1,2 Элементы кинематики М Т Ур-е движ. , скорости.
Матерьяльной точкой называют тело, размерами и формам которого в данной задаче можно пренебреч. Любой вектор можно разложить по базису: r
=i
x+j
y+k
z модуль вектора
/r
/=Öx2
+y2
+z2
. Положение мат точки опр. r
=r
(t) или x(t) y(t) z(t) Траектория-совокупность последовательных положений мат. точки в пространстве при ее движении. Сумма длин всех участков траектории пройденного за промежуток времени – длина пути. Средняя скорость за пром времени V
ср
=êr
/
êt Средняя путевая скорость vср
=êS/êt. Скоростью ( мгновенной скоростью)-
v
= limê
t
-0
v
ср
= limê
t
-0
êr
/êt =dr
/dtv
-производная радиуса- вектора по времени.Определение пройденого пути S= интеграл t до t0 vdt равномерное прямолинейное дв. S=vt си 1 м/с.
1.3 Ускорение матерьяльной точки Нормальное и тангациональное уск. Радиус кривизны траектории.
Средним ускорением точки в интервале времени t2
-t1
=êt наз. Вектор а
ср
равный отношению вектора изменения скорости êv
=v
2
-v
1
к промежутку вр. êt за кот изменение произошло а
ср
=êv
/êt Мгновенным ускорение наз предел среднего уск при êt-0 а
= limê
t
-0
а
ср
= limê
t
-0
êv
/êt=dv
/dt= d2
r
/dt2
a
= limê
t
-0
dv
1
/dt + limê
t
-0
dv
2
/dt= at
+an
at
танганцион. Изменение скорости по
величине, напрвлен по касательной тр. ан
нормальное изменен. Скорости по направлению. Направлен по радиусу кривизны.a
t
=dv/dta
n
=v2
/RCi 1 m*c-2
1.4 Закон динамики Ньютона
Свойство всех тел сохранять неизмениым свое движение при отсутствии внешнего воздействия и стремиться сохранять сост движения наз. Инерцией. ПЕРВЫЙ ЗАКОНлюбое тело нах в сост покоя или равн. Движения пока внешнее силы не вызовут измене-
ние этого состояния. Масса – физ. Характеристика материи, явля-
ющейся выражением и мерой одновремено гравитационых свойств материи и ее инерционых свойств.
F=G*m1
m2
/r2
(грав. Масса) Инерционая масса F
=ma
cи=1кг
1.5 Основной закон динамики материальной точки.
Сила – векторная величина, являющаяся мерой механиче-ского взаимодействия материальных тел K
=mv
Изменение количества дв. Равно импульсу действующей силы и происходит в напривле-
нии действия силы. DK
=F
dt. F
=dK
/dt= d(mv
)/dt cu- 1kg*m/c2
1.6 Внешние и внутрение силы . 3 закон Ньютона.
Действию всегда есть равное и против- ное противодействие, иначе взаимодействие двух тел равны между собой и напр. в противоположеные стороны.В лю- бой механической системе сумма всех внутрених тел = 0 Пусть на каждую мат точку действуют внутрение силы взаимодействия и внешние силы. åd(mi
v
i
)/dt=åF
i
вн
+åF
i
вну
åd(mi
v
i
)/dt=dåmi
v
i
/dt= dK
/dt изменен. Импульса системы K
=åmi
v
i
Закон измен импульс сист dK
/dt=F
внеш
1.7 Поступательное движение твердого тела. Центр масс мех. Системы и закон его движения.
Абсолютно твердое тело- деформацией которого в условиях данной задачи можно пренебречь. Растояние точек при движении не изменяется и скорость их одинак. Центром инерции (масс) системы мат точек, радиус вектор R
c
=åmi
r
i
/mCкорость центра инерции vc
=dr
c
/dt=1/mdåmi
r
i
/dt=1/måd(mi
r
)
i
/dt=1/måmi
v
i
=K
/m
Закон движения центра инерции мех сист. dK
/dt=F
внеш
dvc
/dt=a
c
Точка приложеная силы тяжести тела (равнодейс силы тяжести всех частиц тела – центр тяжести телаr
ц т
=1/mgåmgr
i
=
=1/mgåmi
gi
r
i
=gi
/mgåmi
r
i
=1/måmi
r
i
=r
c
(g вектор везде) плотность тела p=dm/dV Тело наз. Однородным если плотность во всех точках одинакова . масса такого тела m=pV неоднорд m=(интег по V )pdV средней плотностью неоднор тел=а p
=m/V
1.8 Закон сохранения импульса и его связь с однор прос
Для замкнутой системы главный вектор F
внеш
=0 и K
=åmi
vi
= const При любых процессах происходящих в замкну-той системе, скорость ее центра инерции не измен.V
c
=cons
1.9
a
Движение тела переменой массы ( ур Мещерского)
Нач момент t. Ракета имела массу M скоростьv
нач импул.
K
=Mv
. За пром времени dt отделилась масса dM со скор С
Отн ракеты в результ. M-dMc
+dv
и импульс ракеты стал
K
2
=(M-dM)(v
+dv
)=Mv
+Mdv
-v
dM-Mdv
=Mv
+Mdv
-v
dM
Импульс отработаных газов K
3
=dM(v
+c
) сумма K
4
=K
2
+K
3
Изменение импульса dK
=K
4
-K
1
=Mdv
+c
dM=F
dt
M(dv
/dt)=F
-mc – ур описывающее движение тела переменой массы – ур Мещерского. mc – реактивная сила знак «-« озн. направлен Противоп. Вектору скорости.
1.9
b
Абсолютно неупругий удар шаров.
Столкновение тел при котором за весьма малый промежут. Времени происходит значит измен скоростей тел наз- удар
Удар наз абсол неупругим если после удара теле движутся как одно целое. При ударе двух шаров массы m1
m2
ск.v1
v2
Зак сохр импульса m1
v
1
+m2
v
2
=(m1
+m2
)u
u
= m1
v
1
+m2
v
2
/
/m1
+m2
если скор. После удара u=0 то мех движ перешло в тепловое хаотическое дв молекул ( шары нагрелись )
1,10 Энергия как универ мера различ форм дв материи
Энергия –универс мера движен материи во всех ее формах
Энерг делится : механическую, внутр (тепловую) электро-
мгнитную, ядерную. Любое тело обл запасом энергиим, она обл свойством адитивности, энегрия системы есть функция состояния. Величины характ количествено мате-рию – масса и движение – энергия , взаимо связ законом E=mc2
c скорость света в вакуме.
1,11 Работа силы.
Процесс изм энергии под действием сил наз процессом совершения работы. Работа, совершоная системой в любом процессе – мера изм энергии в этом процессе. Совершонн. Работа есть форма передачи энергии.dА=F
dr
=Fv
dt в скаля форме dA=FdScosa = Fz
dSdS-длина пути а-угол между F
и dr
Fz
=Fcosa – проекц силы на направление перемещен. Если
F, dA >0 сила движущая , <0 –тормозящая. Работа внутри сил твердого тела = 0. Поступат движение твердого тела dA=F
внеш
dr
c
=F
внеш
v
c
dt =v
c
dK
=vc
d ( mv
c
) Работа совершоная на конечном участке L точки приложения силы F
выражается криволинейным интегралом A=интегр по LF
dr
=интегр по LFt
dS Силы, работа кот зависит только от нач. и конеч точек их положения и не зависит от законов их движения по траектории назыв. Тангециальным. Работа потен силы приперемещении точки в доль замкнутой траектории = 0.
круг интегралFt
dS=0 Поле сил наз стационарны. Если ¶F
/
¶t=0 Диссипативные силы-суммарная работа при любых перемещениях всегда отрицательна (трение,скольжение, сопрот.) Гироскопические, силы зависящие от скорости мат точки, на которую они действ. И направ перепндикулярно этой скорости ( сила Лоренца) Их работа всегда = 0 . Работа постояной силы на пути S. A=FScosa, при а =0 A=FS. CИ-1Дж.Характеристика работы: мгновеная мощность – скаляр-ная физич велич N=dA/dt=F
dr
/dt=Fv
= Ft
vN=A/t 1Дж/1с=1Вт
1.12 Кинетиче энергия и ее связь с работ внеш внут сил
Кинетическая энергия тела- наз энерги механич движения под дейст силы F
– dEk
=dA=vdK
=v
dK
=v
d(mv
) В Нютон мех m=constEk
=mv2
/2=Ek
(v
) Работа переменой силы
А= интегр от mv2
поmv1
vd(mv
)= mv2
2
/2- mv2
1
/2=
=Ek
2
-Ek
1
=êEk
Кинетич энерг тела Ek
=1/2интегр по mv2
dm= ½ интегр по Vpv2
dVТ-ма Кенига
К Э мех системы = сумме К Э, которую бы имела мат то
=mvc
2
/2+E1
k
. E1
k
-КЭ сист в сис отсчета S1
движуйщейся относит S и v
=v
c
1.13 Поле как форма материи, осущ силов вз меж част веществ
Физ поле – сист обладающие бсконечно больш. числом степеней свободы.
- число независимых кординат которые надо задать для опредиления системы в пространстве.
1.14 Потенциальная эн-я мат точки и ее связь с силой.
Потенциальная Эн – взаимодействия различных частей одной сист
Работа = уменьшению энергии в этом процессе А=-ÎEp
=Ep
1
-Ep
2
Работа потен сил при бескончно малом измен конфи сист dА=-dEp
Работа внеш сил идет на увеличение потен эн системы dАвнеш
=dEp
Градиент – обьемная производная скалярного поля ( поверхн уров-ня) скорость изм функции u
в направ к нормали n
к поверх уровня в этой точке gradu = ¶u/¶n
, gradu=limV
-0
f инт un
dS/V интегр по замкн S охват обьем V. В задачах используется Ep
=mgh
1.15 Потенц эн сист, мат точки в поле централных сил напряж
.
На мат точку действуют разн силы F
проход через центр. И завис только от растояния F
=Fr
(r)r
/r Если мат точка m притягив к центру сил М, то Fr
(r)<0, оталкив >0. При перемещении мат точки m из 1 в бесконечность ( поле отсут) Внеш силы выпол работу кот идет на увел потен. Эн. Сист dEp
=dAвнеш
=F
dr
=Fr
dr=dEp
Þинтег от ¥ по VFr
(r)dr=Ep
-Ep
(¥) полагают Ep
(¥)=0 тогда Ep
=- интег от ¥ по VFr
(r)dr.
Потенц силы соверш работу dA=-dEp
=F
dr
1,16 Закон сохран мех эн. И его связь с однородностью времени
Мех. Эн - энерг мех движения и взаимодействия. E=EK
+Ep
Мехэн. Замкнутой сист не измен с течением времени, если все внут. силы действ этой системы потенциальны (тяжест, упруг) Измен энерг сист при взаимодействии с внеш телами = энерг получен от внешн тел. Состояние из кот сист вывод в резул внеш воздейст – сост мех равновесия системы.
1.17 Удар абсолютно неупругих и упругих тел.
Удар – столкн тел при кот за мал промеж времени происх. Значит измен скоростей тел. Если скор тел напр паралейно – удар прямой. Закон сохр импульса u=m1
v1
+m2
v2
/m1
+m2
. Не упруг удар, до удара E1
=m1
v1
2
/2+ m2
v2
2
/2+Ep
1
после удара E2
=(m1
v1
+m2
v2
)2
/2(m1
+m2
)+Ep
2
Изм энерг - ÎE=E2
-E1
<0 мех эн умен пошла на деформ шаров.
b) 2 тело до удара покой. -ÎE/E1
=m2
/m1
+m2
2) Абсолютно уп удар.
- если мех энер системы не изменяется v = 2m1
v1
+(m2
-m1
)v2
/m1
+m2
для второго тела также.
1.18 Вращательное движение Угловые скор. и ускор. Связь с линейной скоростью и ускорением точек вращающегося тела.
Движение твердого тела при 2 неподвыжных точках наз вращател.
2 точки – ось вращения. Угл скор.- w=dj/dt вектор w
=dj
/dt при равномерн. w=j/t СИ – 1с-1
растояние dS=vdt скорость v=wR век v
=w
*R
Число оборот за ед времени – частота вращения n=1/Т=1гц При равн-ном вращении w=2p/Т=2pn Неравномерное вращение – угловое ускорение e
=dw
/dt = d2
j
/dt2
Если движ ускор то вектора - w
e
если замедл w
e
¯ Если равнопеременое вращение e=constw=w0
+et , j=w0
t+et2
/2 , /e/=1рад/с2
=с-2
, at
=dv/dt=dw/dt*R=eRan
=v2
/R=w2
R2
/R=w2
R , a=Öe2
R2
+w4
R2
=RÖe2
+w4
1.19 Момент силы и момент импульс мех сист Ур дин вращ дв
Для характ. Внеш мех воздействия на тело, привод к измен вращат движения – момент силы
. – F
отност неподв точки 0 (полюса) – вект величина М
= векторному произв радиуса вектора r
проведе-ного из точки 0 в точку прилож силы В на вектор силы F
, M
=r
*F
Модуль момента сил М=r F sin a = Frsina =Fl, l – длина перепе- ндикуляра опущеного из 0 на линию силы F Си М=1Н*м Главн момент сил М
=år
i
*F
i
. Момент импульса мат точки отн непод Т. 0
L
i
=r
i
*K
i
=r
i
*mi
v
i
=R
i
*mi
v
i
+r
i
*mi
v
i
В СИ L=1кг*м2
/с Для мат точки Li
=å
r
i
*mi
v
i
Главн момент внеш сил М
=åМ
i
=dL
/dt Момент инерции тела – мера инертности тела во вращат движ во круг
неподвижной оси. J=mR2
1.20 Вычис моментов инерции для однород тел простой геом ф
Момент инер мат точки бескон мал массы отн оси вращ dJ=dm*R2
Момент инер тела Jz
=интегр по mR2
dm= интегр по vpR2
dV
Т-ма Штейнера : Момент инерции относ любой оси = моменту инеции этого тела относит оси проход через центр масс тела паралейно расматриваемой оси + произв массы тела на квадрат растояния между ними J=J0
+mb2
Момент инерции целиндра : радиус R масса m высота h , выделим кольцо dr площадь кольца dS=2prdr , обьем трубы dv=2prhdr , масса dm=p2 prhdr . Мом инерции – J=2pph интегр от R по 0 r3
= ½ pphR4
=1/2 mR2
1.21 Кинет энерг вращаю тела . Закон сохр момента импульса и его связь с изотропностью пространства. Теорема НЕТЕР
Кинет энерг тела движ произвольным оьразом = сумме всех мат точек , на кот тело можно разбить. EK
=½ åmi
vi
Тело вращ вокруг не подв оси EK
=Jz
w2
/2 Работа точки dAi
=Jiz
wdw тела dA=Jz
wdw Полная работа A=интегр от w2 по w1 Jz
wdw Поступ движ твердого тела со скоростью его центра инерции v
c
. – d(mv
c
)/dt=F
внеш
Вращат твердого тела вокруг центра инерц dLc
/dt=M
с внеш
– глав момент внеш сил относ точки С, Lc
- момент ипульса тела отн точк Кинет энер свобод твер тела т-ма Кенига Ек
=mvc
2
/2+Jc
w2
/2 Момент импульса замкн сист тел отн любой неподвиж точки постоянен во времени. Для замкн системы (Мz
=0) закон сохр момента импульса отн оси вращ åLiz
=åJiz
wI
=constТ-ма Э.Нетер
Для физич сис-мы, ур-е движения которой имеют форму системы дифференцирова- ных ур-й и могут быть получены из вариционого принцыпа меха-ники, каждому непрер зависящему от одного параметра преобра-зованию ост-щим инвариантным действие S, соотв закон сохран.
1,2 Элементы кинематики М Т Ур-е движ. , скорости.
1.3 Ускорение матерьяльной точки Нормальное и тангациональное ускорение. Радиус кривизны траектории.
1.4 Закон динамики Ньютона
1.5 Основной закон динамики материальной точки.
II
зак Ньютона
1.6 Внешние и внутрение силы . 3 закон Ньютона.
1.7 Поступательное движение твердого тела. Центр масс механи- ческой. Системы и закон его движения.
1.8 Закон сохранения импульса и его связь с однородностью пространства
1.9
a
Движение тела переменой массы ( ур Мещерского)
1.9
b
Абсолютно неупругий удар шаров.
1,10 Энергия как универ мера различных форм движен материи
1,11 Работа силы. (вторая сторона)**************
1.12 Кинетиче энергия и ее связь с работ внеш внут сил
1.13 Поле как форма материи, осущ силовое взаимодействие между частицами вещества
1.14 Потенциальная эн-я мат точки во внешнем силовом поле и ее связь с силой. Действущей на матерьяльную точку
1.15 Потенц энерг системы, мат точки в поле централных сил потенциал и напряжонность поля
1,16 Закон сохран мех эн. И его связь с однородностью времени
закон сохранения и превращени энергии как проявление неуничтожимости материи и ее материи
1.17 Удар абсолютно неупругих и упругих тел.
1.18 Вращательное движение Угловые скор. и ускор. Связь с линейной скоростью и ускорением точек вращающегося тела.
**********ВтораЯ шпора ************
1.19 Момент силы и момент импульс мех сист Момент импульса тела относит неподв оси вращения. Момент инерции относительно оси . Уравн ддинамики вращательного движения
1.20 Вычис моментов инерции для однород тел простой геом форм
1.21 Кинет энерг вращаю тела . Закон сохр момента импульса и его связь с изотропностью пространства.
Теорема НЕТЕР