Застосування подвійних інтегралів до геометричних і фізичних задач Обчислення інтеграла Пуассон

Пошукова робота на тему:

Застосування подвійних інтегралів до геометричних і фізичних задач. Обчислення інтеграла Пуассона.

П
лан

Застосування подвійних інтегралів до геометричних і фізичних задач
Маса пластинки
Статичні моменти і центр ваги пластинки
Момент інерції пластинки
Обчислення інтеграла Пуассона

11.5. Застосування подвійних інтегралів

до задач механіки

Визначення маси пластинки
. Нехай тонка пластинка розміщена в площині
і займає область
. Товщину пластинки вважаємо настільки малою, що зміною густини та товщиною можна знехтувати.

Поверхневою густиною такої пластинки в даній точці називається границя відношення маси площадки до її площі за умови, що площадка стягується до даної точки.

Означена таким чином поверхнева густина залежатиме тільки від розміщення точки, тобто вона буде функцією її координат:
. Знайдемо масу неоднорідної пластинки. Для цього розіб’ємо область
, яку займає пластинка, на частинні області
з площадками
(рис. 11.16). Вибираємо в кожній області
довільну точку
і вважаємо, що густина в усіх точках елементарної області стала і дорівнює густині
у вибраній точці. Тоді для маси пластинки можна скласти приблизний вираз у вигляді інтегральної суми.

.

Переходячи до границі за умови, що
і кожна елементарна область стягується в точку, дістаємо формулу для обчислення маси пластинки:

. (11.29)

Статичні моменти і центр ваги пластинки .
Перейдемо до обчислення статичних моментів пластинки відносно осей координат. Якщо зосередити в точках
маси відповідних елементарних областей, то статичні моменти отриманої системи матеріальних точок можна записати так:

,
.

Переходячи до границі за звичайних умов і замінюючи інтегральні суми інтегралами, матимемо
,

. (11.30)

Як і у випадку означеного інтеграла, знаходимо координати центра ваги пластинки:

,