Переходные процессы в электрических цепях

Пример решения задачи

по разделу «Переходные процессы»

Задача
. Дана электрическая цепь, в которой происходит коммутация (Рис. 1). В цепи действует постоянная ЭДС Е
. Требуется определить закон изменения во времени токов и напряжений после коммутации в ветвях схемы.

Задачу следует решить двумя методами: классическим и операторным. На основании полученного аналитического выражения построить график изменения искомой величины в функции времени в интервале от t = 0 до t = , где – меньший по модулю корень характеристического уравнения.

Параметры цепи: R1
= 15 Ом; R2
= 10 Ом; С = 10 мкФ; L = 10 мГ; Е = 100 В.

Решение.

Классический метод.

Решение задачи получается в виде суммы принужденного и свободного параметра:

i(t) = iпр
(t) + iсв
(t); u(t) = uпр
(t)+ uсв
(t), (1)

где , а .

1. Находим токи и напряжения докоммутационного режима для момента времени t = (0–). Так как сопротивление индуктивности постоянному току равно нулю, а емкости – бесконечности, то расчетная схема будет выглядеть так, как это изображено на рис. 2. Индуктивность закорочена, ветвь с емкостью исключена. Так как в схеме только одна ветвь, то ток i1
(0–) равен току i3
(0–), ток i2
(0–) равен нулю, и в схеме всего один контур.

Составляем уравнение по второму закону Кирхгофа для этого контура:

,

откуда

= 4 А.

Напряжение на емкости равно нулю [uC
(0–) = 0].

2. Определим токи и напряжения непосредственно после коммутации для момента времени t = 0+. Расчетная схема приведена на рис. 3. По первому закону коммутации iL
(0–) = iL
(0+), т.е. ток i3
(0+) = 4 А. По второму закону коммутации uC
(0–) = uC
(0+) = 0.

Для контура, образованного ЭДС Е, сопротивлением R2
и емкостью С, согласно второго закона Кирхгофа имеем:

или

;

i1
(0+) = i2
(0+) + i3
(0+) = 14 А.

Напряжение на сопротивлении R2
равно Е – uC
(0+) = 100 В, напряжение на индуктивности равно напряжению на емкости.

3. Рассчитываем принужденные составляющие токов и напряжений для . Как и для докоммутационного режима индуктивность закорачивается, ветвь с емкостью исключается. Схема приведена на рис. 4. и аналогична схеме для расчета параметров докоммутационого режима.

= 10 А;

= 100 В; ;

4. Определяем свободные составляющие токов и напряжений для момента времени t = 0+, исходя из выражений i(0+) = iпр
(0+) + iсв
(0+) и u(0+) = uпр
(0+) + uсв
(0+).

iсв1
(0+) = 4 А; iсв2
(0+) = 10 А; iсв3
(0+) = –6 А; uсв
L
(0+) = uсвС
(0+) = 0; .

5. Определяем производные свободных токов и напряжений в момент времени непосредственно после коммутации (t = 0+), для чего составим систему уравнений, используя законы Кирхгофа для схемы, изображенной на рис. 3, положив Е = 0.

;