| П
лан
Інтегрування виразів, що містять тригонометричні функції
Інтеграли вигляду
Інтеграли вигляду
Інтеграли вигляду
· Інтеграли вигляду
Інтеграли вигляду
(
- ціле, додатне число)
Інтеграли вигляду
8.3.9. Інтегрування трансцендентних функцій
а) Усі інтеграли вигляду
інтегруються в замкненому вигляді. Тут
- символ раціональної функції. Справді, підстановка
зводить цей інтеграл до вигляду
Приклад.
За допомогою заміни
інтеграл перетворюється в такий :
б)
Як уже зазначалося, інтеграли
зводяться до розглядуваного. Тому інтеграл
нас цікавить не тільки сам по собі, а й у зв’язку з тим, що й інші інтеграли зводяться до нього.
Усі інтеграли типу
інтегруються в замкненому вигляді. Підстановка
перетворює інтеграл у такий:
тобто до інтеграла, розглянутого в п.9.8.
Ймовірно, що способи інтегрування заданого інтеграла в розумінні більшої або меншої трудності залежатимуть від характеру функції
: парна чи непарна вона за змінною
або
, або і
і
, або, можливо, і не володіє цими властивостями. Нехай
Очевидно, що в цьому випадку її можна подати
у формі
Якщо
то
Тому
Звідси випливає така підстановка:
,
тобто
- раціональна функція
.
Отже, якщо в разі заміни
на
підінтегральна функція змінює знак, то доцільно є підстановка
.
Цілком аналогічно, якщо в разі заміни
на
то доцільною є
підстановка
.
Розглянемо тепер випадок
тобто функція
є парною як за
, так і за
. Очевидно, що
.Якщо тепер знаки
i
замінити на протилежні, то
, тобто
є парною за
, тому
. Вважаючи, що
, одержимо
Підстановка
зведе інтеграл до вигляду
Отже, у випадку
доцільною є заміна змінної
.
Оскільки
,
, (8.26)
то
,
тобто підстановка
перетворить інтеграл до вигляду
.
Якщо
не задовольняє жодну із розглянутих умов, то
інтегрується за допомогою підстановки
. Практично інтегруючи функцію
перш за все варто встановити, чи задовольняє вона хоча б одну з умов
чи ні. Лише тоді, коли вона не задовольняє жодну, доцільно використати заміну
r />, яку називають універсальною.
Приклад. 1.
Оскільки в разі заміни
на
і
на
підінтегральна функція не змінює знака, то підстановка
зведе інтеграл до вигляду
Приклад 2.
.
Цей інтеграл не задовольняє жодної з указаних умов. Тому слід використати підстановку
, яка зведе інтеграл до вигляду
.
Якщо
, то
.
Якщо
, то
При
.
При
.
Приклад 3
.
.
Підстановка
. З її допомогою інтеграл перетвориться в
.
в) Усі інтеграли вигляду
де
- раціональна функція, інтегруються в замкненому вигляді. Цей висновок випливає з п.9.4.
г) Інтеграли вигляду
(
- ціле, додатне число) можна проінтегрувати відповідно за допомогою підстановок
В результаті матимемо
Аналогічно обчислюється і другий інтеграл.
д) Інтеграли вигляду
де
- цілі невід’ємні числа, обчислюються, використовуючи формули тригонометрії для пониження степеня:
(8.27)
Тоді
Піднісши до степеня і розкриваючи дужки, одержимо інтеграли, що містять
в парних і непарних степенях. Інтеграли з непарними степенями обчислюються, як показано у випадку б). Парні показники степенів знову понижуємо за формулами (9.13). Продовжуючи так, дійдемо до інтегралів
які легко обчислюються.
Якщо хоча б один з показників
від’ємний, то необхідно робити підстановку
(або
).
Інтеграли вигляду
можна
проінтегрувати, застосовуючи формулу Муавра. Маємо:
(8.28)
Звідси
Далі обчислимо:
Аналогічно
Тепер уже інтегрування двох інтегралів здійснюється легко для будь-яких скінчених цілих
.
е) Усі інтеграли вигляду
можуть бути представлені в замкненому вигляді, якщо функція
є цілою раціональною функцією відносно синусів і косинусів величин, що стоять під знаком функції, а всі константи є дійсними числами.
Оскільки ціла раціональна функція будується лише на основі дій додавання, віднімання і множення ( зокрема піднесення до цілого додатного степеня ) , то кожний добуток двох множників можна подати у вигляді суми двох доданків на основі формул
(8.29)
Застосовуючи формули (8.29) послідовно до кожного члена, що є добутком кількох множників, функцію
можна подати як лінійну комбінацію синусів і косинусів, аргументи яких є лінійними функціями
. Кожна така лінійна комбінація інтегрується елементарно.
Приклад.
є) Усі інтеграли виглядів
де
є довільними дійсними константами, а
– довільний поліном, інтегруються у замкненому вигляді.
Цей висновок випливає з п.8.3.8.
ж) Інтеграли вигляду
за допомогою підстановки
зводяться до інтегралів від біномінальних диференціалів
, які вже були розглянуті в п.8.3.8 є). Там також було з’ясовано, в яких випадках інтеграл від біномінального диференціала інтегрується в замкненому вигляді. Отже, інтеграл
виражається через елементарні функції, якщо 1)
- ціле число; 2)
- ціле число; 3)
- ціле число.
|