Ряды динамики

/> =  --
1                                                          (10)

(при
выражении темпа роста в коэффициентах).

Формулы
(7) и (8) используют для нахождения темпов прироста по темпам роста .

Важным
статистическим показателем динамики социально – экономических процессов
является темп наращивания , который в условиях интенсификации экономики
измеряет наращивание во времени экономического потенциала .

Вычисляются
темпы наращивания Тн делением цепных абсолютных приростов  на уровень , принятый за
постоянную базу сравнения ,  по
формуле 11:

                                     
                                                               (11)

2.2 Средние показатели в рядах динамики 

Для
получения обобщающих показателей динамики социально -- экономических явлений
определяются средние величины : средний уровень , средний абсолютный прирост ,
средний темп роста и прироста и пр.

Средний
уровень ряда динамики характеризует типическую величину абсолютных уровней .

В
интервальных рядах динамики средний уровень у определяется делением суммы
уровней на их число n (формула 12):

                                        
                                            (12)

В
моментном ряду динамики с равноотстоящими датами времени средний уровень
определяется по формуле 13:

         
                                                  (13)

В
моментном ряду динамики с неравноотстоящими датами средний уровень определяется
по формуле 14:

                                        
        ,                                 (14)

где
 – уровни ряда динамики ,
сохранившиеся без изменения в течение промежутка времени .

Средний
абсолютный прирост представляет собой обобщенную характеристику индивидуальных
абсолютных приростов ряда динамики . Для определения среднего абсолютного
прироста  сумма цепных абсолютных
приростов делится на их число n (формула 15):

                                   
                                      (15)

Средний
абсолютный прирост может определяться по абсолютным уровням ряда динамики . Для
этого определяется разность между конечным и
базисным  уровнями изучаемого
периода , которая делится на m
– 1 субпериодов
(формула 16):

                                    
                                        (16)

Основываясь
на взаимосвязи между цепными и базисными абсолютными приростами , показатель среднего
абсолютного прироста можно определить по формуле 17:

                                   
                                             (17)

Средний
темп роста – обобщающая характеристика индивидуальных темпов роста ряда динамики
. Для определения среднего темпа роста  применяется
формула 18:

                      
                                 (18)

где
Тр1 , Тр2  , ... , Трn  --
индивидуальные (цепные) темпы роста (в коэффициентах), n
-- число индивидуальных темпов роста.

Средний
темп роста можно определить и по абсолютным уровням ряда динамики по формуле
19:

                              
                                          (19)

  

На
основе взаимосвязи между цепными и базисными темпами роста средний темп роста
можно определить по формуле 20:

                              
                                            (20)

Средний
темп прироста можно определить на основе взаимосвязи между темпами роста и
прироста . При наличии данных о средних темпах роста для получения средних
темпов прироста используется зависимость , выраженная формулой 21:

                                       
                                        (21)

(при
выражении среднего темпа роста в коэффициентах)

    

2.3 Проверка ряда на наличие тренда.
Непосредственное выделение тренда

Изучение
тренда включает в себя два основных этапа :

1) Ряд
динамики проверяется на наличие тренда

2) Производится
выравнивание временного ряда и непосредственное выделение тренда с
экстраполяцией полученных показателей – результатов .

Проверка на наличие тренда в ряду динамики может быть осуществлена по нескольким
критериям .

1) Метод
средних . Изучаемый ряд динамики разбивается на несколько интервалов (обычно на
два) , для каждого из которых определяется средняя величина () . Выдвигается гипотеза о
существенном различии средних . Если эта гипотеза принимается , то признается
наличие тренда .

2) Фазочастотный
критерий знаков первой разности (критерий Валлиса и Мура) . Суть его
заключается в следующем : наличие тренда в динамическом ряду утверждается в том
случае , если этот ряд не содержит либо содержит в приемлемом количестве фазы –
изменение знака разности первого порядка (абсолютного цепного прироста).

3) Критерий
Кокса и Стюарта . Весь анализируемый ряд динамики разбивают на три равные по
числу уровней группы (в том случае , когда число уровней ряда не делится на три
, недостающие уровни надо добавить) и сравнивают между собой уровни первой и
последней групп .

4) Метод
серий . По этому способу каждый конкретный уровень временного ряда считается
принадлежащим к одному из двух типов : например , если уровень ряда меньше
медианного значения , то считается , что он имеет тип А , в противном случае –
тип В. Теперь последовательность уровней выступает как последовательность типов
. В образовавшейся последовательности типов определяется число серий (серия –
любая последовательность элементов одинакового типа , с обоих сторон граничащая
с элементами другого типа).

  Если в ряду
динамики общая тенденция к росту или снижению отсутствует , то количество серий
является случайной величиной , распределенной приближенно по нормальному закону
(для n > 10) . Следовательно , если
закономерности в изменениях уровней нет , то случайная величина R оказывается в доверительном интервале

.

Параметр
t назначается в соответствии с принятым
уровнем доверительной вероятности Р.

Среднее
число серий вычисляется по формуле 22 :

                                          
.                                 
(22)

Среднее
квадратическое отклонение числа серий вычисляется по формуле 23 :

                                         
 .                            
(23)

здесь
n -- число уровней ряда .

Выражение
для доверительного интервала приобретает вид

Полученные
границы доверительного интервала округляют до целых чисел , уменьшая нижнюю границу
и увеличивая верхнюю .

Непосредственное выделение тренда может быть произведено тремя методами .

1) Укрупнение
интервалов . Ряд динамики разделяют на некоторое достаточно большое число
равных интервалов . Если средние уровни по интервалам не позволяют увидеть
тенденцию развития явления , переходят к расчету уровней за большие промежутки
времени , увеличивая длину каждого интервала (одновременно уменьшается
количество интервалов) .

2) Скользящая
средняя . В этом методе исходные уровни ряда заменяются средними величинами ,
которые получают из данного уровня и нескольких  симметрично его окружающих .
Целое число уровней , по которым рассчитывается среднее значение , называют
интервалом сглаживания . Интервал может быть нечетным (3,5,7 и т.д. точек) или
четным (2,4,6 и т.д. точек).

  При нечетном
сглаживании полученное среднее арифметическое значение закрепляют за серединой
расчетного интервала , при четном это делать нельзя . Поэтому при обработке
ряда четными интервалами их искусственно делают нечетными , для чего образуют
ближайший больший нечетный интервал , но из крайних его уровней берут только
50%.

Недостаток
методики сглаживания скользящими средними состоит в условности определения
сглаженных уровней для точек в начале и конце ряда . Получают их специальными
приемами – расчетом средней арифметической взвешенной . Так , при сглаживании
по трем точкам выровненное значение в начале ряда рассчитывается по формуле 24
:

                      
.                             
(24)

Для
последней точки расчет симметричен .

При
сглаживании по пяти точкам имеем такие уравнения (формулы 25):

                                    (25)

Для
последних двух точек ряда расчет сглаженных значений полностью симметричен
сглаживанию в двух начальных точках .

Формулы
расчета по скользящей средней выглядят , в частности , следующим образом
(формула 26):

для
3--членной   .                                
(26)

3) Аналитическое
выравнивание . Под этим понимают определение основной проявляющейся во времени
тенденции развития изучаемого явления . Развитие предстает перед исследователем
как бы в зависимости только от течения времени . В итоге выравнивания
временного ряда получают наиболее общий , суммарный , проявляющийся во времени
результат действия всех причинных факторов . Отклонение конкретных уровней ряда
от уровней , соответствующих общей тенденции , объясняют действием факторов ,
проявляющихся случайно или циклически . В результате приходят к трендовой
модели , выраженной формулой 27:

                                    
  ,                                    
(27)

где
f(t) – уровень , определяемый тенденцией
развития ;

        -- случайное и циклическое отклонение от тенденции.

Целью
аналитического выравнивания динамического ряда является определение
аналитической или графической зависимости f(t)
. На практике по имеющемуся временному ряду задают вид и находят параметры
функции f(t) , а затем анализируют поведение отклонений
от тенденции. Функцию f(t) выбирают таким образом , чтобы она
давала содержательное объяснение изучаемого процесса .

Чаще
всего при выравнивании используются следующий зависимости :

линейная
 ;

параболическая
;

экспоненциальная
 

или
).

1) Линейная
зависимость выбирается в тех случаях , когда в исходном временном ряду
наблюдаются более или менее постоянные абсолютные и цепные приросты , не
проявляющие тенденции ни к увеличению , ни к снижению.

2) Параболическая
зависимость используется , если абсолютные цепные приросты сами по себе
обнаруживают некоторую тенденцию развития , но абсолютные цепные приросты
абсолютных цепных приростов (разности второго порядка) никакой тенденции
развития не проявляют .

3) Экспоненциальные
зависимости применяются , если в исходном временном ряду наблюдается либо более
или менее постоянный относительный рост (устойчивость цепных темпов роста ,
темпов прироста , коэффициентов роста) , либо , при отсутствии такого
постоянства , -- устойчивость в изменении показателей относительного роста
(цепных темпов роста цепных же темпов роста , цепных коэффициентов роста цепных
же коэффициентов или темпов роста и т.д.).

  Оценка
параметров () осуществляется следующими
методами :

1) Методом
избранных точек,

2) Методом
наименьших расстояний,

3) Методом
наименьших квадратов (МНК)

В
большинстве расчетов используется метод наименьших квадратов , который
обеспечивает наименьшую сумму квадратов отклонений фактических уровней от
выравненных :

.

Для
линейной зависимости () параметр  обычно
интерпретации не имеет , но иногда его рассматривают , как обобщенный начальный
уровень ряда ; -- сила связи , т.
е. параметр , показывающий , насколько изменится результат при изменении
времени на единицу . Таким образом , можно
представить как постоянный теоретический абсолютный прирост .

Построив
уравнение регрессии , проводят оценку его надежности . Это делается посредством
критерия Фишера (F)
. Фактический уровень () , вычисленный по формуле
28, сравнивается с теоретическим (табличным) значением :

           ,         (28)

где
k -- число параметров функции , описывающей
тенденцию;

n             -- число уровней ряда ;

Остальные
необходимые показатели вычисляются по формулам 29 – 31 :

                                    
                             (29)

                         
                (30)

                         
                    (31)

сравнивается с при  степенях свободы и уровне
значимости a (обычно a = 0,05). Если >, то уравнение регрессии значимо , то есть построенная
модель адекватна фактической временной тенденции.

2.4 Анализ сезонных колебаний

Уровень
сезонности оценивается с помощью :

1) индексов
сезонности ;

2) гармонического
анализа.

Индексы сезонности
показывают , во сколько раз фактический уровень ряда в момент или интервал
времени t больше среднего уровня либо уровня ,
вычисляемого по уравнению тенденции f(t) .
При анализе сезонности уровни временного ряда показывают развитие явления по
месяцам (кварталам) одного или нескольких лет . Для каждого месяца (квартала)
получают обобщенный индекс сезонности как среднюю арифметическую из одноименных
индексов каждого года . Индексы сезонности – это , по либо уровень  существу ,
относительные величины координации , когда за базу сравнения принят либо
средний уровень ряда , либо уровень тенденции . Способы определения индексов
сезонности зависят от наличия или отсутствия основной тенденции .

Если
тренда нет или он незначителен , то для каждого месяца (квартала) индекс
рассчитывается по формуле 32:

                                           
                                      (32)

где
-- уровень показателя за
месяц (квартал) t
;

      
-- общий уровень показателя
.

Как
отмечалось выше , для обеспечения устойчивости показателей можно взять больший
промежуток времени . В этом случае расчет производится по формулам 33 :

                       
               (33)

где
 -- средний уровень
показателя по одноименным месяцам за ряд лет ;

         
Т     -- число лет .

При
наличии тренда индекс сезонности определяется на основе методов , исключающих
влияние тенденции . Порядок расчета следующий :

1) для каждого уровня определяют выравненные
значения по тренду f(t);

2) рассчитывают
отношения ;

3) при
необходимости находят среднее из этих отношений для одноименных месяцев
(кварталов) по формуле 34 :

                  
,(Т -- число
лет).                 (34)

Другим
методом изучения уровня сезонности является гармонический анализ . Его
выполняют , представляя временной ряд как совокупность гармонических
колебательных процессов .

Для
каждой точки этого ряда справедливо выражение , записанное в виде формулы 35 :

         
       (35)

при
t = 1, 2, 3, ... , Т.

Здесь
  -- фактический уровень
ряда в момент (интервал) времени t;

f(t)    
– выравненный уровень ряда в тот же момент (интервал) t

      -- параметры колебательного
процесса (гармоники) с номером
n , в совокупности
оценивающие размах (амплитуду) отклонения от общей тенденции и сдвиг колебаний
относительно начальной точки .

Общее
число колебательных процессов , которые можно выделить из ряда , состоящего из
Т уровней , равно Т/2. Обычно ограничиваются меньшим числом наиболее важных
гармоник . Параметры гармоники с номером n определяются
по формулам 36 –38 :

1) ;                                                                      
(36)

2)                                                       

                 
                                                                                     (37)

    
 при n=1,2,...,(T/2 – 1);

3)                                      
(38)

2.4 Анализ взаимосвязанных рядов динамики .

В
простейших случаях для характеристики взаимосвязи двух или более рядов их
приводят к общему основанию , для чего берут в качестве базисных уровни за один
и тот же период и исчисляют коэффициенты опережения по темпам роста или
прироста .

Коэффициенты
опережения по темпам роста – это отношение темпов роста (цепных или базисных)
одного ряда к соответствующим по времени темпам роста (также цепным или
базисным) другого ряда . Аналогично находятся и коэффициенты опережения по
темпам прироста .

Анализ
взаимосвязанных рядов представляет наибольшую сложность при изучении временных
последовательностей . Однако нередко совпадение общих тенденций развития может
быть вызвано не взаимной связью , а прочими неучитываемыми факторами . Поэтому
в сопоставляемых рядах предварительно следует избавиться от влияния
существующих в них тенденций , а после этого провести анализ взаимосвязи по
отклонениям от тренда . Исследование включает проверку рядов динамики
(отклонений) на автокорреляцию и установление связи между признаками .

Под
автокорреляцией понимается зависимость последующих уровней ряда от предыдущих .
Проверка на наличие автокорреляции осуществляется по критерию Дарбина – Уотсона
(формула 39) :

                                   
 ,                                (39)

где
-- отклонение фактического
уровня ряда в точке t
от теоретического
(выравненного) значения .

При
К = 0 имеется полная положительная автокорреляция , при К = 2 автокорреляция
отсутствует , при К = 4 – полная отрицательная автокорреляция . Прежде чем
оценивать взаимосвязь , автокорреляцию необходимо исключить . Это можно сделать
тремя способами .

1. Исключение
тренда с авторегрессией. Для каждого из взаимосвязанных рядов динамики Х и У
получают уравнение тренда (формулы 40) :

 

                                           
                              (40)

Далее
выполняют переход к новым рядам динамики , построенным из отклонений от трендов
, рассчитанным по формулам 41 :

          
                                                              (41)

Для
последовательностей  выполняется
проверка на автокорреляцию по критерию Дарбина – Уотсона . Если значение К
близко к 2 , то данный ряд отклонений оставляют без изменений . Если же К
заметно отличается от 2 , то по такому ряду находят параметры уравнения
авторегрессии по формулам 42 :

             

                                 
                                 (42)

Более
полные уравнения авторегрессии можно получить на основе анализа
автокорреляционной функции , когда определяются число параметров () и соответствующие этим
параметрам величины шагов .

Далее
по формуле 43 подсчитываются новые остатки :

                 
 (t
= 1, ... , Т)               (43)

и , по формуле
44, коэффициент корреляции признаков :

                                             
.                                  
(44)

2. Корреляция
первых разностей . От исходных рядов динамики Х и У переходят к новым ,
построенным по первым разностям (формулы 45) :

 

                                 
                          (45)

По
DХ
и DУ определяют по формуле 46 направление и силу связи в
регрессии:

                              
                   (46)

3. Включение
времени в уравнение связи : .

В
простейших случаях уравнение выглядит следующим образом (формула 47):

                                
                             (47)

Из
перечисленных методов исключения автокорреляции наиболее простым является
второй , однако более эффективен первый .