Контрольная работа № 1
Вариант 1.
Анализ данных как составляющая часть принятия решений
Задание № 1
Определить с помощью метода Романовского принадлежность максимальных значений к выборкам, оценить однородность дисперсий и средних значений с использованием критерия Фишера и критерия Стьюдента.
Продолжительность рейса, дн.
Выборка:
1) 7,8,6,7,12,8,6,7,13,7,8,9,7,8,8
2) 7,7,8,9,6,6,7,8,8,8,9,8,7,7,9
Уровень значимость для 1-го варианта = 0,01
Для оценки принадлежности резко выделяющихся значений общей выборке рассчитывается величина ν
:
ν
= (Χ – Χ) / S ,
где Χ –
максимальное значение в выборке;
Χ
–
среднее значение;
S –
среднеквадратичное отклонение;
Среднее значение и среднее квадратичное отклонение рассчитываем по формулам:
Χ
= Σ Χ /
n
,
S =
Ö
1/(
n
-1)* Σ (Χ – Χ)²,
Где n
–
объем выборки.
Χ
1
= 13 Χ
2
= 9
Χ
1
=
121 / 15 = 8,07
Χ
2
=
114/ 15 =7,6
S
1
=
Ö
1/14*54,93 =
Ö
3,92 = 1,98
S
2
=
Ö
1/14*13,6=
Ö
0,9714 = 0,986
ν
1
=
(13-8,07) / 1,98 = 2,49
ν
2
=
(9-7,6) / 0,986 = 1,42
ν
α
= 3,07
ν
1
<
ν
α ,
следовательно, гипотезу о принадлежности резко выделяющихся значения к выборке, не отклоняем.
ν
2
<
ν
α ,
следовательно, гипотезу о принадлежности резко выделяющихся значения к выборке, не отклоняем.
Для сравнения дисперсий двух выборок по методу Фишера используется
F
–распределение F
(k
1
,k
2
)
, где k
1
и k
2
степени свободы, k
1
=
n
– 1
и
k
2
=
n
– 1.
Критерий Фишера рассчитывается по формуле:
F
э
= S²
1
/ S²
2
Где S
1
> S
2
F
э
=
3,92/0,972 = 4,03
F
э таб
= 2,4
При заначении F
э,
большим критерия Фишера, расхождение дисперсий существеенно, исследование необходимо прекратить и принять меры по корректировке данных.
Данные первой выборки можно откорректировать – заменив наибольшее значение выборки, на любое другое значение в данной выборке, например = 8.
Произведем расчеты для скорректированной выборки.
Х1 = 12
Продолжительность рейса, дн.
Выборка:
1) 7,8,6,7,12,8,6,7,8,7,8,9,7,8,8
2) 7,7,8,9,6,6,7,8,8,8,9,8,7,7,9
Χ
1
=
116 / 15 = 7,73
Χ
2
=
114/ 15 =7,6
S
1
=
Ö
1/14*28,4 =
Ö
2,02 = 1,42
S
2
=
Ö
1/14*13,6=
Ö
0,9714 = 0,986
ν
1
=
(12 – 7,73) / 1,42 = 3,001
ν
2
=
(9-7,6) / 0,986 = 1,42
ν
α
= 3,07
ν
1
<
ν
α ,
следовательно гипотезу о принадлежности резко выделяющихся значения к выборке не отклоняем.
ν
2
<
ν
α ,
следовательно гипотезу о принадлежности резко выделяющихся значения к выборке не отклоняем.
Для сравнения дисперсий двух выборок по методу Фишера используется
F
–распределение F
(k
1
,k
2
)
, где k
1
и k
2
степени свободы, k
1
=
n
– 1
и
k
2
=
n
– 1.
Критерий Фишера рассчитывается по формуле:
F
э
= S²
1
/ S²
2
Где S
1
> S
2
F
э
=2,02 /0,972 = 2,08
F
э таб
= 2,4
F
э
<
F
э таб ,
следовательно расхождение дисперсий носит случайный характер, выборки можно объединить в одну совокупность и приступить к оценке средних значений с помощью критерия Стьюдента.
Рассчитываем величину t
:
t
=
(
|Χ
1
– Χ
2
| /
Ö
n
1
*s
1
²
+ n
2
*s
2
²
)
Ö
n
1
* n
2
*(n
1
+ n
2
– 2)/
n
1
+ n
2 ,
где s
1
²,
s
2
² -
смещенные оценки дисперсии
s
² =
1/
n
Σ
(Χ
i
– Χ)²
s
1
²
=
1/15 * 28,4 = 1,893
s
2
²
=
1/15 * 13,6 = 0,906
t
=
0.13/6,48 *√ 210 = 0,02*14.49 = 0.3
t
таб
= 1,32
t
расч
<
t
таб ,
следовательно, выборки данных являются непротиворечивыми и объединяются в одну совокупность.
Задание № 2
Сделать прогноз, используя метод наименьших квадратов и метод экспоненциального сглаживания. Произвести комбинированную оценку прогноза.
Объем перевозок автомобильным транспортом РФ, млн.т. = y
t
Таблица 1
| y
|
100
|
129
|
168
|
153
|
| t
|
1
|
2
|
3
|
4
|
Принимаем, что модель тренда является линейной.
y
٭ =
a
+
b
*
t
a
=
(
Σ
y
i
*
Σ
t
i
-
Σ
t
i
*
Σ
(
y
i
*
t
i
)
) /
n
*
Σ
t
²
i
- (
Σ
t
i
)²
b
=
(
n
*
Σ
(
t
i
*
y
i
) -
Σ
t
i
*
Σ
y
i
)
/
n
*
Σ
t
²
i
- (
Σ
t
i
)²
a
=
(
550 * 30 – 10 * 1474) / 4 * 30 – 100 = 88
b
=
( 4* 1474 – 10*550) / 4 * 30 – 100 = 19,8
a
=88
b
= 19,8
y
1
=
88 + 19,8*1 = 107,8
y
2
=
88 + 19,8*2 = 127,6
y
3
=
88 + 19,8*3 = 147,4
y
4
=
88 + 19,8*4 = 167,2
Для определения основной ошибки прогноза используется зависимость :
s
t
=
√
Σ (
y٭
–
y
t
)² /
n
-1
s
t
=
√
688,8/3 = 15,15
Для прогнозирования методом экспоненциального сглаживания
используется полученная ранее линейная модель тренда, определяется параметр сглаживания
(α
) и начальные условия (S¹
0 ,
S²
0
):
α
=
2/ n+1
α
= 0.4
S¹
0
=
a –
(
(1-
α
)/
α
)*b
)
S²
0
=
a –
(
(2*(1-
α
)/
α
)*b
)
S
¹
0
=
88 – 23,76=64,24
S
²
0
=
88 – 59,4=28,6
Вычисляем экспоненциальные средние 1 и 2 порядка :
S¹
t
=
α
* y
t
+(
1-
α
)*
S¹
t-1
S²
t
=
α
* S¹
t
+ (
1-
α
) *
S²
t-1,
а значения коэффициентов для «сглаженного» ряда:
a=
2* S¹
t -
S²
t ;
b
=
α
/ (1-
α
)*[S
¹
t
-
S
²
t
]
Прогноз на t
+ l
год определяется по формуле:
y
´
t
+
l
=
a
+
b
*
l
,
где
l
–
переменная «сглаженного» ряда.
Таблица 2
| Период времени
|
Факт.
значение
|
Расчетные значения
|
|||||
| S¹
|
S²
|
a
|
b
|
y
|
Δ
|
||
| 1
|
100
|
|
|
|
|
|
|
| 2
|
129
|
78,5
|
48,5
|
108,5
|
20
|
128,5
|
-0,5
|
| 3
|
168
|
98,7
|
68,6
>
|
128,8
|
20,07
|
148,9
|
-19,12
|
| 4
|
153
|
126,4
|
91,7
|
161,1
|
23,2
|
184,3
|
31,3
|
| l
|
-
|
137,1
|
109,9
|
164,3
|
18,1
|
182,4
|
-
|
Ошибка прогноза рассчитывается по следующей формуле:
s
=
s
t
√
(α/(2-α)³)*[1+4*(1-α+5*(1-α)²)+2*α*(4-3*α)*
l
+2*
α²*
l
²]
s
=
15,15*
√
1,285 = 17,17
y
t
+
l
=164,3+18,1*
l
Расчет весовых коэффициентов прогнозов производится по формулам:
µ
1
=
s
2
² /(
s
1
²+
s
2
² )
µ
2
=
s
1
² /(
s
1
²+
s
2
²)
µ
1
=
229,52/(294,8+229,52)=0,44
µ
2
=
294,8/(294,8+229,52)=0,56
Среднее значение комбинированного прогноза определяется по формуле:
А٭ = Σ µ
i
*
А
i
А
٭=
0.44*167.2+0.56*182.4=175.71
Дисперсия комбинированного прогноза рассчитывается по формуле:
s
А
² =
Σ µ
i
*
s
Ai
²
s
А
² =
101+165.1=266.1
Контрольная работа № 2
Моделирование работы технической службы автотранспортного предприятия
Задание 1.
Определить оптимальную периодичность технического обслуживания при условии, что зависимость средней наработки на отказ от периодичности ТО имеет вид L
отк
=
a
/(
b
+
L
ТО
),
а отношение на ремонт и затрат на ТО равно d
.
Исходные данные представлены в табл.3
Таблица 1
| a
|
b
|
d
|
| 4
|
1
|
0,5
|
Средняя наработка на отказ определяется для фиксированных условий эксплуатации с регламентированным режимом ТО, очевидно, она будет изменятся при изменении периодичности обслуживания, то есть:
L
отк
=
f(
L
ТО
),
а согласно исходным данным
f(
L
ТО
)=
a
/(
b
+
L
ТО
).
Оптимимальная периодичность ТО приравнивается к нулю производной по L
ТО.
1
x´= - —;
( табличная производная
)
x²
L
отк
= 4/(1+
L
ТО
)
L
отк
´ = -4/(1+
L
ТО
)²
1 0,5*(-4/(1+
L
ТО
)
²
) 1 0,5*4/(1+
L
ТО
)²
— + ———————— = — - ——————
→
0
L
²
ТО
(4/(1+
L
ТО
))²
L
²
ТО
16/(1+
L
ТО
)²
1 2
—— = ——
L
²
ТО
16
L
²
ТО
= 16/2
L
ТО
=
√16/2 = 2,83
Задание №2
Найти оптимальный ресурс автомобиля до списания по критерию минимума удельных затрат на его приобретение и поддержание в работоспособном состоянии. Капитальный ремонт автомобиля не производится.
Зависимость затрат на запасные части и агрегаты имеют вид :
C
зч
=
a
1
*L
ª²
C
аг
=
a
3
*L
ª²
Таблица 2
| C
|
k
|
a
|
a
|
a
|
| 10000
|
4
|
0,0027
|
2,20
|
0,0083
|
L
сп
=
ª²√
g /u+1
g =
C
а
/ a
3
*( a
2
-1) ,
u = a
1
*
k
э
/ a
3
g =
10
0
00/0,008
3
*(2.2-1)=
1004016
u =
0.00
27
*4/0.008
3
=
1,3
L
сп
= ª²√1004016/2.3=ª²√436528,7=343,87
Задание № 3
Определить целесообразность проведения узлового ремонта автомобиля. Цены на детали и автомобили, доход представлены в условных единицах.
Таблица 3
| Деталь |
Ср.ресурс до замены, Тыс.км (
|
Цена детали, ( С
|
Время ремонта при раздельной замене,ч ( t
|
Время ремонта при одновременной замене,ч ( t
|
| 1
|
150
|
9,9
|
12
|
|
| 2
|
168
|
16
|
12
|
18(1-2)
|
| 3
|
280
|
9,6
|
12
|
14(1-3)
|
| 4
|
290
|
42
|
21
|
24(1-4)
|
Таблица 4
| Пробег до списания, L
Тыс.км |
Стоимость автомобиля C
|
Доход D
|
a
|
| 410
|
3200
|
46500
|
4,5
|
Для принятия решения о проведении узлового ремонта необходимо соблюдение условия: Δ
S
≥ 0
Приращение затрат будет иметь вид: Δ
S
=
S
2
–
S
1
D
C
j
C
j
S
1 =
Σ
[
— ( x
j
– u
i
) — + — (x
j
– u
i
)
]
L C
a
x
j
0.2D
S
2
=
(a
1
+a
2
)*(Σ t
j
- Σt
j
) + — (ΣC
j
– ΣmaxC
j
)
C
a
1 и 2 деталь
46500 16 16
S
1 =
—— * ( 168 – 150 ) * —— + —— * ( 168 – 150 ) = 11,92
410 3200 168
0,2*46500
S
2 =
4,5*(24-18 ) + ———— * (25,9 – 16 ) = 27+28,77 = 55,77
3200
Δ
S
= 55,77-11,92 = 43,85
>
0,
Узловой ремонт производить нужно.
1
и
3
деталь
46500 16 16 46500
S
1 = [
—— * ( 168 – 150 ) —— + —— ( 168 – 150 ) ] + [ —— *
410 3200 168 410
9,6 9,6
*
( 280 – 150) —— + —— (280-150)
]
=61,3
3200 242
0,
2*46500
S
2 = 4,5*(36-24) + ———— * ( 35,5 – 16) = 54+56,67 = 110,67
3200
Δ
S
= 110,67-61,3 = 49,37 ≥ 0
Узловой ремонт производить нужно.
1 и 4 деталь
46500 16 16 46500
S
1 = [
—— * ( 168 – 150) —— + —— *( 168 – 150 ) ] + [ —— *
410 3200 168 410
42 42
* ( 290 – 150)* —— + —— * (290-150) ] =240,58
3200 290
0,2*46500
S
2 = 4,5*(56-57) + ———— * ( 77,5-42) = -4,5+103,17= 98,67
3200
Δ
S
= 98,67-240,58 = - 141,91 < 0,
Для данного узла проводить ремонт не нужно .