И.В. Бабичева, Б.К. Нартов, Омский танковый инженерный институт, кафедра математики и теоретической механики
Цели и содержание обучения математике в военно-инженерном вузе прагматичны и жестко определяются реальными, достаточно устойчивыми потребностями армии. Кроме того, система военно-профессионального обучения - консервативная. Это ее объективное свойство: на фоне тех или иных инноваций военные профессии функционально устойчивее гражданских. Таким образом, следует признать, что свобода возможной коррекции целей и содержания курса прикладной математики в военно-инженерном вузе сравнительно невелика. Нам представляется, что возможная интенсификация обучения составляет здесь в большей степени методическую проблему, а именно: проблему оптимальной организации межпредметного взаимодействия математики и военно-профессиональных дисциплин.
Обратимся за примером к важной группе задач теории массового обслуживания и теории надежности, предметная область которых охватывает большинство традиционных военных специальностей.
Можно отметить, что многие центральные задачи этой группы - в курсе математики и в курсе военно-профессиональной дисциплины -решаются дважды и по-разному:
1. В курсе математики - полнота применения методов прикладной математики на фоне изолированных фрагментов реальной задачи. Приведем [1] типичный пример анализа результатов решения в курсовой работе по математике: "Можно сказать, что система работает с перегрузкой. Для уменьшения длины очереди и загруженности каналов предлагается увеличить число каналов обслуживания". Очевидно, что корректный учет стоимости эксплуатации канала обслуживания и других существенных факторов может привести к прямо противоположной рекомендации - уменьшить число каналов обслуживания. Однако исходная, традиционно предлагаемая курсанту формулировка курсовой работы и не предполагает решения на последнем этапе задачи оптимизации количества каналов обслуживания! В результате корректное и зачастую весьма трудоемкое решение промежуточной задачи массового обслуживания по необходимости завершается "анализом из общих соображений"; 2.
В курсе военно-профессиональной дисциплины - завершающий этап реальной задачи, требующий лишь типовых расчетов. Так, например, в [2] решается задача определения периода планово-предупредительных работ для отдельного узла машины. Схема решения такова: по известному закону распределения плотности вероятности отказа узла строится соответствующая интегральная функция. Затем по заданной величине доверительной вероятности безотказной работы узла и графику интегральной функции графически определяется период планово-предупредительных работ. При этом необходимая предварительная задача определения оптимальной доверительной вероятности лишь упоминается как "сложная проблема, решаемая в полном объеме в центральных учреждениях". В данном случае авторы пособия не без основания ориентируются на военного специалиста действующих частей, где подобные задачи решаются на основе личного опыта эксплуатации или (по необходимости) сведены к использованию нормативных данных. Однако очевидно, что курсанты, ориентированные на продолжение военного образования и исследовательскую работу, должны осваивать полные схемы задач подобного рода. Необходимые для этого методы прикладной математики не выходят за пределы стандартного курса.
Существенно (см. выше) , что в обоих вариантах, как правило, отсутствует корректная постановка задачи. Под такой постановкой и понимается:
1) общий анализ конкретной технической проблемы и выделение существенных факторов; 2) формулировка задачи, обоснование и формализация критериев; 3) формализация задачи.
Реализация этих этапов в обучении, по нашему мнению, является "зоной ответственности" как преподавателя математики, так и преподавателя соответствующей военно-профессиональной дисциплины.
Соответствующая встречная коррекция курса математики и курсов военно-профессиональных дисциплин требует, разумеется, большой осторожности и заведомо нереализуема "с одной стороны". Имея в виду объективно большую методическую консервативность военно-профессионального обучения, можно предположить, что разумным компромиссом мог бы стать здесь сопровождающе-корректирующий, математический факультатив. Кроме прочего, подобный факультатив может, по-видимому, частично решить две другие очевидные проблемы военного образования: - во-первых, он в состоянии взять на себя функции задачно-методического "мостика" между математикой и специальными дисциплинами (в инженерных вузах подобный мостик достаточно эффективно реализуется общепрофессиональными дисциплинами); - во-вторых - это потенциально главная функция сопровождающего факультатива - возникает возможность перехода курсовой работы по математике в дипломный проект, что привлекательно с методической стороны и сокращает дублирование учебного материала.
Ниже предлагается вариант подобной, опорной, курсовой работы.
"Оптимизация схемы планово-предупредительных работ"
Примем следующие исходные данные: обслуживаемый объект - узел машины, заменяемый после отказа или планово. - плотность вероятности отказа узла, т.е. плотность вероятности продолжительности безотказной работы узла после замены
s1 - стоимость плановой замены узла; s2 - стоимость замены узла после отказа; s1<s2.
Обоснование этого условия - первая самостоятельная задача курсанта. Возможное "доказательство" может состоять здесь, например, в том, что отказ двигателя транспортной машины на марше может потребовать не только замены какого-либо узла, но и предварительной эвакуации машины в ремонтное подразделение.
Стратегия обслуживания узла - узел заменяется после отказа или планово - через время после очередной плановой замены или после очередного отказа . - Принимаемая здесь стратегия, разумеется, не универсальна. Следует оговорить, что она не обеспечивает, например, необходимого во многих задачах обслуживания уравнивания технических состояний узлов группы машин.
После обсуждения исходных данных курсанту могут быть предложены следующие задачи.
Задача 1.
Найти зависимость I - средней интенсивности затрат на обслуживание узла - от известных и назначаемого .
Уже формулировка этой задачи демонстрирует курсанту, что интервал планово-предупредительных работ выбирается отнюдь не из "общих соображений": при фиксированных прочих . (Предлагаемый критерий I, конечно, далеко не полон - как и исходные данные, в которые сле
Решение задачи 1
- плановая замена узла; - замена после отказа узла; - параметр процесса; .
Рис. 1. Процесс обслуживания узла
Курсант должен отчетливо различать, что - назначаемый нами параметр, а - случайная величина - продолжительность безотказной работы узла после очередной замены (Рис.2).
Рис.2
Вернемся теперь к изображенному на рис. 1 процессу обслуживания и выпишем вероятности P1 и P2 - вероятности перехода узла в состояния s1 и s2 соответственно. (Существенно, что P1 и P2 не зависят от исходного состояния узла). Из условий задачи
| (1) |
Теперь процесс обслуживания можно изобразить в виде последовательности "произвольных" событий (s1 и s2):
с вероятностью P1 в состояние s1 через время t1 с вероятностью P2=1-P1 в состояние s2 через время t2
Рис.3
Введем далее следующие обозначения: N - количество последовательных событий обслуживания узла (замен); T(N) - длина соответствующего временного интервала; S(N) - суммарная стоимость N событий.
Используя рис.3 и определение вероятности события, легко показать, что
| = | NP1s1+NP2s2, | (2) | |
| = | (3) |
где - математическое ожидание случайной величины .
Из (2) и (3) получаем предварительный вид I - искомой средней интенсивности затрат на обслуживание узла:
| (4) |
Теперь необходимо получить явный вид . В смысле физического понимания процесса обслуживания и необходимой математической техники это наиболее сложная для курсанта промежуточная задача. Однако и для ее решения не требуется знаний, выходящих за пределы стандартного курса математики.
Выделим из реального процесса (см. рис.1) последовательность интервалов , т.е. интервалов, завершающихся отказом. Обозначим затем через плотность вероятности продолжительности безотказной работы узла при условии его отказа в интервале . Из определения математического ожидания
| (5) |
Выпишем условия, задающие :
| (6) | |
| (7) |
- для любых из .
Условие (6) очевидно. Условие (7) может потребовать отдельного разъяснения: оно определяется тем, что поведение узла не зависит от того, какое подмножество реального процесса мы рассматриваем (рис.4).
Рис.4
Определяя из (6) и (7) явный вид , подставляя его в (5) и преобразуя, получаем
| (8) |
Мы получили явный вид - средней продолжительности безотказной работы узла при условии его отказа в интервале . Подставляя (8) в (4) и преобразуя, получаем окончательно
| (9) |
Очевидно, что задачу 1 можно дополнить требованием указать возможные способы определения оптимального , обеспечивающего при данных s1,s2 и минимум I . (например, из условия ) Требование получить соответствующую расчетную формулу представляется здесь чрезмерным. Однако находится достаточно эффектный и, как нам представляется, методически результативный ход, позволяющий курсанту без больших технических затруднений "поверить" в полученный результат. Для этого можно ослабить одно из ограничений задачи 1:
Задача 2.
Найти оптимальное значение , обеспечивающее минимум средней интенсивности затрат I для случая s1=s2=s0.
Решения задачи 2
Поскольку s0 - параметр задачи, а сумма интегралов числителя в (9) - тождественная единица, задача сводится к исследованию на минимум функции
| (10) |
Достаточно, таким образом, решить относительно уравнение
| (11) |
Поскольку (см. рис.2) знаменатель в (10) всегда положителен, для решения (11) достаточно знания основных правил дифференцирования и умения дифференцировать определенный интеграл по одному из его пределов. В результате (11) легко сводится к уравнению
т. е.
| (12) |
где - оптимальное значение .
Мы "строго доказали" известный практический рецепт: лампочки заменяют по потребности [2]. Эта рекомендация, конечно, не нуждается в математическом обосновании - мы проверили здесь справедливость (9) в тривиальном случае s1=s2. Заметим, что из элементарных соображений можно легко получить и левую границу :
| (13) |
Пример: при фиксированном s1 и монотонно возрастающем s2 цена последствий отказа рано или поздно становится неприемлемой ( на практике при s2>>s1 принимается , а узел резервируется). Таким образом, (12) и (13) формализуют два крайних, но чрезвычайно распространенных варианта исследуемой стратегии обслуживания : "ждать до отказа" ( и "исключить отказ" .
На последнем этапе курсовой работы полезно обсудить ее возможное развитие в реальную задачу обслуживания. Так, например, исходные данные необходимо по меньшей мере дополнить следующими: t1 - время плановой замены узла машины; t1 - время замены узла машины в случае отказа; s3 - стоимость единицы времени, в течение которого машина неисправна, т.е. не участвует в выполнении некоторой внешней задачи - например, перевозке грузов.
Список литературы
Бабичева И.В. Курсовая работа по математике в военно-инженерном вузе как средство обеспечения государственных образовательных стандартов: Материалы научно-практической конференции "Естественные науки в военном деле". Омск: ОТИИ, 1999.
Методика использования статистических данных о надежности машин / Академия бронетанковых войск. М., 1975.