КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ СИМВОЛЫ
Цель работы
: 1) Знакомство с системой обозначения граней и направлений;
2) Определение индексов граней и ребер кристаллов;
3) Решение некоторых типичных кристаллографических задач с использованием условия зональности.
Важнейшее значение в кристаллографии имеет вопрос об аналитической записи взаимного расположения граней и ребер кристалла в пространстве. С этой целью применяют кристаллографические символы, определяющие положение любой грани и ребра кристалла относительно принятых координатных осей.
Символы граней
Положение грани кристалла можно описать с помощью трех отрезков, отсекаемых этой гранью на координатных осях. Кристаллографическую систему характеризуют геометрические константы кристалл: осевые углы (a, b, g) и осевые единицы (a
0
,
b
0
,
c
0
). Осевыми единицами называют отрезки a
0
,
b
0
,
c
0
, отсекаемые единичной гранью на координатных осях x
,
y
,
z
соответственно. В соответствии с симметрией кристалла масштаб измерения отрезков, отсекаемых гранью на осях, определяется для каждой сингонии соотношением между осевыми единицами (табл. 1).
Таблица 1.
| Сингония | Угловые соотношения | Осевые единицы |
| Кубическая | a
= b = g = 90° |
a0
=b0 =c0 |
| Тетрагональная | a
= b = g = 90° |
a0
=b0 ¹ c0 |
| Ромбическая | a
= b = g = 90° |
a0
¹ b0 ¹ c0 |
| Моноклинная | a
= g = 90°¹b |
a0
¹ b0 ¹ c0 |
| Триклинная | a
¹ b ¹ g ¹ 90° |
a0
¹ b0 ¹ c0 |
| Гексагональная | a
= b = 90°, g =120° |
a0
=b0 ¹ c0 |
В методе параметров (метод Вейса) для определения грани используется тройка безразмерных векторов a
,
b
,
c
, соответствующих отрезкам, отсекаемым гранью на координатных осях и измеренных с помощью осевых единиц a
0
,
b
0
,
c
0
(рис. 1) a
=
OA
/
a
0
,
b
=
OB
/
b
0
,
c
=
OC
/
c
0
.
Для выбора масштаба измерения, после установки кристалла, среди его наиболее развитых граней находят такую, которая пересекает все три оси. Отрезки, отсекаемые такой гранью кристалла, принимают за единичные, а саму грань - за единичную. Её параметры: (1:1:1). Чтобы определить параметры любой другой грани кристалла, необходимо найти соотношение отрезков, отсекаемых ею на координатных осях и отнесенных к соответствующим единичным отрезкам a
0
,
b
0
,
c
0
.
Такое обозначение граней с помощью параметров имеет один существенный недостаток: неудобство обозначения граней, параллельных координатным осям. Например, грань, параллельная плоскости XOY, запишется как (¥:¥:1), поскольку такая грань пересекает лишь ось Z. Между тем, грани параллельные координатным осям, представляют для кристаллографии особый интерес.
В методе индексов (метод Миллера) положение любой грани кристаллов в трехосной системе координат определяется тройкой целых, как правило, небольших, взаимно-простых чисел – индексовh
,
k
,
l
, представляющих собой отношение обратных величин параметров. Тогда грань, параллельная плоскости XOYбудет иметь индексы h:k:l=1/¥:1/¥:1/1=0:0:1. Индексы грани заключают в круглые скобки, не разделяя их друг от друга никакими знаками. Следовательно, рассмотренная выше грань имеет символ (001).
В кристаллографической практике метод индексов Миллера получил широкое распространение. Следует иметь в виду, что параллельные грани имеют один и тот же символ, соответствующий грани ближайшей к началу координат.
Благодаря высокой симметрии кубических кристаллов, их индицирование (определение индексов всех граней) осуществляется достаточно просто. Единичная грань кубического кристалла должна составлять с координатными осями равные углы и отсекать на них равные отрезки. Легко видеть, что такой гранью может быть выбрана грань октаэдра или тетраэдра, через которую проходит поворотная ось третьего порядка.
Символы ребер
Любое направление (ребро кристалла) в данной системе координат может быть задано: 1) двумя точками, лежащими на заданном направлении, не проходящим через начало координат; 2) одной точкой, если направление проходит через эту точку и начало координат.
Если осевые единицы единичной грани равны a
0
,
b
0
,
c
0
, а точки А (x
1,
y
1
,
z
1
) и В (x
2,
y
2
,
z
2
) лежат на заданном направлении, то проекции отрезка АВ будут равны:
(AB)x
=x2
-x1
, (AB)y
=y2
-y1
, (AB)z
=z2
-z1
.
Тогда символ направления [rst] определится как
.
Таким образом, заданное направление определяется отношением трех проекций отрезка, лежащем на этом направлении, к соответствующим осевым единицам и выражается с помощью целых взаимно простых чисел r
,
s
,
t
,
записываемых в квадратных скобках [rst]. В случае, когда заданное направление проходит через точку А [[000]] начала координат и точку В [[xyz]] можно записать.
Из приведенного выше правила определения символов ребер следует, что если данный отрезок АВ или данное направление перемещать в пространстве параллельно самому себе, то его символ не изменится.
Заданное направление может быть определено и с помощью углов a
,
b
,
g
,
которые оно образует с координатными осями x
,
y
,
z
. Для отрезка АВ, лежащего на заданном направлении, можно записать:
.
В кубических кристаллах:
.
Несложные геометрические рассмотрения показывают, что для кубических кристаллов отношение направляющих косинусов нормали к грани (
h
k
l
)
пропорционально отношению индексов:
,
отсюда:
.
Таким образом, при индицировании направлений в кубических кристаллах следует помнить, что символы направления и перпендикулярной ему грани обозначаются одинаковыми индексами. Например, направление [111] перпендикулярно грани (111), а направление [110] – грани (110).
Основные кристаллографические соотношения
1. Угол между двумя направлениями
.
Чтобы найти угол между двумя направлениями [r1
, s1
, t1
], [r2
, s2
, t2
] необходимо вспомнить одно из правил аналитической геометрии о нахождении скалярного произведения двух векторов .
.
Если .
(Здесь - тройка единичных векторов координатной системы), то для прямоугольной системы координат имеем:
,
.
Откуда
.
2) Угол между направлением и плоскостью
Учитывая, что для кубических кристаллов перпендикуляры к плоскостям (hkl) изображаются как [h
k
l
], легко найти угол a между таким перпендикуляром и заданным направлением [r
s
t
].
Исходный угол будет дополнительным к 90°, т.е. b=(90°-a) и определится как
.
3) Условие зональности.
Кристаллографической зоной называется совокупность граней кристалла, параллельных одному направлению, называемому осью зоны. Чтобы какая-либо плоскость (hkl) принадлежала зоне, ось которой [rst] , необходимо, чтобы направление, параллельное оси зоны, лежало в этой плоскости. Следовательно, косинус угла a между перпендикуляром к заданной плоскости (hkl) и осью зоны [rst] должен быть равен нулю. При этом условие зональности для кубических кристаллов может быть записано как
.
Используя условие зональности, легко определить символ ребра [r
s
t
] , образованного двумя гранями (h
1
k
1
l
1
) и (h
2
k
2
l
2
) из совместного решения уравнений:
.
Решение данной системы уравнений можно представить в виде:
Рассмотренную задачу можно назвать нахождением символа зоны по символам граней кристалла.
Аналогичным образом решается задача о нахождении символа грани (h
k
l
), в которой лежат два заданных направления [r
1
s
1
t
1
] и [r
2
s
2
t
2
]. В этом случае решение системы уравнений
Дает индексы искомой грани (h
k
l
).
4) Межплоскостное расстояние и индексы плоскости.
При расчете рентгенограмм необходимо знать связь межплоскостного расстояния dс индексами (hkl) , отражающего семейства плоскостей. геометрическое рассмотрение для ортогональной системы координат дает следующие зависимости:
- для ромбической сингонии;
- для тетрагональной сингонии;
- для кубической сингонии.
План работы
1. Произвести индицирование всех граней и ребер заданных кристаллов.
2. Найти угол между двумя заданными направлениями в кристаллах кубической,. тетрагональной и ромбической сингоний при известных параметрах решетки.
3. Определить угол между двумя заданными плоскостями, направлением и плоскостью в кубических кристаллах.
4. Найти символ зоны по известным символам граней. Найти символ грани, в которой лежат два заданных направления.
5. Определить межплоскостные расстояния для заданного семейства атомных плоскостей по известным параметрам решетки в ряде кристаллов разных сингоний.
Контрольные вопросы
1. В чем сущность метода индексов?
2. Какие индексы имеют параллельные грани и ребра кристалла?
3. Как выбирается единичная грань в кубических кристаллах?
4. В чем состоит особенность индицирования направлений в кубических кристаллах?
5. Что физически собой представляет условие зональности?