Параметры вращения цилиндров

Задача 1

Испытываемая жидкость заливается в кольцевую щель на высоту h между цилиндрами А и В (см. рис. 1). Для вращения цилиндра В относительно цилиндра А с частотой n нему должен быть приложен момент М. пренебрегая моментом трения в опорах, определить динамический и кинематический коэффициенты вязкости жидкости с плотностью с. При расчете принять d >> D-d, где D и d – диаметры цилиндров.

Номер варианта	M, H·см	n, об/мин	D, Мм	d, мм	h, мм	с, г/см3
9	1500	80	208	200	120	0,72

Рис. 1

Решение

Возникает момент сопротивления:

dMтр
= ,

где =; S – площадь цилиндра. S= р·d·h.

По закону Ньютона (для внутреннего трения):

dFтр
= .

Приближенно находим

=.

где Vнар.
– скорость наружного цилиндра диаметра d; Vвнутр.
= 0 – скорость внутреннего цилиндра диаметра D.

Vнар.
= 2 р·n·.

Получаем численно:

= = .

Получаем для нашего случая, сила трения действующая на внутренний цилиндр:

Fтр
= з··S.

Вращающий момент силы трения:

Mтр
= Fтр
·.

Получаем,

Mтр
= з·· р·d·h·.

При установившимся движении М = Mтр
:

М = з·· р·d·h·.

Находим динамический коэффициент вязкости:

з = ,

з == = 4,610 Па·с.

Находим кинематическую вязкость жидкости (кинематический коэффициент вязкости жидкости):

д = = = 6,40·10-3
.

Ответ: динамический коэффициент вязкости – з = 4,978 Па·с; кинематический коэффициент вязкости д = 6,40·10-3
.

Задача 2

Определить разность давлений в точках А и В, заполненных водой резервуаров (см. рис. 2), если известны показания ртутного дифманометра Д h= 20 см и расстояние между точками Н =0,7 м. Плотность воды св
= 1000 кг/м3
; ртути срт
= 13,544·103
кг/м3
.

вращение цилиндр вязкость давление

Рис. 2

Решение

Давление на уровне О- О можем определить так:

Ро
= РА
+ сВ
g (Н + Дх + Дh),

Ро
= РА
+ сВ
·g·Дх +срт
·g·Дh).

Получаем из полученных выражений:

РА
+ сВ
g (Н + Дh)+ сВ
·g·Дх = сВ
·g·Дх+срт
·g·Дh+РА
– РВ
= срт
·g·Дh– сВ
g (Н + Дh) = 13,544·103
кг/м3
·9,8 м/с2
· 0,2 м – 1000 кг/м3
· 9,8 м/с2
· 0,9 м = 17726,24 Па.

Ответ: разность давлений между точками А и В составляет 17726,24 Па.

Задача 3

Прямоугольное отверстие высотой h= 300 мм и шириной b = 800 мм в вертикальной стенке заполненного водой закрытого резервуара закрыто щитком, вращающимся вокруг горизонтальной оси О (см. рис. 3). Щит прижимается грузом, подвешенным на рычаге длиной r = 1000 мм. Определить минимальный вес груза и построить эпюру давлений на щит, если известны глубина погружения нижней кромки отверстия под водой Н = 1000 мм, расстояние от верхней кромки отверстия до оси вращающегося щита а= 90 мм и показание пружинного манометра со
= 1,1·104
Па. Весом рычага и трением в опоре пренебречь. Плотность воды св
= 1000 кг/м3
. момент инерции прямоугольника относительно центральной оси определяется по формуле J = b·h3
/12.

Рис. 3

Решение

Манометр показывает избыточное давление по отношению к атмосферному.

Сила давления суммарная, действующая на щит с внутренней стороны щита равна:

F = [Po
+ с·g (H-)]·b·h.

Находим ее приложение (давление рассчитываем для центра тяжести т. площадки). Сила давления не приложена в центре тяжести площадки, т.е. в точке А.

Сила давления в точке В, где АВ = J/b·h·HA
;

НА
= = + (H- ).

Находим минимальный подвешенный груз, чтобы щит не раскрылся:

Q ·Г ≥ F·(a+ + АВ).

Qmin
= = =

==

= 3898,69 H

Ответ: минимальный вес груза 3898,69 Н, эпюра давлений на щит показана на рис. 3.

Задача 4

Открытый вертикальный цилиндрический сосуд (рис. 4) радиусом R = 1,2 м с жидкостью равномерно вращается вокруг вертикальной оси со скоростью щ = 80 об/мин. Определить высоту жидкости ho
после остановки сосуда и глубину воронок h2
, если известна высота жидкости h1
= 1,5 м.

Рис. 4

Решение

Скорость вращения:

щ = = 8,37 с-1
.

Высота параболоида (глубина воронки):

h2
= = = 5,1 м.

Объем параболоида вращения равен:

Vпар
= р·R2
· .

Высота покоящейся жидкости:

ho
= h1
– =1,5 – = 1,05 м.

Ответ: высота жидкости после остановки сосуда ho
= 1,05 м.

Задача 5

Вода вытекает из резервуара, в котором поддерживается постоянный уровень, через трубопровод при атмосферном давлении в конце трубопровода. Пренебрегая сопротивлениями, определить уровень в резервуаре, расход

воды Q и построить напорную и пьезометрическую линию, если известны показания ртутного дифференциального пьезометра h, диаметры трубопроводов D1
= 200 мм, D2
=190 мм, d = 150 мм, плотность ртути и воды соответственно срт
= 13,5 ·103
кг/м3
; св
= 1000 кг/м3
. Атмосферное давление Ра
= 105
Па.

Рис. 5

Решение

Давление статическое в сечении трубки диаметром D1
:

P1
= Pa
+ сgH– .

Давление статическое в сечении трубки диаметром d:

P = Pa
+ сgH– .

Используя дифференциальный пьезометр, находим:

P1
– P = (срт
– св
) gh,

т.е. = (срт
– св
) gh(1)

при выходе из трубы имеем:

Pa
+ сgH– = Pa
(2)

Исходя из неразрывности струи, имеем:

= = .

После сокращения получаем:

= d2
·V = (3).

На основании выражения (3), можем записать:

= d2
·V.

V1
= .

Подставляем полученное выражение в выражение (1), получаем:

V2
-= .

V= = = 71,67 м/с.

Находим расход воды:

Q = = = 0,081240 м3
/с = 81,24 л/с.

Находим высоту столба воды Н в резервуаре:

сgH =

gH = ; H = . (атмосферное давление не учитывается).

Из уравнения (3), имеем:

V2
= .

Получаем:

Н = = = 130,48 м.

Ответ: высота воды в резервуаре Н = 130,48 м; расход воды Q = 81,24 л.

Задача 6

В водопроводной сети имеется участок АВ с тремя параллельными ветвями (см. рис. 6). Определить потерю напора h на этом участке и расходы ветвей Q1
, Q2
, и Q3
, если расход магистрали Q = 110 л/с, диаметры и длины участков D1
= 275 мм; D2
= 175 мм; D3
= 200 мм; l1
= 500 м; l2
= 1100 м; l3
= 1300 м. Трубы нормальные.

Рис. 6

Решение

В соответствии с уравнением неразрывности потока расход жидкости по данному трубопроводу будет:

Q = Q1
+ Q2
+ Q3
(1)

Рассчитаем потери напора в каждом трубопроводе:

Нпот.1
= б1
·Q, где Q1
= ,

Нпот.2
= б1
·Q, где Q2
= , (3)

Нпот.3
= б1
·Q, где Q3
= .

Потери напора в любом из простых трубопроводов, а также общие потери напора в рассматриваемом сложном трубопроводе будут равны разности полных напоров в сечениях А иВ:

НА
– НВ
= Нпот.1
= Нпот.2
= Нпот.2
= Нпот.
(4).

Подставляем в выражение (1) выражение (3) получаем:

Q = = = = . (5)

Поскольку местными сопротивлениями можно пренебречь, сопротивления отдельных простых трубопроводов могут быть найдены по одной из формул:

А = Адл
·l; a= .

Из формулы (5) имеем:

Нпот
= .

Из таблицы для нормальных труб, имеем:

D1
= 275 мм; 0,613 м6
/с.

D2
= 175 мм; 0,212 м6
/с.

D3
= 200 мм; 0,116 м6
/с.

Находим потери напора по формуле (5):

а1
= = = 815,66

а2
= = = 5188,67

а1
= = = 11206,89

Нпот
= = 6,032

Q1
= = 0,085 м3
/с = 85 л/с.

Q2
= = 0,0340 м3
/с = 34 л/с.

Q3
= = 0,0231 м3
/с = 23,1 л/с.

Q1
+ Q2
+ Q3
= 0,14 м3
/с = 142,1 л/с.

Ответ: потеря напора на участке АВ составляет 6,032 м. рт. столба, а расходы Q1
= 85 л, Q2
= 34 л/с; Q3
= 23,1 л/с.

Задача 7

Вода под давлением Po
подводится по трубе диаметром dc
= 13 мм, в котором происходит увеличение скорости и понижение давления (см. рис. 7). Затем в диффузоре поток расширяется до диаметра d= 50 мм. Вода выходит в атмосферу на высоте Н2
= 1,3 м и поднимается из нижнего резервуара на высоту Н1
= 2,5 м. определить минимальное давление Ро
перед эжектором с учетом потерь напора в сопле (ос
= 0,06), диффузоре (одиф
= 0,25), коленах (ок
= 0,25).

Рис. 7

Решение

Запишем уравнение Бернулли (перед соплом и на выходе):

1) Ро
+ = Ра
+ +сg(H1
+ H2
) +(0,06+2·0,25) .

Давление в струе после сопла будет:

2) Рс
£ Ра
– сgH1.

Запишем уравнение Бернулли (перед соплом и после сопла в сечениях):

3) Ро
+ = Ра
– сgH1
+ +0,06.

Уравнение неразрывности струи:

4) = ; d2
V = Vc
; Vc
= ·V.

Численная связь Vc
= ·V.

Решаем систему:

Из уравнения (1) отнимаем уравнение (3) и находим

0=+ сg(2H1
+ H2
) + – с· .

· – = g(2H1
+ H2
).

V2
= = = 0,56 м2
/с2
.

Из первого уравнения имеем:

Р0
³ Ра
+ сg(H1
+ H2
) + = Ра
+ 1000·9,81 (2,5+1,3) + = Ра
+ 37434,8 Па.

Ответ: минимальное давление перед инжектором Po
= Pa
+ 37434,8 Па.

Литература

1. Р.Р. Чугуев. Гидравлика. М., 1991 г.

2. В.Г. Гейер, В.С. Дулин, А.П. Заря. Гидравлика и гидропривод. М. «Недра», 1991 г.

3. К.Г. Асатур. Гидравлика, конспект лекций, Л., ЛГИ., ч. 1 и 2.