Найпростіші задачі квантової механіки

РЕФЕРАТ

на тему:”Найпростіші задачі квантової механіки”

План

1. Рух вільної частинки

2. Частинка в одновимірному потенціальному ящику

3. Гармонічний квантовий осцилятор

4. Проходження частинки крізь потенціальний бар’єр. Тунельний ефект

1
. Рух вільної частинки

Найпростішим рухом квантової частинки є вільний рух. Прикладом такого руху є рух електронів в металах і напівпровідниках. В цьому випадку потенціальна енергія частинок дорівнює нулю. При вільному русі повна енергія частинки збігається з кінетичною, а її швидкість є сталою величиною. Такому рухові в класичній механіці відповідає рівномірний і прямолінійний рух.

Нехай рівномірний рух квантової частинки відбувається в напрямі осі х
, яка збігається з напрямком вектора швидкості. Стаціонарне рівняння Шредінгера для вільної частинки запишеться:

(1.3.15)

де m
― маса частинки; Е
― повна енергія частинки.

Рівняння (1.3.15) є диференціальним рівнянням другого порядку зі сталими коефіцієнтами, розв’язком якого може бути функція

(1.3.16)

де А
і к
― сталі величини; і
― уявна одиниця.

Підстановка (1.3.16) в (1.3.15) дасть тотожність

звідки

(1.3.17)

У співвідношенні (1.3.17) к
- хвильове число хвиль де Бройля; Е
― повна енергія частинки; m
― маса частинки.

Енергія вільної частинки з рівності (1.3.17) дорівнює

(1.3.18)

Хвильове число к
може набувати довільних значень, тому що вільні частинки в системі можуть мати практично будь-які постійні швидкості. Це говорить про те, що енергетичний спектр вільних частинок є суцільним.

Густина імовірності перебування вільної частинки в довільних точках осі х
дорівнює

де - комплексно спряжена хвильова функція. Звідки

Густина імовірності вільної частинки в будь-якій точці осі х
є сталою величиною. Невизначеності вільної частинки в координаті в такому випадку дорівнюють безмежності. Цей висновок є добрим підтвердженням співвідношення невизначеностей Гейзенберга.

2.
Частинка в одновимірному потенціальному ящику

Розглянемо приклад просторово-обмеженого одновимірного руху квантової частинки в глибокому потенціальному ящику з вертикальними стінками, шириною l
. Потенціальна енергія електрона зовні і всередині такого ящика має наступні значення:

U
(
x
)=0
при 0<
x
<
l
, (1.3.19)

U
(
x
)=

при x
0
й x
l
.

Графік залежності потенціальної енергії частинки U
(
x
)
від х
показаний на рис 1.5.

Частинка в такому ящику може вільно рухатись на ділянці 0хl
. На кінцях цього інтервалу вона стикається з абсолютно твердими стінками. Непрозорість цих стінок визначається необмеженим ростом потенціальної енергії U
(
x
)
в точках х=0
і х
=l
.

Рис. 1.5

Прикладом руху електрона в потенціальному ящику може бути рух колективізованих електронів усередині металу. Як відомо, у класичній електронній теорії вважали, що поза металом потенціальна енергія електрона дорівнює нулю, а всередині металу ― вона від’ємна і чисельно дорівнює роботі виходу електрона з металу. Інакше кажучи, вважали, що рух електронів обмежений потенціальним бар’єром прямокутної форми з плоским дном. У нашому випадку потенціальний ящик значно простішої форми ніж реальний випадок електрона в металі.

Оскільки частинка не виходить за межі ділянки 0  х 
l
, то імовірність знайти її за межами цієї ділянки дорівнює нулю. Це означає, що рівняння Шредінгера для стаціонарних станів можна доповнити граничними умовами і

Запишемо рівняння Шредінгера для частинки в потенціальному ящику

(1.3.20)

де m
― маса частинки; ― стала Дірака; Е
― повна енергія частинки; (х)
― хвильова функція.

Введемо позначення

(1.3.21)

де к
― хвильове число хвиль де Бройля для електрона, який перебуває всередині потенціального ящика.

Рівняння (1.3.20) набуде вигляду

. (1.3.22)

Знайдемо розв’язок рівняння (1.3.22), подібно до аналогічних диференціальних рівнянь гармонічних коливань, у тригонометричній формі

(1.3.23)

де А, В
і С
─ сталі величини.

З граничних умов одержуємо:

а) (0)=0
; 0=АcosB.
0+CsinB.
0,

звідки А=0
; В0
і С0
.

б) (l)=0
; 0=CsinB.
l,

звідки при С0, Вl=n
, або де n = 1,2,3,
...

Хвильова функція з урахуванням граничних умов набуде вигляду:

(1.3.24)

Константу С
у формулі (1.3.24) знайдемо з умови нормування

, (1.3.25)

або

. (1.3.26)

Другий інтеграл у виразі (1.3.26) для будь-яких значень n
дорівнює нулю, тому

, звідки

Хвильова функція, яка описує квантовий рух частинки в потенціальному ящику, має вигляд:

(1.3.27)

При підстановці (1.3.27) у (1.3.22) одержуємо тотожність

,

звідки

(1.3.28)

Енергія Е електрона в потенціальному ящику не може бути довільною. Вона набуває лише дискретних власних значень Е(n)
. Імовірність виявити в межах потенціального ящика електрон з іншою енергією, ніж (1.3.28) дорівнює нулю.

Що ми одержали в результаті розв’язування рівняння Шредінгера? По-перше,
набір псі-функцій
, які залежать від квантового числа n
. По-друге, значення енергії Е
, при яких розв’язок рівняння Шредінгера має фізичний зміст. По-третє, розподіл імовірності
виявлення частинки в різних точках осі x
усередині ящика. Подібні ж результати виходять при розв’язуванні рівняння Шредінгера й в інших випадках, наприклад, для атома водню.

Енергетичний спектр і густина імовірності частинки в потенціальному ящику показана на рис. 1.6.

Рис. 1.6

Число n у формулі (1.3.28) визначає вид хвильової функції й енергію частинки в стані з цією хвильовою функцією і називається квантовим числом
. Покажемо, що для частинки в потенціальному ящику можливі лише такі енергетичні рівні, на яких на ширині ящика вкладається лише ціле число півхвиль де Бройля. При аналізі граничних умов було показано, що kl
=
n
, де ― хвильове число хвиль де Бройля. З урахуванням останнього маємо:

(1.3.29)

Співвідношення (1.3.29) показує, що в потенціальному ящику можливі лише такі стани частинки, при яких на ширині потенціального ящика l
вкладається ціле число півхвиль де Бройля (рис. 1.7).

Рис. 1.7
Незбуреному стану частинки (n=1) відповідає енергія

(1.3.30)

Значення цієї енергії Е
l
0
свідчить про те, що частинка в потенціальному ящику ніколи не зупиняється і що невизначеність Рх
імпульсу частинки не може бути меншою за величину

(1.3.31)

В потенціальному ящику шириною l
положення частинки визнача-ється похибкою, яка сумірна з його шириною хl,
тому що перебуває у повній відповідності із співвідношенням невизначеностей імпульс - координата.

Покажемо, як залежить ширина енергетичного інтервалу Е
від розмірів потенціального ящика. У потенціальному ящику з розмірами l=10-9
м
власні значення енергії електрона утворюють послідовність енергетичних рівнів, енергетична відстань між якими дорівнює

E=En+1
-En
,

або

Дж.

В електрон-вольтах ця енергія буде дорівнювати

Цей розрахунок показує, що коли ширина потенціального ящика сумірна з розмірами атома (10-10
м), енергетичний інтервал між сусідніми енергетичними рівнями досить значний, а спектр є дискретним.

У випадку, коли потенціальний ящик має макроскопічні розміри l10-2
м
, е

нергетичний інтервал між сусідніми рівнями буде дорівнювати

Дж=0,34.
10-14
(2n+1) eB.

Для такого потенціального ящика квантуванням енергії можна знехтувати. Вона нічим не відрізняються від значень енергії, одержаних класичними методами.

Аналогічні результати можна одержати для великих квантових чисел n
. У цьому випадку проявляється принцип відносності, встановлений Бором у 1923 р.

При великих квантових числах висновки й результати квантової механіки збігаються з відповідними класичними результатами.

3. Гармонічний квантовий осцилятор

Просторово-обмеженим є також рух квантового осцилятора. З класичної точки зору осцилятором може бути будь-яка матеріальна точка, яка здійснює гармонічні коливання під дією квазіпружної сили

F
=-
kx
, де k
=
m
. (1.3.33)

Потенціальна енергія класичного осцилятора знаходиться за формулою

(1.3.34)

де m
― маса частинки; ― циклічна частота осцилятора.

Графічна залежність потенціальної енергії класичного осцилятора показана на рис. 1.8.

Рис. 1.8

З рисунка видно, що осцилятор може мати практично довільну енергію, навіть рівну нулю. В точках -а
і +а
кінетична енергія осцилятора дорівнює нулю, а потенціальна енергія досягає свого максимуму. За межі області (-а, +а)
класичний осцилятор вийти не може.

Квантовим осцилятором може бути лише елементарна частинка, яка поряд із корпускулярними властивостями проявляє і хвильові властивості. Прикладом квантового осцилятора може бути коливний рух атомів і молекул у вузлах кристалічної гратки. Потенціальна енергія квантового осцилятора має ту ж математичну залежність, що і класичний осцилятор (1.3.34).

Стаціонарне рівняння Шредінгера для лінійного гармонічного осцилятора має вигляд:

(1.3.35)

де m
―
маса квантової частинки; ― власна циклічна частота; Е
― повна енергія частинки.

Знаходження хвильових функцій квантового осцилятора є досить складною математичною задачею. Тому, опускаючи такі розв’язки, наводимо енергетичний спектр квантового осцилятора. Він має вигляд

(1.3.36)

де n
= 0,1,2,3,
... ― будь-яке ціле число, починаючи з нуля; ― власна циклічна частота осцилятора; ― стала Дірака.

Аналіз рівняння (1.3.36) показує, що енергетичний спектр квантового осцилятора є дискретним і що власні значення енергії дорівнюють:

, ,

В енергетичному спектрі (1.3.36) проміжки між енергетичними рівнями не залежать від квантового числа n
, а є однаковими

(1.3.37)

Як показано на рис. 1.9, де енергетичний спектр квантового осцилятора суміщається з аналогічним спектром класичного осцилятора, квантовий осцилятор не має значень енергії рівних нулю.

Рис.1.9

Найменше значення енергії квантового осцилятора дорівнює

. (1.3.38)

Меншої енергії квантовий осцилятор не може мати навіть при абсолютному нулі температур.

Покажемо наближеним способом, що енергія квантового осцилятора квантується. З рис 1.10 видно, що на відрізкуl
=2х0
вкладається ціле число півхвиль де Бройля, тобто

(1.3.39)

де ― середнє значення довжини хвилі де Бройля.

Звідки

(1.3.40)

Рис. 1.10

Середнє значення імпульсу кванта хвилі де Бройля

(1.3.41)

Середня кінетична енергія такого осцилятора

(1.3.42)

Відомо, що повна енергія Е
перевищує середнє значення кінетичної енергії у два рази, тобто

(1.3.43)

З іншої точки зору повна енергія квантового осцилятора дорівнюватиме максимальній потенціальній енергії

(1.3.44)

Перемножимо рівності (1.3.43) і (1.3.44), одержимо

(1.3.45)

або

(1.3.46)

В межах точності наших міркувань 1, тому

(1.3.47)

де n
=1,2,3
,... ― цілі числа.

Наближений розрахунок показує, що енергія квантового осцилятора набуває ряду дискретних значень, тобто квантується.

Точне значення енергії для не збудженого квантового осцилятора нульового рівня можна одержати з рівняння Шредінгера (1.3.35), якщо згідно з рис. 1.10 скористатись функцією Гаусса, яка дорівнює

(1.3.48)

де а
― стала величина, яку слід визначити.

Другу похідну від (1.3.48) підставимо в (1.3.35)

звідки

. (1.3.49)

Тотожність (1.3.49) має місце у випадку рівності коефіцієнтів при х2
і вільних членів, тобто

(1.3.50)

Система рівнянь (1.3.50) дає можливість одержати значення енергії Е
і сталої величини а

. (1.3.51)

Таким чином функція Гаусса є розв’язком рівняння Шредінгера (1.3.35) лише за умови коли .

В цьому випадку

. (1.3.52)

Слід відмітити, що оскільки відстань між суміжними рівнями енергії квантового осцилятора дорівнює то з урахуванням одержуємо енергетичний спектр квантового осцилятора у вигляді

(1.3.53)

де n
= 0,1,2,3,
...

4.
Проходження частинки крізь потенціальний бар’єр.Тунельний ефект

Класична частинка не може перебувати в тих місцях, де її потенціальна енергія U(x)
перевищувала б повну енергію частинки E
. Щодо квантової частинки, то вона має таку властивість через те, що існує відмінна від нуля імовірність проникнення її крізь потенціальний бар’єр, тобто в область, де U(x)  E.

Проведемо оцінку цієї імовірності шляхом розв’язування такої задачі. Нехай квантова частинка з масою m
, рухаючись в напрямі осі х
, вдаряється в потенціальний бар’єр кінцевої висоти U
0
, тобто

причому енергія частинки Е
менша висоти бар’єра U
0
, (рис. 1.11).

Рис. 1.11

В області потенціального бар’єра рівняння Шредінгера для стаціонарних станів набуде вигляду

(1.3.54)

Якщо позначити вираз через , то рівняння (1.3.54) перепишеться

. (1.3.55)

Розв’язком рівняння (1.3.55) може бути функція

, (1.3.56)

де А
і В ─
деякі константи.

Експонента з додатним знаком фізичного змісту не має й може бути відкинута, тому що не повинно бути зростання імовірності в області потенціального бар’єра. Тому в області потенціального бар’єра (х
), хвильова функція частинки 
x
визначається рівністю


x
= А
e
-
x
.
(1.3.57)

Коефіцієнт А
у виразі (1.3.57) пов’язаний з інтенсивністю променя частинок, які рухаються у напрямі бар’єра, а тому задається довільно. Як правило для х
координати частинок розподіляються з густиною імовірності

, (1.3.58)

де 0
дорівнює значенню 
x
2
при х=0.

Рівняння (1.3.58) показує, що із збільшенням глибини проникнення в область потенціального бар’єра, густина імовірності х
зменшується експоненційно. Це зменшення буде тим швидше, чим більша різниця енергій U0
- E.

Знайдемо глибину проникнення елементарної частинки в область потенціального бар’єра при умові, що m
= 9,1 10-31
кг
(електрон), U0
- E =
10-4
eB
, а густина імовірності (х
на цій відстані зменшується в е
разів

.

Ця відстань перевищує на два порядки діаметр атома водню. Глибина проникнення зменшується на порядок, якщо різниця енергій U
0
-
E
зросте до 10-2
еВ
.

Здатність квантових частинок проникати в область потенціального бар’єра приводить до тунельного ефекту.
Його суть полягає в проникненні частинки з однієї області в іншу область, які поділені потенціальним бар’єром навіть в тих випадках, коли енергія частинки Е
менша висоти потенціального бар’єра U0
.

Таке проходження частинки виявляється можливим дякуючи існуванню під бар’єром хвильової функції, яка «прокладає» шлях частинці на будь-яку відстань. Тунельний ефект є головною причиною -розпаду радіоактивних ядер.