Статистические методы применяются при обработке материалов психологических исследований для того, чтобы извлечь из тех количественных данных, которые получены в экспериментах, при опросе и наблюдениях, возможно больше полезной информации. В частности, в обработке данных, получаемых при испытаниях по психологической диагностике, это будет информация об индивидуально-психологических особенностях испытуемых. Психологические исследования обычно строятся с опорой на количественные данные.
Вот пример.
К школьному психологу обратился шестиклассник Саша Ю. с просьбой испытать его двигательный темп. Его очень интересовал баскетбол, и он собирался вступить в баскетбольную команду, а баскетболист, несомненно, должен иметь высокий двигательный темп. Психолог разработал план небольшого исследования. Он начал с того, что попросил Сашу так быстро, как он только может, ставить точки в центре кружков, нарисованных на листке бумаги. За одну минуту мальчик поставил 137 точек. Насколько этот темп характерен для него? Чтобы установить это, психолог попросил Сашу повторить эту пробу 25 раз. Действительно, некоторые результаты превышали первоначально полученное число, но некоторые оказались и поменьше. Психолог просуммировал все полученные за 25 проб результаты, а сумму разделил на 25 — таким путем он получил среднее арифметическое по всем пробам. Это среднее арифметическое составило 141. Таков по этой пробе максимальный темп этого мальчика. Можно ли считать этот темп высоким? Потребовался еще один шаг в исследовании. Психолог сформировал группу из 50 шестиклассников, не отличающихся от Саши и друг от друга по возрасту более чем на полгода. С этими ребятами психолог также провел сначала по несколько тренировочных проб, чтобы получить надежные данные об их темпе, и, наконец, последнюю пробу для обработки.
Все эти данные в виде средних арифметических были построены в один порядковый ряд, который был разбит по десяткам (по децилям).
Сашины данные вошли в первый десяток с наиболее быстрыми результатами. По этим количественным данным психолог сделал вывод о том, что мальчик обладает сравнительно высоким двигательным темпом, о чем и было ему сообщено.
Современная математическая статистика представляет собой большую и сложную систему знаний. Нельзя рассчитывать на то, что каждый психолог овладеет этими знаниями. Между тем статистика нужна психологу постоянно в его повседневной работе. Специалисты-статистики разработали целый комплекс простых методов, которые совершенно доступны любому человеку, не забывшему то, что он выучил еще в средней школе.
В зависимости от требований, которые предъявляют к статистике различные области науки и практики, создаются пособия по геологической, медицинской, биологической, психологической статистике '.
В этом приложении даются простейшие методы статистики для психологов. Все необходимые для их применения вычисления можно выполнять вручную или на компьютере. Уместное грамотное применение этих методов позволит практику и исследователю, во всяком случае проведя начальную обработку, получить общую картину того, что дают количественные результаты его исследований, оперативно проконтролировать ход исследований. В дальнейшем, если возникнет такая необходимость, материалы исследований могут быть переданы для более глубокой разработки специалисту-статистику на большой компьютер.
Статистические шкалы
Применение тех или других статистических методов определяется тем, к какой статистической шкале относится полученный материал. С. Стивенс предложил различать четыре статистические шкалы:
1. шкалу наименований (или номинальную);
2. шкалу порядка;
3. шкалу интервалов;
4. шкалу отношений.
Зная типические особенности каждой шкалы, нетрудно установить, к какой из них следует отнести подлежащий статистической обработке материал.
Шкала наименований.
К этой шкале относятся материалы, в которых изучаемые объекты отличаются друг от друга по их качеству.
При обработке таких материалов нет никакой нужды в том, чтобы располагать эти объекты в каком-то порядке, исходя из их характеристик. В принципе, объекты можно располагать в любой последовательности.
Вот пример: изучается состав международной научной конференции. Среди участников есть французы, англичане, датчане, немцы и русские. Имеет ли значение порядок, в котором будут расположены участники при изучении состава конференции? Можно расположить их по алфавиту, это удобно, но ясно, что никакого принципиального значения в этом расположении нет. При переводе этих материалов на другой язык (а значит и на другой алфавит) этот порядок будет нарушен. Можно расположить национальные группы по числу участников. Но при сравнении этого материала с материалом другой конференции найдем, что вряд ли этот порядок окажется таким же. Отнесенные к шкале наименований объекты можно размещать в любой последовательности в зависимости от цели исследования.
При статистической обработке такого рода материалов нужно считаться с тем, каким числом единиц представлен каждый объект. Имеются весьма эффективные статистические методы, позволяющие по этим числовым данным прийти к научно значимым выводам (например, метод хи-квадрат).
Шкала порядка.
Если в шкале наименований порядок следования изучаемых объектов практически не играет никакой роли, то в шкале порядка — это видно из ее названия — именно на эту последовательность переключается все внимание.
К этой шкале в статистике относят такие исследовательские материалы, в которых рассмотрению подлежат объекты, принадлежащие к одному или нескольким классам, но отличающиеся при их сравнении одного с другим — «больше-меньше», «выше-ниже»- и т. п.
Проще всего показать типические особенности шкалы порядка, если обратиться к публикуемым итогам любых спортивных соревнований. В этих итогах последовательно перечисляются участники, занявшие соответственно первое, второе, третье и следующие по порядку места. Но в этой информации об итогах соревнований нередко отсутствуют или отходят на второй план сведения о фактических достижениях спортсменов, а на первый план ставятся их порядковые места.
Допустим, шахматист Д. занял в соревнованиях первое место. Каковы же его достижения? Оказывается, он набрал 12 очков. Шахматист Е. занял второе место. Его достижение — 10 очков. Третье место занял Ж. с восемью очками, четвертое — 3. с шестью очками и т. д. В сообщениях о соревновании разница в достижениях при размещении шахматистов отходит на второй план, а на первом остаются их порядковые места. В том, что именно порядковому месту отводится главное значение, есть свой смысл. В самом деле, в нашем примере З. набрал шесть, а Д. — 12 очков. Это абсолютные их достижения — выигранные ими партии. Если попытаться истолковать эту разницу в достижениях чисто арифметически, то пришлось бы признать, что 3. играет вдвое хуже, чем Д. Но с этим нельзя согласиться. Обстоятельства соревнований не всегда просты, как не всегда просто и то, как провел их тот или другой участник. Поэтому, воздерживаясь от арифметической абсолютизации, ограничиваются тем, что устанавливают: шахматист 3. отстает от занявшего первое место Д. на три порядковых места.
Шкала интервалов.
К ней относятся такие материалы, в которых дана количественная оценка изучаемого объекта в фиксированных единицах.
Вернемся к опытам, которые провел психолог с Сашей. В опытах учитывалось, сколько точек могут поставить, работая с максимально доступной им скоростью, сам Саша и каждый из его сверстников. Оценочными единицами в опытах служило число точек. Подсчитав их, исследователь получил то абсолютное число точек, которое оказалось возможным поставить за отведенное время каждому участнику опытов. Главная трудность при отнесении материалов к шкале интервалов состоит в том, что нужно располагать такой единицей, которая была бы при всех повторных измерениях тождественной самой себе, т. е. одинаковой и неизменной. В примере с шахматистами (шкала порядка) такой единицы вообще не существует.
В самом деле, учитывается число партий, выигранных каждым участником соревнований. Но ясно, что партии далеко не одинаковы. Возможно, что участник соревнований, занявший четвертое место — он выиграл шесть партий, — выиграл труднейшую партию у самого лидера! Но в окончательных итогах как бы принимается, что все выигранные партии одинаковы. В действительности же этого нет. Поэтому при работе с подобными материалами уместно их оценивать в соответствии с требованиями шкалы порядка, а не шкалы интервалов. Материалы, соответствующие шкале интервалов, должны иметь единицу измерения.
Шкала отношений.
К этой шкале относятся материалы, в которых учитываются не только число фиксированных единиц, как в шкале интервалов, но и отношения полученных суммарных итогов между собой.
Чтобы работать с такими отношениями, нужно иметь некую абсолютную точку, от которой и ведется отсчет. При изучении психологических объектов эта шкала практически неприменима.
О параметрических и непараметрических методах статистики
Приступая к статистической обработке своих исследований, психолог должен решить, какие методы ему более подходят по особенностям его материала — параметрические или непараметрические. Различие между ними легко понять.
Ранее уже говорилось об измерении двигательной скорости детей-шестиклассников.
Как обработать эти данные?
Нужно записать все произведенные измерения — в данном случае это будет число точек, поставленных каждым испытуемым, — затем вычислить для каждого испытуемого среднее арифметическое по его результатам. После этого расположить все данные в их последовательности, например начиная с наименьших к наибольшим. Для облегчения обозримости этих данных их обычно объединяют в группы; в этом случае можно объединить по 5-9 измерений в группе. Вообще же при таком объединении желательно, если общее число случаев не более ста, чтобы общее число групп было порядка двенадцати.
Далее нужно установить, сколько раз в опытах встретились числовые значения, соответствующие каждой группе. Сделав это, для каждой группы записать ее численность. Полученные в такой таблице данные носят название распределения численностей или частот. Рекомендуется представить это распределение в виде диаграммы, на которой изображается полигон распределения, или гистограмма распределения. Контуры этого полигона помогут решить вопрос о статистических методах обработки.
Нередко эти контуры напоминают контуры колокола, с наивысшей точкой в центре полигона и с симметричными ветвями, отходящими в ту и другую сторону. Такой контур соответствует кривой нормального распределения. Это понятие было введено в математическую статистику К. Ф. Гауссом (1777-1855), поэтому кривую именуют также кривой Гаусса
. Он же дал математическое описание этой кривой. Для построения кривой Гаусса (или кривой нормального распределения) теоретически требуется бесчисленное количество случаев. Практически же приходится довольствоваться тем фактическим материалом, который накоплен в исследовании. Если данные, которыми располагает исследователь, при их внимательном рассмотрении или после переноса их на диаграмму лишь в незначительной степени расходятся с кривой нормального распределения, то это дает право исследователю применять в статистической обработке параметрические методы, исходные положения которых основываются на нормальной кривой распределения Гаусса.
Нормальное распределение называют параметрическим потому, что для построения и анализа кривой Гаусса достаточно иметь всего два параметра: среднее значение, которое должно соответствовать высоте перпендикуляра, восстановленного в центре кривой, и так называемое среднее квадратическое, или стандартное, отклонение величины, характеризующей рассеивание значений вокруг среднего значения; о способах вычисления той и другой величины будет рассказано ниже.
Параметрические методы обладают для исследователя многими преимуществами, но нельзя забывать о том, что применение их правомерно только тогда, когда обрабатываемые данные показывают распределение, лишь несущественно отличающееся от гауссовского.
При невозможности применить параметрические надлежит обратиться к непараметрическим методам
. Эти методы успешно разрабатывались в последние 3-4 десятилетия, и их разработка была вызвана прежде всего потребностями ряда наук, в частности психологии. Они показали свою высокую эффективность. Вместе с тем они не требуют сложной вычислительной работы.
Современному психологу-исследователю нужно исходить из того, что «...имеется большое количество данных, которые либо вообще не поддаются анализу с помощью кривой нормального распределения, либо не удовлетворяют основным предпосылкам, необходимым для ее использования».
Генеральная совокупность
и выборка
. Психологу постоянно приходится иметь дело с этими двумя понятиями.
Генеральная совокупность, или просто совокупность, — это множество достаточно большого объема, все элементы которого обладают какими-то общими признаками.
Так, все подростки-шестиклассники 12 лет (от 11,5 до 12,5) образуют совокупность. Дети того же возраста, но не обучающиеся в школе или же обучающиеся, но не в шестых классах, не подлежат включению в эту совокупность.
В ходе конкретизации проблем своего исследования психологу неизбежно придется обозначить границы изучаемой им совокупности.
Следует ли включать в изучаемую совокупность детей того же возраста, но обучающихся в колледжах, гимназиях, лицеях и других подобных учебных заведениях?
В ответе на этот и другие такие же вопросы может помочь статистика.
В подавляющем большинстве случаев исследователь не в состоянии охватить в изучении всю совокупность. Приходится, хотя это и связано с некоторой утратой информации, взять для изучения лишь часть совокупности, ее и называют выборкой. Задача исследователя заключается в том, чтобы подобрать такую выборку, которая репрезентировала бы, представляла совокупность; другими словами, признаки элементов совокупности должны быть представлены в выборке. Это достигается, прежде всего, использованием случайной выборки из совокупности. Составить такую выборку, в точности повторяющую все разнообразные сочетания признаков, которые имеются в элементах совокупности, вряд ли возможно. Поэтому некоторые потери в информации оказываются неизбежными. Важно, чтобы были сохранены в выборке существенные с точки зрения данного исследования признаки совокупности. Возможны случаи, и для их обнаружения есть статистические методы, когда задачи исследования требуют создания двух выборок одной совокупности; при этом нужно установить, не взяты ли выборки из равных совокупностей. Эти и другие подобные казусы нужно иметь в виду психологу при обработке результатов выборочных исследований.
Следует рассмотреть типы задач, с которыми чаще всего имеет дело психолог. Соответственно приводятся и статистические методы, которые приложимы для обработки психологических материалов, направленных на решение этих задач.
Первый тип задач.
Данный тип задач представлен в ситуации, когда психологу нужно дать сжатую и достаточно информативную характеристику психологических особенностей какой-то выборки
, например школьников определенного класса. Чтобы подойти к решению этой задачи, необходимо располагать; результатами диагностических испытаний; эти испытания, разумеется, следует заранее спланировать так, чтобы они давали информацию о тех особенностях группы, которые в этом конкретном случае интересуют психолога. Это могут быть особенности умственного развития, психофизиологические особенности, данные об изменении работоспособности и т. д.
Получив все экспериментальные результаты и материалы наблюдений, следует подумать о том, как их подать пользователю в компактном виде, чтобы при этом свести к минимуму потерю информации. В перечне статистических методов, используемых при решении подобных задач, обычно находят свое место и параметрические, и непараметрические методы; о возможностях применения тех и других, как было сказано выше, судят по самому полученному материалу. Об этих статистических методах и их использовании пойдет речь далее.
Второй тип задач.
Это, пожалуй, наиболее часто встречающиеся задачи в исследовательской и практической деятельности психолога: сравниваются между собой несколько выборок, чтобы установить, являются ли выборки независимыми или принадлежат одной и той же совокупности.
Так, проведя эксперименты в восьмых классах двух различных школ, психолог сравнивает эти выборки между собой.
К этому же типу относятся задачи с определением тесноты связи двух рядов показателей, полученных на одной и той же выборке
; в такой обработке чаще всего применяют метод корреляций.
Третий тип задач.
Это задачи, в которых обработке подлежат временные ряды, ряды, в которых расположены показатели, меняющиеся во времени; их называют также динамическими рядами.
В предшествующих типах задач фактор времени не принимался во внимание, и материал анализировался так, как будто он весь поступил в руки исследователя в одно и то же время. Такое допущение можно оправдать тем, что за тот короткий период времени, который был затрачен на собирание материала, он не претерпел существенных перемен. Но психологу приходится работать и с таким материалом, в котором наибольший интерес представляют как раз его изменения во времени. Допустим, психолог намерен изучить изменение работоспособности школьников в течение учебной четверти. В этом случае информативными будут показатели, по которым можно судить о динамике работоспособности. Берясь за такой материал, психолог должен понимать, что при анализе динамических рядов нет смысла пользоваться средним арифметическим ряда, так как среднее арифметическое замаскирует нужную информацию о динамике.
В основном тексте книги упоминалось о лонгитюдинальном исследовании
, т. е. таком, в котором однообразный по содержанию психологический материал по одной выборке собирается в течение длительного времени. Показатели лонгитюда — это также динамические ряды, и при их обработке следует пользоваться методами, предназначенными для таких рядов.
Четвертый тип задач.
Это задачи, возникающие перед психологом, занимающимся конструированием диаг
Отчасти об этих задачах уже говорилось в других главах, но не уделялось внимания специально статистике. Психологическая диагностика, в особенности тестология, имеет целый ряд канонических правил, применение которых должно обеспечивать высокое качество информации, получаемой посредством диагностических методик. Так, методика должна быть надежной, гомогенной, валидной.
По упрочившимся в тестологии правилам все эти свойства проверяются статистическими методами.
Выше были перечислены типы задач, с которыми чаще всего встречаются психологи. Теперь мы перейдем к изложению конкретных статистических методов, способствующих успешному решению перечисленных задач. Но прежде следует высказать некоторые соображения о возможностях статистики в проведении психологического исследования.
Назначение статистики состоит в том, чтобы извлечь из этих материалов больше полезной информации. Вместе с тем статистика показывает, что эта информация не случайна и что добытые данные имеют определенную и значимую вероятность.
Статистические методы раскрывают связи между изучаемыми явлениями. Однако необходимо твердо знать, что, как бы ни была высока вероятность таких связей, они не дают права исследователю признать их причинно-следственными отношениями. Статистика, например, утверждает, что существует значимая связь между двигательной скоростью и игрой в теннис. Но отсюда еще не вытекает, будто двигательная скорость и есть причина успешной игры. Нельзя, по крайней мере в некоторых случаях, исключить и того, что сама двигательная скорость явилась следствием успешной игры.
Чтобы подтвердить или отвергнуть существование причинно-следственных отношений, исследователю зачастую приходится продумывать целые серии экспериментов. Если они будут правильно построены и проведены, то статистика поможет извлечь из результатов этих экспериментов информацию, которая необходима исследователю, чтобы либо обосновать и подтвердить свою гипотезу, либо признать ее недоказанной.
Статистические методы, примеры их применения для принятия решения
Первый тип задач
Допустим, что школьному психологу нужно представить краткую информацию о развитии психомоторных функций учащихся шестых классов. В этих классах обучается 50 учеников. В процессе выполнения своей программы психолог провел диагностическое изучение двигательной скорости, применив ранее описанную методику (описание дано на первой странице данного раздела).
Для реализации своей программы психологу надлежало получить количественные характеристики, свидетельствующие о состоянии изучаемой функции — ее центральной тенденции, величины, показывающей размах колебания, в пределах которого находятся данные отдельных учеников, и то, как распределяются эти данные. Какими методами вести обработку, зависит от того, в какой статистической шкале измерены значения исследуемого признака. Визуальное ознакомление с полученными данными показывает, что возможно вычисление среднего арифметического
, выражающего центральную тенденцию
, и среднеквадратического отклонения
, показывающего размах и особенности варьирования экспериментальных результатов.
Нельзя ограничиться вычислением только среднего арифметического, так как оно не дает полных сведений об изучаемой выборке.
Вот пример.
В одном купе вагона поместилась бабушка 60 лет с четырьмя внуками: один — 4 лет, двое — по 5 лет и один — 6 лет. Среднее арифметическое возраста всех пассажиров этого купе 80/5= 16.
В другом купе расположилась компания молодежи: двое — 15-летних, один — 16-летний и двое — 17-летних. Средний возраст пассажиров этого купе также равен 80/5= 16. Таким образом, по средним арифметическим пассажиры этих купе как бы и не отличаются. Но если обратиться к особенностям варьирования, то сразу можно установить, что в одном купе возраст пассажиров варьируется в пределах 56 единиц, а во втором — в пределах 2.
Для вычисления среднего арифметического применяется формула:
" х = ∑ х / n
а для среднеквадратического отклонения формула:
σ = √∑ (х - " х )2
/ n
В этих формулах "х означает среднее арифметическое, х — каждую величину изучаемого ряда, ∑ означает сумму; σ означает среднеквадратическое отклонение; буквой n обозначают число членов изучаемого ряда.
Ниже представлен весь ход его обработки.
В опытах участвовало 50 испытуемых. Каждый из них выполнил 25 проб, по 1 мин каждая. Вычислено среднее для каждого испытуемого. Полученный ряд упорядочен, и все индивидуальные результаты представлены в последовательности от меньшего к большему.
85-93-93-99-101-105-109-110-111-115-115-116-116-117-117-117-118-119-121-121-122-124-124-124-124-125-125-125-127-127-127-127-127-128-130-131-132-132-133-134-134-135-138-138-140-143-144-146-150-158.
Для удобства дальнейшей обработки эти первичные данные соединены в группы. Благодаря группировке отчетливее выступает присущее данному ряду распределение величин и их численностей. Отчасти упрощается и вычисление среднего арифметического и среднеквадратического отклонения. Этим компенсируется количественное искажение информации, неизбежное при вычислениях на сгруппированных данных.
При выборе группового интервала следует принять во внимание такие соображения. Если ряд не очень велик, например содержит до 100 элементов, то и число групп не должно быть очень велико, например порядка 8-12. Желательно, чтобы при группировании начальная величина — при соблюдении последовательности от меньшей величины к большей — была меньше самой меньшей величины ряда, а самая большая — больше самой большой величины изучаемого ряда. Если ряд, как в данном случае, начинается с 85, группирование нужно начать с меньшей величины, а поскольку ряд завершается числом 158, то и группирование должно завершаться большей величиной. В ряду, который нами изучается, с учетом высказанных соображений можно выбрать групповой интервал в 9 единиц и произвести разбивку ряда на группы, начав с 83. Тогда последняя группа будет завершаться величиной, превышающей значение последней величины ряда (т. е. 159). Число групп будет равно 9. В табл. 1 представлены группы в их последовательности и все другие величины для вычисления среднего арифметического и среднеквадратического отклонения. Таблица состоит из 8 столбцов.
1-й столбец — группы, полученные после разбиения изучаемого ряда.
2-й столбец — средние значения интервалов по каждой группе.
3-й столбец показывает результаты «ручной» разноски величин ряда или иксов (каждая величина занесена в соответствующую ее значению группу в виде черточки).
4-й столбец — итог подсчета результатов разноски.
5-й столбец — произведения величин 2-го столбца на величины 4-го столбца по строчкам. Итоги 4-го и 5-го столбцов дают суммы, необходимые для вычисления среднего арифметического.
Таблица 1
Вычисление среднего арифметического и среднеквадратического
отклонения
| Границы интервалов | Средние интервалов х | Результат разноски |
Итоги разноски |
f *х | х – "х | (х - " х )2
|
f *(х - "х)2
|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 83-91 | 87 | I | 1 | 87 | -36 | 1296 | 1296 |
| 92-100 | 96 | 3 | 288 | -27 | 729 | 2187 | |
| 101-109 | 105 | 3 | 315 | -18 | 324 | 972 | |
| 110-118 | 114 | 10 | 1140 | -9 | 81 | 810 | |
| 119-127 | 123 | 16 | 1968 | 0 | 0 | 0 | |
| 128-136 | 132 | 9 | 1188 | 9 | 81 | 729 | |
| 137-145 | 141 | 5 | 705 | 18 | 324 | 1620 | |
| 146-154 | 150 | 2 | 300 | 27 | 729 | 1458 | |
| 155-163 | 159 | I | 1 | 159 | 36 | 1296 | 1296 |
n = 50 ; ∑f * х = 6150 ; ∑f *(х - " х )2
= 10368
6-й столбец показывает построчные разности между значениями х 2-го столбца и средним арифметическим "х.
7-й столбец — квадрат этих разностей.
8-й столбец показывает построчные произведения значений 4-го и 7-го столбцов. Суммирование величин этого столбца дает итог, необходимый для вычисления среднеквадратического отклонения.
Включение буквы f, означающей, насколько часто встречалась та или другая величина, ничего не изменяет в формулах среднего арифметического и среднеквадратического отклонения. Поэтому формулы
" х = ∑х/ n = ∑f *х/ n
Как и формулы вполне тождественны.
σ = √∑ (х - " х )2
/ n = √∑f * (х - " х )2
/ n
Остается показать, как вычисляются по формулам среднее арифметическое и среднеквадратическое отклонение. Обратимся к величинам, полученным в табл. 1:
" х = 6150/50 = 123
При составлении табл. 1 это число было заранее вычислено, без него нельзя было бы получить числовые значения 6, 7 и 8-го столбцов таблицы.
σ = √10368/50 = √207,3 = 14,4
При обработке изучаемого ряда оказалось возможным применение параметрического метода; визуально можно заметить, что распределение численностей приближается к нормальному.
Нормальное распределение обладает некоторыми весьма полезными для исследователя свойствами. Так, в границах "х ± σ находится примерно 68 % всего ряда или всей выборки. В границах "х ± 2σ находится примерно 95 %, а в границах "х ± 3σ - 99,7 % выборки. В практике исследований часто берут границы "х ± 2/3σ. В этих границах при нормальном распределении будут находиться 50 % выборки; распределение это симметрично, поэтому 25 % окажутся ниже, а 25 % выше границ "х ± 2/3σ. Все эти расчеты не требуют никакой дополнительной проверки при условии, что изучаемый ряд имеет нормальное распределение, а число элементов в нем велико, порядка нескольких сотен или тысяч.
Для рассматриваемого примера необходимо также вычислить коэффициент вариации по формуле:
V = σ/ "х ·100 %.
В примере, который был рассмотрен выше,
V = 14,4/123 ·100% = 11,7%.
Выполнив все эти вычисления, психолог может представить информацию об изучении двигательной скорости с помощью примененной методики в шестых классах. Согласно результатам изучения в шестых классах, получены:
· среднее арифметическое — 123;
· среднеквадратическое отклонение — 14,4;
· коэффициент вариации — 11,7 %.
Если значения изучаемого признака измерены в порядковой шкале, то в качестве меры центральной тенденции выступает медиана, а характеристикой диапазона варьирования выступает среднее квартальное отклонение.
Вот пример.
После проведения диагностических испытаний уровня умственного развития учеников шестого класса все полученные данные были упорядочены, т. е. расположены в последовательности от меньшей величины к большей. Испытания проходили 18 учащихся. Буквами обозначены учащиеся, числами — полученные ими баллы по тесту, столбцы под буквами R — ранги (табл. 2).
Процедура ранжирования состоит в следующем. Все числа ряда в их последовательности получают по своим порядковым местам присваиваемые им ранги. Если какие-нибудь числа повторяются, то всем повторяющимся числам присваивается один и тот же ранг — средний из общей суммы занятых этими числами мест. Так, числу «28» в изучаемом ряду присвоен ранг «2». Затем следуют трижды повторяющиеся числа «39». На них приходятся занятые ими ранговые места «3», «4», «5». Поэтому этим числам присваивается один и тот же средний ранг, в данном случае — «4». Поскольку места до 5 включительно заняты, то следующее число получает ранг «6» и т. д.
Таблица 2
Ранжирование результатов
| Учащиеся | Баллы по тесту | Ранг (R) | Учащиеся | Баллы по тесту | Ранг (R) |
| А | 25 | 1 | К | 68 | 10 |
| Б | 28 | 2 | Л | 69 | 11,5 |
| В | 39 | 4 | м | 69 | 11,5 |
| Г | 39 | 4 | н | 70 | 14,5 |
| д | 39 | 4 | О | 70 | 14,5 |
| Е | 45 | 6 | п | 70 | 14,5 |
| Ж | 50 | 7 | р | 70 | 14,5 |
| 3 | 52 | 8,5 | с | 74 | 17,5 |
| И | 52 | 8,5 | т | 74 | 17,5 |
При обработке ряда, не имеющего признаков нормального распределения, иначе — непараметрического ряда, — для величины, которая выражала бы его центральную тенденцию, более всего пригодна медиана, т. е. величина, расположенная в середине ряда. Ее определяют по срединному рангу по формуле.
Медиана ряда определяется по ранговой медиане:
MeR = (n +1)/2
где n — число членов ряда.
Возьмем, к примеру, ряд в семь членов: 3-5-6-7-9-10-11.
Проранжировав этот ряд, имеем:
1-2-3-4-5-6-7.
Ранговая медиана
MeR = (7 + 1)/2 = 4 ,
дает медиану рассматриваемого ряда Me = 7.
Возьмем ряд в восемь членов: 3-5-6-7-9-10-11-12.
Проранжировав этот ряд, имеем:
1-2-3-4-5-6-7-8.
Ранговая медиана в этом ряду равна:
MeR = (8+1)/2 = 4,5
Этому рангу соответствует середина между двумя величинами, имеющими ранг 4 и ранг 5, т. е. между 7 и 9. Медиана этого ряда равна:
Me = (7 + 9)/2 =8
Следует обратить внимание на то, что величины 8 в составе ряда пет, но таково значение медианы этого ряда.
Вернемся к изучаемому ряду. Он состоит из 18 членов. Его ранговая медиана равна:
MeR = (18+1)/2= 9,5.
Она расположится между 9-й и 10-й величиной ряда. 9-я величина ряда - 52, 10-я величина ряда - 68. Медиана занимает срединное место между этими величинами, следовательно:
Me = (52 + 68)/2 = 60
По обе стороны от этой величины находится по 50% величин ряда. Характеристику распределения численностей в непараметрическом ряду можно получить из отношения его квартилей. Квартилью называется величина, отграничивающая 1/4 всех величин ряда. Квартиль первая - ее обозначение Q1- вычисляется по формуле:
Q1 = R1 + Rn/2(лев) / 2
Это полусумма первого и последнего рангов первой, левой от медианы половины ряда; квартиль третья, обозначаемая Q3, вычисляется, по формуле:
Q3 = Rn/2 + Rn/2(прав) / 2
т. е. как полусумма первого и последнего рангов второй, правой от медианы половины ряда. Берутся порядковые значения рангов по их последовательности в ряду. В обрабатываемом ряду
Q1 = (1+9)/2 = 5, Q3 = (10+18)/2 = 14
Рангу 5 в этом ряду соответствует величина 39, а рангу 14 - величина 70.
Для характеристики распределения в непараметрическом ряду вычисляется среднее квартальное отклонение, обозначаемое Q.
Формула для Q такова:
Q = (Q3 - Q1)/2
В обрабатываемом ряду Q3 = 70, a Q1 = 39, следовательно:
Q = (70 – 39)/2 =15,5.
Были рассмотрены статистическая обработка параметрического ряда ("х и σ) и статистическая обработка непараметрического ряда (Me и Q). Параметрический ряд относится к шкале интервалов, непараметрический — к шкале порядка. Но встречаются также ряды, относящиеся к шкале наименований. Наиболее краткая, но малоинформативная характеристика такого ряда может быть получена с помощью моды — величины в ряду, имеющей наибольшую численность из числа п — членов ряда. Следует заметить, что моду можно лишь условно считать выражением центральной тенденции в ряду, относящемуся к шкале наименований. Она выражает наиболее типичную величину ряда.
Рассмотрим пример, где речь идет об участниках некой конференции; в их числе 3 англичанина, 2 датчанина, 5 немцев, 1 русский и 2 француза. Мода в данном ряду приходится на участников конференции — немцев. Число членов ряда — 13, а мода Мо = 5.