Уравнения Боголюбова
Уравнения Больцмана, идея которого принадлежит самому Больцману, не может считаться строгим. Действительно, запись этого уравнения, как уравнения непрерывности в m-пространстве с источниками (интеграл столкновений) в правой части, предполагает, во-первых, что изменение во времени функции распределения f(r, v, t) аддитивно относительно двух процессов, имеющих различное происхождение. Члены vi df/dxi и wi df/dvi в левой части
или
характеризуют потоки газа, возникающие вследствие существования градиента плотности и внешних полей, в то время как правые части возникают вследствие учета столкновений молекул. Таким образом предполагается, что потоки и столкновения не влияют друг на друга. Во-вторых, в интеграле столкновений значения функций берутся в одной и той же точке пространства r, в то время как с учетом конечных размеров молекул координаты в функциях и в функциях должны быть выбраны различными.
Далее, как мы уже упоминали, классический вывод уравнения Больцмана предполагает отсутствие корреляций между скоростями молекул. Наконец, что наиболее существенно, в уравнении Больцмана учитываются только попарные столкновения молекул, и нет более или менее очевидного рецепта, позволяющего учесть столкновения групп из трех, четырех и более молекул. Между тем ясно, что учет таких процессов существен для плотных газов.
В приближении парных соударений длина свободного пробега обратно пропорциональна плотности газа
(s— эффективное сечение парных столкновений).
Как известно, это приводит к тому, что коэффициенты переноса: À — коэффициент теплопроводности, a — коэффициент вязкости, не зависят от плотности п и, стало быть, от давления. При учете многочастичных столкновений выражение для lдолжно иметь вид
,
где коэффициенты a, А возникают в связи с учетом трехчастичных, коэффициенты b и В — в связи с учетом четырехчастичных и т. д. столкновений. В результате для длины пробега и для коэффициентов переноса должны возникнуть вириальные разложения такого же типа, какие возникают в статистической физике для уравнения состояния неидеального газа.
В связи со сказанным целесообразно подойти более строго к проблеме вывода кинетического уравнения и к его возможным обобщениям. Это можно сделать с помощью весьма общего и строгого метода, предложенного Н. Н. Боголюбовым, к краткому изложению которого мы и переходим.
Имеем систему из N одинаковых частиц, состояние которой в классической механике мы будем задавать с помощью 2N векторов ri, vi. Совокупность ri, и vi мы для краткости будем обозначать символом xi а произведение d3rid3vi - символом dxi.
Введем функцию распределения F(N)(x1, … ,xN, t) в Г-пространстве, считая координатами бN-мерного Г-пространства координаты и проекции скоростей всех частиц. Выражение
F{N)(х1, х2, ... , xN, t)dx1dx2 ... dxN
дает вероятность того, что изображающая точка в Г-пространстве находится в объеме dx1, dx2 ... dxN, а функция F(N) нормирована на единицу
ò F{N)(х1, х2, ... , xN, t)dx1dx2 ... dxN=1. (1)
Будем в дальнейшем считать, что внешние поля отсутствуют и частицы взаимодействуют с потенциалом взаимодействия U(rik) = ти (rik). Для исключения граничных эффектов мы будем рассматривать термодинамический предел, при котором , a w=V/N остается конечным.
Дальнейшие рассуждения основаны на уравнении Лиувилля, которое мы запишем здесь в виде
, (2)
где оператор называется оператором Лиувилля и определяется формулой
(3)
причем wi, k = -ди (ri,k)/dri - ускорение, придаваемое i-й частице взаимодействием с k-й частицей. Функции распределения r(р, q) и функции F{N) (ri, vi, t) по существу идентичны, и, следовательно, F(N) (xi, t) подчиняется уравнению
Следует обратить внимание читателя на следующие принципиальные свойства уравнения Лиувилля.
1. Функция F(N) (х1, х2, ... , xN, t) лишь «насильственно» была нами связана с вероятностными представлениями. Мы могли бы рассматривать ее не как плотность вероятности для единичной системы с координатами ri, vi, а как произвольно заданную в начальный момент времени функцию распределения для ансамбля систем - ансамбля Гиббса.
Иначе говоря, мы можем себе представить, что при t = 0 мы «приготовляем» ансамбль, т. е. произвольным образом «высыпаем» изображающие точки в фазовое пространство, задавая тем самым F{N) {x1, ..., xN, 0). В дальнейшем эти «высыпанные» точки «плывут» по своим фазовым траекториям, подчиняясь исключительно законам механики. Таким образом, уравнение (2) вовсе не имеет статистического вероятностного содержания, а несет в себе только чисто механическую информацию.
2. Уравнение Лиувилля, являясь уравнением первого порядка по времени, описывает причинно-обусловленное изменение функции F(N)(х1, ..., xN, t). При заданном ее начальном значении F(N) (х1, ... , xN, 0) уравнение (2) однозначно предсказывает все будущие значения F(N)(xi,t).
3. Как и всякое уравнение классической механики, уравнение Лиувилля обратимо во времени. Это значит, что при замене t на -t оно остается неизменным. Следовательно, наряду с «прямым» движением экземпляров ансамбля, столь же возможным при соответствующем изменении начальных условий, является и «обращенное» движение.
4. В свете сказанного неудивительно, что решение уравнения Лиувилля эквивалентно решению динамической задачи, т. е. нахождению всех динамических траекторий. Формально это видно из того, что характеристики уравнения (2) имеют вид
,
из которых следуют уравнения динамики в форме Ньютона
.
Физически это следует из того, что мы можем «приготовить» начальный ансамбль в виде , т. е. «высыпать» все изображающие точки в одну точку фазового пространства. В силу однозначности решения уравнения Лиувилля при заданном начальном условии движение изображающей точки и будет описывать эволюцию одной единственной динамической системы. Таким образом, наряду с методами решения задач динамики, основанными на интегрировании уравнений Ньютона, Лагранжа, Гамильтона и Гамильтона -Якоби, существует еще один метод - метод интегрирования уравнения Лиувилля. Однако для системы с огромным числом частиц этот метод столь же непригоден и столь же не нужен, как и все остальные, а для решения задач макроскопической неравновесной физики следует переходить к вероятностным методам.
Введем с этой целью n-частичные функции распределения
. (4)
Эти функции подчинены следующему из (1) условию нормировки:
, (5)
и если мы придаем вероятностный смысл функции F(N) (х1,....,xN, t),
то и функции приобретают статистическую интерпретацию. Здесь и в дальнейшем мы опускаем для краткости индекс (N) в обозначении F(nN). Выражение представляет собой вероятность того, что первые п частиц системы (а не ансамбля систем!) имеют координаты и скорости, лежащие в пределах (ri, ri + dri), (vi, vi + dvi).
Выведем систему дифференциальных уравнений, которым подчиняются функции . Умножим с этой целью уравнение (2) на и проинтегрируем полученное равенство, пользуясь выражением (3):
(6)
Заметим теперь, что в этом уравнении третье, шестое и седьмое слагаемые тождественно равны нулю. Действительно, каждое из этих слагаемых представляет собой интеграл от трехмерной дивергенции: третье слагаемое — в пространстве координат молекулы i, шестое и седьмое —в пространстве скоростей молекулы i. По теореме Гаусса они могут быть преобразованы в интеграл по граничной поверхности. Но функция Fn обращается в нуль, когда координаты любой частицы газа соответствуют точкам, лежащим на абсолютно непроницаемой стенке сосуда и, с другой стороны, функция распределения Fn стремится к нулю, когда . Поэтому интеграл от дивергенции равен нулю и в координатном пространстве, и в пространстве скоростей. С другой стороны, пятое слагаемое в (6) можно преобразовать следующим образом. Отдельные слагаемые суммы по k отличаются лишь обозначением переменной интегрирования
.
Таким образом, получаем окончательно систему уравнений
. (7)
Эта система в зарубежной литературе называется обычно ББКГИ-системой (Борн, Боголюбов, Кирквуд, Грин, Ивон). Мы будем в дальнейшем для краткости, а также потому, что Боголюбову принадлежит наиболее детальный ее анализ, называть ее системой уравнений Боголюбова. в формуле (7) есть оператор Лиувилля для подсистемы из п частиц. Система уравнений Боголюбова является «зацепляющейся», так как уравнения для функции Fn содержат в правой части функцию Fn+1. Физически это отражает факт незамкнутости любой группы из n молекул (n<N), взаимодействующих с остальными N — n молекулами. Оператор Лиувилля, как видно из (7), однозначно определяет временную эволюцию функции Fn(х1, ..., хп, t) для замкнутой системы частиц, в то время как правая часть (7) описывает ее незамкнутость.
Заметим, что последнее уравнение системы (7) для функции Fn является замкнутым и тождественным уравнению Лиувилля (2). С математической точки зрения интегрирование системы уравнений (7) следовало бы начинать с интегрирования этого уравнения. При этом, естественно, не нужно было бы интегрировать остальные N — 1 уравнения системы, так как все n-частичные функции распределения могут быть найдены по формулам (4), после того как найдена функция FN(x1, ..., xN, t), и система вообще стала бы не нужной. Однако, как мы уже говорили, интегрирование уравнения Лиувилля представляет собой невыполнимую практически задачу.
Таким образом, физически разумный метод решения системы уравнений Боголюбова заключается в том, чтобы начинать эту процедуру не с последнего уравнения для функции FN, а с первого для функции F1 и пытаться тем или иным способом «оборвать» эту систему
Мы уделяем особое внимание одночастичной и двухчастичной функциям F1 (xl, t) и F2 (xl, x2, t) по следующим причинам. Через одночастичную функцию могут быть выражены важные для газодинамического описания величины: средняя плотность числа частиц n(r, t), средняя скорость потока частиц и(r, t), средняя кинетическая энергия 3/2T(r, t), которые определяются формулами
(8)
(9)
(10)
И другие важные для газодинамики величины, такие как тензор вязких сил, поток тепла и т. д., выражаются через одночастичные функции распределения. Двухчастичная функция распределения имеет особо важное значение для равновесного состояния системы. В равновесном состоянии она описывает корреляции между положениями частиц, имеющие, важное значение в теории флуктуации и в теории фазовых переходов.
Заметим, наконец, что в определение n-частичных функций Fn(x1, ..., хN, t), так же как и в определение FiN) (х1, ..., xN, t), вероятностный смысл был нами вложен «насильственно», и мы по существу получили систему уравнений (7), полностью эквивалентную уравнению Лиувилля, совершенно не связывая функции Fn с вероятностными характеристиками единичной системы. Отсюда следует, что система уравнений (7) есть система механических, а не статистических уравнений. Неудивительно поэтому, что эта система, так же как и уравнение Лиувилля, инвариантна по отношению к отражению времени — замене и не может описывать необратимые макроскопические процессы. Необратимость вносится в формализм теории только определенными гипотезами сугубо вероятностного характера. Запишем в явном виде уравнения для F1 и F2, которыми нам придется заниматься более детально; при этом мы отбросим в множителе (N — n)/V, входящем в (7) слагаемое n=1, 2:
, (11)
(12)
где , (13)
(14)
Безразмерная форма уравнений Боголюбова. Факторизация и корреляционные функции. Свободно-молекулярное течение
Рассмотрим некоторые приближенные методы интегрирования системы уравнений Боголюбова. Эти методы основаны на том, что в двух случаях - весьма разреженного газа и при слабом взаимодействии между частицами газа - влияние одной частицы на состояние других частиц должно становиться слабым, и можно сделать пробное допущение о том, что в нулевом приближении n-частичная функция распределения факторизуется, т. е. представляется в виде произведения одночастичных функций
. (15)
Отклонение точной n-частичной функции от факторизованного нулевого приближения принято характеризовать с помощью так называемых корреляционных функций Gn (x1, ..., хп, t), которые находятся по следующей схеме.
Для двухчастичной функции имеем
F2(0) (х1, х2, t) = F1 (х1, t) F1 (х2, t), (16)
F2 (x1, x2, t) = F2(0) (x1, x2, t) + G2 (x1, x2, t). (17)
Для трехчастичной функции -
F3(0) (х1, х2,x3, t) = F1 (х1, t) F1 (х2, t) F1 (х3, t), (18)
(19)
и т. д.
Сформулируем теперь количественно условие разреженности газа и условие слабости взаимодействия. Пусть r0 — радиус действия межмолекулярных сил и U0 — характерная величина потенциальной энергии взаимодействия. Случай разреженного газа осуществляется, если r0 много меньше среднего расстояния между частицами ω1/3, и, следовательно, в этом случае малым параметром задачи является величина . Случай слабого взаимодействия реализуется, если потенциальная энергия мала по сравнению с кинетической энергией ~ Т. Следовательно, в этом случае малым параметром задачи является величина β= U0/T.
Допустим, что в обоих случаях корреляции между координатами и скоростями частиц являются слабыми и корреляционные функции Gn (x1, ..., хп, t) малыми по параметрам а или β соответственно.
Для того чтобы построить методы решения системы уравнений Боголюбова в этих предположениях, запишем систему (7) в более детализированном виде
(20)
выделив в операторе слагаемые, содержащие и не содержащие потенциал взаимодействия
(21)
(
22)
(23)
Перейдем в уравнениях (20) безразмерным переменным, выбрав в качестве единицы длины r0, скорости , ускорения и времени . Для простоты мы не будем вводить новые обозначения для безразмерных переменных и сделаем в уравнениях (20) замены
,
(24)
Кроме того, учитывая условие нормировки (19) для функци Fn(x1, ..., хN, t), из которого видно, что Fn имеет размерность , введем безразмерную функцию распределения с помощью замены
(25)
Тогда уравнения Боголюбова (20) при запишутся в виде
(26)
Заметим, что, предполагая факторизацию функций Fn в нулевом приближении,
Fn(0) = F1 (х1, t) F1 (х2, t)…F1(xn,t), мы получим для одной и той же функции F1 (xi, t) N уравнений. Ясно, что необходимым условием допустимости факторизации является совместность этих уравнений нулевого приближения.
Убедимся, что случай разреженного газа () приводит в нулевом приближении к несамосогласованной системе. Действительно, система уравнений (26) в нулевом приближении выглядит следующим образом:
Легко видеть, что уравнения этой системы будут совместными только при условии отсутствия взаимодействия между частицами wik = 0. Следовательно, в случае разреженного газа корреляциями нельзя пренебрегать даже в нулевом приближении. Собственно говоря, этого следовало ожидать, так как для разреженного газа а << 1 «хорошим» кинетическим уравнением является уравнение Больцмана, которое несовместимо с требованием факторизации. Мы видели, что вывод уравнения Больцмана по Боголюбову предполагает только факторизацию функции F2 в «бесконечном прошлом».
Рассмотрим случай β = U0/T <<; 1, , что соответствует горячему газу со слабым взаимодействием между частицами, который, однако, может быть достаточно плотным. Фактически при типичной глубине потенциальной ямы U0~ (10-1 - 10-2) эв U0/T<<1 выполняется уже при комнатных температурах. В этом случае в нулевом приближении получаем незацепляющиеся уравнения
(27)
в которых переменные х1,..., хп разделяются. Это значит, что предположение является самосогласованным и одночастичная функция F1(0)(r, v, t) подчиняется уравнению
(28)
Интегрируя уравнение характеристик
(29)
находим, что решение уравнения (28) имеет вид
(30)
где ψ(r,v,t) - произвольная функция своих аргументов, совместимая с начальными и граничными условиями. Из выражения (30) следует, что F1(0)(r, v, t) остается постоянной вдоль динамической траектории частиц в μ-пространстве, чего и следовало ожидать для системы слабо взаимодействующих частиц в нулевом приближении.
Следующие приближения для функций Fn могут быть найдены последовательно из уравнений:
(31)
Решая первое из этих уравнений, можно в принципе найти F1, решая затем второе уравнение — найти G2 и, следовательно, F2 и т. д.
Мы ограничимся нулевым приближением (30) и в качестве иллюстрирующего примера рассмотрим задачу о свободном расширении газа в пустоту. Пусть в начальный момент t = 0 газ с максвелловским распределением по скоростям в одномерном случае занимает полупространство х<0. Затем стенка х = 0 удаляется и газ начинает расширяться.
Начальное распределение f(r, v, 0) задается тогда формулой
, (32)
где σ (х) — ступенчатая функция (напоминаем, что функция f(r, v, t) связана с F1 (r, v, t) соотношением f = F1n = F1/ω).
Согласно соотношению (30) продолжение во времени функции f(х, v, 0) дается формулой
(33)
Пространственная плотность числа частиц в точке х в момент времени t равна
, (34)
и средняя скорость газа u(x,t) равна
(35)
Так как п (х, t) и и (х, t) зависят только от x/t, то и распределение плотности газа, и распределение по скоростям в пространстве остаются подобными самим себе, а геометрическое место равных плотностей и равных скоростей потока равномерно перемещается вдоль оси х.
Сделаем в заключение следующее замечание. Поскольку уравнение свободно-молекулярного течения (27) представляет собой одночастичное уравнение Лиувилля, оно является, строго говоря, механическим, а не статистическим утверждением, и статистический смысл в него вложен «насильственно». Это проявляется, в частности, в обратимости решений уравнения (27). Например, если решение (32) при t = t0 принять за начальное условие и продолжить его во времени, заменив х на x+vxt, обратив направление скорости всех частиц, то спустя время t0 мы придем к исходному состоянию (32). В обращенном таким образом движении газ самопроизвольно сжимается вместо того, чтобы расширяться, и необратимость отсутствует.
Список использованных источников
1. Базаров И. П. Неравновесная термодинамика и физическая кинетика / Базаров И. П., Геворкян Э. В., Николаев П. Н. - М., 1989 – 240 с.
2. Гуревич Л. Э. Основы физической кинетики / Гуревич Л. Э. – М. 1940 – 245 с.
3. Лифшиц, Е. М., Питаевский, Л. П. Физическая кинетика / Лифшиц, Е. М., Питаевский, Л. П. - М.: Физматлит, 2007. - 536 с.