется из соответствующей таблицы.
,
Используя правила округления, получим:
Результат измерений запишется в виде:
Задание 3. Обработка результатов нескольких серий измерений
Условие задания
При многократных измерениях одной и той же величины получены две серии по 12 () результатов измерений в каждой. Эти результаты после внесения поправок представлены в таблице. Вычислить результат многократных измерений.
Серия измерений 1.
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
485 |
484 |
486 |
482 |
483 |
484 |
|
|
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
|
484 |
481 |
485 |
485 |
485 |
492 |
Серия измерений 2.
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
484 |
481 |
480 |
481 |
484 |
485 |
|
|
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
|
485 |
484 |
483 |
483 |
485 |
492 |
Обработка результатов производится для каждой серии отдельно.
Для обработки результатов серий измерений необходимо исключить ошибки. Число измерений лежит в диапазоне 10…15<n<40…50. Поэтому исключение ошибок проводится на основе критерия.
Серия измерений 1.
Определяем среднее арифметическое и среднеквадратическое отклонение результатов серии измерений 1.
Далее определяем значения критерия для каждого значения результата серии измерений по формуле:
В соответствии с доверительной вероятностью с учетом находим из соответствующей таблицы значение , которое зависит от числа измерений и .
При , следовательно, значение 492 исключаем как ошибку.
Исключение ошибок продолжается до тех пор, пока не будет выполнятся условие .
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
485 |
484 |
486 |
482 |
483 |
484 |
|
|
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
|
|
|
484 |
481 |
485 |
485 |
485 |
Заново определяем значения критерия для каждого значения результата серии измерений по формуле:
В соответствии с доверительной вероятностью с учетом находим из соответствующей таблицы значение , которое зависит от числа измерений и .
Условие выполняется для всех результатов серии измерений.
Следующим шагом анализа является проверка гипотезы о нормальности распределения оставшихся результатов серии измерений. Проверка выполняется по составному критерию
Применяя первый критерий, следует вычислить отношение:
и сравнить с и .
Задаемся рекомендуемой доверительной вероятностью и для уровня значимости определяем из соответствующей таблицы квантили распределения и .
Значение соответствует условию . Первый критерий выполняется.
Применяя второй критерий, задаемся рекомендуемой доверительной вероятностью и для уровня значимости с учетом по соответствующим таблицам определяем значения и .
Для из таблицы для интегральной функции нормированного нормального распределения определяем значение и рассчитываем E:
, .
Используя правила округления, получим:
Далее сравниваем значения и .
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
1 |
0 |
2 |
2 |
1 |
0 |
|
|
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
|
|
|
0 |
3 |
1 |
1 |
1 |
Мы видим, что не более разностей превосходят значение . Следовательно, второй критерий, а вместе с тем и составной критерий выполняются полностью. Закон распределения можно признать нормальным с вероятностью
.
Серия измерений 2.
Определяем среднее арифметическое и среднеквадратическое отклонение результатов серии измерений 2.
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
484 |
481 |
480 |
481 |
484 |
485 |
|
|
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
|
485 |
484 |
483 |
483 |
485 |
492 |
Далее определяем значения критерия для каждого значения результата серии измерений по формуле:
В соответствии с доверительной вероятностью с учетом находим из соответствующей таблицы значение , которое зависит от числа измерений и .
При , следовательно значение 492 исключаем как ошибку.
Исключение ошибок продолжается до тех пор, когда не будет выполнятся условие .
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
484 |
481 |
480 |
481 |
484 |
485 |
|
|
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
|
|
|
485 |
484 |
483 |
483 |
485 |
Заново определяем значения критерия для каждого значения результата серии измерений по формуле:
В соответствии с доверительной вероятностью с учетом находим из соответствующей таблицы значение , которое зависит от числа измерений и .
Условие выполняется для всех результатов серии измерений.
Следующим шагом анализа является проверка гипотезы о нормальности распределения оставшихся результатов серии измерений. Проверка выполняется по составному критерию, так как количество результатов серии измерений лежит в диапазоне 10…15<n<40…50.
Применяя первый критерий, следует вычислить отношение:
и сравнить с и .
Задаемся рекомендуемой доверительной вероятностью и для уровня значимости определяем из соответствующей таблицы квантили распределения и .
Значение соответствует условию . Первый критерий выполняется.
Применяя второй критерий, задаемся рекомендуемой доверительной вероятностью и для уровня значимости с учетом по соответствующим таблицам определяем значения и .
Для из таблицы для интегральной функции нормированного нормального распределения определяем значение и рассчитываем E:
, .
Используя правила округления, получим:
Далее сравниваем значения и .
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
0,82 |
2,18 |
3,18 |
2,18 |
0,82 |
1,82 |
|
|
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
|
|
|
1,82 |
0,82 |
0,18 |
0,18 |
1,82 |
Мы видим, что не более разностей превосходят значение . Следовательно второй критерий, а вместе с тем и составной критерий выполняется полностью. Закон распределения можно признать нормальным с вероятностью .
Далее необходимо проверить значимость различия средних арифметических серий.
Для этого необходимо вычислить моменты закона распределения разности:
Задавшись доверительной вероятностью , определяем из соответствующих таблиц интегральной функции нормированного нормального распределения значение и сравниваем с .
Условие выполняется. Различие между средними арифметическими в сериях с доверительной вероятностью можно признать незначимым.
Далее необходимо проверить равнорассеянность результатов измерений в сериях.
Для этого определяем значение:
И, задавшись доверительной вероятностью , определяем из соответствующих таблиц значение аргумента интегральной функции распределения вероятности Фишера .
Условие выполняется. Серии с доверительной вероятностью считаем рассеянными.
Выше было показано, что серии равнорассеяны и с незначимым различием средних арифметических. Исходя из этого все результаты измерений объединяются в единый массив и затем для него выполняется обработка по алгоритму, согласно которому необходимо определить оценку результата измерения и среднеквадратического отклонения .
Задавшись доверительной вероятностью , определяем из таблиц распределения Стьюдента значение для числа степеней свободы
Затем определяем доверительный интервал :
Используя правила округления, получим:
Результат измерений запишется в виде:
.
Задание 4. Функциональные преобразования результатов измерений (косвенные измерения)
Условие задания
При многократных измерениях независимых величин и получено по 12 (n) результатов измерений. Эти результаты после внесения поправок представлены в таблице 2. Определить результат вычисления , (вид функции и характер величин представлены в таблице 3).
Вид функциональной зависимости .
Характер и единицы величин:
- ЭДС, мВ;
- сопротивление, Ом;
- сила тока, А.
Обработка результатов измерений величин и проведена в задании 3 первой расчетно-графической работы.
Средние значения и среднеквадратические отклонения для величин и имеют вид
Гипотеза о нормальности распределения величин и подтверждается.
Определим оценку среднего значения функции:
Определим поправку
Определим оценку стандартного отклонения функции
Определяем доверительный интервал для функции
Законы распределения вероятности результатов измерения и признаны нормальными, можно определить для принятой доверительной вероятности из таблиц для распределения Стьюдента. При этом число степеней свободы определяется из выражения
Используя правила округления, получим:
Результат запишется в виде:
Задание 5. Обработка экспериментальных данных при изучении зависимостей
Условие задания
При многократных совместных измерениях величин и получено по 20 (n) пар результатов измерений. Эти результаты после внесения поправок представлены в таблице 4. Определить уравнение регрессии по : .
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
|
61;602 |
62;613 |
63;620 |
64;631 |
65;639 |
66;648 |
67;656 |
|
|
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
|
|
68;662 |
69;667 |
70;682 |
9;87 |
19;188 |
29;286 |
39;386 |
|
|
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
|
|
|
49;485 |
59;575 |
69;667 |
79;770 |
89;868 |
99;966 |
В качестве прямой регрессии будем использовать прямую вида
.
Параметры прямой определим по методу наименьших квадратов.
Далее проверяем правильность выбора вида уравнения регрессии. Для этого следует применить критерии серий и инверсий.
Рассчитываем отклонения экспериментальных значений от соответствующих расчетных значений, рассчитанных для того же аргумента:
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
|
-4,67 |
-0,67 |
0,33 |
3,33 |
5,33 |
-1,67 |
5,93 |
|
|
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
|
|
7,23 |
4,53 |
5,83 |
4,13 |
3,43 |
1,73 |
-1,97 |
|
|
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
|
|
|
-6,67 |
-6,67 |
-1,37 |
-0,67 |
0,33 |
1,33 |
последовательность ∆Yi записана по мере возрастания Х
Критерий серий:
Рассчитываем число серий в полученной последовательности: N=6
Задавшись доверительной вероятностью , для n=20 определяем по таблице допустимые границы и :
Критерий инверсий:
Рассчитываем число инверсий А в полученной последовательности : А=106.
Задавшись доверительной вероятностью для n=20 определяем по таблице допустимые границы и :
Оба неравенства выполняются и . Поэтому можно считать, что рассчитанное уравнение регрессии достоверно описывает экспериментально исследуемую зависимость.