Спектры непериодических сигналов

1.

2.
Спектры непериодических сигналов

Пусть задан сигнал в виде ограниченной во времени функции s(t), отличной от нуля в промежутке t1
t2
. Выделим произвольный отрезок времени T, включающий промежуток t1
t2
, далее продолжим аналитически s(t) на всю бесконечную ось с периодом T. Тогда мы сможем разложить такую периодическую функцию s(t) в гармонический ряд Фурье. В комплексной форме будем иметь:

Полученный ряд на участке t1
t2
будет точно соответствовать нашей функции s(t). Однако, если нас интересуют моменты времени за участком t1
t2
, то необходимо увеличить период Т, т. е. отодвинуть повторные значения функции s(t). Производя замену переменных и переходя от суммирования к интегрированию, получим

где

- спектральная плотность сигнала s(t).

Спектр непериодического сигнала сплошной (непрерывный) и распространяется на отрицательные частоты.

Если
, то
- модуль спектральной плотности – амплитудно-частотная характеристика.

- фазово-частотная характеристика.

Необходимое условие существования спектральной плотности

Пример. Спектр прямоугольного сигнала

Согласно формуле Эйлера

- площадь под импульсом.

1.1 Свойства преобразования Фурье

а) Сдвиг сигнала во времени
s2
(t)=s1
(t-t0
).

Сдвиг во времени функции s(t)
на ±t0
приводит к сдвигу фазы спектра на ±wt0
.
Это позволяет для удобства разложения в спектр сдвигать сигнал относительно начала координат.

б) Сжатие и расширение сигнала
s2
(t)=s1
(nt)
.

При сжатии сигнала в n раз на временной оси во столько же раз расширяется его спектр на оси частот при уменьшении модуля в n раз. Наоборот, при растяжении сигнала во времени имеет место сужение спектра и увеличение модуля спектральной плотности. Т. о. сжатие спектра импульса с целью повышения точности измерения частоты требует удлинения времени измерения. В то же время сжатие импульса по времени с целью, например, повышения точности измерения времени его появления заставляет расширять полосу пропускания измерительного устройства. В теории преобразования Фурье доказывается, что
где

.

В реальности это проявление принципа неопределенности:
При

при несреднеквадратичном определении
и
.

в) Дифференцирование и интегрирование сигнала

Аналогично спектральная плотность интеграла
равна

г) Сложение сигналов (линейность преобразования)

- из-за линейности операции интегрирования.

д) Спектр произведения двух функций

Изменяем порядок интегрирования:

Спектр произведения двух функций равен свертке их спектров (с множителем
).

Аналогично можно показать, что свертке двух функций
соответствует спектр

являющийся произведением исходных спектров.

е) Взаимная обратимость s(t) и
.

;

Для четного сигнала s(t)=s(-t),
и в связи с симметричностью пределов интегрирования в выражении для
можно поменять знак в экспоненте
Тогда, если по функциональной зависимости
то

1.2 Распределение энергии в спектре непериодического сигнала

Найдем спектр квадрата функции s(t).

- используем свойства преобразования Фурье для произведения двух функций.

В частном случае (
) будем иметь:

. Переходя от
к
и т. к.
, комплексное сопряжение
.

- равенство Парсеваля.

- спектральная плотность энергии (энергия, приходящаяся на единицу полосы частот). Е
- полная энергия сигнала.

Для энергии, приходящейся на конечную полосу частот, получим:

- при симметричной

Примеры.Спектр Гауссова (колокольного) импульса

, -¥ < t
< ¥, а
- условная половина длительности на уровне 0,606.

.

Произведем преобразование в показателях степени:

где d - определяется из условия:

откуда

.

При d
- конечном
т. к.
.

Тогда
т. е. спектр Гауссова импульса имеет Гауссову форму:

.

Можно показать, что Гауссов импульс обладает наименьшим
при среднеквадратичном их определении.

Спектр d-функции

.

В качестве d
-функции может выступать сигнал любой формы с бесконечно малой длительностью и единичной площадью.

1.3 Свойства d-функции

1)
- фильтрующее свойство.

2) Четность

3) Нормировка

Спектральная плотность

.

При t0
= 0,

,

при t0
¹ 0,
.

- это спектральное определение d
-функции.

Аналогично
- определение d
-функции в частотной области.

Спектральная плотность гармонического колебания

Одним из условий применения интегрального преобразования Фурье фу нкции s(t) является ее абсолютная интегрируемость Применениеd- функции позволяет получить спектральную плотность и для неинтегрируемых функций.

Пусть
Найдем спектральную плотность, формально не обращая внимания, что сигнал абсолютно не интегрируем.

Произведем замену
.

Но
тогда

.

Гармоническому колебанию с конечной амплитудой соответствует бесконечно большая спектральная плотность на дискретных частотах ±w0
.

В частности, для постоянного напряжения w0
= 0,

Задание 2

В соответствии с номером варианта (последняя цифра в номере списка группы) определить энтропию источника сообщений.

4

0,15

0,01

0,09

0,25

0,01

0,04

0,1

0,18

0,02

0,15

Задание 3

Для источника сообщений предыдущего задания построить эффективный код Хаффмена.

x4	0,25	0,25	0,25	0,25	0,25	0,25	0, 32	0,4 3	0,5 7	1
x8	0,18	0,18	0,18	0,18	0,18	0,25	0,25	0,32	0,43
x6	0,15	0,15	0,15	0,15	0,1 7	0,18	0,25	0,25
x9	0,15	0,15	0,15	0,15	0,15	0,17	0,18
x3	0,10	0,10	0,10	0,10	0,15	0,15
x7	0,09	0,09	0,09	0,03	0,10
x10	0,04	0,04	0,04	0, 08
x1	0,02	0,02	0,0 4
x2	0,01	0,0 2
x5	0,01

0

0

0

1

1

1

1

x1-110X8

x2-1110001

x3-1111

0

x4-10

x5-1110000

x6-11101

x7-010

X8

1

0

x8-00

x9-111001

X4

x10-011

Задание 4

Построить двоичный групповой помехоустойчивый код Хэмминга для исправления одиночных ошибок. Количество передаваемых сообщений – 45.

Дать описание построенного кода в виде проверочных равенств и матрицы.

k=3

m=3

n=m+k

n=6

(6,3)

Исходный код:

k1
k2
k3

Код Хэмминга:

m1m2k1m3k2k3

a1
a2
a3
a4
a5
a6

Варианты разрядов в которых может возникнуть ошибка

Номера разрядов в которых может возникнуть ошибка

Значения проверочных битов

Проверочные равенства:

– проверочный синдром, указывающий номер бита с ошибкой

Проверочная матрица:

Пример:

Закодируем сообщение 101

Исходный код

Закодированный код

Найдем проверочные разряды

Получаем код

Смоделируем ошибку при передаче сообщения. Инвертируем 5 бит сообщения 101101 и получим 10111

1.

Представим принятый код в виде

Используя проверочные равенства найдем

Получаем проверочный синдром S(101), который указывает на ошибку в 5 бите. Для исправления ошибки необходимо проинвертировать указанный бит 10110

1. В результате получаем исходный закодированный код. Для его декодирования необходимо исключить из сообщения биты 1,2, и 4 биты. Получаем исходный код 101.

Литература

1. Блейтхут Р. Для теории и практики кодов, контролирующих ошибки. / Под общей редакцией К. Ш. Зигангирова . -г. Москва.: Мир, 2003.

2. Дмитриев В.И. Прикладная теория информации. – М.: Высшая школа, 1989.

3. Мсхаля Ж. Основы современных информационных технологий. Учебное пособие для вузов. М.: АСВ, 2003.

4. Методические указания к лабораторным работам по курсу "Элементы теории информации" для студентов специальности "Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем" / Составители: В.Н. Ярмолик, А.В. Литвиненко, А.И. Янушкевич. – Мн.: БГУИР, 1996.