Анализ динамического поведения механической системы

/>

(1.19)

Подставив выражения для производной от кинетической энергии и сумму мощностей всех сил с учетом (1.19) в (1.1), получаем дифференциальное уравнение движения системы:

(1.20)

(1.21)

где k циклическая частота свободных колебаний;

n – показатель степени затухания колебаний;

1.2 Определение закона движения системы

Проинтегрируем дифференциальное уравнение (1.20). общее решение этого неоднородного уравнения складывается из общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного :

S = + ;

Однородное дифференциальное уравнение, соответствующее данному неоднородному, имеет вид:

Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:

т.к. n < k => решение однородного уравнения имеет вид:

где частное решение дифференциального уравнения ищем в виде правой части:

далее получаем:

Сравнивая коэффициенты при соответствующих тригонометрических функциях справа и слева, получаем систему алгебраических уравнений для определения состояния А и В

Решая эту систему получаем следующие выражения:

А = 0.04 м;

В = - 0.008 м;

Общее решение дифференциального уравнения:

Постоянные интегрирования определяем из начальных условий, при t = 0 имеем:

Решая эту систему получаем:

1.3
Определение реакций внешних и внутренних связей

Для решения этой задачи расчленим механизм на отдельные части и изобразим расчетные схемы отдельно для каждого тела. Определение реакций связей проведем с помощью теоремы об изменении кинетического момента и теоремы об изменении количества движения.

Тело №1:

Тело №2:

Тело №3:

C учётом кинематических соотношений (1.7) полученную систему уравнений преобразуем к вид:

Решая эту систему, получаем выражение для определения реакций связей:

2.
Построение алгоритма вычислений
:

(2.1) Исходные данные:

(2.2) Вычисление констант:

(2.3) Задание начального времени: t=0;

(2.4) Вычисление значений функций в момент времени t=0;

(2.5) Вычисление реакций связей:

(2.6) Вывод на печать значений искомых функций в момент времени t;

(2.7) Определение значения времени на следующем шаге

(2.8) Проверка условия окончания цикла:

(2.9) Возврат к пункту (2.4).

3. Применение принципа Даламбера-Лагранжа и уравнения Лагранжа второго рода

3.1 Применение принципа Даламбера-Лагранжа

Общее уравнение динамике системы есть математическое выражение принципа Даламбера-Лагранжа.

сумма элементарных работ всех активных сил на возможном перемещении системы;

сумма элементарных работ всех инерции сил на возможном перемещении системы.

Изобразим на рисунке активные силы и силы инерции (рис.3)

Идеальные связи:

Не учитываем, и не отображаем на расчетной схеме, поскольку по определению работа их реакций на любом возможном перемещении системы равна 0.

Сообщим системе возможное перемещение.

Вычисляя последовательно элементарные работы активных сил и суммируя получим:

(2)

Найдём возможную работу сил инерции:

Запишем выражение для главных векторов и главных моментов сил инерции;

Используя кинематические соотношения (1.7), определим:

Теперь возможную работу сил инерции можно преобразовать к виду:

(3)

Далее подставляя выражения (2) и (3) в (1), т.е в общее уравнение динамики получаем

Поделив это уравнение на , получим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний системы:

Анализ результатов

В данной курсовой работе мы исследовали динамическое поведение механической системы с использованием основных теорем и уравнений теоретической механики. Дифференциальное уравнение движения механической системы получено тремя способами. Во всех случаях коэффициенты , n, k получились одинаковыми и совпали с компьютерной распечаткой, что говорит об их правильности. В процессе решения дифференциального уравнения данной механической системы были получены законы движения первого груза, его скорость и ускорение в зависимости от времени t. На основании этих зависимостей были определены законы изменения всех остальных характеристик механической системы, в том числе и реакции связей.