Транспортные свойства
придонных
топографических
волн на шельфе и континентальном склоне
A.A. Слепышев
Исследование динамических эффектов в придонном слое море имеет актуальное значение в связи с изученим тепло-массоперноса через придонный слой, процессов седиментации и осадконакопления, генерации и эволюции донных рифелей и мезоформ, транспорта наносов и взвеси. Важный вклад в динамику придонного слоя вносят волновые процессы на шельфе и континентальном склоне . Ветровое волнение является важным фактором аккумуляции или размыва наносов непосредственно в прибрежной зоне моря [1,2]. Влияние поверхностных волн прослеживается, по-видимому, до глубин, составляющих половину длины волны [3]. На больших глубинах преобладает влияние внутренних волн и топографических волн. Нелинейные эффекты при распространении как поверхностных, так и внутренних волн проявляются в генерации средних на временном масштабе волны течений, которые обусловлены действием в слабонелинейном пакете волновых напряжений [4,5,6] В предельном случае слабонелинейной плоской волны указанные волновые напряжения отличны от 0 при учёте турбулентной вязкости и диффузии [6,7]. В придонном слое моря на шельфе и континетальном склоне существует важный класс захваченных топографических волн, физической причиной существования которых является взаимодействие гравитации и сил плавучести, с одной стороны, неодородностей рельефа дна и вращения Земли-с другой .Частота захваченных волн не превышает N (угол наклона дна). Фаза волны распространяется, оставляя более мелкую воду справа в Северном полушарии [8] Амплитуда волны затухает по экспоненциальному закону при удалении от дна. Придонные волны, по видимому , вносят важный вклад в транспорт наносов на шельфе.
Если турбулентные тангенциальные напряжения у дна превышают критические значения, соответствующие началу движения наносов , волна взмучивает донный осадочный материал, осуществляя его горизонтальный перенос средними течениями , индуцированными придонными топографическими волнами .
В этой связи актуальным является определение средних течений, индуцированных придонными волнами за счёт нелинейных эффектов в присутствии турбулентной вязкости и диффузии над склоном произвольной ориентации. Исходные нелинейные уравнения гидродинамики для волновых возмущений решаются в слабонелинейном приближении методом возмущений [ 4 ]: в первом порядке малости по амплитуде волны находятся решения линейного приближения и дисперсионное соотношение, во втором порядке малости - средние течения, индуцированные волнами после осреднения исходных уравнений по периоду волны.
Горизонтальным дном будем называть плоскость, перпендикулярную вектору ускорения свободного падения и параллельную свободной невозмущённой поверхности океана. Плоскость, касательную поверхности Земли и параллельную горизонтальному дну обозначим К
. Плоскость К1
, соответствующую наклонному дну, получаем из плоскости K
поворотом её на угол вокруг линии пересечения плоскостей К
и К1
(оси Х). Условимся, что положительному значению угла соответствует поворот плоскости K
против часовой стрелки (если смотреть с положительной полуоси Х). Систему уравнений гидродинамики для волновых возмущений в приближении Буссинеска запишем в системе координат,плоскость XOY которой совпадает с плоскостью К1
,ось Х
совпадает с линией пересечения плоскостей K
и К1
и составляет с западным направлением угол , ось Z
направлена от поверхности Земли перпендикулярно плоскости К1
. Положительному значению угла соответствует поворот параллели к оси Х
против часовой стрелки.
Вектор угловой скорости вращения Земли имеет проекции на оси Z,Y и X соответственно
z
= ; y
= ( (1)
и x
=
где с-1
-угловая скорость вращения Земли,.широта.
Турбулентные напряжения в данной работе параметризуются через сдвиги волновых скоростей по гипотезе Сент-Гелли с введением коэффициентов горизонтальной и вертикальной турбулентной вязкости и диффузии [6]Введём безразмерные переменные , , (-характерная глубина), *
( *
- характерная частота волны), размерные величины отмечены волнистой чертой сверху. Определим безразмерные величины компонент волновых возмущений скорости (), давления , плотности , коэффициентов вертикальнoй и горизонтальной турбулентной вязкости и диффузии следующим образом:
=/(*
H ), =/(*
H ) , =/(*
H ), =/(01
(*
H )2
) (2)
3
= 3
/ , 3
=3
/ , 1
= 1
/ , 1
=1
/, =(01
H*
2
)
где =- значение горизонтальной турбулентной вязкости, 01
-характерная средняя плотность воды. Система уравнений гидродинамики для волновых возмущений в безразмерных переменных в приближении Буссинеска имеет вид:
2(y
-z
v)+()=-2
(K1
+K1
+ K3
)
(3a)
/+2(z
-x
)+()=--+2
(K1
/+ K1
/+ K3
/)
(3б)
/+2(x
v-y
)+()=- +2
(K1
/+ K1
w/+ K3
/)- (3в)
//0 (3г)
()+v=2
(M1
/+ M1
/+ M3
/) (3д)
где 2
=, - средняя плотность, ,-волновые возмущения скорости течения вдоль осей X,Z,Y соответственно; -волновые возмущения плотности и давления. Оператор () раскрывается по формуле: ()=
Введём частоту Брента-Вяйсяля: N2
=-d/dz1,
где d/dz1
- градиент средней плотности, z1
=. Очевидно, что вектор градиента средней плотности коллинеарен вектору g
.
Уравнение (3д) можно переписать в виде:
()-)=2
(M1
/+M1
/+M3
/) (4)
Граничные условия у дна:
(0)=0
(5)
В качестве решения в линейном приближении рассмотрим волну , у которой, введём функцию тока . Волновые возмущения скорости выражаются через функцию тока:
/= -/ (6)
Решение системы (3) в линейном приближении будем искать в виде:
(7)
где - комплексно сопряжённые слагаемые, А(
-
амплитудная функция, медленно меняющаяся на масштабе волны. Из системы (3) следуют уравнения для
.
+-d2
/d]=-(8)
[+l
2
-d2
/d)][2+)]=+-d2
/d]d/d{[+-d2
/d]}+N2
(9)
Граничные условия у дна функций и имеют вид:
=0 , =0 (10)
В [12], следуя асимптотическому методу Люстерника-Вишика [13,14] ,функ-
ции (z) и (z) и частота волны получены в виде:
(z)= 10
(z)+
(z)=+ (11)
где 10
(z) и 10
(z) - "невязкие" решения , т .е. решения при , и - "погранслойные" решения, быстро убывающие (по сравнению с 10
(z)) при удалении от дна. Приведём выражения для 10
(z) и 10
(z) которые потребуются в дальнейшем:
10
(z)= exp(z) , 11
()=-exp()
=sin.
10
(z)/ ,
11
(z)=exp()sin/ (12)
где -дисперсионное соотношение при отсутствии турбулентной вязкости и диффузии, поправка к чаcтоте, обусловленная турбулентной вязкостью и диффузией [12],
=[2+)+i0.5sin2]/[2i]
=z/, (13а)
(13б)
Амплитудная функция А
является медленно меняющейся функцией на масштабах волны.Умножим обе части уравнения (3а) на , уравнения (3б) на и сложим эти уравнения, после осреднения по периоду волны в линейном приближении получим уравнение для огибающей А
:
(14)
где +,
+-(15)
компонеты групповой скорости вдоль осей X и Y соответственно.
здесь ,
В стационарном случае уравнение (14) преобразуется к виду:
, (16)
где -координата вдоль луча, -групповая скорость.
Пространственные производные функции следующим образом выражаются через градиент
(17)
Осредним исходные уравнения движения (3) по периоду волны , получим с точностью до членов , квадратичных по амплитуде волны уравнения для средних полей , индуцированных волной в слабонелинейном приближении (черта сверху означает осреднение по периоду волны):
=
(18a)
=
(18б)
(18в)
) (18г)
(18д)
Волновые напряжения , , выражаются с помощью (6,7) через :
=-
=+ (19)
=
=
Из анализа системы (18) с учётом (19) следует, что индуцируемые волной средние поля плотности , давления и скорости течения следует искать в виде:
, , (20) , ,
Система уравнений для функций следует из (18) после подстановки (19) и (20) при использовании соотношений (16),(17). Данная система сводится к неоднородной системе линейных дифференциальных уравнений , которую запишем в матричном виде:
(21)
где А- матрица размрностью 88 , элементы которой являются постоянными (не зависящими от z величинами):
Все остальные элементы матрицы А равны 0. Столбцы и имеют вид:
где
Система дифференциальных уравнений (21) решается аналитически при следующих граничных условиях: и при . Окончательно индуцируемые волной поля скорости течения и плотности определяются по формулам:
, , ,
(22)
Амплитудный множитель найдём из условия нормировки, которое состоит в следующем. Пусть максимальная
Тогда,где. (23)
Пусть (24) -осреднённое за период волны тангенциальное напряжение у дна. Следуя [15,16 ] введём коеффициент донного трения . При заданном коэффициент вертикального турбулентного обмена для данной волны находится из (24).
Если тангенциальное напряжение у дна превышает критическое значение , соответствующее началу движения наносов, то волна взмучивает наносы, осуществляя их горизонтальный перенос. В стационарном и горизонтально -однородном случае уравнение вертикальной диффузии для средней концентрации наносов имеет вид [ 15 ]:
(25)
где , скорость гравитационного оседания наносов [15 ]. Решение уравнения (25), затухающее при удалении от дна имеет вид:
(26)
Здесь - концентрация наносов у дна, которая находится из следующего граничного условия. Пусть -вертикальный поток наносов у дна, тогда следуя работе [ 15]
(27)
С другой стороны, вертикальный поток наносов равен .
Учитывая, что у дна , найдём :
(28)
Из (26) и (28) найдём :
(29)
Учитывая, что при [16] величина для i-ой фракции определяется по формуле : , где -динамическая скорость у дна, , , -плотность материала наносов, кинематическая вязкость жидкости, -содержание частиц i- ой фракции в материале дна. Для смеси фракций вертикальное распределение концентрации наносов имеет вид:
(30)
где [16]
Найдём расход наносов вдоль и поперёк изобат:
- (31)
где , распределение концентрации -ой фракции, -скорость гравитационного осаждения i –ой фракции.
Расчёт индуцируемых полей скорости проводить будем проводить на континентальном склоне Южного берега Крыма между мысами Сарыч и Аю-Даг, где , , средний уклон дна равен , при типичном значении частоты Брента-Вяйсяля глубже главного пикноклина ~ 3 цикл/час [1], Коэффициент придонного трения принимался равным [15,17], соответствующим наиболее типичным условиям шероховатости морского дна на рассматриваемых масштабах.
Нормирующий множитель А
определялся таким образом, чтобы максимальная амплитуда горизонтальной скорости равнялась ~0.18 м/с, т.е. А
находилось из соотношения (23). При максимальное значение достигается при z=1.8 м. Коэффициент вертикального турбулентного обмена определялся из соотношения (24) при и составил . Kоэффициент горизонтального турбулентного обмена выразим через , следуя эмпирической зависимости коэффициента обмена от масштаба явления [18].
.Частота волны ,декремент затухания волны равен -, При столь значительном уклоне дна необходим учёт в тангенциальном напряжении гравитационной составляющей, обусловленной наклоном дна в выражении для потока (27):
, (32)
Для алевритовой фракции размером частиц мм величина , критическое тангенциальное напряжение, соответствующее началу движения наносов [19,20]. У фракций мм величина . Доля частиц указанных размеров составляет в донных осадках континентального склона [21]. Доля фракций > 0.1 мм не превышает 1% [21,22]. Скорости гравитационного осаждения частиц фракций находились по формуле Стокса [23] и составили
Донная концентрация взвешенных волной наносов равна (или ) при равномерном распределении рассматриваемых частиц по размерам .
На рис. 1,2,3 показаны вертикальные профили индуцированного за счёт нелинейности компонент скорости среднего течения ,,. Вертикальное распределение концентрации наносов, взвешенных волной показано на рис. 4. Расход наносов (44) вдоль и попрёк склона соответственно равен: .
Выводы.
1. При распространении придонных топографических волн при наличии турбулентной вязкости и диффузии нелинейные эффекты проявляются в генерации средних на временном масштабе волны полей скорости течения и плотности.
2. При превышении турбулентного касательного напряжения у дна критического значения волна взмучивает донные осадки, осуществляя их горизонтальный перенос. Расмотренный механизм переноса наносов, по-видимому, является определяющим в поперечном переносе наносов на шельфе и континентальном склоне.
3. Концентрация взвешенной волной алевритовой фракции (~) быстро убывает с удалением от дна, более мелкие фракции не взвешиваются волной. Расход наносов поперёк склона отрицателен и направлен вниз по склону, расход наносов вдоль изобат также отрицателен и сонаправлен с проекцией горизонтального волнового вектора.
Литература
1. Блатов А.С., Иванов В.А. Гидрология и гидродинамика шельфовой зоны Чёрного моря.- К.: "Наукова Думка", 1992.-237 с.
2. Михинов А.Е. Транспорт донных наносов в волновом потоке // Моделирование гидрофизических процессов в замкнутых водоёмах и морях.-М.:Наука,1989.-С.139-149.
3. Ястребов В.С., Парамонов А.Н. и др. Исследование придонного слоя буксируемыми аппоратами. М.: изд . ИО АН СССР, 1989, 128с.
4. Борисенко Ю. Д. , Воронович А.Г. , Леонов А.И. , Миропольский Ю.З. К теории нестационарных слабонелинейных внутренних волн в стратифицированной жидкости // Изв. АН СССР ФАО.- 1976.-т. 12, N 3,- C. 293-301.
5. Grimshow R. The modulation of an internal gravity wave packet and the resonance with the mean motion.// Stud. In Appl. Math.- 1977.- v.56.-p.241-266.
6. Дворянинов Г.С. Эффекты волн в пограничных слоях атмосферы и океана.-Киев: Наукова Думка, 1982.-176 с.
7. Слепышев А.А. Процессы переноса, обусловленные слабонелинейными внутренними волнами при наличии турбулентности // Изв. РАН ФАО, 1997.- № 4, с. 536-548.
8. Ле Блон П., Майсек Л. Волны в океане. М.: Мир,1981,ч.1-478 с.
9. Brink K.H. A comparision of long coastal trapped waves theory with observation off Peru // J. Phys. Oceanogr.- 1982.-V.12.-No 8.-P. 897-913.
10. Rhines P. Edge- ,bottom-,and Rossby waves in a rotating stratified fluid // Geophys. Fluid Dyn.-1970.-V.1-P.273-302.
11. Ou, H.-W. On the propogation of free topographic Rossby waves near continental margins. Part 1 Analitical model for a wedge // Journal of Physical Oceanography.--1980 -Vol. 10.-N 7.- P. 1051-1060.
12.Пантелеев Н.А. Слепышев А.А. Воздействие мелкомасштабной турбулентности на придонные топографические волны // Морской гидрофизический журнал.-2000, № 1-С. 3-18
13.Задорожный А.И. Затухание длинных волн в экспоненциально стратифицированном море // Морские гидрофизические исследования .-1975,№3.-С 96-110.
14. Черкесов Л.В. Гидродинамика волн, Киев: Наукова Думка.-1980.-259 с.
15. Шапиро Г.И., Аквис Т.М., Пыхов Н.В., Анциферов С.М. Перенос мелкодисперсного осадочного материала мезомасштабными течениями в шельфово-склоновой зоне моря // Океанология.-2000.-Том 40.-№ 3.-С. 333-339.
16. Анциферов С.М. , Дебольский В.К Распределение концентрации взвесей в стационарном потоке над размываемым дном.// Водные ресурсы.- 1997.-Том 24.- № 3.-с.270-276.
17. Green O., McCave I.N. Seabed drag coefficient under tidal currents in the eastern Irish Sea// Journal of Geophysical Research- 1995.-Vol. 100.- № C8.-P. 16057-16069.
18. Озмидов Р.В. Диффузия примесей в океане.-Л.: Гидрометеоиздат.-1986.-280 с.
19. Uncles R.J., Stephens J.A. Distribution of suspended sediment at high water in a macrotidal estuary // J.Geophys. Res.-1989.-V.94.-P.14395-14405.
20. Van Rijn L. Principles of sediment transport in rivers, estuaries and coastal seas. Aqual Publ.-1993.-720 p.
21. Щербаков Ф.А, Куприн П.Н., Потапова Л.И., Поляков А.С., Забелина Э.К., Сорокин В.М. Осадконакопление на континентальной окраине Чёрного моря.-М.: Наука,1978.-210с.
22. Айтбулатов Н.А. Динамика твёрдого вещества в шельфовой зоне.Л.: Гидрометеоиздат, 1990.-271с.
23. Шамов Г.И. Речные наносы.-Л.: Гидрометеоиздат,1959.-378с.
УДК 551.466.8
А Н Н О Т А Ц И Я
К статье Слепышева А.А. "Транспортные свойства придонных топографических волн на шельфе и континентальном склоне."
В приближении Буссинеска для захваченных наклонным дном топографических волн определены средние течения, индуцированные волной за счёт нелинейности
при наличии стока энергии волны в турбулентность для плоского склона произвольной ориентации. В диффузионном приближении находится вертикальное распределение концентрации наносов, взвешенных волной . Определяется расход наносов вдоль и поперёк изобат.
Ответ
рецензенту статьи Слепышева А.А. « Транспортные свойства придонных топографических волн на шельфе и континентальном склоне»
Автор доработал статью в соответствии с замечаниями рецензента. Первая часть статьи сокращена, в частности , Приложение , на которое есть ссылка в первой части статьи , убрано, т. к. предложенный метод аналитического решения системы дифференциалных уравнений общеизвестен.
5.03.2002 г. А.А. Слепышев
Редакции журнала
«Физика атмосферы и океана»
Пыжевский пер., д.3
Москва, Ж-17, 109017
Россия
Глубокоуважаемая редакция !
Высылаю два доработанных и один первоначальный варианты статьи
Слепышева А.А. «Транспортные свойства придонных топографических волн на шельфе и континентальном склоне». Статья доработана в соответствии с замечанием рецензента, в частности, сокращена первая часть статьи и Приложение, на которое есть ссылка в первой части статьи.
Сведения об авторе:
Слепышев Александр Алексеевич- старший научный сотрудник отдела турбулентности Морского гидрофизического института НАН Украины , кандидат физ.-мат. наук, тел. 0692(код) 42-83-88 (домашний),
Черноморский филиал МГУ им. М.В. Ломоносова, доцент.
5.03.2002 г. А.А. Слепышев