Определение точного коэффициента электропроводности из точного решения кинетического уравнения

В.Кинетические Свойства

§ 6. Кинетическое уравнение

Носители заряда в металле или полупроводнике могут подвергаться действию внешних полей и градиентов температуры. Они также испытывают рассеяние на примесях, колебаниях решетки и т. д. Эти эффекты должны быть сбалансированы — нас интересуют такие ситуации, в которых электрон ускоряется полем, но при рассеянии теряет избыточные энергию и импульс. В этой главе мы рассмотрим «обычные» кинетические свойства, наблюдаемые при наложении постоянных полей.

Общий метод решения этой задачи основан на кинетическом уравнении,
или уравнении Болъцмана.
Мы рассматриваем функцию fk
(r) — локальную концентрацию носителей заряда в состоянии k в окрестности точки r. Строго говоря, эту величину можно определить только в терминах мелкозернистых распределений, средних по ансамблю, матриц плотности и т. д. Имеется обширная литература по этому вопросу, но она относится скорее к формальному аппарату квантовой статистической механики, чем к теории твердого тела.

Посмотрим теперь, какими способами функция fk
(r) может изменяться во времени. Возможны процессы трех типов:

1. Носители заряда приходят в область пространства вблизи точки r и уходят из нее. Пусть vk
— скорость носителя в состоянии k. Тогда в течение интервала времени t
носители заряда в этом состоянии пройдут путь t
vk
. Следовательно, на основании теоремы Лиувилля об инвариантности фазового объема системы число носителей в окрестности точки r в момент времени t
равно числу их в окрестности точки r – t
vk
в момент времени 0:

fk
(r, t
) = fk
(r – t
vk
, 0). (35)

Это означает, что скорость изменения функции распределения из-за диффузии
есть

¶fk
/¶t
]diff
= – vk
׶fk
/¶r = – vk
×Ñfk
. (36)

2. Внешние поля вызывают изменение волнового вектора k каждого носителя, согласно равенству

(37)

Величину можно рассматривать как «скорость» носителя заряда в k-пространстве, так что по аналогии с равенством (35) имеем

(38)

следовательно, под действием полей
функция распределения меняется со скоростью

(39)

(мы использовали здесь обозначение ¶fk
/¶k для градиента в k-пространстве — оператора Ñk
).

3. Влияние процессов рассеяния оказывается более сложным. Мы ограничимся здесь в основном упругим рассеянием. При этом функция fk
меняется со скоростью

¶fk
/¶t
]scatt
= ∫{ fk'
(1 – fk
) – fk
(l – fk'
)}Q(k, k') dk'. (40)

Процесс рассеяния из состояния k в состояние k' приводит к уменьшению fk
. Вероятность этого процесса зависит от величины fk
— числа носителей в состоянии k, и от разности (1 – fk
'
) — числа свободных мест в конечном состоянии. Имеется также обратный процесс, переход из k' в k, который ведет к увеличению функции fk
; он пропорционален величине fk
'
(1 – fk
). Очевидно, надо просуммировать по всевозможным состояниям k'. Для каждой пары значений k и k' существует, однако, «собственная» вероятность перехода Q
(k, k'), равная скорости перехода в случае, когда состояние k полностью заполнено, а состояние k' вакантно. Согласно принципу микроскопической обратимости,
та же функция дает и скорость перехода из k' в k, поэтому под интегралом появляется общий множитель.

Кинетическое уравнение выражает следующее: для любой точки r и для любого значения k полная скорость изменения функции fk
(r) равна нулю, т. е.

¶fk
/¶t
]scatt
+ ¶fk
/¶t
]field
+ ¶fk
/¶t
]diff
= 0. (41)

Отметим, что здесь рассматривается стационарное,
но не обязательно равновесное состояние.
Для последнего функция распределения обозначается через f0
k
, оно осуществляется только в отсутствие полей и градиентов температуры.

Допустим, однако, что рассматриваемое стационарное распределение не слишком сильно отличается от равновесного. Положим

gk
= fk
– f0
k
. (42)

где

f0
k
= 1/{exp[(E k
– z)/kT] + 1} (43)

Здесь нужно проявить некоторую осторожность. Именно, как определить функцию f0
k
в случае, когда температура зависит от координат? Будем считать, что в каждой точке можно корректно определить локальную температуру T(r),
и положим

gk(r)=fk
(r) – f0
k
{3T(r)}. (44)

Если введение локальной температуры вызывает затруднения, можно потребовать, чтобы окончательное решение удовлетворяло какому-либо дополнительному условию, например

ògk
(r)dk = 0. (45)

Подставляя выражение (42) в кинетическое уравнение (41) и используя равенства (7.2) и (7.5), получаем

– vk
׶fk
/¶r – e /ħ(E + 1/c[vk
´ H]) ׶fk
/¶k = – ¶fk
/¶t]scatt
, (46)

или

– vk
׶fk
/¶T ÑT – e /ħ(E + 1/c[vk
´ H]) ׶ f0
k
/¶k = – ¶fk
/¶t]scatt
+ vk
׶gk
/¶r + e /ħ(E + 1/c[vk
´ H]) ׶gk
/¶k. (47)

С помощью формулы (43) это уравнение можно переписать в виде

(¶f0
/¶E)vk
×{( E (k) – z) / T×ÑT + e (E – 1/e×Ñz)} = – ¶fk
/¶t]scatt
+ vk
׶gk
/¶r + e /ħc[vk
´ H] ׶gk
/¶k. (48)

Это — линеаризованное уравнение Больцмана. В нем опущен член (E׶gk
/¶k) порядка E2
, соответствующий отклонениям от закона Ома. Отброшен также член vk
[vk
´ H], тождественно равный нулю; в левую часть уравнения магнитное поле явно не входит.

Подставляя выражение (40) в уравнение (48), можно убедиться, что мы получили линейное интегро-дифференциальное уравнение относительно «добавки» gk
(r) к функции распределения. Функция gk
(r) определяется интенсивностью электрического поля и величиной градиента температуры, входящими в неоднородный член в левой части. Далее в этой главе мы будем отыскивать решения кинетического уравнения для различных случаев в порядке увеличения сложности.

§ 7. Электропроводность

Пусть на систему наложено только электрическое поле E, и в «бесконечной» среде поддерживается постоянная температура. С учетом выражения (40) получаем

(– ¶f0