Расчет вала при совместном действии изгиба и кручения по гипотезам прочности

Костромская Государственная Сельскохозяйственная Академия

Кафедра: " Детали машин"

Методическое пособие и задачи для самостоятельного решения по курсу "ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА"

Раздел: "Сопротивление материалов"

Тема: РАСЧЕТ ВАЛА ПРИСОВМЕСТНОМ ДЕЙСТВИИ ИЗГИБА И КРУЧЕНИЯ ПО ГИПОТЕЗАМ ПРОЧНОСТИ.

Составил: доцент Комаров Н.В.

Кострома 2003

Для решения задания необходимо усвоить тему: "Гипотезы прочности и их применение", т.к в задачах рассматриваются совместные действия изгиба и кручения и расчет производится с применением гипотез прочности.

Условие прочности в этом случае имеет вид

sэк в
= Мэк в
/ Wz
£[s]

Мэк в -
так называемый эквивалентный момент

По гипотезе наибольших касательных напряжений (III - гипотеза прочности)

Мэк в
III
= (Ми
2
+ Тк
2
) 1/2

По гипотезе потенциальной энергии формоизменения (V - гипотезе прочности)

Мэк в
V
= (Ми
2
+ 0.75 Тк
2
) 1/2

В обеих формулах Т - наибольший крутящий момент в поперечном сечении вала Ми
- наибольший суммарный изгибающий момент, его числовое значение равно геометрической сумме изгибающих моментов, возникающих в данном сечении от вертикально и горизонтально действующих внешних сил, т.е.

1. Привести действующие на вал нагрузки к его оси, освободить вал от опор, заменив их действия реакциями в вертикальных и горизонтальных плоскостях

2. По. заданной мощности Р и угловой скорости w определить вращающие моменты действующие на вал.

3. Вычислить нагрузки F1
, Fr
1
, F2
, Fr2 приложенные к валу.

4. Составить уравнения равновесия всех сил, действующих на вал, отдельно в вертикальной плоскости и отдельно в горизонтальной плоскости и определить реакции опор в обеих плоскостях.

5. Построить эпюру крутящих моментов.

6. Построить эпюру изгибающих моментов в вертикальной и горизонтальной плоскостях (эпюры Mz
и My
)
.

7. Определить наибольшее значение эквивалентного момента:

Мэк в
III
= (Мz
2
+ My
2
+ Тк
2
) 1/2
или

Мэк в
V
= (Мz
2
+ My
2
+ 0.75 Тк
2
) 1/2

8. Приняв sэк в
= [s] определить требуемый осевой момент сопротивления

Wz
= М эк в
/[s]

9. Учитывая, что для бруса сплошного круглого сечения

Wи
= p*dв
3/
32 » 0.1* dв
3

определяем диаметр его d по следующей формуле:

d³ (32* М эк в
/ p*[s]) 1/3
» (М эк
/ 0.1 [s]) 1/3

Пример:
Для стального вала постоянного поперечного сечения с двумя зубчатыми колесами, передающего мощность Р = 15 кВт при угловой скорости w =30 рад/с, определить диаметр вала по двум вариантам:.

а) Используя, III-гипотезу прочности

б) Используя, V - гипотезу прочности

Принять [s] =160МПа, Fr
1
= 0.4 F1
, Fr
2
= 0.4 F2

Составляем расчетную схему вала: Т1
=Т5
, где Т1
и Т2
- скручивающие пары, которые добавляются при параллельном переносе сил F1
и F2
на ось вала

Определяем вращающий момент действующий на вал:

Т1
= Т2
= Р/w = 0,5*103
Нм = 0,5 кНм

Вычисляем нагрузку приложенную к валу

F1
= 2*T1/
d1
= 2*0.5*103/
0.1 = 104
H = 10kH

F2
= 2*T2/
d2
= 2*0.5*103/
0.25 = 4*103
H = 4kH

Fr1
= 0.4*103
= 4 kH Fr2
= 0.4*4 = 1.6 kH

Определяем реакции опор в вертикальной плоскости YOX (рис б)

åMa
= - Fr1
AC - Fr2
AD + RBY
*AB = 0

RBY
= Fr1
AC + Fr2
AD / AB = 4*0.05 + 1.6*0.25/0.3 = 2 kH

åMB
= - RAY
*AB + Fr1
*BC + Fr2
*DB = 0

RAY
= Fr1
*BC + Fr2
*DB / AB = 4*0.25 + 1.6*0.05/03 = 3.6 kH

Проверка:

åY = RAY
- Fr1
- Fr2
+ RBY
= 2-4-1.6+3.6 = 0

åY = 0, следовательно RAY
и RBY
найдены правильно

Определим реакции опор в горизонтальной плоскости ХОZ (рис б)

åMA
= F1
AC - F2
AD - RBz
*AB = 0

RBz
= F1
AC - F2
AD / AB = 10*0.05 - 4*0.25/0.3 = - 1.66 kH

Знак минус указывает, что истинное направление реакции RBz
противоположно выбранному (см. рис. б)

åMB
= RAz
*AB - F1
*CB + F2
*DB = 0

RAz
= F1
*CB - F2
*DB / AB = 10*0.25 - 4*0.05/0.3 = 7.66 kH

Проверка:

åZ = RAz
- F1
+ F2
- RBz
= 7.66-10+4-1.66 = 0

åZ = 0, следовательно реакции RAz
и RBz
найдены верно.

Строим эпюру крутящих моментов Т (рис в).

Определяем ординаты и строим эпюры изгибающих моментов Mz
в вертикальной плоскости (рис. г и д) и Мy
- в горизонтальной плоскости.

МCz
= RAy
*AC = 3.6*0.05 = 0.18 kHм

МDz
= RAy
*AD - Fr1
*CD = 3.6*0.25 - 4*0.2 = 0.1 kHм

МCy
= RAz
*AC = 7.66*0.05 = 0.383 kHм

МDy
= RAz
*AD - F1
*CD = 7.66*0.25 - 10*0.2 = - 0.085 kHм

Вычисляем наибольшее значение эквивалентного момента по заданным координатам так как в данном примере значение суммарного изгибающего момента в сечений С больше, чем в сечении D, то сечение С и является опасным. Определяем наибольший суммарный изгибающий момент в сечении С.

Ми С
= (МС
z
2
+ MCy
2
) 1/2
= (0.182
+ 0.3832
) 1/2
= 0.423 kHм

[Ми
D
= (МDz
2
+ MDy
2
) 1/2
= (0.12
+ 0.0852
) 1/2
= 0.13 kHм]

Эквивалентный момент в сечении C по III и V гипотезе прочности

Мэк в
III
= (Мz
2
+ My
2
+ Тк
2
) 1/2
= (0182
+ 0.3832
+0.52
) 1/2
=

= 0.665 kHм

Мэк в
V
= (Мz
2
+ My
2
+ 0.75 Тк
2
) 1/2
=

= (0.182
+0.3832
+0.75*0.52
) 1/2
= 0.605 kHм

Определяем требуемые размеры вала по вариантам III и V гипотез прочности.

dIII
= (Мэк в
III
/ 0.1*[s]) 1/2
= (0.655*103/
0.1*160*106
) 1/2
=

= 3.45*10-2
(м) = 34.5 (мм)

dVI
= (М

= 3.36*10-2
(м) = 33.6 (мм)

Принимаем диаметр вала согласно стандартного ряда значений d=34 мм

Из условия прочности рассчитать необходимый диаметр вала постоянного поперечного сечения, с двумя зубчатыми колёсами, предающего мощность Р, при заданной угловой скорости.

Принять [s] =160МПа, Fr
1
= 0.4 F1
, Fr
2
= 0.4 F2
(Все размеры указаны на рисунках)