Федеральное агентство по образованию
Министерство образования и науки РФ
Тульский государственный университет
Кафедра теоретической механики
Курсовая работа
Кинематический расчет плоских шарнирных механизмов
Кафедра теоретической механики
Рецензия на курсовую работу
Студента _______________________
группы _________________________
Вариант № ___ количество страниц ___ Курсовая работа по содержанию соответствует / не соответствует выданному заданию и выполнена в полном / не в полном объеме.
КР может быть допущена к
Выполнил:
Студент_________________________
Группы_________________________
Проверил:
Тула 2008
Содержание
Исходные данные
1. Аналитический метод
1.1 Составление уравнений геометрических связей
1.2 Определение законов движения звеньев механизма
1.3 Определение скоростей и ускорений звеньев
1.4 Определение скоростей и ускорений узловых точек
2. Геометрические методы
2.1 Определение скоростей точек и угловых скоростей звеньев с помощью мгновенных центров скоростей (МЦС)
2.2 Определение ускорений точек и угловых ускорений звеньев с помощью теоремы о сложении ускорений.
2.3 Основные теоремы составного движения точки
2.4 Определение скоростей точек и угловых скоростей звеньев с помощью теоремы о сложении скоростей при переносном вращательном движении
3.Анализ результатов вычислений.
Список литературы
Постановка задачи. Описание подхода к решению задачи, формулировка математической модели и методов решения, использованных в курсовом проекте.
Исследовать движение плоского шарнирного многозвенного механизма с одной степенью свободы (Рис. 1). Размеры механизма известны. Закон движения ведущего звена механизма, определяется уравнением
|
|
где φ0
— начальное значение угла поворота; ω0
— угловая скорость.
Определить, используя разные методы, законы движения всех звеньев механизма, угловые скорости и ускорения ведомых звеньев, а также линейные скорости и ускорения всех узловых точек механизма и звена, движущегося поступательно. Все величины определить при заданном значении угла поворота ведущего звена φk
.
Произвести визуализацию механизма, а также изобразить скорости и ускорение всех заданных точек механизма
Вычислить угловые координаты, скорости и ускорения звеньев механизма совершающих вращательные и плоскопараллельные движения, а также законы движения, скорости и ускорения всех узловых точек механизма при заданных значениях угла поворота ведущего звена φk
.
Исходные данные
Рис.1 схема механизма
Дано:
ОА=22см АВ=60см О1
D=20см АС=30см CD=50см а=40см
СК=0,5*
CD=25см АМ=0,5*АС=15см
1. Аналитический метод
1.1 Составление уравнений геометрических связей
Рис. 2. Расчетная схема механизма
Изобразим плоский механизм в произвольном положении (рис. 2).
В качестве системы отсчета примем правую декартову систему координат. Начало системы координат расположим в подшипнике O. Положительные углы поворота в этом случае направлены против часовой стрелки.
Изобразим углы поворота звеньев , k=1,2,3 - отсчитывая их от горизонтальной оси Ox в положительном направлении.
В состав данного многозвенного механизма входят:
· два кривошипа OA и O1
D
· два шотуна AB и CD
· ползун В
· неподвижное звено ОО1
Кривошипы ОА и О1
D совершают вращательное движение вокруг неподвижных осей перпендикулярных плоскости xOy и проходящих через точки O и O1
соответственно. Шатуны AB и CD совершают плоскопараллельное движение в плоскости xOy. Ползун В совершает возвратно-поступательное движение вдоль направляющей параллельной оси Ox.
Для составления уравнений геометрических связей найдем точки механизма, траектории которых известны. К этим точкам относятся шарниры A, B и D . Точки A, D движутся по окружностям радиусов OA, O1
D, соответственно, а ползун В – по прямолинейной траектории параллельной оси Ox (Рис. 2).
Шарнир A принадлежит одновременно шатуну AB и кривошипу OA, для которого известен закон вращательного движения и, следовательно, закон движения точки A определен. Шарнир С принадлежит одновременно шатуну AB и кривошипу CD, а шарнир D – шатуну CD и кривошипу O1
D.
Так как закон плоскопараллельного движения твердого тела можно определить по двум любым точкам этого тела, в качестве базовых точек, при составлении уравнений геометрических связей, примем точки B и D .
Построим для этих точек векторные контуры, с помощью которых можно составить уравнения геометрических связей (рис. 3).
Рис.3а Векторные контуры для точки В.
Рис.3б Векторные контуры для точки D.
Уравнения геометрических связей в векторной форме будут иметь вид:
для точки B (рис. 3а)
(1.1)
для точки D (рис. 3 б)
(1.2)
Преобразуем (1.1) и (1.2) к виду:
(1.3)
здесь - вектор, характеризующий положение шарнира А относительно центра О1
. Проецируя (1.3) на оси декартовой системы координат, получим уравнение геометрических связей в координатной форме.
xB
=xA
+xAB
yB
=yA
+yAB
или в развернутом виде:
(1.4)
В уровнениях (1.4) задаваемой функцией является закон вращения ведущего звена φ(t), а определяемыми функциями являются φ1
(t), φ2
(t), φ3
(t), xB
(t).
Система (1.4), представляет замкнутую систему уравнений для определения законов движения всех звеньев многозвенного механизма.
Решение уравнений (1.4) можно найти различными методами, как аналитическим, так и численным.
1.2 Определение законов движения звеньев механизма
Для нахождения законов движения звеньев механизма в аналитической
форме запишем первые два уравнения системы (1.4) в следующем виде.
OAcosφ+ABcosφ1
=xB
(1.5)
OAsinφ+ABsinφ1
=0
Угловые координаты звеньев и перемещение звена,совершающие поступательное движение,выражены в явном виде.
OAcosφ+ABcosφ1
=xB
(1.6)
=-10,56 (1.7)
Теперь запишем закон движения остальных звеньев механизма с помощью третьего и четвертого уравнения системы (1.4)
O1
Dcosφ3
-CDcosφ2
=O1
Acosα+ACcosφ1
=O1
Ccosα1
(1.8)
O1
Dsinφ3
-CDsinφ2
=O1
Asinα+ACsinφ1
=O1
Csinα1
Для нахождения угловых координат φ2,
φ3
приведем уравнения (1.8) к виду:
O1
Dcosφ3
-CDcosφ2
=O1
Ccosα1
(1.8)
O1
Dsinφ3
-CDsinφ2
=O1
Csinα1
Выразим дополнительные неизвестные величины для определения углов φ2,
φ3.
Учитывая, что длина O1
A непостоянна,определим ее по теореме косинусов
Вычислим дополнительный угол,определяющий положение звена O1
A
Так же вычислим дополнительный угол,определяющий положение звена O1
C
Учитывая, что длина O1
C непостоянна, так же определим ее по теореме косинусов
Выразим неизвестные угловые координаты,воспользовавшись известной тригонометрической формулой cos2
+sin2
=1
Получим
Так как cosγ2
является четной функцией углового аргумента, то угол φ2
может иметь два значения:
Φ2
= γ2
+ α1
или φ2
= γ2
− α1
,
что соответствует двум положением четырехзвенника OADO1
относительно O1
A при одной и той же угловой координате ведущего звена φ.
Учитывая начальное положение механизма принимаем
(1.9)
Т.к. cosγ3
является четной функцией углового аргумента,то угол φ3
может иметь два значения
Φ3
= γ3
+ α1
или φ3
= γ3
− α1
Что соответствует двум положениям четырехзвенника OACO1
относительно O1
A при одной и той же угловой координате ведущего звена φ.
Учитывая начальное положение механизма,принимаем
(1.10)
Уравнения (1.6),(1.7),(1.9),(1.10) позволяют определить угловые координаты звеньев совершающих вращательные и плоскопараллельные движения, а также закон движения звена движущегося поступательно.
1.3 Определение скоростей и ускорений звеньев
Для определения скоростей звеньев механизма продифференцируем по времени систему уравнений (1.4. Учитывая, что и, перенося слагаемые с неизвестными скоростями в одну сторону, получим
(1.11)
Данная система уравнений является системой линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных скоростей звеньев. Представим эту систему уравнений в матричной форме
(1.12)
Где
- матрица коэффициентов левых частей уравнений
- вектор неизвестных скоростей звеньев
- вектор правых частей уравнений.
Решение уравнений (1.12) будет иметь вид
(1.13)
Для определения ускорений звеньев механизма продифференцируем по времени систему уравнений (1.11).Учитывая, что , , , и, перенося слагаемые с неизвестными ускорениями в одну сторону, получим
Или в матричной форме
(1.14)
Где
- вектор правых частей ускорений звеньев
- вектор неизвестных ускорений звеньев.
Решение системы уравнений (1.14) будет иметь вид
(1.15)
Таким образом, решения (1.13) позволяют определить скорости всех звеньев механизма, а решения (1.15) – ускорения звеньев.
1.4 Определение скоростей и ускорений узловых точек
Узловыми и задаваемыми точками многозвенного шарнирного механизма являются, согласно исходным данным, точки: A, B, C, D, M, K. Закон движения, скорость и ускорение точки B определен ранее:
(1.16)
Для остальных точек законы движения запишем в векторной форме:
Точка А
Точка C
Точка M
Точка D
Тоска К
или в проекциях на оси декартовой системы координат
Точка А
Точка C
Точка M(1.17)
Точка D
Точка К
Дифференцированием по времени (1.17) определяем проекции скоростей точек механизма на декартовые оси координат, а также модули и направления векторов скоростей точек.
Точка А
Точка В
Точка С(1.18)
Точка M
Точка К
Дифференцируя по времени проекции скоростей точек (1.18) определяем ускорения точек механизма:
Точка А
Точка C
Точка M
(1.18)
Точка D
Точка К
Соотношения (1.6)-(1.19) представляют математическую модель кинематического поведения механизма, которая позволяет определить законы движения всех звеньев механизма, координаты узловых точек, а также скорости и ускорения звеньев и узловых точек.
2. Геометрические методы
Расчет скоростей и ускорений точек и звеньев многозвенного шарнирного механизма будем проводить двумя методами:
- с помощью основных теорем кинематики плоского движения твердого тела;
- с помощью основных теорем кинематики составного движения точки при переносном вращательном движении.
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ПЛОСКОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Изобразим механизм в заданном положении (Рис. 5). при значении угла поворота ведущего звена ОА — =150°. в выбранном масштабе длин — ML
.
Определим точки механизма, траектории и возможные направления скоростей которых известны.
Шарнир А принадлежит шатуну АВ и кривошипу ОА, совершающему вращательное движение вокруг центра О. Кривошип ОА является ведущим звеном, угловая скорость которого известна. Следовательно, траектория точки А — окружность радиуса ОА и скорость шарнира равна
(2.1)
Точка В принадлежит шатуну АВ и кривошипу O1
B, совершающего возвратно поступательное движение вдоль горизонтальной направляющей.Следовательно, траектория точки В — прямая линия и скорость ползуна .
Шарнир D принадлежит шатуну CD и кривошипу O1D, совершающему вращательное движение вокруг подшипника О1. Следовательно, траектория точки D — окружность радиуса O1D и скорость шарнира
2.1 Определение скоростей точек и угловых скоростей звеньев с помощью мгновенных центров скоростей (МЦС)
Определим положение МЦС для звеньев АB и CD. совершающих плоское движение. Для этого из точки А проведем перпендикуляр к скорости vA
, а из точки В — перпендикуляр к возможному направлению скорости vB
. Точка пересечения перпендикуляров — PAB
является МЦС звена АВ для заданного положения механизма.
Для определения МЦС для звена CD проведем перпендикуляр к скорости и продолжим прямую,соединяющую точку С с МЦС звена АВ, до пересечения с перпендикуляром к скорости .Получим точку РCD
- мгновенный центр скоростей для звена CD.
Измеряем на чертеже расстояния от узловых точек механизма до МЦС соответствующего звена. В соответствие с выбранным масштабом длин эти расстояния равны
APAB
=68,5см BPAB
=22,5см
MPAB
=54,5см KPCD
=23см
CPAB
=42см DPCD
=39см
CPCD
=29см
Так как скорость точки А известна (2.1). то мгновенную угловую скорость звена АВ вычисляем согласно выражению
Тогда
Направление мгновенной угловой скорости звена определяем по направлению скорости точки А при мгновенном вращении звена вокруг МЦС. В данном случае угловая скорость направлена по часовой стрелке.
Модули скоростей точек С, В, и М равны
а направление скоростей определяется направлением вращения звена АВ вокруг МЦС РАВ
.
Угловую скорость звена CD определим из соотношений
Направление мгновенной угловой скорости звена определяем по направлению скорости точки С при мгновенном вращении звена вокруг МЦС
По найденной мгновенной угловой скорости найдем мгновенные скорости точек K и D
Направление скоростей определяется направлением вращения звена CD вокруг МЦС РCD
.
Осталось определить мгновенную угловую скорость звена O1D сщгласно формуле
Направление определяем по направлению вектора скорости точки D.
Определение скоростей точек и угловых ускорений звеньев с помощью теоремы о сложении скоростей
При неизвестной угловой скорости твердого тела, совершающего плоскопараллельное движение, теорему о сложении скоростей можно применять для тех точек звена, у которого известны: для одной — модуль и направление вектора скорости, а для другой — возможное направление вектора скорости, т.е. траектория движения.
Так как для звена АВ вектор скорости шарнира А известен и по модулю и но направлению (2.1), а для шарнира В известна траектория движения, запишем теорему о сложении скоростей для точки В , приняв точку А за полюс:
(2.2)
где см/с, , - скорость полюса,
см/с, - скорость точки В при вращательном движении звена АВ вокруг полюса А (относительная скорость точки В в поступательном переносном движении)
Изображаем в выбранном масштабе скоростей Mv
(Рис 6) векторный треугольник скоростей, соответствующий уравнению (2.2).
Откладываем в точке В вектор скорости полюса — . Из конца вектара проводим возможное направление вектора — прямую, перпендикулярную звену АВ. Из точки В проводим направление вектора до пересечения с прямой, определяющей направление вектора в точке пересечения данных прямых сходятся концы неизвестных векторов и .
Измеряя указанные векторы, в соответствии с выбранным масштабом скоростей, получаем
1,5 см/с , 4,05 см/с
Угловая скорость звена АВ равна
с
Так как угловая скорость звена найдена, для точки С можно записать теорему о сложении скоростей, приняв точку А за полюс:
где см/с, ,
см/с, ,
Для нахождения скорости изображаем в точке С вектор скорости полюса — , а из его конца проводим перпендикулярно АС вектор относительной скорости (Рис. 6). Соединяя точку С с концом вектора ,находим вектор скорости точки С — . После измерения получим
=2,75 см/с
Для точки M можно записать теорему о сложении скоростей, приняв точку А за полюс:
где см/с, ,
Для нахождения скорости изображаем в точке M вектор скорости полюса — , а из его конца проводим перпендикулярно АB вектор относительной скорости (Рис. 6). Соединяя точку M с концом вектора ,находим вектор скорости точки M —. После измерения получим
VM
=3.7 см/с
Приняв точку С за полюс, применим теорему о сложении скоростей к точке D звена CD.
здесь = ? см/с, - относительная скорость точки D. Скорости , определяем графически, аналогично методу, изложенному ранее, построив в масштабе треугольник скоростей (Рис. 6)
3.45 см/с , 4.6 см/с
Следовательно, угловая скорость звена CD равна
с
Угловая скорость звена O1D равна
Скорость точки К вычисляем по аналогии с определением скорости точки М.
где см/с,
см/с, .
В этом случае (Рис.6)
2,1 см/с
Следующий метод, являющийся графической интерпретацией теоремы о сложении скоростей, называется планом скоростей. Особенностью метода является возможность быстрого определения скорости любой точки механизма.
Построим план скоростей в масштабе Mv
1
(Рис. 7).
Из произвольно выбранного полюса О проводим луч Оа, изображающий в выбранном масштабе скорость точки А — . Для определения скорости точки В через полюс О проводим прямую, параллельную скорости (), а через точку "а" — прямую, перпендикулярную АВ, т.е. параллельную скорости . Получаем точку "b"; отрезок Ob определяет скорость точки В, а отрезок ab — скорость . Измеряем длину лучей Ob , ab и, пользуясь масштабом скоростей находим
=1,55 см/с,
= 4 см/с.
Для определения угловой скорости звена АВ найдем с учетом выбранного масштаба скоростей отношение
0.067 с.
Для определения скорости точки М делим отрезок ab плана скоростей в отношении
Луч Оm изображает скорость точки M-, а отрезок —относительную скорость . Пользуясь масштабом скоростей, получаем
3,7 см/с, 1 см/с.
Для определения скорости точки С достраиваем отрезок ab в соотношении
Продолжая построение плана скоростей на Рис. 7, находим скорости точек , , , а также угловые скорости звеньев,.
2,75см/с, 0.175 с
= 3. 5 см/с, 0,092с
=2.1 см/с.
2.2 Определение ускорений точек и угловых ускорений звеньев с помощью теоремы о сложении ускорений
Ускорения точек и угловые ускорения звеньев, совершающих плоскопараллельное движение, будем определять с использованием теоремы о сложениях ускорений в плоском движении. Данную теорему реализуем графически, в виде отдельных многоугольников ускорений на схеме механизма (Рис. 8) и с помощью плана ускорений (Рис. 9), построенных в масштабе ускорений МA
.и МА1
соответственно.
Вращение ведущего звена ОА является равномерным с угловой скоростью = /15 с, поэтому полное ускорение точки А равно ее центростремительной составляющей
,см/с, (2.3)
Определение ускорений начинаем с точки В;
траектория которой известна. Взяв за полюс точку А, применим, с учетом (2.3), теорему о сложении ускорений к точке В звена АВ :
(2.4)
где — ускорение точки В при вращательном движении звена АВ
вокруг полюса А.
—центростремительное ускорение точки В при вращательном
движении звена АВ вокруг полюса А.
—вращательное ускорение точки В при вращательном движении звена АВ вокруг полюса А.
Точка В совершает возвратно поступательное движение вдоль горизонтально направляющей.Следовательно, нам известна прямая, на которой лежит вектор ускорения точки В. Найдем ускорения:
= см/с,
= см/с,
Построив в точке В механизма замкнутый многоугольник ускорений на Рис. 8 в масштабе ускорений, измеряем значения неизвестных векторов:
=0,44 см/с, 0.63 см/с.
Построение многоугольника ускорений проводим следующим образом:
Из точки В проводим, в масштабе ускорений, вектор ускорения полюса
.
Из конца вектора откладываем параллельно ВА вектор ускорения , из конца которого проводим линию АВ, определяющую возможное направление вектора .
Из точки В, в направлении прямой OB откладываем линию определяющую возможное направление вектора .
Данная линия проводится до пересечения с прямой, перпендикулярной АВ, характеризующей направление вектора .
Точка пересечения этих прямых является точкой, в которой сходятся концы векторов и .
Угловые ускорения звеньев определяем по формулам
0,00733 с,
Направления угловых ускорений, которые определяем по направлению вектора , показано на Рис. 8.
Теперь зная угловое ускорение звена АВ мы можем найти ускорения точек С и М. Сначала найдём ускорение точки С.
Взяв за полюс точку А, применим, с учетом (2.3), теорему о сложении ускорений к точке С звена АС:
(2.6)
где — ускорение точки С при вращательном движении звена АС
вокруг полюса А.
—центростремительное ускорение точки С при вращательном
движении звена АС вокруг полюса А.
—вращательное ускорение точки С при вращательном движении звена АС вокруг полюса А.
Решаем векторное уравнение (2.6) с учётом выбранного масштаба ускорений, где –
= см/с,
= см/с,
Получимсм/с2
Аналогично для точки М
= см/с,
= см/с,
см/с
Ускорение точки D звена CD определим с использованием теоремы о сложении ускорений, приняв точку С за полюс
Для точки D звена O1
D имеем
где - центростремительное ускорение точки D при вращательном движении звена O1
D;
- вращательное ускорение точки D при вращательном движении звена O1
D.
Приравнивая (2.6) и (2.7), получим векторное уравнение, которое решаем графическим способом с учетом выбранного масштаба ускорений (Рис. 8):
Здесь
см/с2
см/с2
см/с2
см/с2
Построение многоугольника ускорений проводим следующим образом:
Из точки D проводим, в масштабе ускорений, вектор ускорения полюса , из конца которого проводим линию CD, определяющую возможное направление вектора .
Из точки D, в направлении прямой O1D, откладываем вектор , а из его конца линию перпендикулярную O1D определяющую возможное направление вектора .
Данная линия проводится до пересечения с прямой, перпендикулярной CD, характеризующей направление вектора .
Точка пересечения этих прямых является точкой, в которой сходятся концы векторов . Измеряя неизвестные векторы, получаем значения ускорений
Затем вычисляем угловое ускорение звена CD
Вычисляем угловое ускорение звена O1D
Ускорение точки К находим аналогично ускорениям точек С и М, но приняв за полюс точку С
Получаем
Следующий метод, являющийся графической интерпретацией теоремы о сложении ускорений, называется планом ускорений. Особенностью метода является возможность быстрого определения ускорения любой точки механизма.
Построим план ускорений в масштабе MА1
(Рис. 9).
Построение плана ускорений проводим следующим образом: Из произвольной точки О проводим, в масштабе ускорений МА
, отрезок оа, определяющий модуль и направление вектора ускорения полюса . Из конца вектора А
ц
откладываем вектор ускорения ВА
ц
, из конца которого проводим линию АВ, определяющую возможное направление вектора .
Из точки О, в направлении прямой ОВ, откладываем линию, определяющую возможное направление вектора .
Данная линия проводится до пересечения с прямой, перпендикулярной АВ , характеризующей направление вектора .
Точка пересечения этих прямых «b» является, точкой, в которой сходятся концы векторов и . Отрезок оb определяет модуль и направление вектора ускорения точки В.Измеряя длины отрезков, находим, с учётом выбранного масштаба
Для нахождения ускорения точки М и С звена АВ разделим отрезок аb точками m и с в соотношении
Измеряя длины отрезков om и ос, вычисляем, с использованием масштаба ускорений, ускорения
=0.84 см/с и =0.78см/с2
Треугольник oam на плане ускорений определяет теорему о сложении ускорений для точки М
Угловые ускорения звена АВ определим по формуле
Для нахождения ускорения точки D построим многоугольник ускорений,аналагично построению для точки В.Измерив длины отрезков,
получим
Ускорение точки С равно
Для нахождения ускорения точки D построим многоугольник ускорений аналогично построению для точки В. Измерив длины отрезков, получим
Угловое ускорение звена CD равно
см/с2
Вычисляем угловое ускорение звена O1D
Для нахождения ускорения точки К звена CD разделим отрезок cd точкой "k" в соотношении
Измеряя длину отрезка ok, вычисляем, с использованием масштаба ускорений, ускорение
=0.56 см/с.
2.3 Основные теоремы составного движения точки
Изобразим механизм в заданном положении при значении угла поворота ведущего звена ОА - fк
– 150, в выбранном масштабе длин – МL
.
Определим,измерив в масштабе длины МL
,
положения узловых точек базовых механизмов;
ОА=22см ОВ=40см О1
D=40см
ОМ=9,3см О1
С=36см AD=54см
ОС=12см О1
К=15см
Для определения скоростей и ускорений этих точек, а также угловых скоростей и ускорений звеньев представим плоское движение шатунов AB и CD в виде двух вращений.
В качестве переносного вращения примем:
Для шатуна АВ – вращение вместе с кривошипом ОА вокруг неподвижной оси OZ с переносной угловой скоростью
Для шатуна СD – вращение вместе с кривошипом O1
D вокруг неподвижной оси O1
z с неизвестной пока переносной угловой скоростью
Относительным вращением в этом случае является:
Для шатуна АВ – вращение звена вокруг подвижной оси Az с относительной угловой скоростью ;
Для шатуна CD – вращение звена вокруг подвижной оси Cz с относительной угловой скоростью .
2.4 Определение скоростей точек и угловых скоростей звеньев с помощью теоремы о сложении скоростей при переносном вращательном движении
Так как закон движения кривошипа ОА задан, а для ползуна В известна траектория движения,вычисление скоростей начнем с точки В, вектор скорости которой, определим согласно теореме о сложении скоростей при составном движении:
(2.6)
Где
- переносная скорость т. В
- относительная скорость т. В
- абсолютная скорость т. В.
Направление переносной скорости , определяется направлением угловой переносной скорости.
Решение уравнения (2.6) найдем графически, построив векторный треугольник скоростей.
Для этого, из точки В проводим вектор переносной скорости - .
Из конца вектора проводим линию, перпендикулярную звену АВ, характеризующую возможное направление вектора относительной скорости .
Из точки В проводим параллель к кривошипу ОВ, которая определяет возможное направление абсолютной скорости шарнира В, до пересечения с прямой, характеризующей направление вектора .
Точка пересечения данных прямых определяет концы неизвестных векторов относительной и абсолютной скорости шарнира В.
Измеряя указанные векторы, в соответствии с выбранным масштабом скоростей, получаем
=1.5см/с, =8.5см/с,
Направление относительной угловой скорости шатуна АВ, определяемое направлением относительной скорости точки В - .
Так как относительная и переносная угловые скорости направлены в разные стороны,то абсолютная угловая скорость звена АВ равно:
Знак «+» у величины угловой скорости шатуна АВ показывает, что направлено против часовой стрелки. Мгновенный центор вращения звена АВ лежит на прямой ОА и его положение определяется соотношением
Разрешая данное уравнение относительно неизвестной АР, получим
см
Величина АР определяет положение мгновенного центра вращения звена АВ МЦС при заданном положении механизма.
Зная величину и направление относительной угловой скорости звена АВ, скорость точки М найдем из уравнения
(2.7)
Где
- переносная скорость т.М
- относительная скорость т. М
- абсолютная скорость точки М.
Направление векторов переносной и относительной скоростей точки М показано на Рис.9 Решение уравнения (2.7) найдем, построив векторный треугольник скоростей. Измерением получено
VM
=3,65 см/с.
Скорость точки С найдем из уравнения
(2.9)
где см/с, -переносная скорость точки С, см/с, -относительная скорость точки С,
см/с -абсолютная скорость точки С.
Зная скорость точки С, мы построим ее переносную и относительные скорости: . Построив данный треугольник мы запишем значения этих скоростей:
Выразим угловые скорости звеньев через найденные нами скорости точки С:
Угловую скорость звена ОD найдем по формуле
с.
Направление угловой скорости по часовой стрелке в сторону скорости .
Скорость точки D найдём из уравнения
(2.8)
Направление относительной угловой скорости шатуна СD, определяемое направлением относительной скорости точки С —, показано на Рис. 9. Так как относительная и переносная угловые скорости направлены в разные стороны, то абсолютная угловая скорость звена CD равна
==-=-0,09266 с.
Знак "-" у величины угловой скорости шатуна CD показывает, что направлено по часовой стрелке. Мгновенный центр вращения звена CD лежит перпендикулярно и его положение определяется соотношением
Величина O1PCD
определяет положение мгновенного центра вращения звена СD (МЦС) при заданном положении механизма.
Зная величину и направление относительной угловой скорости звена CD, скорость точки K найдем из уравнения
(2.9)
Где - переносная скорость точки K
см/с, -относительная скорость точки K,
см/с
Направление векторов переносной и относительной скоростей точки K показано на Рис.9.
см/с.
Определение ускорений точек и угловых ускорений звеньев с помощью теоремы о сложении ускорений при переносном вращательном движении
Так как для шарнира В известна траектория движения, а закон движения кривошипа ОА задан, вычисление ускорений начинаем с точки В. Абсолютное ускорение точки В определим согласно теореме о сложении ускорений при непоступательном переносном движении:
(2.10)
Где - переносное ускорение точки,
- относительное ускорение точки,
ускорение Кориолиса,
см/с2
=1,7528 см/с, - переносное центростремительное ускорение точки
т.к. - переносное вращательное ускорение точки,
- относительное вращательное ускорение точки,
= 1,2042 см/с - относительное центростремительное ускорение точки,
Направление ускорения Кориолиса , которое можно определить по правилу векторного произведения векторов или методом Жуковского, показано на Рис. 11.
В уравнении (2.10) учтено, что переносное и относительное движения шатуна АВ являются вращениями вокруг осей Oz и Az соответственно.
Решение уравнения (2.10) найдем, построив векторный многоугольник ускорений (Рис. 11).
Для этого, из точки В проводим в сторону точки О вектор переносного центростремительного ускорения —.
Из конца вектора проводим параллельно АВ вектор относительного центростремительного ускорения —.
Из конца вектора откладываем вектор ускорения Кориолиса , из конца которого проводим линию AB, определяющую возможное направление вектора .
Из точки В, в направлении прямой ОВ, откладываем вектор возможного направления вектора .
В точке пересечения этих прямых сходятся концы векторов и . Измеряя данные векторы в масштабе ускорений, получим
=0.45 см/с, =0.65 см/с.
Угловые ускорения звеньев определяем по формулам
=0.0075с-2
Направления угловых ускорений, которые определяем по направлению векторов и соответственно, показаны на рис.11.
Так как угловое относительное ускорение шатуна AB определено, найдём ускорение точки M:
(2.11)
, - ускорение Кориолиса,
см/с2
–переносное центростремительное ускорение точки,
, т. к. wAB
e
= const – переносное вращательное ускорение точки,
||AМ–относительное центростремительное ускорение точки,
, – относительное вращательное ускорение точки.
Изображаем многоугольник ускорений для точки М (рис.11). Измеряя неизвестный вектор ускорения , получим
Аналогично для точки С имеем
(2.12)
, - ускорение Кориолиса,
–переносное центростремительное ускорение точки,
, т. к. wAB
e
= const – переносное вращательное ускорение точки,
||AС–относительное центростремительное ускорение точки,
, – относительное вращательное ускорение точки.
Изображаем многоугольник ускорений для точки С (рис.12). Измеряя неизвестный вектор ускорения , получим
Так как точка С принадлежит одновременно шатуну АВ и CD, то ускорение точки С можно записать следующим образом:
(2.12)
, - ускорение Кориолиса,
–переносное центростремительное ускорение точки,
, – переносное вращательное ускорение точки,
||DС–относительное центростремительное ускорение точки,
, – относительное вращательное ускорение точки.
- полное ускорение точки С
Изображаем многоугольник ускорений для точки С (рис.13). Измеряя неизвестный вектора ускорений и , получим
Зная ускорения, вычислим угловые ускорения по формулам:
Полное угловое ускорение звена CD найдется из соотношения:
Найдем ускорение точки К из всех известных нам уже величин, построив многоугольник ускорений по формуле:
(2.11)
, - ускорение Кориолиса,
см/с2
–переносное центростремительное ускорение точки,
– переносное вращательное ускорение точки,
–относительное центростремительное ускорение точки,
, – относительное вращательное ускорение точки.
Изображаем многоугольник ускорений для точки К. Измеряя неизвестный вектор ускорения, получим
3.Анализ результатов вычислений
Cведем результаты вычислений, полученные разными методами, в таблицы. Точность вычислений проведенных графическими методами будем оценивать положительной величиной относительной погрешности δ, определяемой соотношением
Здесь x – исследуемая величина, xT
– точное значение исследуемой величины.
Для оценки точности скоростей узловых точек и угловых скоростей звеньев заданного механизма составим таблицу
| Точное значение |
Метод 1 |
δ1
|
Метод 2 |
δ2
|
Метод 3 |
δ3
|
|
| ω1
|
0,068 |
0,0672 |
0,01176 |
0,0675 |
0,00735 |
0,06766 |
0,005 |
| ω2
|
-0,092 |
0,0973 |
0,0576 |
0,092 |
0,00 |
0,09266 |
0,00717 |
| ω3
|
-0,174 |
0,1897 |
0,0902 |
0,1725 |
0,00862 |
0,16666 |
0,04218 |
| VA
|
4,608 |
4.60533 |
0,000579 |
4.60533 |
0,000579 |
4.60533 |
0,000579 |
| VB
|
1,56 |
1,512 |
0,0307 |
1,5 |
0,03846 |
1,5 |
0,03846 |
| VC
|
2.777 |
2.8224 |
0,0163 |
22.75 |
0,00972 |
2.85 |
0,02628 |
| VD
|
3.471 |
3.7947 |
0,09325 |
3.45 |
0,00605 |
3.3332 |
0,0397 |
| VK
|
2.133 |
2.2379 |
0,04917 |
2.1 |
0,01547 |
2.1 |
0,01547 |
| VM
|
3.666 |
3.6624 |
0,00098 |
3.7 |
0,00927 |
3.65 |
0,00436 |
| max(δ) |
0,09325 |
0,03846 |
0,0397 |
||||
Для оценки точности ускорений узловых точек и угловых ускорений звеньев заданного механизма составим таблицу
| Точное значение |
Метод 1 |
δ1
|
Метод 2 |
δ2
|
Метод 3 |
δ3
|
|
| ε1
|
0,007327 |
0,00733 |
0,000409 |
0,00733 |
- |
0,0075 |
0,02361 |
| ε2
|
0,016 |
0,016 |
0,00 |
0,016 |
- |
||
| ε3
|
-0,011 |
0,012 |
0,0909 |
0,012 |
- |
0,0127 |
0,1545 |
| aA
|
0,965 |
0,964 |
0,001036 |
0,964 |
- |
0,964 |
|
| aB
|
0,646 |
0,63 |
0,02476 |
0,63 |
- |
0,65 |
0,00619 |
| aC
|
0,779 |
0,78 |
0,00128 |
0,78 |
- |
0,79 |
0,01412 |
| aD
|
0,636 |
0,66 |
0,03773 |
0,66 |
- |
||
| aM
|
0,867 |
0,84 |
0,03114 |
0.84 |
- |
0,92 |
0,06113 |
| aK
|
0,548 |
0,57 |
0,04014 |
0.57 |
- |
||
| max(δ) |
0,0909 |
- |
|||||
Анализ вычисленных значений кинематических параметров многозвенного шарнирного механизма позволяет сделать следующие выводы:
· Все три графических метода с допустимой степенью точности определяют кинематические параметры механизма;
· Увеличение погрешности при вычислении ускорений связано с накоплением ошибок графических методов при определении скоростей точек и угловых скоростей звеньев;
· Наиболее громоздкими и трудоемкими являются графоаналитические и графические методы при исследовании ряда различных положений механизма,
· Данные методы целесообразно использовать в качестве ориентировочных расчетов при отладке программ для численного моделирования системы.
Методы визуального моделирования являются наиболее перспективными, т.к. позволяют осуществлять не только числовые расчеты, но и отображать ренальную картину поведения механизма и распределения кинематических характеристик звеньев и их точек.
Список литературы
1. Бертяев В.Д., Булатов Л.А., Комолов Д.В., Маркелов С.С. Кинематический расчет плоского многозвенного механизма. – Тула, 2003;
2. Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах. Т.1 (Статика и кинематика) – М.: Наука, 1990;
3. Яблонский А.А., Никифорова В.М. Курс теоретической механики. Т.1 – М.: Высшая школа, 1984;
4. Тейксера, Пачеко Delphi 5 Руководство разработчика;
5. В.В. Фаронов Delphi учебный курс М.: Нолидж 1999;