В. А. Тестов
В педвузах страны проделана большая работа по составлению новых учебных планов и программ на основе государственных образовательных стандартов высшего профессионального образования второго поколения.
Подготовка учителя математики, удовлетворяющего современным требованиям, возможна лишь на основе системного, целостного подхода к обучению. До сих пор при составлении учебных планов преобладало "перетягивание одеяла" между отдельными предметами и кафедрами. При отборе содержания предметной подготовки в педвузе необходимо основываться на той роли, которую играют отдельные виды математических структур в подготовке учителя математики и в его будущей профессиональной деятельности. Профессионализации предметной подготовки учителя математики в педагогическом вузе посвящены концепция профессионально-педагогической направленности обучения (А.Г. Мордкович, Г.Л. Луканкин, Г.Г Хамов и др.) и концепция фундирования опыта личности (В.Д. Шадриков, В.В. Афанасьев, Е.И. Смирнов и др.).
При рассмотрении профессиональной направленности математической подготовки будущих учителей математики необходимо исходить из современного понимания профессионализма учителя математики, его профессионального мастерства. В последние десятилетия была создана целая наука о мастерстве профессиональной деятельности человека, его профессионализме - акмеология. В рамках этой науки был выделен ряд общих признаков профессионализма в разных профессиях:
владение специальными знаниями о целях, содержании, объектах и средствах труда;
владение специальными умениями на подготовительном, исполнительском, итоговом этапах деятельности;
овладение специальными свойствами личности и характера, позволяющими осуществлять процесс и получать искомые результаты.
В соответствии с этим взглядом в профессионализме учителя математики можно выделить три аспекта:
содержательный (наличие специальных математических знаний),
технологический (владение методами обучения математике),
личностный (владение некоторыми чертами личности).
Наибольшее внимание ученых привлек содержательный аспект профессионализма учителя математики. Большинство из них признало, что математическое образование в педвузах имеет специфические особенности и должно коренным образом отличаться, например, от образования в классических университетах. В педвузе должна отводиться особая роль изучению математических структур, наиболее важных с точки зрения профессиональной направленности. Необходима фундаментальная математическая подготовка учителя, обеспечивающая ему действенные математические знания в пределах, далеко выходящих за рамки школьного курса математики, и универсальность во владении им различными математическими учебными предметами в школе, но эта фундаментальность является не целью, а средством подготовки учителя, а потому должна быть согласована с нуждами приобретаемой профессии.
В основе математики как науки лежат специальные структуры, называемые математическими (алгебраические, порядковые, топологические). Некоторые из математических структур могут являться непосредственными моделями реальных явлений, другие - связаны с реальными явлениями лишь посредством длинной цепи понятий и логических структур. Из такого взгляда на предмет математики вытекает, что в любом математическом курсе должны изучаться математические структуры.
Однако эффективность и качество обучения математике определяются не только глубиной и прочностью овладения учащимися знаниями, умениями и навыками, но и уровнем их математического развития, степенью подготовки к самостоятельному овладению знаниями. Сами по себе математические знания и умения еще не определяют уровень умственного развития человека без умения использовать их в новых нестандартных ситуациях, без готовности к самостоятельному решению новых учебных проблем, не обязательно из области математики. Математическое развитие личности невозможно без адекватного содержания математического образования. В понятие "содержание образования" входит две стороны, две компоненты: информационная и познавательная.
Поэтому знания следует рассматривать, с одной стороны, как результат мыслительных действий, а с другой - как процесс получения этого результата. Для усвоения должны задаваться две системы знаний. Знания первого рода включают в себя научные сведения о предметах, фактах, явлениях в их связях и отношениях. В знаниях второго рода зафиксированы путь и методы получения этих знаний учеником.
Таким образом, для обеспечения математического развития у студентов должны быть сформированы не только алгебраические, порядковые и топологические структуры, которые представляют собой прежде всего системы хранения знаний. Необходимо сформировать и структуры, которые представляют собой определенные качества математического мышления, которые являются прежде всего средствами, методами познания. Такие структуры называются схемами математического мышления.
К таким математическим схемам могут быть отнесены логические схемы, схемы конструирования алгоритмов, комбинаторные, стохастические схемы, а также образно-геометрические схемы. Именно такие математические схемы являются, в первую очередь, средствами для исследования реальных явлений и процессов. Все выделенные схемы математического мышления обладают одной общей характерной чертой: их формирование возможно осуществить лишь в течение длительного времени. Организация формирования схем математического мышления должна учитывать возрастные особенности учащихся, закономерности развития у них мыслительных процессов. Необходимо создание своеобразных концентров изучения таких схем.
Содержательный аспект профессионализма выдвигает на первый план идею связи конкретного математического курса педвуза и соответствующего школьного предмета. Реализация этой связи обеспечивает целеустремленность курса, понимание студентами перспективы его изучения, а значит, способствует сознательности усвоения курса. Это положение А. Г. Мордкович назвал принципом ведущей идеи. Фактически эта же идея присутствует и в концепции фундирования, в соответствии с которой содержание обучения разворачивается по 6 базовым учебным предметам сквозного характера, продолжающим и углубляющим содержательные линии школьной математики (математический анализ, алгебра, геометрия, алгоритмика, стохастика, элементарная математика) [1. С. 200].
В Вологодском педуниверситете при составлении учебного плана были выделены первые пять из этих содержательных линий. Что касается элементарной математики, то она появляется в учебном плане начиная лишь с 7 семестра и тесно увязана с курсом методики обучения математике. В первые семестры во все основные математические курсы включены вопросы из элементарной математики. Такое включение в курсы высшей математики вопросов из элементарной рекомендовалось целым рядом ученых (М. В. Потоцкий, Г. Г. Хамов и др.). Это позволяет обеспечить наиболее естественную постановку преподавания, поскольку высшая математика возникла в результате развития элементарной, позволяет осуществить важную в педагогическом отношении преемственность между элементарной и высшей математикой. Эта связь облегчает понимание высшей математики, конкретизируя многие ее проблемы, связывая новое со старым и тем самым облегчая понимание и запоминание этого нового. На всех этапах формирования математических структур следует анализировать и обобщать ранее приобретенный опыт обучающихся, в частности, с точки зрения вводимых понятий рассматривать содержание отдельных тем школьных учебников по математике. Это значительно повышает интерес студентов к учебе.
Принцип ведущей идеи позволяет осуществить преемственность не только между школьным курсом математики и вузовскими математическими курсами, но и между обучением в вузе и трудовой деятельностью учителя математики. Реализация этого принципа позволяет довести до студентов то, как связаны вопросы вузовского курса с школьным курсом математики, зачем изучается тот или иной вопрос, как он связан с деятельностью учителя математики, сопоставлять в наиболее существенных случаях школьный и вузовский варианты изложения того или иного раздела, введения того или иного понятия.
Особое значение с точки зрения профессиональной направленности математических курсов приобретают такие проявления преемственности, как повторение и пропедевтика. Роль повторения велика, прежде всего, в реализации преемственных связей между средней школой и вузом. Повторение школьного курса математики в вузе должно обеспечивать непрерывное развитие представлений о математических структурах, то есть должно иметь место не повторение ради повторения, не просто сохранение связей, а упрочение старых и установление новых. С этой целью следует на лекциях, практических занятиях по возможности больше ссылаться на известные из школы учащимся теоремы, примеры, позволяющие им лучше понять новый математический факт или с более высокой ступени взглянуть на уже известный.
На наш взгляд, организации повторения должна способствовать прежде всего сама структура математических курсов, когда спиралевидное построение программ позволяет естественным образом производить повторение на более высокой ступени представлений о математических структурах, устанавливать новые связи между старыми знаниями.
Преемственность тесно связана с пропедевтикой, поскольку необходима постепенность перехода от отдельных математических фактов к их обобщениям. Формирование и развитие общих представлений студентов о математических структурах должно осуществляться постепенно, в процессе изучения конкретных примеров таких структур с последующими обобщениями их свойств. Начинать надо с подготовки в сознании и памяти студента тех познавательных структур (понятий, принципов), которые необходимы для того, чтобы осмыслить предстоящий фактический материал, понять связи изучаемых классов вещей и явлений.
В последнее время наряду с пропедевтическими курсами как подготовительными курсами с более элементарной формой изложения все чаще и чаще начинают рассматривать пропедевтику отдельных наиболее важных для курса математических понятий, т.е. в современном понимании понятие пропедевтики смыкается с понятием концентрического изложения материала.
Пропедевтика - трудоемкая и достаточно тонкая работа, которой студента надо учить в стенах вуза не только на словах, но и на деле. В математических курсах педвузов пропедевтика служит двум целям: изучению данного курса (или раздела его) и косвенному обучению студента приемам осуществления пропедевтики. Она может реализоваться по двум направлениям: первое - вводные лекции перед изучением того или иного раздела, в которых ограничиваются наглядными соображениями; второе - использование понятия до его строгого формального определения на незавершенном конкретно-интуитивном уровне.
В концепции фундирования выделяются три уровня усвоения математических знаний (три слоя фундирования):
профессиональный (1-3 семестры), предназначенный для формирования ближайшего видового обобщения базовых учебных элементов школьной математики;
фундирования (4-6 семестры), предназначенный для освоения глубокого теоретического обобщения базовых учебных элементов школьной математики;
технологический (7-10 семестры), предназначенный для освоения технологических приемов профессиональной деятельности и методического обоснования изучения базовых учебных элементов школьной математики [1. С. 200-201].
В Вологодском педуниверситете также выделяются три уровня усвоения знаний: пропедевтический (1-2 семестр), уровень фундаментальной подготовки (3-7 семестры) и технологический (7-10 семестры).
На третьем уровне большая роль принадлежит курсу элементарной математики. Курсы элементарной алгебры и геометрии продолжают, с одной стороны, основные сквозные содержательные линии, что позволяет студентам переосмыслить идеи и методы математики на новом уровне - уровне школьных задач. С другой стороны, эти курсы закладывают основы методической подготовки будущего учителя математики и тесно увязаны с курсом методики обучения математике.
Необходимость пропедевтики основных математических курсов вызывается недостаточной мате
Так, в курсе алгебры на предварительном этапе целесообразно рассмотреть основные числовые системы и дать понятие о числовых группах, кольцах и полях, а также рассмотреть теорию делимости для целых чисел и многочленов. Однако и на этом этапе курс алгебры не должен превращаться в курс элементарной алгебры. Уже на этом этапе студенты должны получить на конкретных примерах первоначальное понятие об основных алгебраических структурах. В частности, кроме числовых групп, полезно рассмотреть группы подстановок.
С пропедевтикой тесно связано еще одно положение, вытекающее из закона соответствия процесса развития знаний и мышления у ребенка и исторического процесса рождения и становления знаний: процесс формирования и развития понятий о математических структурах в основном должен в сжатом, сокращенном виде воспроизводить действительный исторический процесс рождения и становления этих понятий.
Это положение выдвигается многими математиками и называется генетическим методом, или принципом историзма. Лучший способ вести умственное развитие индивидуума - заставить пройти его умственное развитие человеческого рода, пройти, естественно, его большие линии, а не тысячи мелких ошибок.
Нарушение этого положения может привести к трудностям в преподавании математики, к непониманию материала. Так, в современной высшей школе основные понятия математического анализа предлагаются студентам сразу в их законченной и наиболее развитой форме, к которой наука пришла в процессе длительного исторического и логического развития. Но в этом случае студенты лишены возможности наблюдать развитие понятий, процесс их становления и развития. Становится непонятным, для чего их изучают и откуда они взялись. Это одна из причин тех бед, которые есть в преподавании математики.
С точки зрения профессиональной направленности в математическом образовании будущих учителей математики важное место занимают курсы (или разделы) "Числовые системы", "Основания геометрии", "Теория изображений" и т.п., не изучаемые в университетах. В то же время ряд университетских математических курсов, которые важны для приложений к другим наукам, но далеких от школьного курса математики, в педвузах или не изучается вовсе, или изучается совсем с другими целями.
Так, для будущих учителей математики изучение дифференциальных уравнений важно не само по себе, а лишь в связи с необходимостью закрепить уже изученные разделы математического анализа. Поэтому в программе курса "Дифференциальные уравнения" следует отдать предпочтение тем вопросам, рассмотрение которых основано на использовании как можно большего числа разделов математического анализа, уже изученных студентами на младших курсах.
Большое значение для математического образования учителя имеют такие алгебраические понятия, как группы, кольца, поля, векторные пространства и др. Для всех этих вопросов создается возможность эффективного повторения в курсе "Числовые системы". В этом курсе скрещиваются основные алгебраические, порядковые и топологические структуры, и в то же время этот курс является основой профессиональной деятельности учителя в школе, где изучение и употребление чисел составляет главную линию математики - предмета. В этом курсе, после того как будут прослушаны основные курсы алгебры и теории чисел, геометрии и математического анализа, студенту следует предложить посмотреть на школьную математику с новых позиций, осознать ее нестрогость в ряде мест, обнаружить и устранить пробелы в школьных доказательствах, перевести интуитивные знания о числах на твердую основу доказательств, исходя из аксиом.
Изучение разделов, общих для педвузовских, университетских и технических вузов, в соответствии с принципом фундаментальности в педвузах также должно иметь свои особенности. Каждому учителю приходится обучать учащихся овладению основными математическими понятиями, умению строго и точно рассуждать. "А это значит, - отмечает М.В. Потоцкий, - что в преподавании в педвузе как раз особое и решающее значение приобретает изучение основных понятий математики, всевозможных тонких выводов, исключительных случаев с самым скрупулезным объяснением их сущности" [6. С. 43]. Всевозможные же выкладки нужны в педвузе лишь постольку, поскольку они служат пониманию этих вопросов и их простейшему применению.
Весьма важным при этом является вопрос о выборе уровня строгости изложения. Как совершенно правильно отмечает А. Г. Мордкович, будущий учитель должен понимать, что строгие логические рассуждения - отличительный признак математики, характерная черта математического мышления, математической культуры; развитое в математике умение строго рассуждать есть элемент общей культуры человека. Но, с другой стороны, излишняя формализация математики во многих случаях препятствует развитию интуиции и полноценному усвоению материала, формально-логическая строгость вывода не адекватна внутренней убедительности. Поэтому целесообразно варьировать уровни строгости, не забывая при этом пояснить студенту, в чем состоит нестрогость рассуждения или определения, где граница применимости такого рассуждения, когда это рассуждение или нестрого введенное понятие допускает нечеткость или неоднозначность восприятия [5. С. 106-107].
Технологический аспект профессионализма учителя математики требует, разумеется, специальной методической подготовки будущего учителя. Однако этот аспект является неотъемлемой частью и математической подготовки. Как отмечает А.Г. Мордкович, одним из непременных условий профессионально-педагогической направленности обучения "является положение о том, что основу построения математической дисциплины в педвузе составляет объединение общенаучной и методической линий" [5. С. 77]. Это положение он назвал принципом бинарности. В соответствии с этим принципом комплекс математических дисциплин педвуза должен обеспечить студенту не только достижение широкого кругозора в математике, определенного уровня математической культуры, но и знакомство с методами изложения школьного курса математики.
Технологический аспект математический подготовки учителя должен носить непрерывный характер, т. е. все математические курсы должны участвовать в процессе непрерывного достижения студентами педагогической деятельности. Это позволяет перевести студентов с самого начала учебы в вузе с позиции школьника на позицию учителя, что придает этому аспекту математический подготовки ярко выраженный творческий характер, способствует выработке у студентов собственных элементов технологии. Как показала Н. В. Кузьмина, "в процессе творческой профессионально-педагогической деятельности педагог вырабатывает собственные психолого-педагогические технологии, в которых есть повторяющиеся элементы, содержащие автоматизмы, обеспечивающие процесс творчества" [2. С.67].
Кроме технологического аспекта, для продуктивной профессиональной деятельности существенное значение имеет личностный аспект. Так, А. А. Дергач и Н. В. Кузьмина, определяя профессионально важные качества личности как "проявление психологических особенностей личности, необходимых для усвоения специальных знаний, способностей и навыков, а также для достижения общественно приемлемой эффективности в профессиональном труде", считают, что таковые качества включают в себя "интеллектуальные (мышление), нравственные (поведение), эмоциональные (чувства), волевые (способность к самоуправлению), организаторские (механизм деятельности)" [1. С. 11-12.].
При этом особое значение для осуществления профессиональной деятельности имеет не столько уровень выраженности этих отдельных важных свойств личности, сколько их тесные и положительные взаимосвязи, благодаря которым возникает процесс их взаимоусиления.
На роль изучения математических курсов в формировании математического мышления указывали многие ученые. В этой части личностный аспект смыкается с принципом развивающего обучения, требует, чтобы обучение велось на таком уровне трудности, который находился бы в "зоне ближайшего развития" учебных возможностей личности, требует максимального учета индивидуальных особенностей личности студента, а также психологических закономерностей, которые касаются фаз психического развития студентов.
Но роль математики состоит также и в том, что формирование математических структур мышления позволяет развить не только математические способности, но ум человека, его личность в целом. Математическому мышлению присущи все качества научного мышления (логичность, способность к обобщению, гибкость, рациональность и т.д.), поэтому при помощи математики можно развить все эти качества. Студенты при изучении математики получают представление о роли четких определений и формулировок, о способах логического вывода, они знакомятся с методами решения возникающих перед ними проблем, имеющих и внематематическое значение (аналогия, сравнение, обобщение, анализ и синтез и т.д.). Обучение математике на социокультурном опыте, формирование у студентов логических, алгоритмических и комбинаторных схем мышления несомненно способствует формированию организаторских навыков умственного труда (планированию своей работы, поиску рациональных путей ее выполнения, критической оценке результатов и т.п.).
Личностный аспект обучения математике состоит также в его нравственной стороне. Изучение математики, ее структур вырабатывает в человеке потребность преодолеть сопротивление между нашими представлениями и их научным обоснованием, что способствует не только четкости, логичности мысли, но и воспитывает такие морально-этические и волевые качества, как аккуратность, аргументированность, принципиальность, умение воспринимать иное мнение, преданность истине, упорство в достижении цели, трудолюбие и честность. Духовное развитие личности происходит путем воздействия изучения математики не только на разум человека, но и на его эмоциональную сферу.
Математика в некоторых своих отношениях отмечена такими чертами, которые создают ей воспитательные возможности более значительные, чем у других дисциплин. Изучающий математику быстро привыкает к тому, что успех может принести только непредубежденное, беспристрастное напряжение мысли.
Духовное совершенствование личности студента невозможно без осознания взаимодействия эстетики и математики. Необходимо использовать все возможности для того, чтобы научить студентов видеть эстетические моменты, внутреннюю гармонию в математическом содержании изучаемой дисциплины, понимать единство истины и красоты. Большим эстетическим потенциалом обладают многие разделы как в школьном, так и в вузовском курсе математики, но не менее важна и другая эстетика - процессуальная, связанная с подачей материала, его записью, изображением, его восприятием и пониманием.
Личностный аспект обучения математике может быть раскрыт лишь в случае, когда на лекциях, в учебных пособиях уделяется первостепенное внимание обращенности к личности студента, формированию его интереса к знаниям.
Список литературы
Афанасьев В. В., Поваренков Ю. П., Смирнов Е. И., Шадриков В. Д. Профессионализация предметной подготовки учителя математики в педагогическом вузе. Ярославль, 2000.
Дергач А.А., Кузьмина Н.В. Акмеология: пути достижения вершин профессионализма /Российская академия управления. М., 1993.
Кузьмина Н.В. Профессионализм деятельности преподавателя и мастера производственного обучения профтехучилища. М., 1989.
Мордкович А.Г. Профессионально-педагогическая направленность специальной подготовки учителя математики в педагогическом институте. Дисс. ... д-ра пед. наук. М., 1986.
Потоцкий М.В. Преподавание высшей математики в педагогическом институте. М.: Просвещение, 1975. 208 с.
Тестов В.А. Стратегия обучения математике. М.: Технологическая школа бизнеса, 1999. 303 с.