Задание
K
2. Определение скоростей и ускорений точек твердого тела при поступательном и вращательном движениях
Дано
:
x=c2
t2
+c1
t+c0
,
R2
=40см,
r2
=25 см,
R3
=20 см,
x0
=9 см,
V0
=8 см/с,
x2
=65 см,
t1
=1с,
t2
=2с.
c1
-? c2
-? c3
-?
V-? a-? -?
-? VM
-?
Уравнение груза 1 имеет вид: (1)
x=c2
t2
+c1
t+c0
.
Коэффициенты c2
, c1
, c0
могут быть определены из следующих условий:
При t=0c x=9 =V0
=8; (2)
При t=2c x=65. (3)
Скорость груза 1
V == 2c2
t+c1
(4)
Подставляя (2) и (3) в (1) и (4) получим систему уравнений, из которой найдем коэффициенты
c2
, c1
, c0
Таким образом, уравнение движения груза 1 имеет вид:
x= 10 t2
+8t+9. (5)
Скорость груза 1:
V ==20t+8
При t=1c V
=28см/
c
.
(6)
Ускорение груза 1:
a
=20см/с2
.
Для определения скорости и ускорения точки М запишем уравнения, связывающие скорость груза V и угловые скорости колес и .
откуда имеем:
(7)
Т.к. V =20t+8 , то
;
При t=1c =2,24рад/с.
Угловое ускорение колеса 3:
Скорость точки М, ее вращательное, центростремительное и полное ускорения определяются по формулам:
VМ
=см/с.
см/с2
.
см/с2
см/с2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 28 |
20 |
2,24 |
1,6 |
44,8 |
100,35 |
32 |
105,33 |
Задание:
Найти скорость 1 тела в конце отрезка s.
Дано
:
кг
кг
кг
м
м
м
м
Решение:
Применим теорему об изменении кинетической энергии системы
(т.к. система состоит из абсолютно твёрдых тел)
T0
=0(т.к. в начальный момент времени система покоилась)
Определим кинетическую энергию системы в конечный момент времени
Определим работу сил в конечный момент времени
A
A
Определим скорость в конечный момент времени
(м/с)
Ответ:
м/с
К4. Кинематический анализ многозвенного механизма
Дано
:
=2рад/с.
=
a=50см
b=30см
O1
A=14см
O2
B=29см
AB=45см
BC=54см
CD=34см
DE=37см
Найти:
1) скорости точек А, В, С и D механизма и угловые скорости всех его звеньев с помощью плана скоростей;
2) скорости точек А, В, С и D механизма и угловые скорости всех его звеньев с помощью мгновенных центров скоростей;
3) ускорения точек А и В и угловое ускорение звена АВ;
4) положение мгновенного центра ускорений звена АВ;
5) ускорение точки М, делящей звено АВ пополам.
Определние скоростей точек и угловых ускорений звеньев с помощью плана скоростей.
Определяем скорости точек.
Строим схему механизма в выбранном масштабе (рис1). Вычисляем модуль скорости точки А кривошипа О1
А:
=м/с.
Вектор перпендикулярен О1
А и направлен в сторону вращения кривошипа.
Строим план скоростей. Из произвольно выбранного полюса О проводим луч Оа, изображающий в выбранном масштабе скорость точки А.
Для определения скорости точки В через
полюс О проводим прямую, параллельную
скорости , через точку а- прямую,
перпендикулярную АВ. Получаем точку b;
отрезок Оbопределяет скорость точки В.
Измеряем длину луча Оb и, пользуясь масштабом скоростей, находим =13см/с
Продолжая построение плана скоростей, находим , ,
=13 см/с.
=13 см/с.
=5,3 см/с.
Определяем угловые скорости звеньев механизма.
Отрезок ab плана скоростей выражает вращательную скорость точки В вокруг точки А:
ab=;
отсюда угловая скорость звена АВ
=ab/AB=14,5/45=0,32 рад/с
Аналогично определяются угловые скорости звеньев ВС и ED:
=bc/BC=0/54=0
=ed/ED=14/37=0,38 рад/с
Угловая скорость звена О2
В определяется по вращательной скорости точки В вокруг неподвижного центра О2
.
=13/29=0,45 рад/с
Определение скоростей точек и угловых ускорений звеньев с помощью мгновенных центров скоростей.
а) Определяем положения мгновенных центров скоростей звеньев механизма.
Строим схему в выбранном масштабе(рис3)
Звенья О1
А, O2
B вращаются вокруг неподвижных центров О1
и О2
.
Рис3
Мгновенный центр скоростей РАВ
звена АВ находится на как точка пересечения перпендикуляров, проведенных из точек А и В к их скоростям. Аналогично определяется положение мгновенного центра скоростей РDE
. Мгновенный центр скоростей звена АВ находится в бесконечности.
Б) Определяем скорости точек
. Скорости точек звеньев механизма пропорциональны расстояниям от этих точек до мгновенных центров скоростей соответствующих звеньев. Эти расстояния измеряются на чертеже.
Для определения скорости точки В звена АВ имеем пропорции
АРАВ
/ВРАВ
.
Следовательно ,
ВРАВ
/АРАВ
.
см/с.
Т.к. мгновенный центр скоростей звена ВС находится в бесконечности, то <
Для определения скорости точки Е звена ED имеем пропорции
ЕРED
/DPED
.
Следовательно,
DPED
/EPED
.
см/с.
Одновременно с определением модулей скоростей точек находим их направления, а также направления вращений звеньев механизма. Например, по направлению скорости точки А и положению мгновенного центра скоростей РАВ
устанавливаем, что вращение звена АВ происходит по часовой стрелке. Поэтому скорость точки В при данном положении механизма направлена влево.
Аналогично определяем направления вращений остальных звеньев и направления скоростей точек механизма.
в) Определяем угловые скорости звеньев механизма
Скорость любой точки звена равна произведению угловой скорости этого звена на расстояние от точки до мгновенного центра скоростей:
АРАВ
.
АРАВ
.
28/64=0,43 рад/с.
Угловая скорость звена О2
В определяется по скорости точки В:
13,1/29=0,45 рад/с.
Угловая скорость звена ВС равна нулю, т.к. мгновенный центр скоростей звена ВС находится в бесконечности:
Аналогично вычисляем угловую скорость звена ED:
EPED
.
5,4/14=0,38 рад/с.
3. Определение ускорений точек
A
и
B
и угловое ускорение звена АВ.
Определяем и .
С помощью теоремы об ускорениях точек плоской фигуры определяем ускорение точки В:
.
Т.к. кривошип О1
А вращается равномерно, то ускорение точки А направлено к центру О1
и равно
см/с2
.
Центростремительное ускорение точки В во вращательном движении шатуна АВ вокруг полюса А направлено от точки В к точке А и равно
0,43=19,43 см/с2
.
Откладываем от точки В в соответствующем масштабе ускорение полюса . Из конца вектора строим вектор , проводя его параллельно ВА. Через конец вектора проводим прямую JK, перпендикулярную ВА, т.е. параллельную вращательному ускорению . Однако определить ускорение этим построением невозможно, т.к. его направление неизвестно.
Чтобы найти ускорение точки В, необходимо выполнить второе построение, рассматривая эту точку как принадлежащую О2
В. В этом случае
Центростремительное ускорение точки В:
см/с2
.
Откладываем от точки В вектор , направив его к центру О2
. Через конец вектора проводим прямую LN перпендикулярно О2
В, т.е. параллельно вращательному ускорению .
Точка пересечения этой прямой с JK определяет концы векторов ,
Измерением на чертеже получаем
80 см/с2
.
49 см/с2
.
Т.к. =АВ, то угловое ускорение звена АВ
/АВ=49/45=1,09 рад/с2
.
4)Определение положения мгновенного центра ускорений звена АВ.
Примем точку А за полюс. Тогда ускорение точки В
Строим параллелограмм ускорений при точке В по диагонали и стороне . Сторона параллелограмма выражает ускорение точки В во вращении АВ вокруг полюса А. Ускорение составляет с отрезком АВ угол , который можно измерить на чертеже.
Направление вектора относительно полюса А позволяет определить направление , в данном случае соответствующее направлению часовой стрелки Отложив угол от векторов и в этом направлении и проводя два луча, найдем точку их пересечения - мгновенный центр ускорений звена АВ.
5) Определение ускорения точки М.
Найдем ускорение точки М с помощью МЦУ.
Ускорения точек плоской фигуры пропорциональны их расстояниям до мгновенного центра ускорений:
.
Подставив расстояния, определенные по чертежу
К7. Определение абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки
Дано
:
OM=Sr(t)=25sin(t/3);
4c
a=25см
v-?
a-?
Положение точки М на теле D определяется расстоянием Sr=ОМ.
При 4c Sr=25 sin(4/3)= -21,65 см.
Абсолютную скорость точки М найдем как геометрическую сумму относительной и переносной скоростей:
Модуль относительной скорости , где dSr/dt=25cos(t/3) /3
При t=4c -13,08см/с.
13,08см/с.
Отрицательный знак у показывает, что вектор направлен в сторону убывания Sr.
Модуль переносной скорости =, где
-радиус окружности L, описываемой той точкой тела, с которой в данный момент совпадает точка М,
-модуль угловой скорости тела.
Найдем .
Рассмотрим прямоугольный треугольник .
АМ=ОА-ОМ.
АМ=25-21,65=3,35см.
=25см.
По теореме Пифагора имеем:
=25,22см.
Найдем .
, где
=d/dt =4t-0,5
При t=4c =15,5рад/с.
Знак ”+” у величины показывает, что вращение тела D происходит в ту же сторону, в которую ведется отсчет угла .
Тогда модуль переносной скорости
==390,91 см/с.
Модуль абсолютной скорости v найдем способом проекций.
Через точку М проводим оси X и Y.
Из треугольника :
=AM/
=3,35/25,22=0,13
Тогда
1,704 см/с
403,86см/с.
Значит v =
403,86см/с.
Абсолютное ускорение точки М равно геометрической сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений.
, где в свою очередь
Относительное движение.
Это движение происходит по закону Sr(t)=25sin(t/3);
Модуль относительного касательного ускорения ,
где =d2
Sr/dt=
При t=4c 23,72см/с2
.
23,72см/с2
.
Модуль относительного центростремительного ускорения =0, т.к. радиус кривизны относительной траектории стремится к бесконечности.
Переносное движение.
Это движение происходит по закону
Модуль переносного вращательного ускорения , где
= - модуль углового ускорения тела D
d2
/dt2
=4рад/с2
Знаки у и одинаковые. Значит вращение тела D ускоренное.
Тогда см/с2
Модуль переносного центростремительного ускорения
=6059,1 см/с2
.
Кориолисово ускорение.
Модуль кориолисова ускорения определяем по формуле
, где
- угол между вектором и осью вращения (вектором ).
В нашем случае =, т.к. ось вращения перпендикулярна плоскости вращения тела D.
Тогда 12118,21 см/с2
.
Направление вектора найдем по правилу Н.Е.Жуковского: т.к. вектор лежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения, то повернем его на в направлении , т.е. против хода часовой стрелки.
Модуль абсолютной скорости v найдем способом проекций.
Через точку М проводим оси X и Y.
+
=100,88+23,72-6059=-663,3см/с2
.
18174,22см/с2
.
=18186,32см/с2
.
Ответ:
13,08см/с =390,91 см/с. 403,86см/с.
23,72 см/с2
, см/с2
, =6059,1 см/с2
, 12118,21 см/с2
, =18186,32