3.11 Трехфазные цепи.
Трехфазные цепи являются частным случаем многофазных систем
, под которыми понимают совокупность нескольких нагрузок и источников питания, имеющих одинаковую частоту и смещенных по фазе на некоторый угол друг относительно друга
. Каждая пара источник-нагрузка
может рассматриваться как отдельная цепь и называется фазой
системы
.
Если отдельные фазы системы не соединены между собой электрически (рис. 1 а)), то такую систему называют несвязанной
. Несвязанная система не обладает никакими особыми свойствами, и если между фазами отсутствует и магнитная связь, то такая совокупность цепей вообще не может рассматриваться как многофазная.
Соединение фаз системы между собой (рис. 1б)) придает ей особые качества, благодаря которым многофазные системы ( в особенности трехфазные) получили исключительное распространение в области передачи и преобразования электрической энергии. Одним из очевидных преимуществ связанной системы (рис. 1) является сокращение с шести до четырех числа проводников, соединяющих источники с нагрузкой. При благоприятных обстоятельствах это число может быть уменьшено до трех. В дальнейшем мы отметим целый ряд других преимуществ, которым обладают связанные системы.
Любая многофазная система может быть симметричной и несимметричной. Симметрия системы определяется симметрией ЭДС, напряжений и токов. Под симметричной многофазной системой ЭДС, напряжений или токов
понимают совокупность соответствующих величин, имеющих одинаковые амплитуды и смещенных по фазе на угол 2
p
/m по отношению друг к другу, где m - число фаз системы
. Если для обозначения фаз трехфазной системы использовать первые буквы латинского алфавита, то симметричную систему ЭДС можно записать в виде
| Û | (1) |
Аналогичные выражения можно написать и для токов и падений напряжения в симметричной трехфазной системе.
Основное свойство
симметричных многофазных систем
заключается в том, что сумма мгновенных значений величин образующих систему в каждый момент времени равна нулю
. Для изображений величин образующих систему это свойство означает равенство нулю суммы фазных векторов
. В справедливости этого утверждения легко убедиться на примере трехфазной системы, если в области изображений сложить числа в скобках в правой части выражений (1).
Многофазная система симметрична только тогда, когда в ней симметричны ЭДС, токи и напряжения. Если принять равными нулю внутренние сопротивления источников питания или включить их значения в сопротивления нагрузки, то условие симметрии системы сводится к симметрии ЭДС и равенству комплексных сопротивлений нагрузки. Это условие для трехфазной системы записывается в виде
| Z
a = Z b = Z c . |
(2) |
В дальнейшем мы будем считать, что источники питания являются источниками ЭДС и использовать условия симметрии системы в виде выражений (1) и (2).
В многофазные системы объединяют источники ЭДС и нагрузки. Для обеспечения правильного соотношения сдвига фаз при соединения или связывании системы в общем случае необходимо определить выводы элементов, по отношению к которым выполняются условия (1). Они называются начало и конец фазы источника или нагрузки. Для источников многофазной системы принято за положительное направление действия ЭДС от начала к концу.
На электрических схемах, если это необходимо, начало и конец обозначают буквами латинского алфавита. На рис. 1 а) начала элементов соответствуют индексам XYZ
, а концы - ABC
. В дальнейшем мы будем использовать строчные буквы для нагрузки, а прописные для источников ЭДС.
Существуют два способа связывания элементов в многофазную систему - соединение звездой и соединение многоугольником. Звезда это такое соединение, в котором начала всех элементов объединены в один узел, называемый нейтральной точкой
. Подключение к системе при этом осуществляется концами элементов (рис. 2 а)). Многоугольник это соединение, в котором все элементы объединены в замкнутый контур так, что у соседних элементов соединены между собой начало и конец
. С системой многоугольник соединяется в точках соединения элементов. Частным случаем многоугольника является треугольник рис. 2 б).
Источники питания и нагрузки в многофазных системах в общем случае могут быть связаны разными способами.
При анализе многофазных систем вводится ряд понятий, необходимых для описания процессов. Проводники, соединяющие между собой источники и нагрузку, называются линейными проводами
, а проводник соединяющий нейтральные точки источников и нагрузки - нейтральным проводом
.
Электродвижущие силы источников многофазной системы (eA
, E
A
, EA
, eB
, E
B
, EB
, eC
, E
C
, EC
), напряжения на их выводах (uA
, U
A
, UA
, uB
, U
B
, UB
, uC
, U
C
, UC
) и протекающие по ним токи (iA
, I
A
, IA
, iB
, I
B
, IB
, iC
, I
C
, IC
) называются фазными
. Напряжения между линейными проводами (U
AB
, UAB
, U
BC
, Uac
, U
CA
, UCA
) называются линейными
.
Связь линейных напряжений с фазными можно установить через разность потенциалов линейных проводов рис. 1 б) как uAB
= uAN
+ uNB
= uAN
-uBN
= uA
-uB
или в символической форме
U
U
|
(3) |
Построим векторную диаграмму для симметричной трехфазной системы фазных и линейных напряжений (рис. 3). В теории трехфазных цепей принято направлять вещественную ось координатной системы вертикально вверх.
Каждый из векторов линейных напряжений представляет собой сумму одинаковых по модулю векторов фазных напряжений (U
ф
= UA
= UB
=UC
), смещенных на угол 60° . Поэтому линейные напряжения также образуют симметричную систему и модули их векторов (U
л
= UAB
= UBC
=UCA
) можно определить как .
Выражения (3) справедливы как для симметричной системы, так и для несимметричной. Из них следует, что векторы линейных напряжений
соединяют между собой концы фазных (вектор U
CA
рис. 3). Следовательно, при любых фазных напряжениях
они образуют замкнутый треугольник и их сумма всегда равна нулю
. Это легко подтвердить аналитически сложением выражений (3) - U
AB
+ U
BC
+ U
CA
= U
A
-U
B
+ U
B
-U
C
+ U
C
-U
A
= 0.
Тот факт, что геометрически векторы линейных напряжений соединяют концы векторов фазных, позволяет сделать заключение о том, что любой произвольной системе линейных напряжений соответствует бесчисленное множество фазных
. Это подтверждается тем, что для создания фазной системы векторов при заданной линейной, достаточно произвольно указать на комплексной плоскости нейтральную точку и из нее провести фазные векторы в точки соединения многоугольника линейных векторов.
Из уравнений Кирхгофа для узлов a
, b
и c
нагрузки соединенной треугольником (рис. 2 б)) можно представить комплексные линейные токи через фазные в виде
| I
A = I ab -I ca ; I B = I bc -I ab ; I C = I ca -I bc . |
(4) |
В случае симметрии токов IA
= IB
= IC
= I
л
и Iab
= Ibc
= Ica
= I
ф
, поэтому для них будет справедливо такое же соотношение, как для линейных и фазных напряжений в симметричной системе при соединении звездой, т.е . Кроме того, их сумма в каждый момент времени будет равна нулю, что непосредственно следует из суммирования выражений (4).
Перейдем теперь к рассмотрению конкретных соединений трехфазных цепей.
Пусть фазы источника и нагрузки соединены звездой с нейтральным проводом (рис. 4а)). При таком соединении нагрузка подключена к фазам источника и U
A
= U
a
, U
B
= U
b
и U
C
= U
c.
, а I
A
= I
a
, I
B
= I
b
и I
C
= I
c
. Отсюда по закону Ома токи в фазах нагрузки равны
I
I
|
(5) |
Ток в нейтральном проводе можно определить по закону Кирхгофа для нейтральной точки нагрузки. Он равен
| I
N =I a +I b +I c . |
(6) |
Выражения (5) и (6) справедливы всегда, но в симметричной системе Z
a
= Z
b
= Z
c
= Z
, поэтомуI
N
=I
a
+I
b
+I
c
= U
A
/Z
a
+U
B
/Z
b
+U
C
/Z
c
= (U
A
+U
B
+U
C
)/Z
= 0, т.к. по условию симметрии U
A
+U
B
+U
C
=0. Следовательно, в симметричной системе ток нейтрального провода равен нулю и сам провод может отсутствовать. В этом случае связанная трехфазная система будет передавать по трем проводам такую же мощность, как несвязанная по шести. На практике нейтральный провод в системах передачи электроэнергии сохраняют, т.к. его наличие позволяет получать у потребителя два значения напряжения - фазное и линейное (127/220 В, 220/380 В и т.д.). Однако сечение нейтрального провода обычно существенно меньше, чем у линейных проводов, т.к. по нему протекает только ток, создаваемый асимметрией системы.
При симметричной нагрузке токи во всех фазах одинаковы и смещены по отношению друг к другу на 120° . Их модули или действующие значения можно определить как I
= U
ф
/Z
.
Векторные диаграммы для симметричной и несимметричной нагрузки в системе с нейтральным проводом приведены на рис. 4 б) и в).
При отсутствии нейтрального провода сумма токов в фазах нагрузки равна нулю I
a
+I
b
+I
c
=0. В случае симметричной нагрузки режим работы системы не отличается от режима в системе с нейтральным проводом.
При несимметричной нагрузке между нейтральными точками источника и нагрузки возникает падение напряжения. Его можно определить по методу двух узлов, перестроив для наглядности схему рис. 5 а). В традиционном для теории электрических цепей начертании она будет иметь вид рис. 5 б). Отсюда
| , | (7) |
где Y
a
=1/Z
a
, Y
b
=1/Z
b
, Y
c
=1/Z
c
- комплексные проводимости фаз нагрузки.
Напряжение U
nN
представляет собой разность потенциалов между нейтральными точками источника и нагрузки. По схеме рис. 5 б) его можно представить также через разности фазных напряжений источника и нагрузки U
nN
= U
A
-U
a
= U
B
-U
b
= U
C
-U
c
. Отсюда фазные напряжения нагрузки
| U
a = U A -U nN ; U b = U B -U nN ; U c = U C -U nN . |
(8) |
Токи в фазах нагрузки можно определить по закону Ома
| I
a = U a /Z a ; I b = U b /Z b ; I c = U c /Z c . |
(9) |
Векторные диаграммы для симметричной и несимметричной нагрузки приведены на рис. 6. Диаграммы симметричного режима (рис. 6 а)) ничем не отличаются от диаграмм в системе с нулевым проводом.
Диаграммы несимметричного режима (рис. 6 б)) иллюстрируют возможность существования множества систем фазных напряжений для любой системы линейных. Здесь системе линейных напряжений U
AB
U
BC
U
CA
соответствуют две системы фазных. Фазные напряжения источника U
A
U
B
U
C
и фазные напряжения нагрузки U
a
U
b
U
c.
.
В трехфазных цепях нагрузка и источник могут быть соединены по-разному. В частности нагрузка, соединенная треугольником, может быть подключена к сети, в которой источник питания соединен звездой (рис. 7 а)).
При этом фазы нагрузки оказываются подключенными на линейные напряжения
U
ab
= U
AB
; U
bc
=U
BC
; U
ca
= U
CA
.
Токи в фазах можно найти по закону Ома
I
ab
= U
ab
/Z
ab
; I
bc
= U
bc
/Z
bc
;
I
ca
= U
ca
/Z
ca
,
а линейные токи из уравнений Кирхгофа для узлов треугольника нагрузки
| I
A = I ab -I ca ; I B = I bc -I ab ; I C = I ca -I bc . |
(10) |
Векторы фазных токов нагрузки на диаграммах для большей наглядности принято строить относительно соответствующих фазных напряжений. На рис. 7 б) векторные диаграммы построены для случая симметричной нагрузки. Как и следовало ожидать, векторы фазных и линейных токов образуют симметричные трехфазные системы.
На рис. 7 в) построена векторная диаграмма для случая разных типов нагрузки в фазах. В фазе ab
нагрузка чисто резистивная, а в фазах bc
и ca
индуктивная и
ab
совпадает по направлению с вектором U
ab
; вектор I
bc
отстает, а вектор I
ca
опережает на 90° соответствующие векторы напряжений. После построения векторов фазных токов можно по выражениям (10) построить векторы линейных токов I
A
, I
B
и I
C
.
Трехфазная цепь является совокупностью трех однофазных цепей, поэтому ее мощность может быть определена как сумма мощностей отдельных фаз.
При соединении звездой активная мощность системы будет равна
P
=I
|
(11) |
а реактивная
Q
=I
|
(12) |
Если нагрузка соединена треугольником, то активная и реактивная мощности будут равны
P
=I
|
(13) |
Q
=I
|
(14) |
Полную мощность можно определить из треугольника мощностей как
| . | (15) |
Следует обратить внимание на то, что полная мощность трехфазной цепи не является суммой полных мощностей фаз
.
При симметричной нагрузке мощности всех фаз одинаковы, поэтому полная мощность и ее составляющие для соединения звездой будут равны
| (16) |
При соединении нагрузки треугольником
| (17) |
Из выражений (16) и (17) следует, что полная мощность трехфазной сети и ее составляющие при симметричной нагрузке могут быть определены по линейным токам и напряжениям независимо от схемы соединения
.
3.5 Мощность цепи переменного тока.
Понятие потенциала или разности потенциалов u
позволяет определить работу, совершаемую электрическим полем при перемещении элементарного электрического заряда dq
, как dA
= udq
. В то же время, электрический ток равен i
= dq
/dt
. Отсюда dA
= ui dt
, следовательно, скорость совершения работы, т.е. мощность в данный момент времени или мгновенная мощность
равна
| , | (1) |
где u
и i
- мгновенные значения напряжения и тока.
Величины тока и напряжения, входящие в выражение (1), являются синусоидальными функциями времени, поэтому и мгновенная мощность является переменной величиной и для ее оценки используется понятие средней мощности
за период. Ее можно получить, интегрируя за период T
работу, совершаемую электрическим полем, а затем соотнося ее с величиной периода, т.е.
| . | (2) |
Пусть u
=U
m
sinwt
и I
m
sin(wt
-j ), тогда средняя мощность будет равна
| (3) |
т.к. интеграл второго слагаемого равен нулю. Величина cos
jназывается коэффициентом мощности
.
Из этого выражения следует, что средняя мощность в цепи переменного тока зависит не только от действующих значений тока I
и напряжения U
, но и от разности фаз j между ними. Максимальная мощность соответствует нулевому сдвигу фаз и равна произведению UI
. При сдвиге фаз между током и напряжением в ± 90° средняя мощность равна нулю. Максимальные значения напряжения и тока любой электрической машины определяются ее конструкцией, а максимальная мощность, которую они могут развивать - произведением этих величин. Если электрическая цепь построена нерационально, т.е. сдвиг фаз j имеет значительную величину, то источник электрической энергии и нагрузка не могут работать на полную мощность. Поэтому в любой системе источник-нагрузка существует т.н. "проблема
cos
j
", которая заключается в требовании возможного приближения cosj к единице.
Выражение (3) можно представить также с помощью понятий активных составляющих тока I
а
и напряжения U
а
в виде
| P
= UI cosj = U (I cosj ) = UI а = I (U cosj ) = IU а . |
(4) |
Учитывая, что активные составляющие тока и напряжения можно выразить через резистивную состаляющую комплексного сопротивления цепи как I
а
=U
/R
или U
а
=IR
, выражение (4) можно записать также в форме
| P
= I 2 R = U 2 /R . |
(5) |
Среднюю мощность P
называют также активной мощностью
и измеряют в ваттах [Вт].
Выделим подинтегральную функцию выражения (3)
| (6) |
Отсюда следует, что мгновенная мощность изменяется с двойной частотой сети относительно постоянной составляющей UI
cosj равной средней или активной мощности.
При cosj = 1 (j = 0) , т.е. для цепи, обладающей чисто резистивным сопротивлением
| (7) |
Временные диаграммы, соответствующие этому случаю приведены на рис. 1 а).
Положительные значения мгновенной мощности соответствуют поступлению энергии от источника в электрическую цепь
. Следовательно, при резистивной нагрузке вся энергия поступающая от источника преобразуется в ней в тепло
.
При cosj = 0 (j = ±p /2) , т.е. для чисто реактивной цепи
| (8) |
Временные диаграммы, соответствующие чисто индуктивной и чисто емкостной нагрузке приведены на рис. 1 б) и г). Из выражений (8) и временных диаграмм следует, что мощность колеблется относительно оси абсцисс с двойной частотой, изменяя свой знак каждые четверть периода. Это означает, что в течение четверти периода (p
> 0) энергия поступает в электрическую цепь от источника и запасается в магнитном или электрическом поле, а в течение следующей четверти (p
< 0) она целиком возвращается из цепи в источник. Так как площади, ограниченные участками с положительной мощностью и с отрицательной одинаковы, то средняя мощность отдаваемая источником нагрузке равна нулю и в цепи не происходит преобразования энергии.
В общем случае произвольной нагрузки 1 > cosj > 0 ( 1< |j | < p /2) и
| (8) |
Как следует из временных диаграмм рис. 1 в), большую часть периода мощность потребляется нагрузкой (p
> 0), но существуют также интервалы времени, когда энергия запасенная в магнитных и электрических полях нагрузки возвращается в источник. Участки с положительным значением p
независимо от характера реактивной составляющей нагрузки всегда больше участков с отрицательным значением, поэтому средняя мощность P
положительна. Это означает, что в электрической цепи преобладает процесс преобразования электрической энергии в тепло или механическую работу
.
Рассмотрим энергетические процессы в последовательном соединении rLC
(рис. 2). Падение напряжения на входе цепи уравновешивается суммой падений напряжения на элементах u
=ur
+uL
+uC
. Мгновенная мощность в цепи равна
| ui
=ur i +uL i +uC i |
(9) |
Пусть напряжение и ток на входе равны u
=U
m
sinwt
и I
m
sin(wt
-j ). Тогда падения напряжения на элементах будут ur
= rI
m
sin(wt
-j ), uL
= wLI
m
sin(wt
-j +p /2) = xL
I
m
sin(wt
-j +p /2), uC
= I
m
sin(wt
-j -p /2)/(w C) = xC
I
m
sin(wt
-j -p /2). Подставляя эти выражения в (9), получим
| (10) |
Уравнение (10) в левой и правой частях имеет постоянную и переменную составляющие. Постоянная составляющая представляет собой активную или среднюю мощность. Второе слагаемое в правой части это переменная составляющая активной мощности с амплитудой равной P
= UI
cosj . Третье слагаемое правой части также является переменной составляющей мгновенной мощности, но эта составляющая находится в квадратуре с переменной составляющей активной мощности и имеет амплитуду Q
= UI
sinj . Эту величину называют реактивной мощностью
. Она равна среднему за четверть периода значению энергии, которой источник обменивается с магнитным и электрическим полями нагрузки. Реактивная мощность не преобразуется в тепло или другие виды энергии
, т.к. ее среднее значение за период равно нулю.
Реактивную мощность также можно представить через реактивные составляющие тока или напряжения
| Q
= UI sinj = U (I sinj ) = UI р = I (U sinj ) = IU р . |
(11) |
В отличие от всегда положительной активной мощности, реактивная мощность положительна при
j > 0 и отрицательна при
j < 0 .
Из условия равенства переменных составляющих левой и правой частей уравнения (10) можно найти связь между P
, Q
и S
= UI
в виде
| (12) |
Величина S
называется полной или кажущейся мощностью
. Из выражения (12) следует, что полную мощность можно представить гипотенузой прямоугольного треугольника с углом j , катетами которого являются активная и реактивная мощности.
Таким образом, полная мощность это максимально возможная активная мощность, т.е. мощность, выделяющаяся в чисто резистивной нагрузке
(cosj = 0). Именно эта мощность указывается в паспортных данных электрических машин и аппаратов.
Реактивные составляющие токов и напряжений можно представить через активные и реактивные составляющие комплексного сопротивления, тогда для составляющих мощности
P
Q
S
|
(13) |
Треугольник мощностей можно описать также с помощью комплексных чисел и изобразить векторами на комплексной плоскости в виде
| , | (14) |
где S
- комплексная полная мощность, - сопряженный комплексный ток.
Пользуясь представлением активной и реактивной составляющих мощности через активные и реактивные составляющие токов и напряжений (выражения (4) и (11)), треугольник мощностей можно построить в двух вариантах (рис. 3 а) и б)). В первом случае активная и реактивная составляющие полной мощности выражаются через активную и реактивную составляющие напряжения U
и треугольник мощностей получается изменением масштаба треугольника напряжений (рис. 3 а)). Во втором случае (рис. 3 б)), построение выполнено с помощью активной и реактивной составляющих тока I
.
Очевидно, что все виды мощности имеют одинаковую размерность, поэтому для их отличия от активной мощности, измеряемой в ваттах [Вт], для полной мощности введена единица, называемая вольт-амперы [ВА], а для реактивной мощности - вольт-амперы реактивные [ВАр]
Выражение для активной мощности P
= UI
cosj позволяет определить коэффициент мощности с помощью ваттметра, вольтметра и амперметра.
Для этого на вход цепи включают приборы по схеме рис. 4 и по их показаниям определяют коэффициент мощности в виде
,
где W, V и A - показания соответственно ваттметра, вольтметра и амперметра действующих значений. Из этого выражения можно также определить угол сдвига фаз j между током и напряжением на входе двухполюсника.
·Обзорные статьи
·Промо-статьи
·Презентации
·Качество электроэнергии
·Учебные пособия по электротехники для самостоятельного изучения
·Рефераты по электротехнике и радиоэлектронике
Учебное пособие по курсу электротехникиЭлектрические микромашины. Курс лекцийОбщая Электротехника. Учебное пособие Сборник лекций по теоретическим основам электротехникиКарта сайта