Н.Г. Рыженко, Н.А. Жигачева, Омский государственный педагогический университет, кафедра методики преподавания математики
Анализ школьной практики показывает, что формирование умения у учащихся вести поиск решения сюжетных задач, организация стратегии и тактики этого поиска учителем невозможна без выявления структуры решения задачи - основных ее частей (структурных элементов) и отношений между ними. Предварительно напомним определение некоторых используемых понятий [1, 2].
Определение 1. Отношением R на множестве M называется подмножество R множества MxM = M2.
Пусть M = {0; 2; 5; 7}, тогда M2 = {0;0; 0;2; 0;5; 0;7; 2;0; 2;2;2;5; 2;7; 5;0; 5;2; 5;5; 5;7; 7;0; 7;2; 7;5; 7;7}.
Из множества M2 выделим подмножество R тех пар x;y, в которых xy. Выпишем эти пары: {2;0; 5;0; 5;2; 7;0; 7;2; 7;5}. Если x; y R, то "х находится в отношении R с у" или xRy. Само выражение xRy называется соотношением.
Определение 2. Отношение R на множестве M называется отношением строгого порядка (или строгим порядком), если оно антирефлексивно и транзитивно. Множество M с заданным на нем отношением строгого порядка R, т.е. пару M; R, называют упорядоченным множеством. Наглядно отношение строгого порядка можно представить в виде модели.
Определение 3. Моделью называется кортеж M; R1, R2, ..., Rm , где M - некоторое множество, а R1, R2,..., Rm - отношения на этом множестве (не обязательно бинарные).
В педагогических исследованиях широкое применение получили модели, в которых в качестве структуры объекта исследования выступает граф.
Определение 4. Графом Г называется непустое множество M и множество отношений, заданных на M [2].
Граф (рис.1) является моделью бинарного отношения R. Круги, соответствующие числам, - вершины графа; ориентированные отрезки, соединяющие вершины - ребра графа (дуги). Это модель M;с одним (бинарным) отношением строгого порядка.
Рис. 1
Рассмотрим специальный класс отношений строгого порядка - так называемые древесные порядки. Пусть имеется множество M с отношением строгого порядка . Элемент x0 называется наибольшим, если для всякого у M, отличного от x0, выполнено соотношение уx0. Очевидно, что наибольший элемент, если он существует, единствен.
Определение 5. Отношение строгого порядка на множестве M называется отношением древесного порядка (или древесным порядком), если
1) из того, что xу и xz следует, что у и z сравнимы;
2) во множестве М, , существует наибольший элемент.
Множество M с заданным на нем древесным порядком называют деревом, а наибольший элемент - корнем дерева. Для конечного дерева существует числовая характеристика - сложность дерева, которую будем отождествлять со сложностью решения задачи.
На рис.2 изображены деревья, имеющие одинаковое число вершин, и показан способ нахождения сложности дерева ((Дi)).
Рис. 2
Так, например, сложность вершины (x1) = 2·7, где 2 - число ребер, входящих в x1; 7 - число всех вершин, включая и саму вершину x1. Аналогично - (у) = 2·5 и т.д. Суммарная сложность всех вершин и дает сложность дерева Дi:
(Д1) = 2·7+2·5 + 2·3 = 30, соответственно
(Д2) = 3·7+3·4 = 33,
(Д3) = 2·7+2·3+2·3 = 26 [1, c. 141-142].
Заметим, что граф с бинарным отношением строгого порядка можно "расслоить" в дерево.
Проводя семантический анализ сюжетных задач, Л. М. Фридман [3] выделил следующие виды отношений, связывающих величины и их значения: отношение соединения; отношение отнимания; отношение сравнения (если величина задана двумя своими значениями): разностное отношение или кратное отношение двух значений величины, отношение разбиения (разделения); отношение-зависимость. Эти отношения являются уже не бинарными, а тернарными.
Будем рассматривать задачу как систему, т.е. как множество элементов, находящихся в определенном отношении друг к другу, причем это отношение обладает определенным свойством [4]. При построении моделей систем нужно учитывать то важное обстоятельство, что будучи аналогом системы модель не может достигнуть степени сложности оригинала. В модели стремятся отразить какое-нибудь одно отношение или структуру, специально выделенную для исследования. Поэтому моделирование по своей логической структуре напоминает умозаключение по аналогии. Вывод по аналогии о некоторых свойствах модели может быть экстраполирован на оригинал (систему) только в том случае, если отношения между элементами модели и системы установлены по одним и тем же свойствам и понимаются в одном и том же смысле. Эти отношения являются внутренними [4]. Отношение между величинами в задаче (отношение равенства) может быть установлено по разным свойствам:
a·b = c - по мультипликативным свойствам;
a+b = с - по аддитивным свойствам.
В дереве дуги задают бинарное отношение между вершинами. В задаче же отношение между величинами является тернарным, и устанавливается оно по разным свойствам. Поэтому будем рассматривать дерево, в котором фиксируется свойство, по которому установлено тернарное отношение равенства и называть его дерево-оператор (в дальнейшем просто дерево).
Моделирование сюжетных задач с помощью дерева рассмотрим на примере структурирования простейших задач. Структурирование - мыслительная деятельность по установлению отношений между величинами задачи. Для этого, используя восходящий анализ, построим граф - поиск решения задачи [5].
Задача I.1. Скорость велосипедиста 15 км/ч. Какое расстояние он проедет за 2 часа?
В задаче рассматривается одна ситуация - равномерное движение велосипедиста, характеризующееся тремя взаимосвязанными величинами: скорость движения V, время движения t и пройденный путь S. Эти величины связаны между собой формулой S = V·t. Если отвлечься от конкретного содержания задачи, то, обозначив первую величину через a, вторую - через b и третью - через c, получим зависимость между этими величинами: a·b = c.
Если рассматривать задачу как систему, то элементами ее решения будут значения величин (среди них два структурных элемента - известны, а одно значение - путь, является искомым); между величинами установлено тернарное отношение равенства по мультипликативному свойству. Ясно, что отношение является внутренним.
Итак, есть множество, состоящее из трех величин, между значениями эт
Рис. 3
c = a·b. В силу обратимости операций умножения и деления можно найти a = c/b или b = c/a.
Моделью решения сюжетной задачи является дерево. Оно характеризует структуру решения сюжетной задачи и сложность решения, отождествляемую со сложностью дерева: = 2·3 = 6. Структурными элементами решения задачи являются вершины дерева.
Задача I.2. Из двух пунктов навстречу друг другу выехали два велосипедиста. Найти их скорость сближения, если скорость первого 15 км/ч, а скорость второго 13 км/ч.
В задаче задана одна величина a - скорость и три ее значения, из которых два известны, и одно искомое - скорость сближения. Дерево (рис. 4а) характеризует отношение сложения : a = a1+a2. В силу обратимости операций сложения и вычитания можно найти a1 = a-a2 или a2 = a-a1. Сложность решения задачи: = 2·3 = 6.
Структурными элементами решения задачи являются три значения величины.
Поскольку в одной и той же задаче могут быть как отношение соединения, так и отношение отнимания, то для этих отношений целесообразно рассмотреть два дерева (рис. 4а и 4б).
Рис. 4
Задача I.3. Скорость первого велосипедиста 12 км/ч, а скорость второго на 3 км/ч больше. Какова скорость второго велосипедиста?
Величина, рассматриваемая в задаче, - скорость задана двумя значениями: скорость первого велосипедиста a1 = 12 км/ч и скорость второго велосипедиста a2 - искомое значение. Имеющееся же в условии задачи данное: "на 3 км/ч больше" - не является значением рассматриваемой величины, а есть размер разностного сравнения заданных двух значений величины - скорости.
Дерево характеризует отношение разностного сравнения: a2 = a1+3 (рис. 5). Сложность решения задачи: = 2·3 = 6. Структурными элементами решения задачи являются два значения одной величины и размер разностного сравнения.
Рис. 5
Задача I.4. Скорость велосипедиста 15 км/ч, а скорость мотоциклиста в 3 раза больше. Найти скорость мотоциклиста.
В задаче I.4 задано отношение кратного сравнения двух значений величины - скорости. Дерево (рис. 6) и характеризует это отношение: a2 = 3а1. Сложность решения задачи: = 2·3 = 6.
Структурные элементы решения задачи: два значения величины (скорости) : a1 = 15 км/ч - известное, a2 - искомое, 3 - размер кратного сравнения скоростей.
Рис. 6
Задача 2. Велосипедист, двигаясь со скоростью 12 км/ч, проехал 24 км. Какое расстояние пройдет за это время мотоциклист, скорость которого 36 км/ч?
Величины, рассматриваемые в задаче: скорость, время и расстояние. Расстояние задано двумя значениями, одно из них - искомое, скорость также имеет два значения: a1 = 12 км/ч, a2 = 36 км/ч. Значение величины времени одинаково как для велосипедиста, так и для мотоциклиста. В задаче рассматриваются две ситуации: равномерные движения велосипедиста и мотоциклиста, заданные отношением c = а·b, причем структурный элемент b является общим для обеих ситуаций (рис.7).
Рис. 7
Этот граф не является деревом, но его можно "расслоить" в лес (совокупность деревьев), каждое из которых описывает одну ситуацию (рис.8).
Рис. 8
Сложность леса в дальнейшем будем характеризовать как суммарную сложность деревьев, его составляющих:
= (c1)+(c2) = 6+6 = 12; 1) c1 = a1·b, b = c1/a1; 2) c2 = a2·b, c2 = a2·c1/a1.
Назовем деревья I.1 - I.4 деревьями I порядка сложности. Систематизацию задач в систему (систематизация - мыслительная деятельность по установлению более удаленных отношений) рассмотрим на примерах получения деревьев более высоких порядков сложности.
Задача 3. Скорость мотоциклиста на 20 км/ч больше скорости велосипедиста. Найти скорость велосипедиста, если известно, что расстояние между двумя пунктами, равное 96 км, мотоциклист проезжает за 3 часа.
Моделью структуры решения задачи является дерево. В модели два отношения: отношение зависимости и отношение разностного сравнения (рис.9):
с км - расстояние между пунктами; a2 км/ч - скорость мотоциклиста; a1 км/ч - скорость велосипедиста; b ч - время. 1) c = a2·b, 2) a2 = a1+20, 3) c = (a1+20)·b, a1 = (c-20b)/b. = 2·5+2·3 = 16.
Рис. 9
Задача 4. Из двух пунктов, расстояние между которыми 96 км, одновременно навстречу друг другу выехали велосипедист и мотоциклист и встретились через 2 ч. Найти их скорости, если скорость мотоциклиста в три раза больше, чем скорость велосипедиста.
Модель решения задачи приведена на рис.10.
Рис. 10
c, км - расстояние; b, ч - время; a1, км/ч - скорость велосипедиста; а2, км/ч - скорость мотоциклиста; 3 - размер кратного сравнения; а, км/ч - скорость сближения. 1. c = a·b; 2. a = a1+a2; 3. a2 = 3a1; 4. c = (a1+3a1)·b: c = 4a1·b; a1 = c/4b, a2 = 3c/4b; = 2·7 + 2·5 + 2·3 = 30.
Мы привели только несколько примеров выявления структур решения задач и определения сложности их решения с помощью деревьев. Эти примеры позволяют сделать следующие выводы.
Если рассматривать задачу как сложную систему, то:
1. Моделью решения задачи является дерево.
2. Структура решения задачи - это соответствующее ей дерево или лес, которые строятся из деревьев I порядка.
3. Структурные элементы решения задачи - вершины дерева: значения величин, как известные, так и неизвестные, среди них и искомые; числа, которые задают размер кратного или разностного сравнения между двумя значениями одной величины.
4. Дерево I порядка описывает простейшие отношения между величинами: отношения-зависимости, отношения соединения (отнимания), отношения разностного или кратного сравнения.
5. Отношения, характерные для дерева I порядка, являются внутренними, так как они зависят только от самих соотносящихся объектов (значений величин).
6. В деревьях более высоких порядков реализуется несколько внутренних отношений.
7. Структура решения задачи - объективная ее характеристика, которая позволяет дать количественную оценку, являющуюся основой для систематизации задач в систему по нарастающей сложности их решения. Структурный анализ решения задач в учебниках VII класса показал, что наибольшая сложность решения = 152, а наибольшее число задач приходится на сложность = 32.
Список литературы
Шрейдер Ю.А. Равенство, сходство, порядок. М.: Наука, 1971.
Березина Л.Ю. Графы и их применение. М., 1979.
Фридман Л.М. Логико психологический анализ школьных учебных задач. М., 1977.
Уемов А.И. Системы и системные исследования // Проблемы методологии системного исследования. М., 1970.
Крупич В. И. Структура и логика процесса обучения математике в средней школе: Метод. разработки по спецкурсу для слушателей ФПК. - М., 1985.