Определение коэффициентов годности и восстановления деталей

1. Определение коэффициентов годности и восстановления деталей

1.1 Определение технических требований к анализируемой поверхности

Проведём выкопировку эскиза указанной детали и сформируем технические требования на дефектацию заданной поверхности 6 см. [3].

Таблица 1 - Технические требования на дефектацию

Наименование детали	Контролируемая поверхность	Размер детали
Корпус коробки передач трактора МТЗ-82	Поверхность отверстия под стакан ведущей шестерни 2-й ступени редуктора	по чертежу	допустимый в сопряжении
		138 +0,040	с деталями бывшими в эксплуатации	с новыми деталями
			138,07	138,09

Эскиз указанной детали приведен в приложении А.

1.2 Определение износов деталей и составление вариационного ряда

Значения размеров изношенных деталей (для отверстия – по возрастанию значений размеров) приведены в таблице 2.

Таблица 2 – Размеры изношенных деталей, мм

138,062	138,073	138,076	138,080	138,084	138,089	138,094	138,101	138,109	138,114
138,062	138,073	138,078	138,081	138,085	138,089	138,094	138,101	138,109	138,116
138,064	138,073	138,078	138,081	138,085	138,090	138,094	138,102	138,110	138,116
138,066	138,073	138,079	138,082	138,086	138,090	138,097	138,103	138,110	138,118
138,068	138,074	138,079	138,082	138,086	138,091	138,097	138,104	138,110	138,118
138,069	138,074	138,079	138,082	138,087	138,091	138,098	138,104	138,110	138,121
138,070	138,075	138,079	138,082	138,087	138,091	138,099	138,105	138,110	138,122
138,071	138,075	138,079	138,083	138,088	138,092	138,099	138,106	138,111	138,126
138,073	138,075	138,079	138,083	138,088	138,092	138,100	138,107	138,113	138,126
138,073	138,076	138,080	138,083	138,089	138,093	138,100	138,107	138,113	138,126

Вычислим износы деталей и составим их вариационный ряд в виде таблицы 3.

Износ i
-го отверстия определяют по зависимости

; (1)

где –диаметр i-го изношенного отверстия;

– наибольший конструктивный размер отверстия;

N
– число анализируемых деталей.

Пример расчета: износ 1-го отверстия:

мм.

Таблица 3 – Значения износов деталей (вариационный ряд)

Номер детали	Значение износа детали, мм	Номер детали	Значение износа детали, мм	Номер детали	Значение износа детали, мм	Номер детали	Значение износа детали, мм
1	2	3	4	5	6	7	8
1	0,022	26	0,039	51	0,049	76	0,064
2	0,022	27	0,039	52	0,049	77	0,065
3	0,024	28	0,039	53	0,050	78	0,066
4	0,026	29	0,039	54	0,050	79	0,067
5	0,028	30	0,040	55	0,051	80	0,067
6	0,029	31	0,040	56	0,051	81	0,069
7	0,030	32	0,041	57	0,051	82	0,069
8	0,031	33	0,041	58	0,052	83	0,070
9	0,033	34	0,042	59	0,052	84	0,070
10	0,033	35	0,042	60	0,053	85	0,070
11	0,033	36	0,042	61	0,054	86	0,070
12	0,033	37	0,042	62	0,054	87	0,070
13	0,033	38	0,043	63	0,054	88	0,071
14	0,033	39	0,043	64	0,057	89	0,073
15	0,034	40	0,043	65	0,057	90	0,073
16	0,034	41	0,044	66	0,058	91	0,074
17	0,035	42	0,045	67	0,059	92	0,076
18	0,035	43	0,045	68	0,059	93	0,076
19	0,035	44	0,046	69	0,060	94	0,078
20	0,036	45	0,046	70	0,060	95	0,078
21	0,036	46	0,047	71	0,061	96	0,081
22	0,038	47	0,047	72	0,061	97	0,082
23	0,038	48	0,048	73	0,062	98	0,086
24	0,039	49	0,048	74	0,063	99	0,086
25	0,039	50	0,049	75	0,064	100	0,086

1.3 Составление статистического ряда износов

Число интервалов n
определяют по зависимости:

(2)

с последующим округлением полученного результата до целого числа

=.

Длину интервалов вычисляют по зависимости:

, (3)

где и – наибольшее и наименьшее значения СВ из вариационного ряда соответственно.

мм.

Начало t
нi
и конец t
кi
i
-го интервала вычисляют по следующим зависимостям:

t
н
1
= t
min
; t
н
i
= t
к
(i
–1)
; t
к
i
= t
н
i
+ h
(4)

Пример решения:

t
н1
= t
min
=0,022 мм;

t
к1
= t
н1
+ h
=0,022+0,0064=0,0284 мм.

Количество наблюдений (значений СВ) в i
-м интервале (i
= 1, …, n
) называется опытной частотой
. Опытная частота , отнесенная к общему числу наблюдений (объему выборки) , называется опытной вероятностью.
.

Ее значение определяется по зависимости:

, (5)

где – значение СВ в середине i
-го интервала.

Пример решения:

.

Накопленная опытная вероятность
, являющаяся статистическим аналогом функции распределения, вычисляется по зависимости:

(6)

Пример решения:

.

Таким образом, статистическим рядом распределения является таблица 4, в которой указаны границы и середины интервалов, опытные частоты, опытные и накопленные опытные вероятности.

Таблица 4 – Статистический ряд распределения износов

Границы интервала, мм	0,0220 ... 0,0284	0,0284 ... 0,0348	0,0348 ... 0,0412	0,0412 ... 0,0476	0,0476 ... 0,0540	0,0540 ... 0,0604	0,0604 ... 0,0668	0,0668 ... 0,0732	0,0732 ... 0,0796	0,0796 … 0,0860
Середина интервала, мм	0,025	0,031	0,038	0,044	0,050	0,057	0,063	0,070	0,076	0,082
Опытная частота	5	11	17	14	15,5	7,5	8	12	5	5
Границы интервала, мм	0,0220 ... 0,0284	0,0284 ... 0,0348	0,0348 ... 0,0412	0,0412 ... 0,0476	0,0476 ... 0,0540	0,0540 ... 0,0604	0,0604 ... 0,0668	0,0668 ... 0,0732	0,0732 ... 0,0796	0,0796 … 0,0860
Опытная вероятность	0,05	0,11	0,17	0,14	0,155	0,075	0,08	0,12	0,05	0,05
Накопленная опытная вероятность	0,05	0,16	0,33	0,47	0,625	0,7	0,78	0,9	0,95	1

1.4 Определение числовых характеристик статистической совокупности износов

Наиболее применяемыми числовыми характеристиками совокупности значений случайной величины являются:

– среднее значение, характеризующее центр группирования случайной величины;

– среднеквадратическое отклонение и коэффициент вариации, являющиеся характеристиками рассеивания случайной величины.

Так как > 25, то характеристики вычисляются по зависимостям:

, (7)

, (8)

Анализ зависимостей для определения показывает, что его значение зависит не только от величины рассеивания, но и от абсолютных значений СВ. От этого недостатка свободен коэффициент вариации , определяемый по зависимости:

(9)

где при N
> 25 t
см
= t
н1
–0,5h
;

t
см
= t
н
1
–0,5h
=0,022 - 0,5∙0,0064= 0,0188 мм.

1.5 Проверка однородности информации об износах

Проверку на выпадающие точки проводят по критерию Ирвина , который вычисляют по зависимости:

, (10)

где и – смежные значения случайной величины вариационного ряда.

Проверку начинают с крайних значений случайной величины. Вычисленное сравнивают с табличным значением , взятом из табл. В.1 [1], при доверительной вероятности и числе наблюдений .

При переходят к проверке однородности следующего значения СВ. При проверяемое значение СВ признают выпадающим (экстремальным), и оно исключается из выборочной совокупности наблюдений.

Пример решения:

.

при N=100, значение критерия Ирвина

Вычисленные значения критерия Ирвина запишем в таблицу 5.

Таблица 5 – Значения критерия Ирвина

-	0	0	0	0,063	0	0,063	0,063	0,126	0,063
0	0	0,126	0,063	0,063	0	0	0	0	0,126
0,126	0	0	0	0	0,063	0	0,063	0,063	0
0,126	0	0,063	0,063	0,063	0	0,189	0,063	0	0,126
0,126	0,063	0	0	0	0,063	0	0,063	0	0
0,063	0	0	0	0,063	0	0,063	0	0	0,189
0,063	0,063	0	0	0	0	0,063	0,063	0	0,063
0,063	0	0	0,063	0,063	0,063	0	0,063	0,063	0,253
0,126	0	0	0	0	0	0,063	0,063	0,126	0
0	0,063	0,063	0	0,063	0,063	0	0	0	0

Вычисленные значения сравним с табличным значением

Взятом из таблицы В.1 [1] при доверительной вероятности и числе наблюдений N=100

Отсюда следует, что все точки однородны.

1.6 Графическое построение опытного распределения износов

Для наглядного представления опытного распределения, оценки качества произведенного группирования (разделения на интервалы) и более обоснованного выдвижения гипотезы о предполагаемом теоретическом распределении по данным статистического ряда строим гистограмму, полигон и график накопленной опытной вероятности (приложения Б, В, Г).

1.7
Выравнивание опытной информации теоретическим законом распределения

1.7.1 Выдвижение гипотезы о предполагаемом теоретическом законе распределения

Вычисленное значение коэффициента вариации V=0,492

При значении коэффициента вариации V=0,30…0,50 возникает неопределённость. В этой ситуации гипотезы о НЗР и ЗРВ являются равноправными, поэтому производится расчёт дифференциального и интегрального законов распределения обоих видов с последующей проверкой правдоподобия каждого из них по одному из критериев согласия и принятием соответствующего решения.

1.7.2 Расчет и построение дифференциального и интегрального ТЗР

Для нормального закона распределения

Так как при составлении статистического ряда (см. таблицу 4) были вычислены не статистические плотности функции распределения , а опытные вероятности попадания наблюдений в -й интервал , то для обеспечения сравнимости распределений вычислим теоретические вероятности этих же событий по зависимости:

, (11)

где – длина интервала, принятая при построении статистического ряда;

– квантиль нормального распределения, значение которого вычислено для середины -го интервала ;

– значение центрированной и нормированной плотности распределения из приложения Г [1] (при этом следует учесть, что );

n
- число интервалов, принятое при составлении статистического ряда.

Пример решения для середины 1-го интервала:

Значения теоретических вероятностей запишем в таблицу 6.

Таблица 6 - Значения теоретических вероятностей

Середина интервала, мм	0,025		0,031		0,038		0,044		0,050		0,057		0,063		0,070		0,076		0,082
Плотность функции распределения f(z)	0,11		0,19		0,29		0,37		0,4		0,37		0,29		0,19		0,11		0,05
Теоретическая вероятность		0,044		0,076		0,117		0,149		0,162		0,149		0,117		0,076		0,044		0,02

Вычисление функции распределения осуществляется по зависимости:

; , (12)

где – квантиль нормального распределения, значение которого вычислено для конца -го интервала ;

– значение интегральной функции нормального распределения (при этом следует учесть, что ).

Вычислим функцию распределения на 1-м интервале:

.

Значения функции распределения запишем в таблицу 7.

Таблица 7 – Значения функции распределения

Границы интервала, мм	0,0220 ... 0,0284	0,0284 ... 0,0348	0,0348 ... 0,0412	0,0412 ... 0,0476	0,0476 ... 0,0540	0,0540 ... 0,0604	0,0604 ... 0,0668	0,0668 ... 0,0732	0,0732 ... 0,0796	0,0796 … 0,0860
Функция распределения	0,08	0,16	0,27	0,42	0,58	0,73	0,84	0,92	0,97	0,99

Используя значение функции распределения, можно определить теоретическое число интересующих нас событий (число отказов в i
-м интервале) по формуле:

(13)

Определяем теоретическое число отказов в 1-м интервале: отказов.

Определим значения теоретических чисел для каждого интервала и заполним таблицу 8.

Таблица 8 – Значения теоретических чисел для каждого интервала

Функция распределения	0,08	0,16	0,27	0,42	0,58	0,73	0,84	0,92	0,97	0,99
Теоретическая частота	8	8	11	15	16	15	11	8	5	2

Для закона распределения Вейбулла.

Рассуждая аналогично п. 1.7.2, вычислим не , а теоретические вероятности попадания СВ в -й интервал, например, вероятность отказа объекта в -м интервале по зависимости:

; , (14)

где a
,
b
-
параметры закона распределения, причем а
параметр масштаба, имеющий размерность случайной величины t
;

b
-
параметр формы (безразмерная величина);

-
смещение зоны рассеивания случайной величины t;

значения функции приведены в таблице Е.2[1].

Параметр определяют, используя коэффициент вариации. Из этого же приложения выбирают значения коэффициентов и :

Параметр рассчитывают по одному из уравнений:

или .

Пример решения для середины 1-го интервала:

Значения теоретических вероятностей запишем в таблицу 9.

Таблица 9 – Значения теоретических вероятностей

Середина интервала, мм	0,025	0,031	0,038	0,044	0,050	0,057	0,063	0,070	0,076	0,082
Плотность функции распределения f(t)	0,2	0,55	0,78	0,84	0,84	0,74	0,57	0,48	0,32	0,19
Теоретическая вероятность	0,034	0,095	0,135	0,146	0,146	0,128	0,099	0,083	0,055	0,033

Функция распределения Вейбулла имеет вид:

(15)

Данная функция зависит от двух аргументов – от параметра и обобщенного параметра . Ее значения могут быть вычислены непосредственно по зависимости (15) или определены по таблице (приложение Ж [1]). Входами в эту таблицу являются:

– значение параметра ;

– значение обобщенного параметра ,

где – значение случайной величины на конце i
-го интервала.

Вычислим функцию распределения на 1-м интервале:

Значения функции распределения запишем в таблицу 10.

Таблица 10 – Значения функции распределения

Границы интервала, мм	0,0220 ... 0,0284	0,0284 ... 0,0348	0,0348 ... 0,0412	0,0412 ... 0,0476	0,0476 ... 0,0540	0,0540 ... 0,0604	0,0604 ... 0,0668	0,0668 ... 0,0732	0,0732 ... 0,0796	0,0796 … 0,0860
Функция распределения	0,050	0,148	0,286	0,443	0,598	0,732	0,835	0,907	0,951	0,977

Используя значение функции распределения, можно вычислить теоретическое число интересующих нас событий, например, число отказов машин в -м интервале по формуле:

(16)

где N
– общее число испытуемых (подконтрольных) объектов.

Определяем теоретическое число отказов в 1-м интервале:

Определим значения теоретических чисел для каждого интервала и заполним таблицу 11.

Таблица 11 – Значения теоретических чисел для каждого интпрвала

Функция распределения	0,050	0,148	0,286	0,443	0,598	0,732	0,835	0,907	0,951	0,977
Теоретическая частота	5	9,86	13,78	15,74	15,45	13,38	10,34	7,16	4,48	2,53

По вычисленным значениям и для всех интервалов строят графики и , которые приведены в приложениях В и Г.

Результаты выравнивания опытных данных теоретическими законами распределения представим в виде таблицы 12.

Таблица 12 – Результаты выравнивания опытных данных теоретическими законами распределения

Границы интервала, мм			0,0220 ... 0,0284	0,0284 ... 0,0348	0,0348 ... 0,0412	0,0412 ... 0,0476	0,0476 ... 0,0540	0,0540 ... 0,0604	0,0604 ... 0,0668	0,0668 ... 0,0732
Середина интервала, мм			0,025	0,031	0,038	0,044	0,050	0,057	0,063	0,070
Опытная частота			5	11	17	14	15,5	7,5	8	12
Дифференциальный закон распределения	Опытная вероятность		0,05	0,11	0,17	0,14	0,155	0,075	0,08	0,12
	Теоретическая вероятность	НЗР	0,044	0,076	0,117	0,149	0,162	0,149	0,117	0,076
		ЗРВ	0,034	0,095	0,135	0,146	0,146	0,128	0,099	0,083
Интегральный закон распределения	Накопленная опытная вероятность		0,05	0,16	0,33	0,47	0,625	0,7	0,78	0,9
	Функция распределения	НЗР	0,08	0,16	0,27	0,42	0,58	0,73	0,84	0,92
		ЗРВ	0,050	0,148	0,286	0,443	0,598	0,732	0,835	0,907
Теоретическая частота		НЗР	8	8	11	15	16	15	11	8
		ЗРВ	5	9,86	13,78	15,74	15,45	13,38	10,34	7,16

1.7.3
Проверка правдоподобия (сходимости) опытного и теоретического законов распределения

Критерий Пирсона вычисляют по зависимости:

, (17)

где – опытная частота попадания СВ в i
-й интервал статистического ряда (берется из таблицы 4);

n
– число интервалов статистического ряда;

– значение функции распределения (интегральной функции) соответственно в конце i
-го и -го интервалов;

– теоретическая частота в i
-м интервале статистического ряда.

Делаем проверку для НЗР:

Делаем проверку для ЗРВ:

Значение критерия, вычисленное по зависимости (17) для НЗР , а для ЗРВ ; число степеней свободы , где n
– число интервалов статистического ряда, а m
– число параметров ТЗР (для НЗР и ЗРВ m
= 2); приняты уровень значимости (вероятность необоснованного отклонения гипотезы) . Необходимо выбрать ТЗР, наиболее адекватный распределению статистической информации.

По таблице В.2 приложения В [1] и k=5 определяем критическое значение -критерия: .

Сравниваем с . Так как только для ЗРВ, то делаем заключение о том, что выдвинутая гипотеза о сходимости опытного с теоретическим распределением ЗРВ с вероятностью не отвергается.

Для принятия окончательного решения определим вероятность подтверждения проверяемых ТЗР. Для этого опять используем таблицу В.2 [1]. Войдя в таблицу по этим значениям с учетом интерполяции определяем, что вероятность подтверждения выдвинутой гипотезы о ЗРВ в данном примере P
=19%.

Следовательно, в этой ситуации принимается гипотеза о том, что анализируемая статистическая информация с достаточной степенью достоверности подчиняется закону распределения Вейбулла.

1.8 Интервальная оценка числовых характеристик износов

Закон распределения Вейбулла.

В этом случае доверительные границы определяют по формуле:

, (18)

где - коэффициенты распределения Вейбулла, и выбираются из таблицы В.3 приложения В[1];

Следовательно:

- нижняя граница доверительного интервала;

- верхняя граница доверительного интервала.

С вероятностью можем утверждать, что истинное значение математического ожидания попадет в интервал от 0,0482мм до 0,0540мм.

1.9
Определение относительной ошибки переноса

Более правильно характеризовать точность оценки показателя надежности относительной ошибкой, которая позволяет корректно сравнивать объекты, в том числе и по разнородным показателям.

(19)

где – верхняя граница изменения среднего значения показателя надежности, установленная с доверительной вероятностью ;

– оценка среднего значения показателя надежности.

Вычислим относительную ошибку переноса:

Максимально допустимая ошибка переноса ограничивается величиной 20%, т.е. .

1.10 Определение числа годных и требующих восстановления
деталей

1) определим допустимые износы анализируемых деталей при их сопряжении с новыми и бывшими в эксплуатации деталями.

Для отверстия:

где – допустимый размер отверстия при сопряжении его с новыми деталями;

– допустимый размер отверстия при сопряжении его с деталями, бывшими в эксплуатации;

– наибольший предельный размер отверстия.

2) вычисленное значение допустимого износа отверстия отложили по оси абсцисс (Приложение Г). Из него восстановим перпендикуляр до пересечения с теоретической кривой износов . Полученную точку спроектируем на ось ординат и снять значение вероятности того, что детали окажутся годными (их восстановление не потребуется), при условии их сборки с новыми сопрягаемыми деталями. При этом число годных деталей может быть вычислено по зависимости:

(20)

3) выполняя аналогичные графические построения для значения , определяют число годных деталей при сопряжении их с деталями, бывшими в эксплуатации:

(21)

4) число деталей, требующих восстановления , определяется как

(22)

5) следует заметить, что большее практическое значение имеют не сами числа , , , а соответствующие коэффициенты, значения которых определяются ниже.

Коэффициент годности анализируемых деталей:

Коэффициент восстановления деталей:

=1-0,53=0,47.

Вывод

По значениям вычисленных коэффициентов можно сделать вывод,что необходимо более тщательно планировать производственную программу ремонтного предприятия по анализируемой детали.