Задача 17.
Определите среднюю урожайность картофеля в регионе по данным о:
а) посевной площади и валовом сборе;
б) посевной площади и урожайности;
в) валовом сборе и урожайности.
Объясните, как определена форма средней величины.
| Область | Посевная площадь, тыс.га | Валовой сбор, тыс. т |
Урожайность, ц/га |
| А | 139,80 | 2055 | 147 |
| Б | 102,34 | 1484 | 145 |
| В | 63,29 | 981 | 155 |
а) при определении средней урожайности картофеля в регионе по данным о посевной площади и валовом сборе используем формулу средней арифметической
w (x*f) – валовый сбор;
fi – площадь.
Х ср =(20550+14840+9810 )/ (139,80+102,34+63,29)= 148
б) по данным по посевной площади и урожайности используем формулу средней арифметической взвешенной:
xi –урожайность по области;
fi – посевная площадь по области.
Х ср =(139,80*147+102,34*145+63,29*155)/(139,80+102,34+63,29)= 148
в) по данным о валовом сборе и урожайности используем среднюю гармоническую взвешенную:
хi – урожайность;
w – валовый сбор.
Х ср =(20550+14840+9810 )/(20550/147+14840/145+9810/155) = 148
Задача 27.
В целях изучения затрат времени на изготовление одной детали рабочими завода проведена 10%-ная случайная бесповторная выборка, в результате которой получено следующее распределение деталей по затратам времени:
| Затраты времени на одну деталь, мин. | Число деталей, шт. |
| До 20 | 10 |
| От 20 до 24 | 20 |
| От 24 до 28 | 50 |
| От 28 до 32 | 15 |
| Свыше 32 | 5 |
| Итого | 100 |
1. На основании этих данных вычислите: средние затраты времени на изготовление одной детали, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.
2.С вероятностью 0,954 определить:
а) предельную ошибку выборочной средней и возможные границы, в которых ожидаются средние затраты времени на изготовление одной детали на заводе;
б) необходимую численность выборочной совокупности, чтобы предельная ошибка выборки при определении средних затрат времени не превышала 1 минуты.
Решение:
Для расчетов составим таблицу.
| Затраты времени на одну деталь, мин., х
i |
Середина интервала | Число деталей, fi
|
х
i * fi |
(xi
- xср ) |
(xi
- xср )2 |
(xi
- xср )2 * fi |
| До 20
|
10 | 18 | 180 | -7,3 | 53,29 | 532,9 |
| 20 - 24 | 20 | 22 | 440 | -3,3 | 10,89 | 217,8 |
| 24 - 28 | 50 | 26 | 1300 | 0,7 | 0,49 | 24,5 |
| 28 - 32 | 15 | 30 | 450 | 4,7 | 22,09 | 331,35 |
| Свыше 32 | 5 | 32 | 160 | 6,7 | 44,89 | 224,45 |
| Итого | 100 | 2530 | 131,65 | 1331 |
1) средние затраты времени на изготовление одной детали рассчитаем по формуле средней арифметической взвешенной, предварительно выбрав середину интервала веса:
=2530/100═ 25,3
Средние затраты времени на изготовление одной детали составили 25,3 мин.
2) дисперсию и среднее квадратическое отклонение рассчитаем по формулам:
- дисперсия
σ2
= ((xi
- xср
)2
* fi
) / Σ fi
σ2
= 1331/100 =13,31
- среднее квадратическое отклонение
σ= √σ2
= √ 13,31 = 3,65
3) коэффициент вариации рассчитаем по формуле
ν = σ / хср
*100%
ν = 3,65/ 25,3 * 100 = 14 (%)
ν = 14 %
Коэффициент вариации показывает однородность выборки. Если он ниже 35%, выборка однородная, как и в данном случае.
4) Рассчитаем с вероятностью 0,954 предельную ошибку выборочной средней и возможные границы, в которых ожидаются средние затраты времени на изготовление одной детали на заводе. Используем для расчета формулу средней ошибки выборочной средней
μ х
= √ σ2
х
/n (1-n/N),
где σ2
х
– дисперсия изучаемого признака,
n- численность выборки,
N - число единиц в генеральной совокупности,
n/N = 0,1 (десятипроцентное).
μ х
= √ σ2
х
/n (1-n/N) = √13,31/ (100*(1-0,1)) = 0,3
Предельная ошибка выборки рассчитывается по формуле
∆ х
= t * μ х
,
где t – коэффициент доверия, при вероятности 0,954 равен 2
∆ х
= t * μ х
= 2*0,3= 0,6
Итак, средние затраты времени на изготовление одной детали находится в пределах
хср
±∆ х,
или 25,3 ± 0,6 или от 24,7 до 25,9 мин.
б) необходимую численность выборочной совокупности, чтобы предельная ошибка выборки при определении средних затрат времени не превышала 1 минуты, рассчитаем по формуле:
n= ( 22
*13,312
*1000) / ( 12
* 1000+22
*13,312
) = 414
Численность выборочной совокупности, где предельная ошибка выборки при определении средних затрат времени не превышает 1 минуты составит 414 деталей.
Задача 37.
Имеются данные о среднедушевых доходах населения области за 1993-2002 гг. (тыс. руб.) в сопоставимых ценах:
| Год | 1993 | 1994 | 1995 | 1996 | 1997 | 1998 | 1999 | 2000 | 2001 | 2002 |
| Доход ы | 100 | 117 | 128 | 154 | 163 | 150 | 132 | 144 | 158 | 164 |
Требуется выявить основную тенденцию среднедушевых доходов населения области 1993-2002 гг.:
1) методом сглаживания рядов динамики с помощью скользящей трехзвенной средней;
2) методом аналитического выравнивания ряда динамики по уравнению прямой;
3) Используя результаты п.2, дайте прогноз на 2003 год.
4) Охарактеризуйте за 1993-2002 гг. среднегодовой абсолютный прирост и темп прироста доходов.
Решение.
1) выявим тенденцию методом сглаживания рядов динамики с помощью скользящей трехзвенной средней по формуле:
| Год | 1993 | 1994 | 1995 | 1996 | 1997 | 1998 | 1999 | 2000 | 2001 | 2002 |
| Доходы | 100 | 117 | 128 | 154 | 163 | 150 | 132 | 144 | 158 | 164 |
| 115 | 133 | 148 | 156 | 148 | 142 | 145 | 155 |
2) выявим тенденцию методом аналитического выравнивания ряда динамики по уравнению прямой вида:
=а+ b*t
Произведем необходимые вычисления в таблице, обозначив время t
.
| t
|
У
|
t*
У <
br /> |
t
2 |
||
| 1 | 100 | 100 | 1 | 91 | |
| 2 | 117 | 234 | 4 | 100 | |
| 3 | 18 | 54 | 9 | 109 | |
| 4 | 154 | 616 | 16 | 117 | |
| 5 | 163 | 815 | 25 | 126 | |
| 6 | 150 | 900 | 36 | 134 | |
| 7 | 132 | 924 | 49 | 143 | |
| 8 | 144 | 1152 | 64 | 151 | |
| 9 | 158 | 1422 | 81 | 160 | |
| 10 | 164 | 1640 | 100 | 169 | |
| ИТОГО
|
55
|
1300
|
7857
|
385
|
1300
|
| среднее | 5,5 | 130,0 | 785,7 | 38,5 |
Решим систему уравнений вида:
а*n+b ∑t= ∑у
а∑t+ b ∑t2
= ∑у*t
Подставим рассчитанные значения
10 *а +b*55 = 1300
a*55+b*385 =7857
Рассчитаем параметры а, bпо формулам
b=
а = ;
b =(10*7857-55*1300)/(10*385-55*55)= 8,5697
а = 130-8,5697*5,5 = 82,8667
Рассчитанное уравнение регрессии имеет вид
Уt
= 82,8667+8,5697*t
Для проверки его правильности рассчитаем выравненные значения у.
∑=∑ у, следовательно, уравнение рассчитано верно.
Представим графически полученные выше расчеты.
Прогноз на 2003 год составит:
У11
= 82,8667+8,5697*11=177
4) Среднегодовой абсолютный прирост за 1993-2002 гг. рассчитаем по формуле:
∆ср = (Уn-У1
) / (n-1)
∆ср = (164-100)/9= 7
Среднегодовой темп роста рассчитаем по формуле
n -1________
Тр (ср) =√ Yi
/Y1
*100%
10 -1________
Тр (ср) =√ 164 /100 *100% = 105,1
Задача 47.
Имеются следующие данные:
| Товар | Цена за 1 кг в базисном периоде, руб. |
Продано, т | Индивидуальные индексы цен | |
| Базисный период | Отчетный период | |||
| А | 0,50 | 1200 | 1500 | 1,01 |
| Б | 1,20 | 4200 | 6300 | 0,85 |
| В | 2,45 | 2000 | 2500 | 0.97 |
Рассчитайте:
а) индекс физического объема реализации;
б) индекс цен и индекс товарооборота.
Разложите общую сумму прироста товарооборота по факторам. Сделайте выводы.
Вычислим:
а) индекс физического объема реализации по формуле
= 1350/1312,5=1,029, или 102,9 %
Уpq = (0,5*1500+6300*1,2+2500*2,45)/(1200*0,5+4200*1,2+2000*2,45)=
=14435/10540=1,3695
Физический объем реализации увеличился на 36,95 %.
б) Индекс цен рассчитаем по формуле
Y р = ∑ р0q1*iр / ∑ р0q1
Y р = (0,5*1500*1,01+6300*1,2*0,85+2500*2,45*0,97)/(1500*0,5+6300*1,2+2500*2,45)
=13125/14435 = 0,909, или 90,9%
В среднем цены снизились на 9,1 %.
Индекс товарооборота рассчитаем по формуле
= (0,5*1500*1,01+6300*1,2*0,85+2500*2,45*0,97)/(1200*0,5+4200*1,2+2000*2,45)=
= 13125/10540=1,245, или 124,5 %
Товарооборот по трем видам увеличился на 24,5 %.
Прирост товарооборота всего составил:
13125-10540 = 2585
Изменение за счет увеличения физического объема:
14435-10540=3895
Изменение за счет снижения цен:
13125-14435 = -1310
ИТОГО: 3895-1310 = 2585
Задача 57.
Имеются следующие данные о реализации сельскохозяйственных продуктов на колхозных рынках двух городов в сентябре месяце:
| Город | Товар | Продано, т | Средняя цена за 1 кг, д. е. | ||
| 1994 | 1995 | 1994 | 1995 | ||
| А | Мясо | 70 | 61 | 10,0 | 15,0 |
| Картофель | 180 | 162 | 1,2 | 2,5 | |
| Б | Мясо | 30 | 27 | 1,0 | 2,0 |
| Картофель | 282 | 300 | 0,7 | 2,0 | |
1. Для города «А» определите:
1) индекс товарооборота;
2) общий индекс цен на проданные товары (среднее изменение
цен);
3) общий индекс физического объема товарооборота (количества проданных товаров);
Покажите взаимосвязь исчисленных индексов.
2. Для двух городов вместе (по картофелю) вычислите:
индекс цен переменного состава (изменение средней цены);
индекс цен постоянного состава (среднее изменение цен);
индекс структурных сдвигов.
Решение:
Произведем дополнительные расчеты и представим в таблице
| Наименование товаров | Продано, т | Средняя Цена , д.е. | Объем продаж в ценах базисного года | Объем продаж в ценах отчетного года | ||||
| обозначение | q0 | q1 | р0 | р1 | р0 q0 | р0 q1 | q0р1 | q1 р1 |
| Мясо | 70 | 61 | 10,0 | 15,0 | 700 | 610 | 1050 | 915 |
| Картофель | 180 | 162 | 1,2 | 2,5 | 216 | 194,4 | 450 | 405 |
| ИТОГО
|
916 | 804,4 | 1500 | 1320 | ||||
1.1) Индекс товарооборота для города «А» рассчитаем по формуле
= 1320/916=1,441, или 144,1 %
Товарооборот по обоим видам в связи с увеличением цен увеличился на 44,1%.
2) общий индекс цен на проданные товары (среднее изменение цен)
рассчитаем по формуле
Y р = ∑ р1q1 / ∑ р0q1
Y р =1320 /804,4=1,641, или 164,1%
В среднем цены увеличились на 64,1 %.
3) общий индекс физического объема товарооборота (количества проданных товаров) по формуле
= 804,4/916=0,878, или 87,8 %
В среднем объем снизился на 12,2 %.
Взаимосвязь индексов исчисляется: Y рq = Y р * Yq
Y рq = 1,641*0,878=1,441
2. Для двух городов вместе (по картофелю) вычислим:
Индекс цен переменного состава (изменение средней цены) рассчитаем по формуле
Yпер.сост. = ∑ р1
q
1
: ∑ р0
q
0
∑q1 ∑q0
Yпер.сост. = ((2,5*162+2*300)/(162+300))/ ((1,2*180+0,7*282)/(180+282))=2,431
Индекс цен постоянного состава (среднее изменение цен);
Yпост.сост. = ∑ р1
q
1
: ∑ р0
q
1
∑q1 ∑q1
Yпост.сост. = ((2,5*162+2*300)/(162+300))/ ((1,2*162+0,7*300)/(162+300))=2,485
Индекс структурных сдвигов рассчитаем по формуле
Y стр.сдв. = ∑ р0
q
1
: ∑ р0
q
0
∑q1 ∑q0
Yстр.сост. =((1,2*162+0,7*300)/(162+300))/ ((1,2*180+0,7*282)/(180+282))=0,978