РЕФЕРАТ
на тему:
“Лінійний векторний простір”
Векторний простір
(лінійний простір
) - безліч елементів, які називаються векторами, для яких визначені операції додавання і множення на число. Найпростіший, але важливий приклад - сукупність векторів a, b, c,
... звичайного 3-мірного простору. Кожен такий вектор - спрямований відрізок, що задається трьома числами: ; числа називаються координатами вектора.
При множенні вектора на речове число відповідний відрізок, зберігаючи напрямок, розтягується в раз: . Сума двох векторів знаходиться за правилу параллелограмма; якщо і те .
Парі векторів a
і b
зіставляють також скалярний добуток (скалярним опосередкованим узагальненням З-мірного простору є n-мірний
евклідовий простір.
Його елементи - упорядковані набори речовинних чисел, Наприклад, , . Додавання і множення векторів на число визначені формулами , , а скалярний добуток - формулою Прикладом комплексного безкінечномірного векторного простору може служити сукупність комплексних функцій f
, заданих на всій осі і квадратично сумованих (тобто маючих кінцевий інтеграл ). Багато класів функцій, наприклад, поліноми заданого порядку, функції безупинні, диференційовані, що інтегруються, аналітичні і тому подібні, також утворять безкінечномірні векторні простори.
У кожнім векторному просторі, крім операцій додавання і множення на число, звичайно маються ті чи інші додаткові операції і структури (наприклад, визначений скалярний добуток). Якщо ж не уточнюють природи елементів векторного простору і не припускають у ньому ніяких додаткових властивостей, то векторний простір називають абстрактним. Абстрактний векторний простір L
задають за допомогою наступних аксіом:
1. будь-якій парі елементів х
и у
з L
зіставлений єдиний елемент z
, називаний їхньою сумою z=x+y
і приналежний L
;
2. для будь-якого числа і будь-якого елемента x
з L
визначений елемент z
, що називається їхнім добутком і приналежний L
;
3. операції додавання і множення на число є асоціативними і дистрибутивними.
Додавання допускає зворотну операцію, тобто для будь-яких х
и у
з L
існує єдиний елемент w
з L
такий, що x+w=y
. Крім того, мають місце формули .
Якщо всі числа речовинні (комплексні), говорять про речовинний (комплексному) векторна просторі; безліч чисел називають полем скалярів L
. Поняття векторного простору можна ввести і для довільного полючи, наприклад, полючи кватерніонів.
Якщо - елементи векторного простору L
, то вираження виду називається їхньою лінійною комбінацією; сукупність усіх лінійних комбінацій елементів підмножини S
з L
називають лінійною оболонкою S
. Вектори з L
називають лінійно незалежними, якщо умова ( - будь-які елементи полючи скалярів) може виконуватися тільки при . Нескінченна система векторів називається лінійно незалежної, якщо будь-яка її кінцева частина є лінійно незалежної. Безліч елементів підмножини S
з L
називається системою утворюючих S
, якщо будь-який вектор х
з S
можна представити у виді лінійної комбінації цих елементів. Лінійно незалежна система утворюючих S
називається базисом S
, якщо розкладання будь-якого елемента S
по цій системі єдино.
Базис, елементи якого яким-небудь образом параметризовані
. Базис векторного простору завжди існує, хоча і не визначається однозначно. Якщо базис складається з кінцевого числа n
елементів, то векторний простір називається n-мірним
(конечномірні); якщо базис - нескінченна безліч, той векторний простір називається безкінечномірні. Виділяють також лічильномірні векторні простори, у яких мається рахунковий базис.
Підмножини векторного простору L
, замкнуті щодо його операцій, називаються підпросторами L
. По будь-якому підпросторі S
можна побудувати новий векторний простір L/S
, називане фактором-простором L
по S
: кожен його елемент є безліч векторів з L
, що розрізняються між собою на елемент із S
. Розмірність L/S
називається коразмірністю підпростору S
у L
; якщо розмірності L
і S
рівні відповідно n
і k
, те коразмірність S
у L
дорівнює n-k
. Якщо J
- довільна безліч індексів i
і Si
– сімейство підпросторів L
, те сукупність усіх векторів, що належать кожному з Si
, є підпростір, називається перетинанням зазначених підпросторів і що позначається . Для кінцевого сімейства підпросторів S1
, ..., Ss
сукупність усіх векторів, які представлені у виді
| , xi
з Si , |
(*) |
є підпростір, називаний сумою S1
, ..., Ss
і що позначається S1
+ ... +Ss
. Якщо для будь-якого елемента суми S1
+ ... +Ss
представлення у виді (*) єдино, ця сума називається прямої і позначається . Сума підпросторів є прямої тоді і тільки тоді, коли перетинання цих підпросторів складається тільки з нульового вектора. Розмірність суми підпросторів дорівнює сумі розмірностей цих підпросторів мінус розмірність їхнього перетинання. Векторний простір L1
і L2
називають ізоморфним і, якщо існує взаємно однозначна відповідність між їх елементами, погоджена з операціями в них; L1
і L2
ізоморфні тоді і тільки тоді, коли вони мають однакову розмірність.
Конкретні приклади векторного простору можна знайти в математичному апараті практично будь-якого розділу фізики. Кінцевомірними речовинними векторними просторами є, наприклад, трехмерное физическое пространство(без обліку кривизни), конфигурационное пространствоі фазовое пространствосистеми n
класичних крапкових часток. До числа безкінечномірних комплексних векторних просторів належать гильбертовы пространства, конкретну й абстрактну, складову основу математичного апарата квантової фізики. Найпростіший приклад гільбертова просторів уже згадуваний простір .
Основні фізичні приклади - простору векторів станів різних систем мікрочастинок, досліджуваних у квантовій механіці, квантовій статистичній фізиці і квантовій теорії поля. Знаходять застосування і такі векторні полючи, у яких поле скалярів не збігається з безліччю речовинних чи комплексних чисел: так, гільбертово простір над полем кватерніонів використовується й однієї з формулювань квантовой механики, а гільбертовий простір над полем октоніонов - в одній з формулювань квантової хромодинаміки. У сучасних теориях суперсимметрии інтенсивно застосовуються так називані градуйовані векторні полючи, тобто лінійні простори разом з їхнім фіксованим розкладанням у пряму нескінченну суму підпросторів.
Використана література:
1. Векторний простір. – М., 1992.
2. Вища математика в прикладах. – К., 1998.
3. Математична енциклопедія. – М., 1983.