Теорема Тейлора ~ Степенной ряд ~ Основные разложения
Теорема Тейлора
(о разложении функции в степенной ряд).
Функция, аналитическая в области комплексных чисел D
, в окрестности каждой точки z
0
этой области представляется в виде степенного ряда
:(1)
радиус сходимости R
которого не меньше, чем расстояние от точки z
0
до границы области D
. Такой степенной ряд называется рядом Тейлора.
Коэффициенты ряда Тейлора вычисляются по формуле:
(2)
где - произвольный контур, принадлежащий области D
и охватывающий точку z
0
(в частности, - окружность ), или по формуле:
(3)
Радиус сходимости ряда Тейлора равен расстоянию от точки z
0
до ближайшей особой точки функции.
Для вычисления радиуса сходимости ряда Тейлора можно также использовать формулы:
Основные разложения.
(z
принадлежит области комплексных чисел);
(z
принадлежит области комплексных чисел);
(z
принадлежит области комплексных чисел);
(z
принадлежит области комплексных чисел);
(z
принадлежит области комплексных чисел);
Пример 1
. Записать разложение по степеням z
функции f
(z
) = ch z
.
Найдем производные функции:f
(n)
(z
) = ch(n)
z
= ch z
при n= 2k
,f
(n)
(z
) = ch(n)
z
= sh z
при n
= 2k
-1.
В данном примере z
0
= 0. По формуле (3) имеем:Cn
= 0 при n
= 2k
; Cn
= 1/n
! при n
= 2k-
1;.
Так как ch z
- аналитическая функция в области действительных чисел, то радиус R
равен бесконечности. В результате имеем:(z
принадлежит области действительных чисел).
| Решение примера в среде пакета Mathcad | Теоретическая справка | |
| Решение примера в среде пакета Mathematica |
Пример 2
. Разложить по степеням (z
-3) функцию f
(z
) = sin z
.
Обозначим z
-3 = t
. Используя тригонометрическую формулу для функции sin (3+t), получим: sin(3+t
) = sin3 cos t
+cos3 sin t
.
Используя основные разложения, имеем:
Так как t
= z
-3, то
т.е.
где
| Решение примера в среде пакета Mathcad | Теоретическая справка | |
| Решение примера в среде пакета Mathematica |
Пример 3
. Разложить по степеням z
функцию
Дробь правильная. Раскладываем ее на элементарные дроби:
Раскладываем элементарные дроби по степеням z
:
Для исходной дроби получаем разложение:
или, складывая ряды:
Окончательный ответ:
Теорема Лорана (о разложении функции в ряд по целым степеням).
Функция f
(z
), аналитическая в кольцеr
< | z
- z
0
| < R
, представляется в этом кольце сходящимся рядом по целым степеням, т.е. имеет место равенство: (1)
Коэффициенты ряда вычисляются по формуле: (2) где - произвольный контур, принадлежащий кольцу и охватывающий точку z
0
; в частности, - окружность
Ряд (1), коэффициенты которого вычисляются по формуле (2), называется рядом Лорана функции f
(z
).
Совокупность членов ряда с неотрицательными степенями называется правильной частью ряда Лорана, члены с отрицательными степенями образуют главную часть ряда Лорана: или
Для коэффициентов ряда имеет место формула оценки коэффициентов - неравенство Коши: где r - радиус контура интегрирования в формуле (2).
На границах кольца сходимости ряда Лорана есть хотя бы по одной особой точке функции f
(z
) - его суммы.
Частными случаями рядов Лорана являются разложения функции в окрестности особой точки z
0
(r
= 0) и в окрестности бесконечно удаленной точки (z
0
= 0, ).
При построении разложений в ряд Лорана
используются разложения в степенные ряды (ряды Тейлора), используются основные разложения и арифметические операции со сходящимися рядами.
Пример 1. Разложить функцию в ряд Лорана по степеням z
.
Решение.
Так как функция является рациональной дробью, то особыми точками являются нули знаменателя, т.е. z
1
= -1 и z
2
= 3. Запишем функцию в виде
Кольца аналитичности | z
| < 1, 1 < | z
| < 3, | z
| > 3.
Раскладываем дробь на элементарные дроби:
При | z
| < 1 имеем:
Таким образом, в круге | z
| < 1 функция раскладывается в ряд Тейлора:
В кольце 1 < | z
| < 3:
В итоге имеем:
В круге | z
| > 3:
В итоге имеем:
| Решение примера в среде пакета Mathcad | Теоретическая справка | |
| Решение примера в среде пакета Mathematica |
Пример 2. Разложить функцию f
(z
) = z
3
·e
1/z
в окрестности точки z
0
= 0.
Решение.
Из основного разложения получаем
или
Вычет функции ~ Вычисление вычетов
Вычетом функцииf(z
0
(точка принадлежит области комплексных чисел) называется интеграл вида: где - контур, принадлежащий окрестности точки z
0
и охватывающий ее. Обход контура - положительный, т.е. область ограниченная им и принадлежащая окрестности z
0
при обходе расположена слева: обход против часовой стрелки.
Обозначается вычет
Вычет функции в конечной изолированной особой точке равен коэффициенту С
-1
при первой отрицательной степени в разложении функции в ряд Лорана в окрестности этой точки, т.е. при 1/(z
-z
0
) для z
0
, принадлежащей области комплексных чисел:
ПРИМЕР 1. Вычисление вычета функции в ее конечных особых точках.
Если конечная особая точка z
0
является устранимой особой точкой функции f
(z
), то
ПРИМЕР 2. Вычисление вычета в устранимой особой точке.
Если z
0
- полюс порядка n
функции f
(z
), z
0
принадлежит области комплексных чисел, то
ПРИМЕР 3. Вычисление вычета в полюсе порядка n.
Если z
0
- простой полюс функции , где аналитические функции в точке z
0
и , то
ПРИМЕР 4. Вычисление вычета в простом полюсе.
Если z
0
- существенно особая точка функции f
(z
), то вычет в ней находится, исходя из определения, т.е. как С
-1
- коэффициент в разложении f
(z
) в ряд Лорана в окрестности z
0
.
ПРИМЕР 5. Вычисление вычета в существенной особой точке.
Пример 1. Вычислить вычет функции f (z) = (z+2)/(z2
-2z-3) в точке z = 3.
Решение.
Разложим функцию в ряд Лорана по степеням z - 3:
Из этого разложения находим
Заметим, что здесь точка z = 3 - простой полюс.
| Решение примера в среде пакета Mathcad | Теоретическая справка | |
| Решение примера в среде пакета Mathematica |
Пример 2. Вычислить вычет функции f(z) в точке z = 0,
Решение.
Запишем
т.е. z= 0 - устранимая особая точка. Следовательно,
| Решение примера в среде пакета Mathcad | Теоретическая справка | |
| Решение примера в среде пакета Mathematica |
Пример 3. Вычислить вычет функции
Так как то z
= 0 для f
(z
) - полюс второго порядка. Следовательно,
| Решение примера в среде пакета Mathcad | Теоретическая справка | |
| Решение примера в среде пакета Mathematica |
Пример 4
. Вычислить вычет функции f(z) = ctg 2z во всех ее особых точках.
Решение.
В точках данная функция имеет полюсы первого порядка (простые полюсы), поскольку
Следовательно,
| Решение примера в среде пакета Mathcad | Теоретическая справка | |
| Решение примера в среде пакета Mathematica |
Пример 5
. Вычислить вычет функции
Решение.
Разложим замкнутую функцию в ряд Лорана в окрестности z
= 1:
Из этого разложения следует, что z
= 1 является существенной особой точкой и С
-1
= 3/2, т.е.
Теорема о вычетах ~ Примеры
Теорема (Основная теорема о вычетах).
Если функция f
(z
- аналитична в за исключением конечного числа особых точек , то справедливо равенство где D
- односвязная область в комплексной плоскости, - граница D
, - вычет функции f
(z
) в точке zk
.
ПРИМЕР 1. Вычисление интеграла по теореме о вычетах.
ПРИМЕР 2. Вычисление интеграла по теореме о вычетах.
ПРИМЕР 3. Вычисление интеграла по теореме о вычетах.
Пример 1. Вычислить интеграл
Решение.
Особыми точками подынтегральной функции являются нули знаменателя - корни уравнения exp(z
) - i =
0, т.е. точки
Кругу принадлежит только одна из этих точек, точка
Эта точка - простой полюс функции , т.к. она является простым нулем знаменателя.
Вычислим вычет в простом полюсе f
(z
):
Тогда
| Решение примера в среде пакета Mathcad | Теоретическая справка | |
| Решение примера в среде пакета Mathematica |
Пример 2. Вычислить интеграл
Решение.
Единственная особая точка подынтегральной функции - существенно особая точка z
= 0. Она принадлежит области, ограниченной контуром интегрирования.
Вычислим вычет в существенно особой точке функции f
(z
): поскольку
Тогда
| Решение примера в среде пакета Mathematica | Теоретическая справка |
Пример 3. Вычислить интеграл
Решение.
Особыми точками подынтегральной функции являются нули знаменателя - корни уравнения z
4
+ 1 =
0, т.е. точки
Все эти точки - простые полюсы подынтегральной функции, кругу принадлежат только две из них: и
Вычислим вычеты f
(z
) в этих точках:
Тогда