ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ТУЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра теоретической механики
КУРСОВАЯ РАБОТА
«Исследование колебаний механической системы
с одной степенью свободы»
по разделу «Динамика»
Кафедра теоретической механики
Рецензия
На курсовую работу
Студента __Кисова Ивана____________
(фамилия, имя, отчество)
Группы _121142__________________
Вариант № ___ количество страниц
Курсовая работа по содержанию соотве-
тствует / не соответствует выданному
заданию и выполнена в полном / не в
полном объеме.
КР может быть допущена к защите с
добавлениембаллов рецензента
после успешной защиты.
Рецензент_______ /_____________
(Ф.И.О.)
«____»_____________200 г.
ТУЛА 200
Оглавление
Аннотация
Содержание задания
1. Применение основных теорем динамики механической системы
1.1.Постановка второй основной задачи динамики
1.2.Определение закона движения системы
1.3.Определение реакций внешних и внутренних связей
2. Построение алгоритма вычислений
3. Применение принципа Лагранжа-Даламбера и уравнений Лагранжа второго рода
3.1. Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью принципа Даламбера - Лагранжа
3.2. Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью уравнения Лагранжа 2-го рода
Анализ результатов
Список использованной литературы
Аннотация
Дана механическая система с одной степенью свободы, представляющая собой совокупность абсолютно твёрдых тел, связанных друг с другом посредством невесомых нерастяжимых нитей, параллельных соответствующим плоскостям. Система снабжена упругой внешней связью с коэффициентом жесткости с. На первое тело системы действует сила сопротивления R=-µ*V и возмущающая гармоническая сила F(t) = F0
* sin(pt).
Трением качения и скольжения пренебрегаем. Качение катков происходит без скольжения, проскальзывание нитей на блоках отсутствует. Применяя основные теоремы динамики системы и аналитические методы теоретической механики, определён закон движения первого тела и реакции внешних и внутренних связей. Произведён численный анализ полученного решения с использованием ЭВМ.
В данной курсовой работе мы исследовали динамическое поведение механической системы с использованием основных теорем и уравнений теоретической механики. Дифференциальное уравнение движения механической системы получено тремя способами. Во всех случаях коэффициенты тnp
,п,к получились одинаковыми и совпали с компьютерной распечаткой, что говорит об их правильности. В процессе решения дифференциального уравнения данной механической системы были получены законы движения первого груза, его скорость и ускорение в зависимости от времени t. На основании этих зависимостей были определены законы изменения всех остальных характеристик механической системы, в том числе и реакции связей
Содержание задания
Исследовать движение механизма с одной степенью свободы. Определить реакции внешних и внутренних связей. Массами нитей и упругих элементов пренебречь. Нити считать нерастяжимыми и абсолютно упругими. В качестве координаты, определяющей положение системы, принять перемещение груза 1 -S. К грузу 1 приложена возмущающая сила F(t).
Исходные данные:
M1, М2,М3 - массы тел механической системы.
с - жесткость упругого элемента.
г2
- радиус блока 2.
R3
, Гз -радиусы ступеней катка 3.
i2
- радиус инерции блока 3.
µ - коэффициент сопротивления.
Fo — амплитуда возмущающей силы
m1=
3mm2=
mm3=
mm4=
2m
r2
=r R2
=3rr3
=rr4
=2r
i2
=2r Xo=6 см Xo= 0 см/c
m= 1кг r= 0.1 м p = 3.14 F 0
= 50 Н F(t)= F 0
sin(pt) c= 4000 Н/м μ=100Н*с/м
R= - μV
Часть 1. ПРИМЕНЕНИЕ ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ ДИНАМИКИ
МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
1.1.
Постановка второй основной задачи динамики
Рис. 1 Расчётная схема
На рис. 1 обозначено:
P1
,P2
,P3
- силы тяжести, N1
, N2
- нормальная реакция опорной плоскости,
Fупр
- упругая реакция пружины,
Fсц
- сила сцепления с опорой,
Y2
,X2,
- реакции подшипника блока 2,
R = - µ*Vсила вязкого сопротивления,
F(t)- возмущающая сила.
Рассматриваемая механическая система имеет одну степень свободы (нити нерастяжимые, качение катка 3 происходит без скольжения). Будем определять ее положение с помощью координаты S. Начало отсчета координаты совместим с положением статического равновесия центра масс груза 1.
Для построения дифференциального уравнения движения системы используем теорему об изменении кинетической энергии механической системы в дифференциальной форме:
dT
dt= ∑Ne
k
+ ∑Ni
k
(1-1)
где Т- кинетическая энергия системы,
∑Ne
k
- сумма мощностей внешних сил,
∑Ni
k
-сумма мощностей внутренних сил.
Теорема (1.1) формулируется так: "Производная по времени от кинетической энергии механической системы равна алгебраической сумме мощностей внешних и внутренних сил, действующих на точки механической системы.
Вычислим кинетическую энергию системы как сумму кинетических энергий тел 1-3:
T= T1+T2+T3.(1.2)
Груз 1 совершает поступательное движение. Его кинетическая энергия равна:
T1=
1/2 m1
*υ2
1
(1.3)
где Vl
- скорость груза 1.
Блок 2 совершает вращательное движение около неподвижной оси. Его кинетическая энергия
T2
=1/2*m2*υ2
2+1/2*Jc2
ω 2
2
(1.4)
где
Jn2
= m2
*i2
2
: - момент инерции относительно центральной оси блока;
ω2
- угловая скорость блока.
Блок 3 совершает вращательное движение,
T3
=1/2*Jc3
ω2
3
гдеjc3
=1/2 m3
*r2
3
(1.5)
Каток 4 совершает плоскопараллельное движение
T =1/2*m4
*vc4
2
+1/2*Jc4
* ω4
2
гдеJc4
= Ѕ*m4
*r4
2
Кинетическая энергия всего механизма будет равна:
T=1/2m1
υ1
2
+ 1/2m2
*vc2
2
+1/2*Jc2
ω2
2
+1/2*Jc3
ω2
3
+ 1/2*m4
*vc4
2
+1/2*Jc4
*ω4
2
(1.6)
Выразим υn
3.,
ω2,
ω3
через скорость груза 1
vc
2
= υ1
=υ=S; => ω3
= (R2 +
r2
)*v/R3
*V3
vc
4
=ω 4
* r 4
= (R2 +
r2
)*v/2R2
(1.7)
ω2
=v/r 2
Подставляя (1.3), (1.4), (1.5), в (1.6) с учетом (1.7), и вынося 1/2 и V2
за скобки, получаем:T= 1/2(m +m + Jc2
т пр
/R2
2
+ Jc3
* (R2
- r 2
) 2
/ R2
* r 2
+ m4
(R2
+ r 2
) 2
/4r2
2
+ Jc
4
(R2
- r 2
) 2
/4r2
2
R2
2
)*υ2
T=1/2m тр
v3
2
(1-8)
т пр
=m +m2
+m3
1/R2
2
+ 1/2m3
(R2
- r 2
) 2
/ R2
+ m4
(R2
+ r 2
) 2
/4r2
2
+ m4
(R2
+ r 2
) 2
/4r2
2
т пр
=8, 21кг(1-9)
Найдем производную от кинетической энергии по времени:
dT/dt= т пр
– S*S(1.10)
вычислим сумму мощностей внешних и внутренних сил.
Мощность силы равна скалярному произведению вектора силы на скорость точки ее приложения:
N = FV = Fvcos(F, v);(1-11)
Рассматриваемая нами механическая система является неизменяемой, т.е. тела, входящие в систему, недеформируемые и скорости их точек относительно друг друга равны нулю. Поэтому сумма мощностей всех внутренних сил будет равняться нулю:
∑N’=0(1.12)
Будут равняться нулю и мощности некоторых внешних сил, в том числе сил, приложенных в точках, скорости которых равны нулю. Как видно из расчетной схемы, таковыми являются силы N4
, ,Y3
,X3
,P3
,Fвд
. Сумма мощностей внешних сил:
N=F*V+pV-RV+p2
V2
-Fупр
*V4
С учетом кинематических соотношений (1.7) сумму мощностей внешних сил преобразуем к виду:
(1-13) N= F(t)*V1
+p1
V1
-RV1
+ p2
V1
-Fупр
V1
* R2
+r2
/2R2 ,
N =( F(t) +p1
– R +p2
- Fупр
R2
+r2
/2R2
)V1
, или
N= Fпр
* V
Где Fnp
приведенная сила.
Упругую силу считаем пропорциональной удлинению пружины. которое равно сумме статического ѓст
и динамического S4
удлинений
Fупр
=с(ѓст
+ S4
) (1-15)
Сила вязкого сопротивления R =μ V = μ S тогда
Fпр
= F(t)+p1
– μ*S+ p 2
– c(ѓст
+ R2
+r2
/2R2 *
S) R2
+r2
/2R2 ,
(1-16)
В состоянии покоя приведенная сила равна нулю.
Пологая в (1-16) , что S=’S=0 и F(t)= 0 получаем условие равновесия
Fпр
= p+ p2
= c *ѓст
= R2
+r2
/2R2
=0, (1-17)
Отсюда статистическое удлинение пружины равно:
- c *ѓст
R2
+r2
/2R2
= -p1
- p ;
ѓст
R2
+r2
/2R2
=(p 1
+ p 2
)/c => ѓст
=(p 1
+ p 2
)/c* 2R2
/ R2
+r2
ѓст
=1/c (p 1
+ p2) * 2R 2
/R2
+r2
;(1-18)
Подставляем выражение (1-18) в,
(1-16) получаем окончательное выражение для приведенной силы .
ѓпр
= F(t) + p1
+p2
- μS – c* R2
+r2
/2R 2
*1/c (p 1
+ p2)* *2R 2
/R2
+r2
- c*(R2
+ r2
) 2
/4R2
2
*S
ѓпр
= F(t) - μS- c*(R2
+ r2
) 2
/4R2
2
*S; (1-19)
Подставим выражение для производной от кинетической энергии и сумму мощностей всех сил с учетом (1-19) в (1-1) полуучаем дифференциальное уравнение движения системы ;
mпр
=S=- c*(R2
+ r2
) 2
/4R2
2
*S- μS+ F0
sin(pt) (1-20)
S = 2nS +k2
S +F0
/ mпр
sin(pt) ; (1-21)
Где k циклическая частота свободных колебаний ;
n = μ/2* mпр
=100/2*8.21= 6.1с -1
;
n – показатель степени затухания колебаний ;
k= R2
+r2
/2R2
c/mпр
=
1.2 Определение закона движения системы
Проинтегрируем дифференциальное уравнение (1.26). Пусть возмущающая сила изменяется по гармоническому закону:
F = F0
-S
m{pt),(2.1)
Где Fo - амплитуда возмущающей силы,
р - циклическая частота возмущения.
Общее решение S неоднородного дифференциального уравнения (1.26) складывается из общего решения однородного уравнения S и частного решения неоднородного: S=Sод
+S . Однородное дифференциальное уравнение, соответствующее данному неоднородному (1.26) имеет вид:
S + 2*n*S + kz
*S = 0;.(2.2)
Составим характеристическое уравнение и найдем его корни
L2
+2*n*L + k2!
=0,
L 1.2
= -n +- n 2
-k 2
;
т.к n <k ,=> решение однородного уравнение имеет вид :
Sос
=a * e*sin (k 1
*t +β ), где k 1
= k 2
-n 2
; частное решение дифференциального уравнения ищем в виде правой части:
k 1
=18,31с-1
;
Sт= A* sin (pt) + B*cos(pt); далее получаем:
(A(k2
- p2
)- 2npB)*sin(pt) + (2 npA +B(k2
- p2
) )cos(pt)= F0
/mпр
*sin(pt);
Сравнивая коэффициенты при соответствующих тригонометрических функциях справа и слева , получаем систему алгебраических уравнений для определения состояния А и В
A(k2
- p2
)- 2npB = F0
/mпр
решая эту систему получаем следующие выражения
2npА + В(k2
- p2
)= 0
A= k2
- p2
/ (k2
- p2
) 2
+ 4n2
p2
* F0
/mпр
; А= 0.011м;
B= - 2np/(k2
- p2
) 2
+ 4n2
p2
* F0
/mпр
; B= -0.002м;
Общее решение дифференциального уравнения :
S= αe–nt
sin (k 1
t β) + Asin (pt) + B cos(pt);
S= αe–nt
(-nsin(k 1
t+β) +k 1
cos(k 1
t+β)) +Apcos(pt) – Bpsin(pt);
Постоянные интегрирования αи βопределяем из начальных условий
S 0
= α sin(β) + B ;
t =0 имеем
S 0
= α(- nsin (β) + k 1
cos (β)) + Ap
решая эту систему получаем :
α= (S 0
- B) 2
+ (S 0
- B) - Ap) 2
1/k 2
1
α= 0.045;
β= arctg k 1
(S 0
–B) 2
/ S 0
+n(S 0
- B)- Ap β=1.2;
1.3. Определение реакций внешних и внутренних связей
Рис.2
Рис. 2
Для решения этой задачи расчленяем механизм на отдельные части и изображаем расчетные схемы отдельно для каждого тела (рис. 2).
Определение реакций связей проведем с помощью теоремы об изменении кинетической момента и теорема об изменения количества движения.
Тело№1 αm1
V1
/dt= p1
+T12
S+F+R; наось s : m1
S 1
=p1
+F-R-T12
;
Тело№2 αm2
V2
/dt= p2
+T21
+T20
+ T23
; наось s : m2
S=p2
+ T21
-T20
-T23
т.кV2
= V1
=V=S=>dV1
/dt= dV2
/dt;dl2z
=∑M2 z
dJc2
ω/dt= T20
R- T23
r 2
;
Тело№3 dl 3z
/dt=∑M 3z
=> dJc3
ω 3
/dt= T32
r 3
– T34
r 3
;
Αm3
V3
/dt=x 3
+y3
+p3
+T34
+T12
на ось 0x3
:0=x3
+T34
; на ось 0y3
: 0=y3
- p3
- T32
;
Тело№4 αm4
V4
/dt=T 43
+P 4
+N 4
+Fcy
+F упр
;
на ось 0x4
: m 4
S 4
=T 43
-F упр
+Fsy
с учетом кинематических соотношений (1-7) полученную систему уравнений преобразуем к виду:
m 1
S= p 1
+F – R-T 12
; 0 = N 4
- p 4
; x 3
= T 34
R
m 2
S= p 2
+T 21
- T 20
-T 23 ;
y 3
=p 3
+T 34
‘
J c2
1/R 2
S = T 20
R 2
- T 23
r 2
; J c4
m 4
R 2
+r 2
/2R 2
r 4
* S=T 43
*
J c3
R 2
+r 2
/R 2
r 3
S= T 32
r 3
- T 34
r 3
; *r 4
- F cy
r 4
R
m 4
R 2
+r 2
/2R 2
* S= T 43
- Fупр
+F cy
;
Решая эту систему получаем выражение для определения реакций связей:
T 12
= m g + F 0
sin (pt) – μS – mS x2
= T43
T 20
= R 2
r 2
( p 2
+ T 21
- m 2
S) + J c2
S/ R 2
(R 2
+r 2
); y3
= p2
+ T 32
T 23
= R2
2
(p2
+ T21
- m2
S) + Jc2
S / R 2
(R 2
+r 2
);
T 43
= T 32
- V c3
/V 3
* (R 2
+ r 2
)/ R2
r2
* S
F c
= T 32
- (R 2
-r 2
)/ R2
r4
*(JC3
r 4
/ r 2
r 3
+ Jc4
/2r 4
);
Часть 2. ПОСТРОЕНИЕ АЛГОРИТМА ВЫЧИСЛЕНИЙ
2,1 Исходные данные m1
, m2
, m3
, m4
, r 2
, R 2
, r 3
, r 4
, i2
,μ , F0
, p , S0
, S0
, g ,c.
2,2 Вычисление констант
n = μ/2* mпр;
k 1
= k 2
- n 2
;
ѓст
=1/c (p 1
+ p2) * 2R 2
/R2
+r2
;
A= k2
- p2
/ (k2
- p2
) 2
+ 4n2
p2
* F0
/mпр
;
B= - 2np/(k2
- p2
) 2
+ 4n2
p2
* F0
/mпр
;
α= (S 0
- B) 2
+ (S 0
- B) - Ap) 2
1/k 2
1
;
β= arctg k 1
(S 0
–B) 2
/ S 0
+n(S 0
- B)- Ap ;
2,3 Задание начального времени t=0
2,4 Вычисление значений функций в момент времени t
S= αe–nt
sin (k 1
t β) + Asin (pt) + B cos(pt);
S= αe–nt
(-nsin(k 1
t+β) +k 1
cos(k 1
t+β)) +Apcos(pt) – Bpsin(pt);
S = 2nS +k2
S +F0
/ mпр
sin(pt) ;
Fупр
=с(ѓст
+ S4
);
2,5 Вычисление реакций связей
T 12
= m g + F 0
sin (pt) – μS – mS x2
= T43
T 20
= R 2
r 2
( p 2
+ T 21
- m 2
S) + J c2
S/ R 2
(R 2
+r 2
); y3
= p2
+ T 32
T 23
= R2
2
(p2
+ T21
- m2
S) + Jc2
S / R 2
(R 2
+r 2
);
T 43
= T 32
- V c3
/V 3
* (R 2
+ r 2
)/ R2
r2
* S
F c
= T 32
- (R 2
-r 2
)/ R2
r4
*(JC3
r 4
/ r 2
r 3
+ Jc4
/2r 4
);
2,6 Вывод на печать значений искомых функций в момент времени t
2,7 определение значения времени на следующем шаге t = t + ∆t
2.8 Проверка условия окончания цикла t ≤ tкон
2,9 Возврат к пункту 2,4
Часть 3. ПРИМЕНЕНИЕ ПРИНЦИПА ДАЛАМБЕРА-ЛАГРАНЖА И УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА
3.1 Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью принципа Даламбера - Лагранжа
Общее уравнение динамики системы есть математическое выражение принципа Даламбера - Лагранжа:
(1)∑σAk
+ ∑ σA 0
k
=0;
| где |
∑ σAk
= ∑Fk
σrk
- сумма элементарных работ всех активных сил на
возможном перемещении системы;
- сумма элементарных работ всех сил инерции на
(=1*■=!
возможном перемещении системы.
Рис.3
Изобразим на рисунке активные силы и силы инерции (рис 3). Идеальные связи N4
, X3
, Y3
, Fcu
не учитывают и не отображают на расчётной схеме, поскольку по определению работа их реакций на любом возможном перемещении равна нулю.
Сообщим системе возможное перемещение. Возможная работа активных сил определяется как сумма следующих элементарных работ:
∑ σA 0
k
= Aσ+ σAp + σAp1
+σAp2
+ σAp4
+ σAF
упр
;
Вычисляем последовательно элементарные работы активных сил и суммируя их получаем:
(2) ∑ σA 0
k
= - F пр
σS , ∑- σA 0
k
= ( - c (R 2
+ r2
) 2
/ 4R2
2
* S – μS + F(t)) *σS;
Найдем возможную работу сил инерции:
∑ σA 0
k
= -φ1
σS1
– φσS2
- M2
σφ2
– M3
σφ3
– φ4
σS4
- M4
φ4
σ ;
Запишем выражение для главных векторов и главных моментов сил инерции
φ1
= m1
a =m1
S; φ4
= m4
a 4
= m4
S4
; M 4
= J c4
*E 4
= J c4
* φ4
;
φ2
= m2
a 2
= m2
S 2
; M 2
= J c2
*E 2
= J c2
* φ2
;
φ3
=0 ; M 3
= Jc
3
*E 3
= Jc
3
* φ3
;
Используя кинематические уравнения (1.7) можно записать
σS2
= σ S; σ φ2
= 1/R 2
σ S ; σ φ3
= R 2
+ r 2
/ R 2
r 3
* σS;
σ φ4
= R 2
+ r 2
/ R 2
r 3
* σS; σS4
= R 2
+ r 2
/ 2R 2
* σS;
S4
= R 2
+ r 2
/ 2R 2
* S
S2
=S ; φ2
= 1/R2
*S; φ3
= R 2
+ r 2
/ R 2
r 3
* S;
φ3
= R 2
+ r 2
/ 2R 2
r 3
*S;
Теперь возможную работу сил инерции можно преобразовать к виду :
∑ σA 0
k
= -( m1
+m2
+ Jc
2
1/R 2
2
+ (R 2
+ r 2
)2
/ R 2
2
r 3
2
+ m4
( R2
+ r 2
)2
/ 4R 2
2
+ J c4
(R 2
+ r 2
)2
/ 4R 2
2
r 3
2
)* Sσ S;
(3)∑ σA 0
k
= - mпр
* Sσ S;
далее подставляя выражение (2) и (3) в (1) т.е в общее уравнение динамики получаем
Поделив это уравнение на σS = 0 получаем дифференциальное уравнение вынужденных колебаний системы:
S + 2nS + k2
S = F0
/mпр
sin (pt) , где k = R2
+r2
/2R2
c/mпр
= 19 , 3 c -1
n = μ / 2 mпр
= 6.1 c -1
Полученное нами дифференциальное уравнение полностью совпадает с полученными ранее уравнением
3.2. Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью уравнения Лагранжа 2-го рода
Составим теперь уравнение Лагранжа 2-ого рода. В качестве обобщенной координаты примем перемещение груза 1 - S. Для механической системы с одной степенью свободы дифференциальное уравнение движения в обобщенных координатах имеет вид:
d/dt * σ T/ σS - σ T/ σ S (3.3)
где Т — кинетическая энергия системы; Q - обобщенная сила; S - обобщенная координата; S - обобщенная скорость. Выражение для кинетической энергии системы было найдено ранее:
(3.4) T=1/2m тр
v3
2
т пр
=m +m2
+m3
1/R2
2
+ 1/2m3
(R2
- r 2
) 2
/ R2
+ m4
(R2
+ r 2
) 2
/4r2
2
+ m4
(R2
+ r 2
) 2
/4r2
2
Производные от кинетической энергии:
(3.5) σT/ σS= 0; σT/ σS = т пр
S ; d/dt * σT/ σS= т пр
S;
Для определения обобщенной силы Q сообщим системе возможное перемещение σS (рис.3) и вычислим сумму элементарных работ всех активных сил на возможных перемещениях точек их приложения [см.(2)].
(3.6) ∑ σA 0
k
= - F пр
σS , ∑- σA 0
k
= ( - c (R 2
+ r2
) 2
/ 4R2
2
* S – μS + F(t)) *σS;
С другой стороны для системы с одной степенью свободы:
∑ σA 0
k
=QσS( 3.7)
Сравнивая два последних соотношения, получаем:
Q = - c (R2
+ r 2
) 2
/4R2
2
*S – μ*S + F(t).
Подставляя производные (3.5) и обобщенную силу (3.8) в уравнение Лагранжа(3.3), получаем;
Q = - c (R2
+ r 2
) 2
/4R2
2
*S – μ*S + F0
m(pt) ,
S + 2nS + k2
S = F0
/mпр
sin (pt) , где k = R2
+r2
/2R2
c/mпр
= 19 , 3 c -1
n = μ / 2 mпр
= 6.1 c -1
Анализ результатов
В данной курсовой работе мы исследовали динамическое поведение механической системы с использованием основных теорем и уравнений теоретической механики. Дифференциальное уравнение движения механической системы получено тремя способами. Во всех случаях коэффициенты тнр
,п,к получились одинаковыми и совпали с компьютерной распечаткой, что говорит об их правильности. В процессе решения дифференциального уравнения данной механической системы были получены законы движения первого груза, его скорость и ускорение в зависимости от времени t На основании этих зависимостей были определены законы изменения всех остальных характеристик механической системы, в том числе и реакции связей.
Использованная литература
1. Методические указания к курсовой работе по разделу "Динамика", "Исследование колебаний механической системы с одной степенью свободы". Разработали: профессор Нечаев Л.М., доцент Усманов М.А. Тула 1998.
2. Яблонский А.А. "Курс теоретической механики." Том 2 - М.: Высшая школа
1984-424 с.
3. Тарг СМ. "Краткий курс теоретической механики" — М.: Наука, 1988 — 482 с.22