Связанные контура

Содержание

Введение.

Основные понятия.

Контур, эквивалентный связанным контурам. Вносимые сопротивления.

Резонансные характеристики системы двух связанных контуров.

Полоса пропускания системы двух связанных контуров.

Энергетические соотношения в связанных контурах.

Настройка системы двух связанных контуров.

Прохождение радиоимпульса через двухконтурную связанную систему

литература

Введение.

В радиотехнике широкое применение находят всевозможные колебательные контура. Основное назначение радиотехнических колебательных цепей - получение с их помощью частотной избирательности, т.е. выделения полезного сигнала и подавления всех остальных сигналов и помех. Ввиду того что с помощью одиночного колебательного контура нельзя получить высокую избирательность при широкой полосе пропускания, используют связанные контуры. В радиотехни­ке такие контуры применяются в основном как фильтры промежуточ­ной частоты (ФПЧ).

Основные понятия.

Два контура называются связанными,
если колебания, происходя­щие в одном из них, захватывают другой контур. Связь между кон­турами может осуществляться через электрическое поле (благодаря емкости) или через магнитное поле (благодаря взаимоиндуктивности или индуктивности). На рис. 1 показаны три разновидности связи двух колебательных контуров: а) трансформаторная,
когда связь между контурами осуществляется благодаря взаимоиндуктивности между катушками L1
и L2
; б) автотрансформаторная
, когда связь между контурами осуществляется непосредственно через индуктивность связи L1,2
; в) емкостная
, когда связь между контурами осуществляется через емкость связи С3. Наиболее часто в радиотехнике применяется трансформаторная связь, поэтому все дальнейшие выкладки проведем для этого вида связи.

Рис. 1.
Виды связи двух колебательных контуров

Предположим, что в первом контуре на рис.1, а протекает ток i1
, а второй контур разомкнут. Тогда отношение напряжения, индуцированного в катушке L2
, к напряжению в катушке L1
выразится коэффициентом

который называется степенью связи
. Аналогично, если предположить разомкнутым первый контур, а источник э.д.с. подключить ко второму контуру, то при протекании в нем тока i2
получим

Коэффициент связи
есть корень квадратный из произведения степеней связи . (1)

При трансформаторной связи . (2)

Если умножить числитель и знаменатель (2) на w, то получим общее выражение для коэффициента связи, пригодное и для других видов связи

(3)

где XM
- сопротивление связи.

Контур, эквивалентный связанным контурам. Вносимые сопротивления.

Рассмотрим систему двух колебательных контуров с трансформаторной связью, в которой к первому контуру подключен источник э.д.с. e
(t
) (рис. 2,а), а r1
и r2
- выделенные для анализа сопротивления потерь в контурах.

а

б

Рис.2.
Система двух колебательных контуров с трансформаторной связью (а) и ее эквивалентная схема (б)

Запишем для каждого контура уравнения Кирхгофа

(4)

Считая э.д.с. синусоидальной и режим в цепи установившимся, можно воспользоваться символическим методом анализа. Тогда ; и (4) принимает вид

(5)

Обозначив реактивное сопротивление первого и второго контуров через X
1
и X
2
, (5) можно записать так:

(6)

Найдем из второго уравнения

(7)

Обозначив wМ
= X
СВ
(сопротивление связи), (7) можно переписать так:

Подставив значение из (7) в первое уравнение системы (6)

Освободившись от мнимости в знаменателе, получим

или

так как .

Поделив в полученном выражении приложенную э.д.с. на ток запишем выражение для эквивалентного входного сопротивления системы двух связанных колебательных контуров

(8)

Модуль сопротивления Z
1Э
равен

(9)

Анализ (8) показывает, что в результате связи первого контура со вторым в первый контур как бы вносятся два сопротивления: активное

и реактивное (10)

Таким образом, систему двух связанных колебательных конту­ров можно заменить одним эквивалентным контуром (рис. 2, б), в который вносится сопротивление

Суммарное активное сопротивление R
1э
= r
1
+ R
вн
всегда положи­тельное, а знак суммарного реактивного сопротивления Х
1э
=Х
1
+Х
вн
определяется настройкой каждого из контуров в отдельности (знаки X
1
и Х
2
и, следовательно, Х
вн
зависят от частоты, на которую настроен каждый контур).

Резонансные характеристики системы двух связанных контуров.

Под амплитудно-частотными
резонансными характеристиками си­стемы двух связанных контуров будем подразумевать зависимость амп­литуд токов первого и второго контуров от частоты. Считая, что оба контура настроены на одну и ту же частоту w0
выделим модули тока первого и второго контуров при наличии связи между ними.

Если записать в символической форме и то

(11)

где Модуль (11) есть

(12)

На основании (7), с учетом того что и имеем

(13)

где и . Запишем Модуль (13) с учетом (12) и (9)

Выражения (12) и (14) представляют собой уравнения резонансных характеристик для I
1
и I
2
соответственно в неявной относительно частоты форме. Таким образом, если построить зависимости модулей I
1
и I
2
от частоты, то это и будут амплитудно-частотные резонансные характеристики. При построении их будем исходить из двух случаев связи между контурами; слабой
и сильной.
Сначала займемся построе­нием I
1
(w). Как видно из (12), частотную зависимость I
1
определяет частотная зависимость Z
1э
(w), поскольку э. д. с. источника Е
от частоты не зависит. Таким образом, построение сводится сначала к построению зависимости Z
1э
(w), а затем — зависимости I
1
(w) как частного от деления Е
на Z1э
.

Выразив модуль Z
1э
(w) через компоненты

построим попарно зависимости r
1
и r
вн
, Х
1
и Х
вн
от частоты, а Z
1э
найдем графически, как геометрическую сумму r
1
+ R
вн
и Х
1
+ Х
вн
. I
1
строим в соответствии с (12). Построение проводим при небольших расстройках относительно резонансной частоты. Получаемые зависи­мости при слабой связи между контурами имеют вид, показанный на рис. 3, а при сильной связи—на рис. 4.

Рис. 3.
Частотные зависимости входного сопротивления, его составляющих и тока I
1
системы двух связанных контуров при слабой связи между ними

Рис. 4
. Частотные зависимости входного сопротивления, его составляющих и тока I
1
системы двух связанных контуров при сильной связи между ними

Как видно, при слабой связи между контурами вследствие малости Х
ВН
по сравнению с Х
1
кривая X
1э
(w) пересекает ось частот только в одной точке wо
. При сильной связи между контурами вследствие значительной величины ХВН
,
которая на некоторых частотах превы­шает по абсолютной величине Х
1
,
имея обратный знак, суммарная кри­вая Х1э
(w) пересекает ось частот в трех точках: w01
, w0
и w02
. Други­ми словами, результирующее реактивное сопротивление системы равно нулю не только на частоте w0
, но и на частотах w01
и w02
, называемых частотами связи.
Учитывая еще то обстоятельство, что при сильной связи между контурами сопротивления R
ВН
на частоте w0
и в близлежащей области большие, чем при слабой, понятен двугорбый харак­тер кривых Z
1э
(w) и I
1
(w) с максимумами на частотах w 1
и w 2
.

Очевидно, имеется граничная связь, превышение которой ведет к двугорбости амплитудно-частотной резонансной характеристики то­ка первичного контура. Такая связь называется первичной критиче­ской связью,
а соответствующий ей коэффициент связи — первичным критическим коэффициентом связи
(k
кр1
). Амплитудно-частотную ре­зонансную характеристику вторичного тока строим на основании по­лученных характеристик первичного тока и (14). Для того чтобы можно было сравнивать амплитудно-частотные резонансные характерис­тики первичного и вторичного токов, их надо строить на одном рисун­ке по отношению к резонансным значениям Z
2
,
т.е. и. . Согласно (14) Таким образом , для построения амплитудно-частотных характеристик вторичного то­ка достаточно перемножить координаты кривых I
1
(w) / I
1p
и r
2
/Z
2
(w)

Указанные построения для связи, меньше критической, выполне­ны на рис. 5, а,
а для связи, больше критической,— на рис. 2. 19, б.
Как видно из рис. 5, б,
двугорбость кривой первичного тока выра­жена резче, причем горбы разнесены дальше, чем у кривой вторично­го тока. Очевидно, возможна такая связь между контурами системы, когда двугорбость первичного тока уже наступит, а вторичного — еще нет. Такая связь, превышение которой ведет к появлению двугорбости у резонансной амплитудно-частотной характеристики вторичного тока, называется вторичной критической связью,
а соответствующий ей коэффициент связи -вторичным критическим коэффициентом
связи (k
кр2
).

Рис. 5.
Амплитудно-частотные характеристики вторичного тока системы двух связанных контуров при слабой (а) и сильной (б) связях между ними

Максимальные значения вторичного тока I
2
при связи, больше вторичной критической, наблюдаются на частотах связи w01
и w02
, при которых Х
1
=0. Для того чтобы найти условия возникновения частот связи и определить их значения, (11) и (13) нужно предста­вить в явной относительно частоты форме и исследовать (13) на экс­тремум, т. е. установить, при каких относительных расстройках (e) вторичный ток будет максимальным и минимальным. Чтобы полу­чить выражения для I
1
и I
2
в явной относительно частоты форме, пере­пишем (11), подставив вместо Z
1э
его значение из (8)

Считая, что контуры настроены в резонанс (w1
= w2
=
w0
), выне­сем за скобки в знаменателе w0
L
и, подставив на основании (2) получим

(15)

где ,

. (16)

Модуль тока равен

(17)

Подставив в (7) вместо М.
его значение из (2) и домножив числитель и знаменатель (7) на w0
L
2
, найдем,

(18)

где . Выражения (13) и (18) — идентичны.
Взяв модуль (18) и подставив значение модуля I
1
из (17), получим

(19)

Если частота питающего генератора равна резонансной частоте контуров, т. е. wг
= w0
(e = 0), то (19) упрощается

В относительных единицах выражение, описывающее резонансную кривую для тока I
2
,
имеет вид

(20)

Выражения (17) и (19) соответствуют (12) и (14) и описывают амплитудно-резонансные характеристики токов I
1
и I
2
в явной относи­тельно частоты (расстройки e) форме.

Исследуем (19) на экстремум, для чего продифференцируем (19) по e и приравняем производную нулю, т. е. dI
2
/d
e = 0. В результате получим . Данное уравнение имеет три корня:

(21)

При d
1
= d
2
получаем

(22)

Если первый корень (e1
) действителен при любых соотношениях между k
и d,
то второй и третий корни (e2
и e3
) имеют смысл только при k
> d.
При k
<d
подкоренное выражение будет мнимым и физи­ческого смысла не имеет.

В этом случае физический смысл имеет только первый корень (e1
), что говорит об одногорбости резонансной характеристики для I
2
. При k
> d
физический смысл имеют все три корня, что говорит о двугорбом характере резонансной характерис­тики для тока I
2
. Очевидно, вторичный критический коэффициент связи, лежащий на границе перехода от одногорбой кривой к двугор­бой, на основании (21) получается тогда, когда корни (21) обращаются в нуль: При d
1
= d
2
имеем:

k
кр2
= d.
(23)

Чтобы получить выражения для частот связи при k
> k
кр2
, в (22) надо подставить значение e = а
/Q
= 1 — w0
2
/w2
. Тогда

(24)

Именно на частотах w01
и w02
выполняется условие резонанса, бла­годаря чему ток /а достигает максимума (рис. 5, б).

Третья резонансная частота получается из условия e1
=0, или e1
=1- w0
2
/w2
=0; отсюда w = w0
. При k
> k
кр2
на частоте w0
ре­зонансная характеристика тока I
2
имеет впадину. При k
< k
кр2
, ког­да физический смысл имеет только первый корень , системе связан­ных контуров свойственна лишь одна резонансная частота w0
на которой наблюдается максимум тока I
2
(рис.5, а). Наличие одной резонансной частоты при k
<kкр
и появление частот связи при k
>kкр
хорошо иллюстрирует рис. 6.

Фазово-частотные
резонансные характеристики системы двух свя­занных контуров представляют собой частотную зависимость фазово­го сдвига между токами и приложенной к системе э. д. с. Е.
Как следует из (11), сдвиг фазы между током и э. д. с. Е
зависит от угла -j1э
, значение которого определяется (16). Сдвиг фазы между током и э. д. с. Е
зависит от угла [см. (18) ] и от­личается от сдвига фазы между током и э.д.с. Е
углом . Фазово-частотные характеристики системы двух связанных контуров изображены на рис. 7.

Полоса пропускания системы двух связанных контуров.

В одиночном контуре относительная рас­стройка e = 2Dw/wо = 1/Q
= d.
Полоса пропускания системы может быть как меньше полосы пропускания одиночного контура (при k
< k
кр
), так и больше ее (при k
³ k
кр
). Самой широкой полосой про­пускания системы двух связанных контуров будет такая, в пределах которой провал амплитудно-частотной резонансной характеристики системы лежит на уровне 1/ от максимального значения; при этом e=2Dw/w0
» 3.1d а коэффициент связи, обеспечивающий данную полосу, k
=2.41d
. Как видно, при этом полоса пропускания системы двух связанных контуров в три раза шире полосы пропускания одиноч­ного колебательного контура. При критической связи (k
= k
кр
= d
),
обеспечивающей наибольшее приближение резонансной характерис­тики в пределах полосы пропускания к прямоугольнику, e= 1,41d
.

Рис.
6. Зависимость резонансной частоты системы двух колебательных контуров от коэффициента связи

Рис.
7. Фазово-частотные характеристи­ки системы двух связанных контуров при различных коэффициентах связи

Энергетические соотношения в связанных контурах.

Рассмотрим, как распределяется мощность между связанными контурами в зави­симости от степени их связи. При этом анализировать будем типичный для практики случаи, когда каждый из контуров в отдельности на­строен в резонанс на частоту генератора w0
(т. е. Х
1
=
0,
Х2
=
0) и лишь потом подбирается связь между ними. Так как обычно выходным является второй контур и с ним связаны последующие каскады при­емного устройства, то задача состоит в передаче максимальной энергии во второй контур.

Для оценки эффективности передачи энергии во второй контур введем понятие к.п.д. системы двух связанных контуров
как отноше­ние мощности, выделяемой во втором контуре, к суммарной мощно­сти в первом и втором контурах, т. е.

(25)

где и Подставив в (25) значения мощностей Р
1
и Р
2
получим Ток I
2
заменим его значением из (13) при Х
2
= 0, т.е. I
2
=I
1
X
св
/r
2
. Тогда

Из (10) следует, что X
св
/r
2
=R
вн
при Х
2
=
0. Таким образом,

(26)

Из курса электротехники известно, что максимальная мощность отдается в нагрузку тогда, когда внутреннее сопротивление генера­тора равно сопротивлению нагрузки. Для случая связанных контуров это равносильно равенству r
1
=R
вн
с точки зрения передачи максимальной энергии во второй контур из первого. При этом, как видно из (26), h=0.5, т. е. половина мощности теряется в первом контуре.

Настройка системы двух связанных контуров.

При желании пере­дать во второй контур максимальную энергию, обеспечивающую и максимальны ток в нем, прибегают к настройке системы связанных кон­туров. Для того чтобы получить самый большой ток во втором контуре, необ­ходимо выполнить два условия: с одной стороны, обеспечить равенство Х
1э
=0, а с другой, -r
1
=R
вн
Первое условие может быть выполнено двумя способами: 1) настройкой системы (при наличии определенной связи между контурами) на частоту генератора из­менением параметров только одного из контуров; 2) настройкой на частоту генератора сначала первого контура при разомкнутом втором, а затем подключением и настройкой второго контура при достаточно слабой связи между контурами, чтобы осла­бить взаимное влияние.

Первый способ настройки называют методом частного резонанса,
причем в зависимости от того, параметры первого или второго кон­тура участвуют в настройке, достигается соответственно первый или второй частный резонанс. При частном резонансе хотя и получается максимум тока во втором контуре, но этот максимум не является са­мым большим, так как при обеспечении равенства Х
1э
= 0 еще не вы­полняется условие r1
=Rвн
которое достигается соответствующим подбором связи между контурами. Связь, обеспечивающую макси­мальную мощность (ток) во втором контуре, называют оптимальной.
Подбор ее производится постепенно с последующей подстройкой кон­тура после очередной установки связи, так как при каждом изменении связи нарушается условие Х
1э
= 0 за счет изменения Х
вн
. Если до изменения связи система была настроена в резонанс изменением па­раметров первого контура (первый частный резонанс), то после каж­дого очередного изменения связи необходимо подстраивать систему в резонанс изменением параметров первого контура, чтобы все время выполнялось условие Х
1э
= Х
1э
+ Х
вн
= 0.

Таким образом, при таком постепенном подборе связи с последую­щей подстройкой контуров может быть достигнута оптимальная связь, обеспечивающая самый большой максимум тока во втором контуре. Данный способ настройки носит название метода сложного резонанса.
Проанализируем его математически.

Если обратиться к выражению для тока во втором контуре [см (14)], то при достижении, например, первого частного резонанса оно примет вид:

Далее положив, что при изменении связи (Хсв) условие Х
1э
=
0 все время поддерживается неизменным подстройкой параметров пер­вого контура, найдем оптимальное сопротивление связи (Хсв.опт
), обеспечивающее самый большой максимум тока во втором контуре (I
2махмах
). Для этого необходимо взять производную токов I
2мах
по

Х
св
и приравнять ее нулю

откуда , или , где .

Таким образом, подтверждено, что при оптимальной связи r
1
=R
вн
, причем

(27)

Подставив значение Х
св.опт
в выражение для тока I
2mах
, можно найти самый большой максимум тока во втором контуре

(28)

Однако на практике используют так называемый метод полного резонанса,
при котором сначала достигается равенство Х
1э
= 0 по опи­санному второму способу настройки, когда каждый контур системы настраивается в резонанс независимо от другого. Затем подбирается оптимальная связь между контурами по самому большому току во втором контуре (I2max max
). В случае полного резонанса при измене­нии связи между контурами подстройка их для выполнения условия

Х
1э
= Х
1
-Х
cв
2
/Z
2
=0 нужна, так как ввиду того что Х
1
= Х
2
=
0, это условие выполняется при любой связи.

Обратимся в случае полного резонанса к выражению для тока во втором контуре (14) и исследуем его на экстремум, т. е. определим оптимальную связь, обеспечивающую I
2max max
, как это было сделано при сложном резонансе. С учетом того, что Х
1
= Х
2
=
0, (14) принимает вид

Взяв производную тока I
2max
по Х
св

и приравняв ее к нулю, найдем

или

где

Таким образом, в случае полного резонанса также подтверждено, что при оптимальной связи r
1
=R
вн
, причем При подстановке этого значения в выражение для I
2max
получаем Как видно из сравнения последнего выражения с (28), значение самого большого тока во втором контуре при сложном и полном резонансах одинаковое, но в случае сложного резонанса оно до­стигается при большем значении Х
св.опт
, т.е. при большей связи между контурами.

Прохождение радиоимпульса через двухконтурную связанную систему

Для анализа возьмем импульс с прямоугольной огибающей. Частота заполнения не модулирована и равна w0
. Амплитуда импульса равна 1в, а Q0
=0.

В качестве двухконтурной избирательной системы рассматривается полосовой усилитель схематически изображенный на рис. 8. Контуры идентичны, резонансные частоты контуров wр1
=wр2
=wр
=w0
. Таким бразом, в данном случае Dw = 0.

Рис. 8.

Передаточная функция такого усилителя

(29)

где

Заменяя i
W на Р,
получаем

(30)

Обратимся к опредилению сигнала на выходе системы. Сначала рассмотрим явления на фронте импульса. При этом задача сводится к включению гармонической э.д.с. в момент t = 0. Подставив в общее выражение спектральную плотность SA
(p)
по формуле и коэффициент передачи К
1(p)
по формуле (30), получим

Полюсы подынтегральной функции

Определяя вычеты, получим следующее окончательное выражение для комплексной огибающей выходного сигнала (угол Q0
принят равным нулю)

(31)

Вчастном случае ‘критической связи’ (kQ
= 1) получаем

(32)

Множитель ei
p
/2
учитывет сдвиг фазы выходного напряжения на 900
относительно входного сигнала.

График изображен на рис. 9 (участок от t
= 0 до t
= T
).

Рис. 9.

Рассмотрим теперь явления в цепи в конце импульса, начиная с момента t = T
, где T
– длительность импульса. Ясно, что после прекращения действия внешней силы в системе может существовать только свободное колебание. Структура этого колебания легко может быть выявлена, если прекращение импульса рассматривать как результат включения в момент t = T
новой э.д.с., компенсирующей э.д.с. сигнала. Для этой компенсируещей э.д.с. решение имеет такой же вид, как и (31), но отличается только знаком, который должен быть обратным знаку правой части выражения (31), и сдвигом начала отсчета времени из нуля в точку t = T
.

Так как к моменту t = T
затухающую часть выражения (31) можно считать равной нулю, то комплексная огибающая результирующего сигнала на выходе для t > T
должна иметь вид

Построенный по этой формуле график для kQ
=1 изображен на рис. 9 (участок t > T
).

литература

1. Гоноровский И.С.
Радиотехнические цепи и сигналы. - М.: Советское радио, 1971.

2. Комлик В.В.
Радиотехника и измерения. Изд-во ‘Вища школа’, Киев, 1978.

3. Мегла Г.
Техника дециметровых волн. - М.: Советское радио, 1958.

4. Григорьев А.Д.
Электродинамика и техника СВЧ. - М.: Высшая школа, 1990.

5. Гинзтон Э.Л.
Измерения на сантиметровых волнах. Изд-во иностранной литературы, Москва 1960.

6. Будурис Ж., Шеневье П.
Цепи сверхвысоких частот. - М.: Советское радио, 1979.